江苏专转本高数 第一节 映射与函数(二)

江苏专转本高等数学考试大纲一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。

（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。

（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。

（4）掌握函数的四则运算与复合运算。

（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（6）了解初等函数的概念。

（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。

（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。

（4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。

（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。

（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。

（2）掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。

（3）掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。

（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

二、一元函数微分学（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

第二章 函数§2.1 函数及其表示考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数表示同一函数．( ×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ×)题组二教材改编2．[P26练习T6]函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5] [1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2， 所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪[0,10] 解析 ∵f (x )是分段函数， ∴f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0， ∴x ≤－2或0≤x <1.当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1， 即x －1≤3，∴1≤x ≤10. 综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10， 即x ∈(－∞，－2]∪[0,10]．第1课时 函数的概念与解析式题型一 函数的概念1．已知A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N *，k ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值． 解 由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1. 由a 4≠10，故a 2＋3a ＝10，解得a ＝2或a ＝－5(舍去)， 所以a 4＝16.于是3k ＋1＝16，所以k ＝5. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1表示同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中判断正确的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确；对于③，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.3．已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． ∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)． 题型二 求函数的解析式例1 (1)设二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式． 解 (1)方法一 由f (3)＝f (－1)，知抛物线y ＝f (x )的对称轴为x ＝1， 故设f (x )＝a (x －1)2＋13(a <0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a ＝－2. 故f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. 方法二 由f (3)＝f (－1)＝5， 可设f (x )－5＝a (x －3)(x ＋1)(a <0)，即f (x )＝a (x 2－2x －3)＋5＝a (x －1)2－4a ＋5， 故－4a ＋5＝13，得a ＝－2，从而f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. (2)令1－x 1＋x ＝t ，因1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1≠－1，故t ≠－1，且x ＝1－t 1＋t.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2， 得f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2(t ≠－1)．于是得f (x )＝2x1＋x2，其定义域是{x |x ≠－1}． 思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．跟踪训练1(1)已知函数f (x )是二次函数，且满足f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝16x 2－4x ＋6，则f (x )＝________. 答案 2x 2－x ＋1解析 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＋a (2x －1)2＋b (2x －1)＋c ＝16x 2－4x ＋6， 可得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＝16，4b ＝－4，2a ＋2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝2x 2－x ＋1.(2)已知f (3x ＋1)＝2x 2－x ＋3，则f (1－x )＝________________. 答案 2x 29＋x3＋3解析 令3x ＋1＝t ，于是x ＝t －13，得f (t )＝2⎝⎛⎭⎪⎫t －132－t －13＋3＝2t 29－7t 9＋329， 所以f (x )＝2x 29－7x 9＋329，所以f (1－x )＝2(1－x )29－7(x －1)9＋329＝2x 29＋x3＋3.题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.答案 2解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝33log 213+⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×3log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＝127×3log 21(3)－＝127×3log 23-＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 已知函数f (x )＝21,0,21,1x c cx x c c x -+<<⎧⎪⎨⎪+<⎩≤满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)因为0<c <1，所以c 2<c . 由f (c 2)＝98，得c 3＋1＝98，所以c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x＋1，12≤x <1.当0<x <12时，由12x ＋1>28＋1，解得24<x <12； 当12≤x <1时，由2－4x＋1>28＋1， 解得12≤x <58.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪24<x <58. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________． 答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．综上，a ＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．1．已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________，从B 到A 的映射个数是________． 答案 8 9解析 依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中都能找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.2．已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个． 答案 9解析 列举法：定义域可能是{1,2}、{－1,2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2,2}、{－1，－2,2}、{－1,1,2}、{－1,1，－2}、{－1,1，－2,2}． 3．(2019·江苏省扬州中学月考)已知函数f (x )＝xx 2＋1，x ∈R ，若f (a )＝14，则f (－a )＝________. 答案 －14解析 因为f (x )＝xx 2＋1，则f (－x )＝－xx 2＋1＝－f (x )，故函数为奇函数， 则f (－a )＝－f (a )＝－14.4．给出下列三个函数：①f (x )＝1－x 2；②f (x )＝log 2x ；③f (x )＝x 2＋1x 2＋x ＋2.其中以实数2为函数值的函数是________．(填序号) 答案 ②解析 逐一验证方程f (x )＝2在其定义域内是否有解． 5．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．答案109解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，14>0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.7．(2019·江苏省海安高级中学月考)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，则f (－2)＝________. 答案 －34解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝－3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，令2＋1x ＝－2，可得x ＝－14，则f (－2)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－34. 8．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案 12x 2－32x ＋2 解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. 9．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________. 答案 6 解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 10．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1(x ≠1) 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．11．已知f (x )＝6x ＋14x －2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112011的值． 解 因为f (x )＝6x ＋14x －2， 则f (1－x )＝6－6x ＋14－4x －2＝7－6x 2－4x ，f (x )＋f (1－x )＝6x ＋14x －2＋7－6x 2－4x ＝12x －64x －2＝3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112011＝3×1005＋72＝60372. 12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2m ，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2，得－72≤x ≤70. 因为x ≥0，所以0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70km/h.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞， 3 ]解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞， 3 ]．14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ； ②f (x )＝2x； ③f (x )＝log 2x ； ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)答案 ①③④解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝12x ≠－2x ，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 21x＝－log 2x ＝－f (x )，满足； 对于④，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上，满足“倒负”变换的函数是①③④.16.如图，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，已知AB ＝2，AD ＝1，设x 表示点P 的行程，y ＝PA ，求y 关于x 的解析式．解 当P 在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤2)；当P 在线段BC 上运动时，y ＝4＋(x －2)2(2<x ≤3)； 当P 在线段CD 上运动时，y ＝1＋(5－x )2(3<x ≤5)； 当P 在线段DA 上运动时，y ＝6－x (5<x ≤6)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤2，4＋(x －2)2，2<x ≤3，1＋(5－x )2，3<x ≤5，6－x ，5<x ≤6.。