浙江省杭州市江干区九年级小能手竞赛数学试卷(Word版,含答案)

浙江省杭州市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图是小颖同学一天上学、放学时看到的一棵树的影子的俯视图，将它们按时间先后顺序进行排列，排列正确的是（ ）A ．②③①④B ．④①③②C ．①④③②D ．③②④①2．下列四个函数：①2y x =+；②6y x=；③23y x =；④2(26)y x x =--≤≤，四个函数图 象中是中心对称图形，且对称中心是原点的共有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个 3．如图，直线12x y =与23y x =-+相交于点A ，若12y y <，那么（ ） A ．2x > B ．2x < C ．1x > D ．1x <4．有下列三个调查：①了解杭州市今年夏季冷饮市场冰琪淋的质量；②调查八年级（1）班50名学生的身高；③了解一本300页的书稿的错别字个数．其中不适合采用普查而适合采用抽样调查方式的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 5．下列说法中，正确的是（ ）A ．同位角相等B ．两条不相交的直线叫平行线C ．三条直线相交，必产生同位角、内错角和同旁内角D ．同旁内角互补，两直线平行6．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△A ′0′B ′≌△AOB 的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS7．下列选项中的三角形全等的是（ ）A ．两角及其夹边对应相等的两个三角形B ．有两个角对应相等的两个三角形C ．面积相等的两个三角形D ．都是锐角三角形的两个三角形8．化简200720081(3)()3-⋅的结果是（ ） A ．13- B ． 13 C ．-3 D ．39．如图所示，△ABC 平移后得到△DEF ，若∠BNF=100°，则∠DEF 的度数是（ ）A ．120°B ．100°C ．80°D ．50°10．如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001年的利润率比2000年的高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；③这三年的平均利润率为14％；④这三年中2002年的利润率最高．以上判断正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．规定运算|a b ad bc c d =-，若22178632x x --=+，则x 的值是（ ） A ． -60B ． 4.8C ．24D ．-12 12．某种商品若按标价的八析出售，可获利20%，若按原标价出售，可获利 （ ） A ． 25%B ．40%C ． 50%D ． 66.7% 13．若0a b +=，则a b 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．无意义 D ．-1 或无意义14．下列四个算式中，误用分配律的是（ ）A．111112(2)12212123636⨯-+=⨯-⨯+⨯B．1111(2)1221212123636-+⨯=⨯-⨯+⨯C．111112(2)12212123636÷-+=÷-÷+÷D．1111(2)1221212123636-+÷=÷-÷+÷15．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则它们分别表示的数 a、b、c的大小关系是（）A．a b c=>B．a b c>>C．c b a>>D．不能确定二、填空题16．已知直角三角形两条直角边的长是6和8，则其内切圆的半径是______．17．如图，在⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，则OG=___________cm．18．如图，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，•需要增加的条件是______（只需填一个你认为正确的条件即可）．19．在等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长度是关于x的方程x2-10x+m=0的两个根，则m 的值是 .20．已知代数式251x x--的值为 5，则代数式23155x x-+的值为．21．如图所示，不等式的解为 .22．已知1a+1b=92()a b+，则b aa b+=_______．23．从一副扑克牌中任意抽取一张，下列各个事件：A．抽到黑桃B．抽到的数字小于8C．抽到数字 5D．抽到的牌是红桃 2则将上述各个事件的可能性按从大到小的顺序排列依次是．解答题24．把234x y、243x y-、2x、7y-、5这五个单项式按次数由高到低的顺序写出： .三、解答题25．抛物线22y x x m =-+的顶点在直线y=x-1 上，求m 的值.26．如图，等腰梯形ABCD 中，上底AD=24 cm ，下底BC=28 cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1 cm ／s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3 cm ／s 的速度运动，P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．(1)t 取何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2)t 取何值时，四边形PQCD 为等腰梯形?27．在四边形ABCD 中，∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的外角度数之比为4：7：5：8，求四边形各内角的度数．28．某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y (元)是行李质量x (kg)的一次函数，其图象如图所示.(1)根据图象数据，求y 与x 之间的函数解析式；(2)旅客最多可免费携带的行李质量是多少 kg ？29．若y是x的一次函数，当x=2时，y=2，当x=一6时，y=6．(1)求这个一次函数的关系式；(2)当x=8时，函数y的值；(4)当1≤y<4时，自变量x的取值范围．30．如图所示为一辆公交车的行驶路线示意图，“○”表示该公交车的中途停车点，现在请你帮助小王完成对该公交车行驶路线的描述：【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．B4．C5．D6．A7．A8．A9．C10．B11．D12．C13．D14．C15．B二、填空题16．217．218．AB=CD（答案不惟一）19．25或1620．2321．x≥22．1523．2BACD24．247y4x y，3-，2x，53x y-，23三、解答题25．22=-+-+=-+-，顶点是(1，m-1)，代入直线1 211(1)1y x x m x m=-，y x∴m=126．(1) t取6 s时，四边形PQCD为平行四边形；（2）t取7s时，四边形PQCD为等腰梯形27．∠A=120°，∠B=75°，∠C=105°，∠D=60°28．(1)165y x=- (2) 30 kg29．(1)132y x=-+；(2)-1；(3)-2<x≤430．起点站→(1，1)→(2，2)→(4，2)→(5，1)→(6，2)→(6，4)→(4，4)→(2，4)→(2，5)→(3，5)→终点站。

2023年浙江省杭州市中考数学竞赛试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．三角形的外心是（ ） A ． 三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条中垂线的交点D ．三条内角平分线的交点 2．若24410y y x y ++++-=，则xy 的值等于（ ） A ．-6 B ．-2C ．2D ．63．若ab是二次根式，则应满足的条件是（ ） A ． a ，b 均为非负数 B ．0a ≥且0b > C ．0ab> D ．0ab≥ 4．如图，下列说法中错误的是（ ）A ．∠l 与∠2是同位角B ．∠4与∠5是同旁内角C ．∠2与∠4是对顶角D ．∠l 与∠2是同旁内角5．下列式子成立的是（ ）A ．（2a －1）2=4a 2－1B ．（a+3b ）2=a 2+9b 2C ．（-a+b ）（-a-b ）=a 2－b 2D ．（－a －b ）2=a 2－2ab+b 2 6．用长为4 cm 、5 cm 、6 cm 的三条线段围成三角形的事件是（ ）A ．随机事件B ．必然事件C ．不可能事件D ．以上都不是7．如图，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A ′B ′的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OA ′B ′的理由是（ ） A ．边角边 B ．角边角C ．边边边D ．角角边8．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是（ ） A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS9． 在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C 的外角＝（ ）A．60°B．80°C．100°D．120°10．下列扑克牌中,以牌的对角线交点为旋转中心,旋转180O后能与原图形重合的有（）A．4张B．3张C．2张11．下列事件中，属于必然事件的是（）A．随机地选取两个奇数. 它们的和恰好是一个奇数B．随机地选取两个奇数，它们的积恰好是一个奇数C．随机地选取两个偶数，它们的和恰好是一个奇数D．随机地选取两个偶数，它们的积恰好是一个奇数12．如图，以下四个图形中，∠1和∠2是对顶角的共有（）A．0个B．l个C．2个D．3个二、填空题13．如图所示，点P到坐标原点 0的距离 OP = 4，则点 P 的坐标为．△外接圆的圆心坐标是．14．如图中ABC15．将50个数据分成三组，其中第一组与第三组的频率之和是0．7，则第二组的频率是，第二组的频数是．16．关于 x 的一元二次方程20++分解因式的结果++=的两根为1-，3，则2x bx cx bx c为．17．如图，已知AB是⊙0的直径，BD=OB，∠CAB=30°，请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论．(除OA=OB=BD外)：①；②；③．18．请你写一个解集为11-<<的不等式组．x19．已知长方形长为 32 cm，宽为 8cm，则与此长方形面积相等的正方形的边长是 . 20．已知23100A a a a a=++++，则当a=1时，2A= ，当1a=-时，A = ．21．已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．三、解答题22．如图，AB 为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD 于 D，AC 平分∠DAB. 求证：CD 是⊙O的切线.23．如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．24．如图，圆锥的底面半径为1 ，母线长为 3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 的中点D. 问：沿怎样的路线爬行，路程最短？最短路程是多少？25．如图①所示，已知AE是△ABC的高，F是AE上的任意一点，G是E点关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于点H，与AC交于点I，连结IF并延长交BC于点J，连结HF并延长交BC于点K．(1)请你在图②中再画出一个满足条件的四边形HJKI(点F的位置与图①不同)；(2)请你判断四边形HJKl是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明(图②供思考用)．26．解不等式组331213(1)8xxx x-⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩，并在数轴上把解表示出来．27．某建筑工地需浇制半径分别为 0.24 m，0.37m，0.39m 的三个圆形钢筋环，问需钢筋多长？尽可能使你的运算既快又方便.28．你看到过如图所示的图案吗? 这个图案可以由什么基本图形经怎样的平移得到?29．计算下列各题：（1）()2523-⨯- （2） 4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）—4÷0.52＋(—1.5)3×(32)230．甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏：分别转动两个转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字（若指针恰好停在分格线上，则重转一次），用所指的两个数字作乘积，如果积大于10，那么甲获胜；如果积不大于10，那么乙获胜．请你解决下列问题： (l ）利用树状图（或列表）的方法表示游戏所有可能出现的结果； (2）求甲、乙两人获胜的概率．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．A3．D4．A5．C6．B7．A8．A9．B10．C11．B12．B二、填空题13．（2，23）14．，15．(52)0．3，1516．+-17．(1)(3)x xCD是⊙0的切线；∠D=30°；AC=CD18．略19．16 cm20．10000，021．n()2三、解答题22．连结 Oc，∵OC=OA，∠OCA=∠OAC=∠CAD，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，即 CD 是⊙O的切线.23．GF=10(cm)．24．如展开图．∵∠BAB ′=120°,AC 是∠BAB ′的角平分线.∴∠BAD=60°，1122AD AB AC == ∴∠ABD=30°，2233 1.52BD =-=25．(1)作图与①类似；②四边形HJKI 为平行四边形，证略26．不等式组的解为21x -≤<，图略27．20.2420.3720.392(0.240.370.39)2πππππ⨯÷⨯+⨯=++=（m)28．可以由“V ”平移得到29．（1）-47；（2）16；（3）-17.530．（1）：1 2 3 4 4 8 12 551015（2）P （甲）=31；P （乙）=32．。

教学视频-公开课，优质课展示课，课堂实录(/)2005年江干区数学小能手展示活动9年级试题卷、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30 分)概率是(A) 1245(C)6449(D)641 . 用橡皮筋把直径为10cm的三根塑料管紧紧箍住，这条拉紧的橡皮筋的长度(精确到0.1cm)等于2 .3 .4 .5 .(A)(C)94.2 cm61.4 cm已知a(A) 1(B)(D)91.4 cm56.4 cmX ,by z(B) 2李姐在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，收银员找还给她(A) 兀6(C)元613个小朋友围成一圈做游戏,小a，则——x y 14包鲜奶，共付款(D)a元，后来她退了2包酸奶，再买b元(0<b<a).每包酸奶的价格是(B) b元6(D)元6规则是从某一个小朋友开始按顺时针方向数数，数到第下去.，直到最后剩下一个小朋友13,该小朋友离开；这样继续.小明是1号，要使最后剩下的是小明自己，他应该建议从几号小朋友开始数起?(A) 7 号(B) 8 号(C) 13 号 (D) 2 号(第4题)10局棋，每局胜方得1国际象棋决赛在甲乙两名选手之间进行，比赛规则是：共下分，负方得0分，平局则各得0.5分，谁的积分先达到 5.5分便夺冠，不继续比赛;若10局棋下完双方积分相同，则继续下，直到分出胜负为止.下完8局时，甲4胜1平.若以前8局棋取胜的频率为各自取胜的概率，那么在后面的两局棋中，甲夺冠的5(B)-8教学视频-公开课，优质课展示课，课堂实录（/）26. △ ABC 的三边长为a , b , c ,若a a 2 b c,a 2b 2c 3，则这个三角形的最长一边是取值范围是 ________ .三、解答题（本题有5小题，共60分）13. （15分）妈妈给小敏100元钱买花装饰圣诞树.花店的花成束出售，规格与价格如下:规格ABC 教师之家-免费中小学教束花朵数载网（ http://www?teache r9 /3550 价格（元凍） 4 69(A )a(B )b（C ） c（ D ）不能确定、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30 分） 7.设n 是一个非零自然数，那么一定存在自然数m ，能使mn + 1是完全平方数，这样的自然数m 很多，请写出两个 _______ .& 甲上吴山晨练，乙则沿着同一条路线下山，他们同时出发，相遇后甲再上走16分钟,乙再下走9分钟，各自到达对方的出发地 .那么甲上山和乙下山的速度之比等于 9.只用圆规度量/ XOY 的度数，方法是：以顶点 O 为圆心任意画一个圆，与角的两边分别交于点 A ，B （如图），在这个圆上顺次截取这样绕着圆一周周地截下去，直到绕第 n 周时，终于使第m 次截得的弧的末端恰好与点 A 重合（m>n ），那么 / XOY 的度数等于 _____ .10•小明7时多开始做功课，这时分针刚好与时针重合；8 时多做完，这时分针刚好在时针的反向延长线上.小明做功课所花的时间是 ___________ 分钟（精确到1分）. 11•两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个 较大的正方形，如用两个边长分别为a ，b 的正方形拼成一个大正方形.图中Rt △ ABC 的斜边AB 的长等于 __________ （用a ，b 的代数式表示）212•如果关于x 的方程x 2 a 1 x 2a 1 0有一个小于1的正数根，那么实数 a 的14. ( 15分)物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心•例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等•(1)你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；(2)现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心(直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号)(第14题) (第15题)15. (15分)如图，在△ ABC 中，/ B=36 ° , D 为BC 上的一点，AB=AC=BD =1.(1 )求DC的长；(2)禾9用此图，求sin18°的精确值.16. (15分)如图，在口ABCD中，AE丄BC, AF丄CD , E, F为垂足，△ AEF的高线AN , FM相交于点H,设EF=a , AH=b (a>b),求口ABCD的对角线AC的长.（第16 题）9年级试题解答和评分标准三段弧的长度之和恰好为一个圆周—一X 一，同样计算另两式，相加即可— 1 a 1 x x y zy z、填空题（每小题5分，共30分） 7. n + 2, 4n + 4, 9n + 6，等等& 3: 4 设上山速度为x ,下山速度为y ,路程为s ,则、选择题 （每小题5分，共30分）2.3. 列方程组消去鲜奶价格4.如果从1号数起，离圈的小朋友依次为13 , 1, 3, 6, 10, 5, 2, 4, 9, 11,12, 7,最后留下8号，因此从逆时针方向退 8名（即7号）开始数起, 后留下1号5.1 前8局甲胜4局，乙胜3局，估计每局棋甲、乙取胜的概率分别为一2 1 平局的概率为一.在10局以内甲夺冠有三种情况：第 9局甲胜，概率为8381 ；21 第9局甲不胜，第10局甲胜，概率为 -2丄•以上三种情况互不包容，和为 641;后两局都是平局，概率 4 49 642c 2b 2c 2b a'由 a+3>0 知c>b ;a 3.从两式中得4c 23,4b a 2a 3 3，因为4b>0,所以a>3于是 4c 4a2a 4a 3 a 130,c a .2x 9x3 y 16' y 4方法很多，最简单的是因式分解:x 1 x 2a 10,因此“小于1的正数根”是 2a 1.由 0 2a 11 得 1 a 12三、解答题(每小题15分，共60分)13.设买A , B , C 三种花分别为 a , b , c 束，贝U 4a + 6b+9c=100.(1分) 因为4a , 6b , 100都是偶数，所以c 是偶数， (3分)各种花束的花朵数进行比较：(1) 用12元钱可买A 种花3束，共60朵；可买B 种花2束，共70朵.因此买A 种花3束不妨改买B 种花，可见买A 种花不能多于2束，a 2 ；(7分)(2) 用18元钱可买B 种花3束，共105朵；可买C 种花2束，共100朵.同理，-S 16,- — x x y y x y9，两式相除，得n9.360m10. 33设/ XOY 的度数为x ,则mx n 360，所以x=— 360m分针速度为1格/分，时针速度为 1/12格/分，设做作业从7时x 分 开始到8时y 分结束，则分针用 x 分钟追上35格，用y 分钟追上11.b 212. 140 - 30=10 格，所以 1— x121135, 1 丄 y 10,1227 （分）,60- 27=33 （分）Rt △ ABC 的边BC 在斜边 AB 上的射影为a ,由BC 2 a AB 可得结果b Bc 2，但c 是偶数，所以c=0；（11 分） 根据以上分析，得 4a + 6b =100，化简得2a + 3b =50.（12 分） 若a=1，则b=16;若a=2，则b 不是整数•这个方程符合条件的解只有 1个•答：买A 种花1束、B 种花16束，这时花朵最多，达 580朵.14.（ 1）平行四边形的重心是两条对角线的交点.（1分）理由：如图，口ABCD 是中心对称图形，对角线 的交点O 是对称中心，（3分）经过点O 与对边相交的任何一条线段都以点 O为中点（如图中线段 PQ ）,（5 分） 因此点O 是各条线段的公共重心，也是 口 ABCD 的重心.（2）把模板分成两个矩形，连结各自的中心；（10 分）把模板重新分成两个矩形，得到连结各自 中心的第二条线段，指出重心 .（15 分）15. （ 1） 因为 AB=AC ，/ B=36°,所以/ C= / B=36因为AB=BD ,所以/ ADB= / DAB= 72°,（2分） 又因为/ ADB = / C +Z DAC ，所以/ DAC =36°,（3 分）十DC AC口DC1 所以△ ABC s^ DAC ,，即（6分）AB BD DC11 DC45 1DC .（负根舍去）（8 分）2F -----J ■f % /:J /1 --------------------------------------------------- 1% "* J丿 帚”*XA（6分）（15 分）（2）作厶ABC的高线AE,则/ EAD =1816. 作 CG 丄 AD 于 G ,得矩形 AECG , AC=EG..(2分)连结EH ，FG ，因为H 是厶AEF 的两条高线交点， 所以EH 丄AF ，又因为 AF 丄CF , 所以 EH // CF ;因为FH 丄AE , CE 丄AE ,所以FH //CE ，四边形ECFH 是平行四边形（6分）是，EC=HF , EC // HF ，但 EC=AG , EC // AG ,所以 AG=HF , AG / HF ,所以四边形AHFG 是平行四边形，GF=AH=b又因为 AH 丄EF , AH // GF ，所以GF 丄EF , 所以EG 2 EF 2 GF 2 a 2 b 2 ,AC EG 、a 2 b 2 .［文章来教师之家/ 转载请保留出处］［相关优质课视频请访问： 教学视频网/ ］EC 11 - 2.5 1 .5 12 4ED、5 1 .51 354 24sin18ED 3 5 2 5 1AD 4 .5 1 4（9分）（12 分）（15 分）（10 分）（15 分）。

浙教版2018-2019学年九年级数学竞赛试卷(一)一．选择题（共5小题，满分30分，每小题6分）1．已知x为实数，且﹣（x2+3x）=2，则x2+3x的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣3 D．﹣1或32．已知下列命题：①对顶角相等；②若a＞b＞0，则＜；③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有3个不同交点；⑤边长相等的多边形内角都相等．从中任选一个命题是真命题的概率为（）A．B．C．D．3．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜74．如图，AB是圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，∠DPB=60°，D是的中点，则的值是（）A．B．2 C．D．5．If a is odd number，the there must exist an integer n such that a2﹣1=（）A．3n B．5n C．8n D．16n二．填空题（共5小题，满分30分，每小题6分）6．对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程x*（a*x）=有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是．7．一个班共有44人，全部报名参加了学校组织的兴趣活动小组，参加数学兴趣活动小组的有38人，参加物理兴趣活动小组的有35人，则既参加数学兴趣活动小组又参加物理活动兴趣小组的有人．8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD=9，则AC=．9．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为．10．方程组的所有正整数解是．三．解答题（共4小题，满分60分，每小题15分）11．（15分）如图，△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，P为BC边上的动点，过P作PD∥AB 交AC于点D，连接AP，△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，设BP=x．（1）试用x的代数式分别表示S1，S2，S3；（2）当P点在什么位置时，△APD的面积最大，并求最大值．12．（15分）已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．13．（15分）（1）若a、b、c为一个三角形的三边，且满足（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．探索这个三角形的形状，并说明理由；（2）若x、y、z为一个三角形的三个内角的度数，且满足36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0．探索这个三角形的形状，并说明理由．14．（15分）41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由．参考答案1．解：设x2+3x=y，则原方程变为：﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3，当x2+3x=1时，△＞0，x存在．当x2+3x=﹣3时，△＜0，x不存在．∴x2+3x=1，故选：A．2．解：①对顶角相等，故此选项正确；②若a＞b＞0，则＜，故此选项正确；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项错误；④抛物线y=x2﹣2x与坐标轴有2个不同交点，故此选项错误；⑤边长相等的多边形内角不一定都相等，故此选项错误；从中任选一个命题是真命题的概率为：．故选：B．3．解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．4．解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．而∠DPB=60°，∴∠APC=60°．∴∠CAD=30°．又∵D是的中点，∴∠CAD=∠BAD=30°．∴∠ABC=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°．∴=．故选：A．5．解：∵a是奇数，∴设a=2n﹣1（n≥2），∴a2﹣1=（2n﹣1）2﹣1=[（2n﹣1）+1]×[（2n﹣1）﹣1]=2n（2n﹣2）=4n（n﹣1）如果n是偶数，则必然有﹣x使n=2x，原式=8x（n﹣1）；如果n是奇数，则（n﹣1）为偶数，必然有﹣y使（n﹣1）=2y，原式=8yn．综上，任意奇数的平方减去1后都是8的倍数．故选：C．6．解：由x*（a*x）=﹣，得（a+1）x2+（a+1）x+=0，依题意有a+1≠0，△=（a+1）2﹣（a+1）=0，解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．故答案为：0．7．解：∵没有参加数学小组的人：44﹣38=6人，没有参加物理小组的人：44﹣35=9人，∴两者都参加的有：44﹣（6+9）=29人．8．解：取线段BC的中点E，连接EM、EN，如图所示．∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，∴ME∥AC，ME=AC，NE∥BD，NE=BD=，∴∠EMN=∠FQP，∠ENM=∠FPQ．又∵∠FPQ=∠FQP，∴∠EMN=∠ENM．∴ME=NE=．∴AC=2ME=9．故答案为：9．9．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AD•DB=AM•BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）] =（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC•BC）=AC•BC，由射影定理得AD•DB=DE2=81，∴S△ABC=AC•BC=81，故答案为：81．10．解：∵⇒∵（y﹣z）2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2（y2+z2）⇒（y+z）2≤2（y2+z2）∴（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2）于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632注解到不等式（y+z）2≤2（y2+z2）有（y+z）2=（6x﹣20）2≤2（y2+z2）=2（1979﹣x2），于是（6x﹣20）2≤2（1979﹣x2）≤2×1978＜632，即﹣63＜6x﹣20＜63又∵y+z=6x﹣20是正整数∴0＜6x﹣20＜63，即，从而4≤x≤13．再由y+z为偶数，从而y2+z2为偶数，x2为奇数，进而x为奇数．∴x=5，7，9，11，13①当x=5时，，显然y、z正整数解不存在．②当x=7时，，显然y、z正整数解不存在．③当x=9时，，显然y、z正整数解不存在．④当x=11时，解得或；⑤当x=13时，解得或．故答案为11．解：（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，由Rt△AEC中，AC=4，∠C=45°，得到此三角形为等腰直角三角形，∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，则△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，则；这样S1=2x，S3=，S2=12﹣2x﹣=；（2）S2===，所以当x=3时，y有最大值3；此时BP=3，即P是BC的中点．12．解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，∴（a+1）2=22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59；（2）∵a=59时，b+c=20，则原方程为：20x2+60x+225=0，解得：x=﹣．13．解：（1）∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，又∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（c﹣a）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c∴这是一个等边三角形；（2）∵36x2+9y2+4z2﹣18xy﹣6yz﹣12zx=0①，①×2得：72x2+18y2+8z2﹣36xy﹣12yz﹣24zx=0，∴（36x2﹣36xy+9y2）+（36x2﹣24xz+4z2）+（9y2﹣12yz+4z2）=0，∴（6x﹣2z）2+（6x﹣3y）2+（3y﹣2z）2=0∴3x=z，2x=y，∵x+y+z=180°，∴x+3x+2x=180°，∴x=30°，y=60°，z=90°，∴该三角形是直角三角形．14．解：（1）能办到．注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数之和都是41或43，满足题目要求．（2）不能办到．若把1，2，3，40，41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有20个偶数，21个奇数，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到．（注站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形．）。

初三竞赛数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，则该三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 已知a、b、c是实数，且a+b+c=0，那么下列式子中一定成立的是（）A. ab+bc+ca=0B. (a+b)(b+c)(c+a)=0C. a²+b²+c²=ab+bc+caD. a³+b³+c³=3abc3. 一个等腰三角形的两边长分别为6和8，那么这个三角形的周长是（）A. 16B. 20C. 22D. 244. 已知x²-3x+1=0，那么x³-5x+1的值为（）A. 0B. 1C. -4D. -85. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是（）A. 4B. -4C. 0D. 26. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），其图像开口向上，且与x轴有两个交点，那么下列说法正确的是（）A. a>0，b²-4ac>0B. a<0，b²-4ac>0C. a>0，b²-4ac<0D. a<0，b²-4ac<07. 一个圆的半径为r，那么这个圆的面积是（）A. πrB. πr²C. 2πrD. 2πr²8. 已知一个等差数列的首项为a，公差为d，那么这个数列的第n项是（）A. a+(n-1)dB. a-(n-1)dC. a+ndD. a-nd9. 已知一个等比数列的首项为a，公比为q，那么这个数列的第n项是（）A. aq^(n-1)B. aq^nC. a/q^(n-1)D. a/q^n10. 已知一个函数y=f(x)，那么下列说法正确的是（）A. f(a)=f(b) 则a=bB. f(a)≠f(b) 则a≠bC. f(a)=f(b) 则a≠bD. f(a)≠f(b) 则a=b二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形的面积是_________。

浙江初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．2.下列式子成立的是（）A．a a=a B．（a b）= a bC．0.0081=8.1×10D．3.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是 ( )A．，，B．，，C．32，42，52D．1，2，34.使式子有意义的x的取值范围是（）A．x≤1B．x≤1且x≠－2C．x≠－2D．x＜1且x≠－25.解关于x的方程时产生增根，则m的值等于（）A．－2B．－1C．1D．26.二次函数的图象可能是（）7.如图几何体的俯视图是（）8.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN＋MN的最小值为（）A．8B．10C．11D．129.如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C 移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定二、填空题1.⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB与CD的距离是 .2.规定"*"为一种运算，它满足a*b=，那么1992*(1992*1992)=____。

3.已知直角三角形的两条边x、y的长满足，则第三边长为4.有五根木条，分别为12cm，10cm，8cm，6cm，4cm，则从中任取三根能组成三角形的概率为5.如图所示，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标为、，其中、下列结论：①；②；③；④；正确的结论是 .三、解答题1.解方程：2.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利润是多少？3.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

浙江省杭州市江干区2025届数学九年级第一学期开学检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB=CD ，AD=BC ；③AO=CO ，BO=DO ；④AB ∥CD ，AD=BC ．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2、（4分）无论x 取什么值，下面的分式中总有意义的是（）A ．1x x -B ．22-x x 1+C ．21x x +D ．()22x x 1+3、（4分）在平面直角坐标系中，点(–1，–2)在第()象限．A ．一B ．二C ．三D ．四4、（4分）若点（﹣2，y 1）、（﹣1，y 2）和（1，y 3）分别在反比例函数y ＝﹣21k x +的图象上，则下列判断中正确的是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 1＜y 2C ．y 2＜y 3＜y 1D ．y 3＜y 2＜y 15、（4分）如果点在第四象限，那么m 的取值范围是（）．A ．B ．C ．D ．6、（4分）在平面直角坐标系中，点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、（4分）如图，在ABC ∆中，已知D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连结DE ，若70C ∠=︒，则AED ∠等于（）A ．70ºB ．67.5ºC ．65ºD ．60º8、（4分）如图：15DAE DAF ︒∠=∠=，//DE AB ，DF AB ⊥，若6AE =，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA OC =，则下列结论：0abc <①；2404b ac a ->②；10ac b ③-+=；.c OA OB a ⋅=-④其中正确结论的序号是______．10、（4分）如图，已知一次函数y ＝kx +b 经过A （2，0），B （0，﹣1），当y ＞0时，则x 的取值范围是_____．11、（4分）若A （﹣1，y 1）、B （﹣1，y 1）在y ＝图象上，则y 1、y 1大小关系是y 1_____y 1．12、（4分）命题“对顶角相等”的逆命题的题设是___________.13、（4分）如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，如果△ABE 、△ECF 、△FDA 的面积分别刚好为6、2、5，那么矩形ABCD 的面积为_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解下列方程:(1)2420x x --=(2)212(1)x x -=+15、（8分）如图，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，点E 在BC 上，1AB BE ==，ED =，AD =．（1）求BED ∠的度数；（2）直接写出四边形ABCD 的面积为．16、（8分）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE=DF （1）求证：AE=CF ；（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD 的面积．17、（10分）已知函数4y x =-，（1）在平面直角坐标系中画出函数图象；（2）函数图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，已知(),P x y 是图象上一个动点，若OPA 的面积为6，求P 点坐标；（3）已知直线()10y kx k =+≠与该函数图象有两个交点，求k 的取值范围.18、（10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（n +3）x +3n ＝1．求证：此方程总有两个实数根．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）分解因式：3a 2﹣12=___．20、（4分）如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=1．若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为_________.21、（4分）如图，正方形ABCD 的顶点C ,A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线.若BC =6,BD =5,则点D 的坐标是_____.22、（4分）在平行四边形ABCD 中，若∠A +∠C ＝160°，则∠B ＝_____．23、（4分）计算21)= _________.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表：（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y 元，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围：（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由.25、（10分）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD 上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度.小东经测量得知AB=AD=5m ，∠A=60°，BC=12m ，∠ABC=150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD 的长度.你同意小明的说法吗?若同意，请求出CD 的长度；若不同意，请说明理由.26、（12分）已知：如图，正比例函数y=kx 的图象经过点A ，（1）请你求出该正比例函数的解析式；（2）若这个函数的图象还经过点B （m ，m+3），请你求出m 的值；（3）请你判断点P （﹣32，1）是否在这个函数的图象上，为什么？参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】如图，（1）∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）∵AB ∥CD ，∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵∠BAD=∠BCD ，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（3）∵在四边形ABCD 中，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（4）∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的有3组.故选C.2、B【解析】根据分母等于0，分式无意义；分母不等于0，分式有意义对各选项举反例判断即可【详解】解：A.当x =0时，分式无意义，故本选项错误；B.对任意实数，x 2+1≠0，分式有意义，故本选项正确；C.当x=0时，分母都等于0，分式无意义，故本选项错误；D.当x=-1时，分式无意义，故本选项错误.故选B 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．3、C 【解析】分析：根据在平面直角坐标系中点的符号特征求解即可.详解：∵-1<0,-2<0,∴点(–1，–2)在第三象限．故选C.点睛：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.4、B 【解析】先根据反比例函数中，k 2+1>0，可知-(k 2+1)<0,判断出函数图像所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论.【详解】解：∵反比例函数的，-(k 2+1)<0，∴函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大.∵-2<-1<0,∴点()12,y -、()21,y -位于第二象限，且在第二象限内y 随x 的增大而增大，∴y 2>y 1>0,又∵1>0,∴点()31,y 位于第四象限，∴y 3<0,∴y 3<y 1<y 2.故选择B.5、D【解析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限．【详解】解：∵点p（m，1-2m）在第四象限，∴m＞0，1-2m＜0，解得：m＞，故选D．坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m的取值范围．6、D【解析】根据各象限内点的坐标特征知点P(1,-5)在第四象限.故选D.7、A【解析】的度由题意可知DE是三角形的中位线，所以DE∥BC，由平行线的性质即可求出AED数．【详解】∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE∥BC，∴∠AED=∠C=70°，故选A此题考查平行线的性质，三角形中位线定理，难度不大8、C【解析】过点D 作DG ⊥AC 于点G ，先根据∠DAE=∠DAF=15°，DE ∥AB ，DF ⊥AB 得出∠ADE=∠DAE=15°，DF=DG ，再由AE=6可得出DE=6，根据三角形外角的性质可得出∠DEG 的度数，由直角三角形的性质得出DG 的长，进而可得出结论．【详解】解：过点D 作DG AC ⊥于点G ，15DAE DAF ︒∠=∠=，DE AB ，15ADE DAE ︒∴∠=∠=，6AE DE ∴==．DF AB ⊥，DAE DAF ∠=∠DF DG ∴=．DEG ∠是ADE ∆的外角，151530DEG DAE ADE ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=，132DG DE ∴==．故选C ．本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、①③④【解析】（1）∵抛物线开口向下，∴0a <，又∵对称轴在y 轴的右侧，∴0b >，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴0c >，∴0abc <，即①正确；（2）∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，又∵0a <，∴2404b ac a -<，即②错误；（3）∵点C 的坐标为(0)c ，，且OA=OC ，∴点A 的坐标为( 0)c -，，把点A 的坐标代入解析式得：20ac bc c -+=，∵0c >，∴10ac b -+=，即③正确；（4）设点A 、B 的坐标分别为12( 0) ( 0)x x ，、，，则OA=1x -，OB=2x ，∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴12x x ，是方程20ax bx c ++=的两根，∴12c x x a ⋅=，∴OA·OB=12c x x a -⋅=-.即④正确；综上所述，正确的结论是：①③④.10、x ＞1【解析】利用待定系数法可得直线AB 的解析式为y ＝12x−1，依据当y ＞0时，12x−1＞0，即可得到x 的取值范围．【详解】解：由A （1，0），B （0，﹣1），可得直线AB 的解析式为y ＝12x ﹣1，∴当y ＞0时，12x ﹣1＞0，解得x ＞1，本题主要考查了一次函数与不等式之间的联系，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋b，解题关键是求出直线解析式.11、＞【解析】根据反比例函数的图象和性质，再根据点的横坐标的大小，判断纵坐标的大小．【详解】∵y＝图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，A（﹣1，y1）、B（﹣1，y1）都在第三象限图象上的两点，∵﹣1＜﹣1，∴y1＞y1，故答案为：＞．考查比例函数的图象和性质，当k＞0，在每个象限内，y随x的的增大而减小，是解决问题的依据．12、两个角相等【解析】交换原命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据命题的定义求解．【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，题设是：两个角相等故答案为：两个角相等．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．13、20【解析】设AB=CD=a，AD=BC=b，根据三角形的面积依次求出BE，EC，CF，DF的长度，再根据△ADF面积为5，可列方程，可求ab的值，即可得矩形ABCD的面积．【详解】设AB ＝CD ＝a ，AD ＝BC ＝b ∵S △ABE ＝6∴AB ×BE ＝6∴BE ＝∴EC ＝b ﹣∵S △EFC ＝2∴EC ×CF ＝2∴CF ＝∴DF ＝a ﹣∵S △ADF ＝5∴AD ×DF ＝5∴b (a ﹣)＝10∴(ab )2﹣26ab +120＝0∴ab ＝20或ab ＝6(不合题意舍去)∴矩形ABCD 的面积为20故答案为20此题考查了面积与等积变换的知识以及直角三角形与矩形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）12x =+，22x =；（2）11x =-，23x =【解析】（1）把-2移到方程的右边，方程两边同时加上4，把左边配方，两边同时开方即可求出方程的解；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）2420x x --=24=2x x -24+46x x -=2(2)6x -=2x -=∴12x =，22x =（2）212(1)x x -=+212(1)0x x --+=()()()11210x x x +--+=()()1120x x +--=∴11x =-，23x =本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法．15、（1）135BED ∠=︒；（2）四边形ABCD 的面积为92．【解析】（1）连接AE ，得出△ABE 是等腰直角三角形，得出∠AEB=45°，AE ==在△ADE 中，222AE DE AD +=，得出∠AED=90°，即可得出结果；（2）证出△CDE 是等腰直角三角形，得出22CE CD ED ===，BC=BE+CE=3，证明四边形ABCD 是直角梯形，由梯形面积公式即可得出结果．【详解】（1）连接AE ，如图所示：90B ∠=︒，1AB BC ==，45AEB ∠=︒∴，AE ==在ADE ∆中，222210AE DE +=+=，210AD =，222AE DE AD ∴+=，90AED ∴∠=︒，135BED AEB AED ∴∠=∠+∠=︒；（2）18045CED BED ∠=︒-∠=︒，90C ∠=︒，CDE ∴∆是等腰直角三角形，222CE CD ED ∴===，3BC BE CE ∴=+=，90B C ∠=∠=︒，180B C ∠+∠=︒∴，//AB CD ∴，∴四边形ABCD 是直角梯形，∴四边形ABCD 的面积119()33222AB CD BC =+⨯=⨯⨯=；故答案为92．本题考查了勾股逆定理，等腰直角三角形，直角梯形的面积，掌握勾股逆定理，等腰直角三角形的性质是解题的关键.16、【解析】（1）由矩形的性质得出OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∠ABC=90°，证出OE=OF ，由SAS 证明△AOE ≌△COF ，即可得出AE=CF ；（2）证出△AOB 是等边三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt △ABC 中，由勾股定理求出BC 的长，即可得出矩形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∠ABC=90°，∵BE=DF ，∴OE=OF ，在△AOE 和△COF 中，∵OA=OC ，∠AOE=∠COF ，OE=OF ，∴△AOE ≌△COF （SAS ），∴AE=CF ；（2）解：∵OA=OC ，OB=OD ，AC=BD ，∴OA=OB ，∵∠AOB=∠COD=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA=AB=6，∴AC=2OA=12，在Rt △ABC 中，∴矩形ABCD 的面积．17、（1）图略；（2）()7,3P 或()1,3；（3）k 的取值范围是104-<<k 或01k <<.【解析】（1）去绝对值，化为常见的一次函数，画出图像即可；（2）由OPA 的面积可先求出P 点纵坐标y 的值，再由函数解析式求出x 值；（3）当直线1y kx =+介于经过点A 的直线与平行于直线()44y x x =-≥时，其与函数图像有两个交点.【详解】解：()144444x x y x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，所以函数图像如图所示学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………()2如图，作PC y ⊥轴4,6OPA OA S ==6243PC ∴=⨯÷=43x ∴-=7x ∴=或1()7,3P ∴或()1,3()3直线1y kx =+与y 轴的交点为()0,1①当直线1y kx =+经过()4,0A 时，1410,4k k +=∴=-②当直线1y kx =+平行于直线()44y x x =-≥时，1k =k ∴的取值范围是104-<<k 或01k <<本题考查了函数的图像，合理的将图像与一次函数相结合是解题的关键.18、见解析.【解析】利用根的判别式△≥1时，进行计算即可【详解】△＝222(3)126912(3)0n n n n n n +-=++-=-≥，所以，方程总有两个实数根．此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、3（a+2）（a ﹣2）【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a+2）（a ﹣2）．20、245【解析】设BE=x,则CE=5-x ，在Rt △ABE 和Rt △ACE 中,由勾股定理表示出AE 的平方，列出方程求解并进一步得到AE 的长.【详解】设BE=x,则CE=5-x ，在Rt △ABE 和Rt △ACE 中,由勾股定理可得：222225,AE AB BE x =-=-222236(5),AE AC CE x =-=--所以222536(5),x x -=--解得75x =，所以245=.考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.21、.【解析】过点作于点，根据四边形是菱形可知，可得出是等腰三角形，即可得到，再根据勾股定理求出即可得出结论.【详解】过点作于点，四边形是菱形，，是等腰三角形，点是的中点，，，四边形是正方形，=6，6+4=10，.故答案为：.本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，利用菱形的性质判断出是等腰三角形是解题的关键.22、100°【解析】由平行四边形的性质得出对角相等，邻角互补，∠A ＝∠C ，∠A +∠B ＝180°，由∠A +∠C ＝160°，得出∠A ＝∠C ＝80°，即可求出∠B ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠A +∠B ＝180°，∵∠A +∠C ＝160°，∴∠A ＝∠C ＝80°，∴∠B ＝180°﹣∠A ＝100°；故答案为：100°．本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质是解决问题的关键．23、【解析】根据完全平方公式展开计算即可。

九年级数学参考答案一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)1. D2. B 3．A 4．B 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．A二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)11. 答案不惟一。

12．1x <-13．60°14．四15．（5，5），（63，56）16．432三. 全面答一答 (本题有8个小题, 共66分)17．(本小题满分6分)（1）-3 （2）不满足，反例如：∵1※2 =-3，2※1 =2，∴1※2≠2※1。

18. (本小题满分6分) 原式＝)9(9696222-⨯-++-x x x x x ＝2x ＋9，当x=，原式＝x 2＋9都是12。

19. (本小题满分6分)方法一：先作等边三角形得到60°，再作60°角的平分线，得到30°角。

方法二：6等份圆，作60°圆心角的平分线，得到30°角。

（或作30°的圆周角） 方法三：作含有30°角的直角三角形。

20. (本小题满分8分)（1）+，-，+(2) 21x -<<-或34x <<（3）8x <-或79x <<21. (本小题满分8分)解：（1）30，20（2）12（3）解法一：依题意，有x x 205080030100020+⨯+⨯= 18. 解得x =500 .经检验，x =500是原方程的解.答：每张乒乓球门票的价格为500元.解法二：依题意，有x 2050800301000+⨯+⨯= x 208⨯.解得x =500 .答：每张乒乓球门票的价格为500元.22. (本小题满分10分)（1）先证△DAE ∽△DBA（2）23. (本小题满分10分)解：（1）设正方形的边长为x cm ，则(102)(82)48x x --=．即2980x x -+=．解得18x =（不合题意，舍去），21x =． ∴剪去的正方形的边长为1cm ．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为：2(102)2(82)y x x x x =-+-．即2836y x x =-+．（ 04x << ） 改写为2981842y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当 2.25x =时，40.5y =最大．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为x cm ，盒子的侧面积为y cm 2．若按图1所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为： 1022(82)22x y x x x -=-+． 即213169666y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当136x =时，1696y =最大． 若按图2所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为： 822(102)22x y x x x -=-+． 即2798633y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当73x =时，983y =最大． 比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为73cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为983cm 2． 24. (本小题满分12分)解:（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AOH QCH ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△．OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点．法二：(01)A ，，(01)B -，，OA OB ∴=．又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=．（2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，图1第25题图 图2AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△．AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114PQ m =+． 过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，2114AP m PQ ====+=． ∴平行四边形APQR 为菱形．（3）设直线PR 为y kx b =+，由OH CH =，得22m H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得： 2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 221.4m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线PR 为2124m y x m =-． 设直线PR 与抛物线的公共点为214x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入直线PR 关系式得： 22110424m x x m -+=，21()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线PH 与抛物线214y x =只有一个公共点P ．。

2018年江干区数学小能手竞赛参赛须知：1．本卷满分120分，解答时间120分钟.2．答案请写在答题卷上，写在试题卷上无效，竞赛结束后只要交上答题卷. 3．每个选择题必有而且只有一个选项是正确的，多选无效；解答题必须有解答过程.9年级试题卷一、选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1． 两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为（A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关 2． 设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能 3． 满足不等式3002005<n的最大整数n 等于（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4． 甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍5． 图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6． 如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC =α，则△CDE 与△ABE 的面积比为（A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）7． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□8． 如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 ▲ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）9． 计算：622633++++= ▲ .10． 如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等 于 ▲ .11．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某一天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这一天为止一共已经赛了 ▲ 场，E 队比赛了 ▲ 场. 12．小明所在的生物兴趣小组要去博物馆参观，老师要求沿街道走最短的路线。

初三竞赛数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333（无限循环）B. πC. √2D. 1/32. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 83. 如果一个数的平方等于81，那么这个数是多少？A. 9B. ±9C. 3D. ±34. 一个数列的前四项为1, 1, 2, 3，第5项是多少？A. 5B. 4C. 6D. 75. 下列哪个选项不是二次方程的解法？A. 配方法B. 因式分解法C. 直接开平方法D. 换元法6. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π7. 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数是：A. 一次函数B. 二次函数C. 三次函数D. 指数函数8. 一个数的立方根与这个数的平方根相等，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 49. 一个等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求第10项。

A. 21B. 23C. 27D. 3110. 一个多项式P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求P(2)的值。

A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（每题5分，共30分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是_________。

12. 一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

13. 一个数的平方根是4，这个数是_________。

14. 一个数的立方是-8，这个数是_________。

15. 一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解是_________和_________。

三、解答题（每题15分，共30分）16. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。

17. 求函数y = 2x^2 - 3x + 1在x = 2时的值。

答案一、选择题1. C2. A3. B4. A5. D6. B7. A8. A9. C10. C二、填空题11. 512. 1013. 1614. -215. 2, 3三、解答题16. 证明：由于n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1) =n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1)，可以看出n^5 - n可以分解为四个连续的整数的乘积，而这四个连续的整数中至少有一个是5的倍数，一个是2的倍数，一个是3的倍数，所以n^5 - n能被30整除。