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算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。
在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。
通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。
它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。
2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。
•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。
•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。
算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。
•确定商品的平均价格。
•分析学生成绩的平均水平等。
3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。
它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。
3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。
用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。
•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。
•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。
算术平均数与几何平均数（一）一． 知识点回顾1． 重要公式：如果a 、b_____，那么22b a +_____2ab ，当且仅当_____取等号。
2． 如果a 、b_____，那么2ba +_____ab ，当且仅当_____取等号。
3．推广：如果n a a a ,,,21⋅⋅⋅___，那么na a a n ⋅⋅⋅++21_____n n a a a ⋅⋅⋅21，当且仅当____取等号。
二． 例题讲解 例1．0>≥b a ，试比较,,2,2,22ab ba b a a ++b a ab +2，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来。
例2．已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1，求证：（1）（11-a）8)11)(11(≥--c b ，（2）31222≥++c b a（3）27111222≥++c b a 例3．（1）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++，（2）已知22)1(112:,02≥++⋅++≥x xxx 求证三． 巩固练习 1．0,0""2">>≥+b a ab b a 是的（ ）条件。
A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要2．设2,,,=+≠∈b a b a R b a 且则必有（ ）A 、2122b a ab +≤≤B 、2122b a ab +<<C 、1222<<b a abD 、222ba +1<<ab3．已知0<a<b<1，,2log 21b a P +=Q )(log 21),log (log 21212121b a M b a +=+=，则P 、Q 、M 三个数的大小关系是（ ） A 、P>Q>MB 、Q> P>MC 、Q >M>PD 、M>Q>P4．下列不等式：①21≥+x x ②|2|1≥+xx ③若0<a<1<b ，则2log log -≤+a b b a ④若0<a<1<b ，则2log log ≥+a b b a 其中正确的是（ ）A 、②④B 、①②C 、②③D 、①②④5．在下列结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是（ ） A 、2,,≥+xy y x y x 则均为正数 B 、4)1)(1(,≥++aa a a 则为正数C 、1,210log lg >≥+x x x 其中D 、21222≥++x x6．x 成立的是则下列不等式中等号不且,00>>y （ ）A 、211≥+++xx x x B 、4)1)(1(≥++y y x x C 、4)11)((≥++y x y x D 、2lg lg )2lg lg (222y x y x +≤+ 7．已知>x ，则由不等式+x ⋅⋅⋅≥+≥34,212xx x 成立；推广为一般情况有*)(,1N n n x ax n∈+≥+，则常数a 为（ ） A 、2nB 、n 2C 、2)1(2+n D 、n n8．若b a R b a ≠∈且,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①2223b ab a>+②322355b a b a b a +>+③)1(222--≥+b a b a ④2>+abb a A 、4B 、3C 、2D 、19．已知a>0,b>0，且a+b=4,则下列各式恒成立的是（ ） A 、211≥abB 、111≥+baC 、2≥abD 、41122≤+ba 10．若实数a,b 满足a+b=2，则b a33+的最小值为（ ）A 、18B 、6C 、32D 、24311．设2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则的最大值为_____________。
算术平均数与几何平均数一．学习目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”． 二．知识要点：1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 ： 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 ：如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．最值定理：已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5.均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6.四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+三．题型讲解例1： 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22a b ab+≥a+b D b a ab +2≥ab变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例2：已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a bx y+=，求x y +的最小值．变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y bx a ，若 x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．例3：设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,求21x y +的最大值.变式训练： 若a>b>0, 求216()a b a b +-的最小值例4：已知,x y R +∈ ，且822=++xy y x ，求y x 2+的最小值．变式训练：已知,x y R +∈,且xy y x =++62，求xy 的最小值.四.练习巩固：1．若1a b >>，lg lg P a b =，1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a bR +=，则 （ ）()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q << 2．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）()A 2(21)x y +≥+ ()B 21xy ≤+ ()C 2(21)x y +≤+ ()D 2(21)xy ≥+ 3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） ()A 4y x x =+()B 222(3)2x y x +=+()C 4x x y e e -=+()D 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．若0,0a b >>，且21a b +=，则2224s ab a b =--的最大值是 （ ）()A 212- ()B 12- ()C 212+ ()D 12+ 5.当x ∈R + 时可得到不等式x ＋x 1≥2, x ＋24x=2x ＋2x＋2)2(x ≥3, 由此可以推广为x ＋n xp≥n ＋1, 取值p 等于（ ） A n n B n 2 C n D n ＋16.设x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ） A 2/2 B 22 C 2 D 27. 设a 、b ≥0,a ＋b =1, 试比较大小：1212+++b a 22(填“≥”,“≤”或“=”)8.在区间(0, +∞)上，当x = 时，函数y =212x ＋3x 有最小值 9．要使不等式x y k x y +≤+对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是 ．10 已知x 、y 、z ≥0,且x ＋y ＋z =1, 则z y x ++的最大值为 ；最小值为11 已知：a ＋b ＋c =1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a >b >c ,则a ＋b 的取值范围是 ；a 2＋b 2 的取值范围是12.若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥913、若a >1, b >1, c >1, ab =10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c , 并指出什么时候等号成立。
