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2018届高中数学必修(人教版)2三垂线定理课件

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高三数学三垂线定理2(PPT)3-1

高三数学三垂线定理2(PPT)3-1

理 也和

aAO
aPO

同上
于它的内部。木星内部存在热源。众所周知，太阳之所以不断放射出大量的光和热，是因为太阳内部时刻进行着核聚变反应，在核聚变过程中释 放出大量的能量。木星是一个巨大的液态氢星球，本身已具备了无法比拟的天然核燃料，加之木星的中心温度已达到了8万K，具备了进行热核反 应所需的高温条件。至于热核反应所需的高压条件，就木星的收缩速度和对太阳放出的能量及携能粒子的吸积特性来看，木星在经过几十亿年的 演化之后，中心压可达到最初核反应时所需的压力水平。木星图像木星图像(张)木星和太阳的成分十分相似，但是却没有像太阳那样燃烧起来， 是因为它的质量太小。木星要成为像太阳那样的恒星，需要将质量增加到如今的8倍才行，根据天文学家的计算，只有质量大于太阳质量的7%， 才能进行聚变反应，发出光和热。一旦木星上爆发了大规模的热核反应，以千奇百怪的旋涡形式运动的木星大气层将充当释放核热能的“发射 器”。所以，有些科学家猜测，再经过几十亿年之后，木星将会改变它的身份，从一颗行星变成一颗名副其实的恒星。[]轶事典故编辑撞击事件 99年月日，美国天文学家尤金·苏梅克和卡罗琳·苏梅克以及天文爱好者戴维·列维，利用美国加州帕洛玛天文台的厘米天文望远镜发现了一颗彗 星，遂以他们的姓氏命名为
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能 运用它解决有关垂直问题
探测器放到了木星上。它发现木星的卫星欧罗巴（Europa）、Ganymede、Callisto的地下有咸水，还发现木星卫星上有剧烈的火山爆发。 “伽利略”号探测器在年年9月日坠毁于木星，以此结束其近年的太空探索生涯。这将是美国宇航局自999年以来首次控制探测器在地球之外的 天体上坠毁。[]朱诺号美国宇航局8年月宣布，已将木星定为下一个探索天空的远朱诺号探测器朱诺号探测器(张)大目标，NASA将在年8月发射 一个新的木星探测器“朱诺”，展开对木星的深入探测，该探测器首先绕地球运行至年，利用地球引力将“朱诺”弹射到外太阳系；预计在年中 期到达木星轨道。此后，“朱诺[]”每年大约绕木星运转圈，探测木星内部的结构情况；测定木星大气成分；研究木星大气对流情况以及探讨木 星磁场起源和磁层，通过它的探测，科学家希望了解木星这颗巨行星的形成、演化和本体内部结构以及木星卫星等。全部任务计划于7年月结束。 []朱诺号于8年月7日上午在第次近距离飞越这颗气态；淘小铺 巨行星时，采用了彩色增强的延时图像序列拍摄。 相关研究对木星的考察表明：木星正在向其宇宙空间释放巨大能量。它所放出的能量是它所获得太阳能量的两倍这说明木星释放能量的一半来自
人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件

人教高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定与性质 -三垂线定理 课件


结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
三垂线定理PPT课件

三垂线定理PPT课件

(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°
D1 A1 ED A
F
C1 B1 G MC B
EB1是EC1在平面AB1 内的射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
是PO在平面 的射影，
a , a ⊥AO，
A Oa
l 平行于 a 。
α
求证： l 垂直于PO
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 三垂线定理是平面 的一条斜线与平面内的 P
数学：《三垂线定理》复习课件(人教a版必修二)

数学：《三垂线定理》复习课件(人教a版必修二)

M A C B
能力拓展：
2、过Rt ∆BPC的直角顶点P作线段PA ⊥平面BPC，求证： ∆ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。 证明：∵H是∆ABC的垂心，连结AH延长交 BC于D，连结BH延长交AC于E，∴AD⊥BC， BE⊥AC，∵AP⊥平面PBC，∴BC⊥PD， AD∩PD=D，∴BC⊥平面ADP，∴BC⊥PH， 又AP⊥面PBC，∴AP⊥PB，由已知BP⊥PC， ∴PB⊥面APC，又BE⊥AC，∴PE⊥AC， ∴AC⊥面PBE，∴PH⊥AC，AC∩BC=C， ∴PH⊥面ABC，∴H是P点在平面ABC的射 影。
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
AC 证明：连结AF， MF 3 CF 6 2, 2 AF 6 2 2
D E
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF， ∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°， ∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三 垂线定理知AE⊥DM
（用
E
D C
B
cos
ABC
SADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。
证明：∵PA ⊥平面ABC， ∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影， ∴BC⊥PC（三垂线定理），∴∆PBC是直 角三角形； ∴BC⊥ 平 面 PAC ， AQ 在 平 面 PAC 内 ， ∴ BC⊥AQ ， 又 PC⊥AQ ， ∴ AQ⊥平 面 PBC ， ∴ QR 是 AR 在平面 PBC 的射影，又AR⊥PB， ∴QR⊥PB（三垂线逆定理），∴ ∆ PQR 是直 角三角形。
高一数学课件研究性教学三垂线定理

高一数学课件研究性教学三垂线定理


C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1
3、已知正方体AC1中，
求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
证明：证明：⑴在正方体 AC1中，AA1⊥面ABCD ∴AA1⊥BD 又BD⊥AC AC∩AA1=A ∴BD ⊥面AA1C
⑵ 由⑴知BD ⊥面AA1C A1C在面AA1C ∴BD⊥A1C
A1
D A
C1 B1
C B
D1
A1
4、在正方体AC1中，AC1在平
面ABCD、BB1C1C内的射
影分别（ AC、B1C ）
D
A 平面 ABCD、BB1C1C 内 的 直线BD、BC1分别 与 对应的斜线是否垂直？与 对应的射影呢？ 垂直
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证： ⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、已知正方体AC1中， 求证：⑴ BD⊥面AA1C
⑵ BD⊥A1C
D1 A1
D A
注意
• 三线：斜线、射影、面内一条直线
关键：⑴ 寻找“垂面” ⑵ 确定“射影” ⑶判别“垂直”
例：
D1
已知：如 图，正方体
高三数学三垂线定理(PPT)2-2

高三数学三垂线定理(PPT)2-2


；泰国试管婴儿/
在球状星团中发现的变星中主要是天琴座RR变星，其余多半是星族Ⅱ造父变星，因此一些球状星团的距离可以被较为精确的计算出来。已发现的一些球状星团在银河系的外面，如NGC2419离银心的距离大于大麦哲伦星云离银心的距离，处于星际空间。在一些距离我们较近的河外星系中也发现有 球状星团。 [2] 是由德国天文学家Abraham Ihle 在1665年发现的。但是，因为早年望远镜 的口径都很小，在梅西尔观察M4之前，球状星团内的恒星都未能被分辨出来。最早被发现的8个球状星团列在表中，随后在Abbé Lacaille于1751-52年的表中列有NGC 104、NGC 4833、M15、M69和NGC 6397。在数字前的 字母M代表梅西尔天体，而NGC 则是Dreyer的星云和星团新总表。 威廉·赫歇尔在1782年进行了一次巡天的观测，他使用的大望远镜能够将当时已知的33个球状星团解析出恒星的影像，此外还发现了37个新的球状星团。在赫协尔于1789年出版的深空天体目录中，他的第二本，首度采用球状星团的字眼来描述这种天体。被发现的球状星团数目越来越多，在 1915年是83个，1930年是93个，1947年是97个。现在，银河系内发现的球状星团总共已有151个，估计总数约为180 ± 20个。另外，尚未被发现的球状星团应该是被隐藏在银河系的气体和尘埃后面了。 在1914年初，哈洛·夏普利开始对球状星团进行系列的研究，发表了约40篇的科学性论文。他观察星团中的造父变星，并利用它们的周-光关系估计距离。在我们银河系内的球状星团，多数被发现在银河核心附近，并且在天球上的位置也大多数躺在银河核心周围的天空中。 在1918年，哈洛·夏普利利用这种强烈的不对称性推测星系的总体大小。他假设球状星团大致分布在银河核心的附近，经由球状星团的位置估计太阳与银河核心的距离。虽然他当时估计的距离有极大的错误，但依然显示出星系的尺度大于早先的认知。他的错误肇因于银河系内的尘埃减少了相 当数量抵达地球的球状星团的光度，因而使距离显得更远。然而，夏普利估计的数值是在相同的数量级内，依然在现在可以接受的数值内。 夏普利的测量同时也指出太阳是在远离银河中心的位置上，反对早先从一般恒星的均匀分布所推导出来的结果。实际上，散布在银河盘面上的一般恒星经常会因为气体和尘埃的遮蔽而变暗，而球状星团分布在银河盘面之外，即使在更远的距离上仍然能被看见。夏普利继续与亨丽埃塔·史涡普 和海伦·Battles·索耶（稍后是霍格）研究球状星团。在1927-29年，夏普利和海伦·索耶开始编辑星团的目录，并以向中心集中的程度做为分类的依据。最集中的群被分类为Ⅰ，然后逐步缩减共整理成ⅩⅡ。这就是现在所知的夏普力-索耶集中度分类法（经常会以数字[Class 1–12]取代罗 马数字）。 这些在球状星团中的恒星与在螺旋星系的球核的恒星相似，但体积却被局限在仅有数立方秒差距之内。它们之中没有气体和尘埃，因为假设在很早以前就都已经凝聚成为恒星了。 由于球状星团是恒星的高密度区，因此被认为是不利于行星系统发展的地区。行星轨道再恒星密集的区域内，因为其他恒星经过时的摄动，使得行星轨道在动力学上是不稳定的。在杜鹃座 47的核心区域，距离恒星1天文单位的行星，大概只能存在108年（数量级）。然而，至少已经有1个环绕 波霎（PSR B1620?26）的行星系统在球状星团M4内被发现。
三垂线定理课件完整

三垂线定理课件完整


D1 A1 A D B1
C1
C E B
做一做
例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC 垂直于AD，求证：AC ⊥BD。 A
证明：
过A作AO⊥平面BCD于O，连 结BO 、DO、CO
∵ AB⊥CD， ∴ OB是AB在平面BCD上的射影
D B O
∴CD⊥BO
同理可得： BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，
பைடு நூலகம்
∴ BD⊥OC， ∵ OC是AC在平面BCD上的射影， ∴ BD⊥AC（三垂线定理）
A1 D1 B1 C1
D B
C
同理得 BD1⊥AB1
∴BD1⊥平面AB1C
1°知识内容： 2°思想方法: 转化的关键: 3°应用步骤:
三垂线定理 “转化”的思想， 找平面的垂线 “一垂二射三证”
4°学会从复杂的环境中找出关键的几条线段，
以及一题多图和一题多证。
1、（2009）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
C
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连 结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，A1B
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD 又：DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵AC⊂平面AC内， A ∴BD1⊥AC 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1
三垂线定理复习课（一）
P
A
C
B
高三数学组
钮锦辉
三垂线定理
平面的一条斜线垂直平面内的一条直线
简记
斜线在平面内的射影 垂直于该直线。
P
P
α
A
O
a
α
A
O
高三数学三垂线定理2(PPT)5-2

高三数学三垂线定理2(PPT)5-2

擦～。②（～儿）某些物体的反面或后部：手～｜刀～儿｜墨透纸～。③（）姓。 【背】①动背部对着（跟“向”相对）：～山面海｜～水作战◇人心向～。
②离开：～井离乡。③动躲避；瞒：光明正大，没什么～人的事。④动背诵：～台词｜书～熟了。⑤违背；违反：～约｜～信弃义。⑥动朝着相反的方向： 他把脸～过去，装着没看见。⑦形偏僻：～静｜～街小巷｜深山小路很～。⑧形不顺利；倒霉：手气～。⑨形听觉不灵：耳朵有点～。 【背不住】?同“备 不住”。 【背称】名不用于当面称呼的称谓，如大伯子、小姑子等。 【背城借一】ī在自己的城下跟敌人决一死战，泛指跟敌人作最后一次的决战。也说背 城一战。 【背城一战】ī背城借一。 【背搭子】?名出门时用来装被褥、什物等的布袋。也作被褡子。 【背道而驰】朝着相反的方向走，比喻方向、目标完 全相反。 【背地里】?名背人的地方；私下：不要在～议论人。也说背地。 【背对背】背靠背。 【背风】动风不能直接吹到：找个～的地方休息一下。 【背旮旯儿】〈方〉名偏僻的角落。 【背光】动光线不能直接照到：那儿～，看书到亮的地方来。 【背后】名①后面：山～。②背地里：有话当面说，不
题的立场，或把某些事项的概况（包括必须注意的名称、数字等）通知对方。②随时记载，帮助记忆的笔记本。 【备选】动准备出来供挑选：多准备几个节
目～。 【备汛】动汛期来临之前，做各种防汛准备工作：沿江各地积极～。 【备用】动准备着供随时使用：～件｜～物资｜留出部分现金～。 【备灾】动 防备灾害：～物资。 【备战】∥动准备战争：～备荒◇～奥运会。 【备至】形极其周到（多指对人的关怀等）：关心～｜爱护～。 【备注】名①表格上为附 加必要的注解说明而留的一栏。②指在这一栏内所加的注解说明。 【背】名①躯干的一部分，部位跟胸和腹相对（图见页“人的身体”）：后～｜～影｜擦
人教高中数学必修二直线、平面垂直的判定与性质 三垂线定理 课件

人教高中数学必修二直线、平面垂直的判定与性质 三垂线定理 课件


怎样的结果？命题一定成立吗?
结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？
解：在道边取一点C，使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D，使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m A
B
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
90°
C
45°
D
人教高中数学必修二直线、平面垂直 的判定 与性质 三垂线定理 课件
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
高二数学最新课件-三垂线(上课用)人教版[原创] 精品

高二数学最新课件-三垂线(上课用)人教版[原创] 精品

A
D
B
C
∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴B’C是斜线BD’在平面AC’上的射影. ∵BC‘⊥B’C
∵B‘C 平面B’C， ∴BD’⊥B’C
4.正方体ABCD-A’B’C’D’
E,F分别是AA’,AB上的点,
A’ E
D’
C’
B’
EC’⊥EF
求证:EF⊥EB’
A
D F B
பைடு நூலகம்
C
证明:∵ABCD-A’B’C’D’是正方体 ∴B’E是斜线EC’在平面A’C上的射影. ∵EC’⊥EF ∵EF 平面AB‘， ∴EF⊥EB’
求证:AM⊥BC. 证明:连接PM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵PB=PC,M是BC的中点
∴PM⊥BC.
∵BC 平面ABC，∴AM⊥BC.
C M B
3.正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)求证:BD’⊥AC
A’
D’ B’
C’
(2)求证:BD’⊥A’C’
1.PA⊥平面ABC，AB=AC,M是BC的中点。
求证:BC⊥PM. 证明:连接AM ∵AP⊥平面ABC， ∴AM为斜线PM在 P
平面ABC上的射影. A ∵AB=AC,M是BC的中点
∴AM⊥BC.
∵BC 平面ABC， ∴BC⊥PM.
C M B
2. PA⊥平面ABC，PB=PC,M是BC的中点。
引例:正方体ABCD-A’B’C’D’
(1)找平面AC的斜线BD’在平面AC上的射影;
(2)BD’与AC的位置关系如何?
(3)BD’与AC所成的角是多少度?
D’ D’ A’ C’ B’
E
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三垂 线定 理的 逆定 理
PA a aAO aPO
【知识梳理】 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证 明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直， 此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面 角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂 线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．
P
M
N
A Q
28
B l D
【典例剖析】 例3.如图，P 是ΔABC所在平面外一点，且PA⊥平面 ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心柱ABC-A1B1C1中，底面ΔABC是直 角三角形，∠ABC=900，2AB=BC=BB1=a，且 A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交 于DE。 （1）A1B1⊥平面BB1C1C；（2）求证：A1C⊥BC1；（ 3）求证：DE⊥平面BB1C1C。
【点击双基】
6．P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若 PABC，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC 的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成 的角为．这两条斜线段在平面内的射影成的角为 (90<180)，那么与的关系是 ( ) (A)< (B)> (C) (D) 8．已知直线l1与平面成30角，直线l2与l1成60角，则 l2与平面所成角的取值范围是 ( ) (A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]
【点击双基】 1．下列命题中，正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行 (C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D)a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是两条相交直 线，则a、b也是相交直线 2．直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1，下列 命题正确的是 ( ) (A)若a1b1，则ab (B)若ab，则a1b1 (C)若a1b1，则a与b不垂直 (D)若ab，则a1与b1不垂 直
9.3-2直线与平面垂直
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能 运用它解决有关垂直问题
【知识梳理】
1．斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也 较长； ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式 如图，已知OB平面于B ，OA是平面的斜线，A为 斜足，直线AC平面，设 OAB=1，又CAB=2， OAC=．那么 cos=cos1cos2．
O
B
A
D

C
【知识梳理】
3．直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角． ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直 线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角； 如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面 所成的角是0的角．
【典例剖析】 例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对 棱也互相垂直． 已知：四面体ABCD中，ABCD，ADBC； 求证：ACBD； A
a b B D C
O
C
【典例剖析】 例2．如图，在三棱锥PABC中，ACB=90， ABC=60，PC平面ABC，AB=8，PC=6，M、N分 别是PA、PB的中点，设△MNC所在平面与△ABC所 在平面交于直线l． (1)判断l与MN的位置关系，并进 行证明； (2)求点M到直线l的距离．
【典例剖析】 例5．如图P是ABC所在平面外一点，PA＝PB，CB 平面PAB，M是PC的中点， N是AB上的点，AN＝3NB （1）求证：MNAB；（2）当APB＝90，AB＝ 2BC＝4时，求MN的长。 （1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
P M
C
A N
B
【知识方法总结】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜 线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足” ，如果“垂足”，定了，那么“垂足”和“斜足”的 连线就是斜线在平面上的射影。
【点击双基】 3．直线a、b在平面外，若a、b在平面内的射影是一个 点和不过此点的一条直线，则a与b是 ( ) (A)异面直线 (B)相交直线 (C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线 4．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点 的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 5．P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的 距离都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内 部，则射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
【知识梳理】 4．三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 字母表示
PA a aPO aAO
应 用 ①证两直线垂 直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角 同 上
三垂 在平面内的一条 线定 直线,如果和这 理 个平面的一条斜
线的射影垂直, 那么它也和这条 斜线垂直. 在平面内的一条 直线,如果和这 个平面的一条斜 线垂直,那么它 也和这条斜线的 射影垂直.