人教版高中数学必修2学案：§2.3.3 直线与平面垂直的性质

第二章第三节直线与平面垂直的性质
三维目标
1.探究直线与平面垂直的性质定理;
2.掌握直线与平面垂直的性质定理.
________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1
问题1. 如图所示，侧棱与地面什么关系？
图2.3-5
图2.3-4
问题2. 证明线面垂直的性质定理,并请用符号语言、图形语言表示线面垂直的性质定理
.
问题3. 如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
【学做思2】
1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.
达标检测
*1．在空间，下列哪些命题是正确的（）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同—个平面的两条直线互相平行． A ．仅②不正确 B ．仅①、④正确 C ．仅①正确 D ．四个命题都正确
*2.已知,l αβ⋂=α⊥EA 于点A ,β⊥EB 于点B ,AB a a ⊥⊂,α. 求证:l a //
3. 如图2，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, （1）求证：BD 1⊥平面B 1AC; （2）求B 到平面B 1AC 的距离.
图2。

2. 3.3直线与平面垂直的性质【教学目标】（1）培养学生的几何直观能力和知识的应用能力，使他们在直观感知的基础上进一步学会证明. （2）掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。

（3）掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 【教学重难点】重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。

难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。

【教学过程】 （一） 复习引入师：判断直线和平面垂直的方法有几种？师：各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？师：在空间，过一点，有几条直线与已知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线垂直？ 判断下列命题是否正确：1、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2、 在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。

3、 垂直于同一平面的两直线互相平行。

4、 垂直于同一直线的两平面互相平行。

师：直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过，这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？（二） 创设情景如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？（三）讲解新课例1 已知：a α⊥，b α⊥。

求证：b ∥a师：此问题是在a α⊥，b α⊥的条件下，研究a 和b 是否平行，若从正面去证明b ∥a ，则较困难。

而利用反证法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线b ’的作出,这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试证明,稍后教师指正.生:证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a. 有了上述证明,师生可共同得到结论.:直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线平行.利用三种形式去描述它//.=== // ////= //l l a l A l BA a bB l B cl l a l c l a l c a c a c a b a b A αββαβαγββγβγαγββββαβ⊥⊥∈⊂∈∴⊥∴⊥⊥⊥⊥∴⊄⊂∴∴例2.已知，，求证证明：设，在内过点取两条直线和且与相交，设，同理在平面中：，又，，同理又下列命题中错误的是（C ） A 、 若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。

△POB、△ POC中， ∵PO=PO=P，O AO=BO=C，O∠ POA=∠POB=∠POC， ∴△ POA≌△ POB≌△ POC. ∴PA=PB=PC取. AB 的中点 D, 连接 OD、 PD，则 OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D∴, AB⊥平面 POD. ∵PO 平面 POD∴, PO⊥AB. 同理 , 可证 PO⊥BC. ∵AB α ， BC α ，AB∩BC=B,∴PO⊥ α ，即 l ⊥ α . 若 l 不经过点 O时，可经过点 O作 l ′∥ l. 用上述方法证明 ∴l ⊥ α. 知能训练 如图 10，已知正方体 ABCD—A1 B1C1D1 的棱长为 a, （1）求证： BD1⊥平面 B1AC; （2）求 B到平面 B1AC的距离 .
. 它的定义是以否定形式给
出的，其证明方法多用反证法 .
②如图 3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面
.
图3
③如图 4，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、 BB′、 CC′、 DD′所在直线都垂直于 所在的平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
图4
图5
EA , EB
证明：
l
l EA l EB
又∵ａ α ,EA⊥ α , ∴a⊥EA. 又∵ a⊥AB,∴a⊥平面 EAB.
图7 l ⊥平面 EAB.
∴a∥l.
例 1 如图 8, 已知直线 a⊥b，b⊥ α ， a 求证： a∥ α .
思路 2 α.
图8 证明： 在直线 a 上取一点 A，过 A 作 b′∥ b，则 b′必与 α 相交，设交点为 B，过相交直线 a、b′作平面 β ，设 α ∩ β=a′， ∵b′∥ b，a⊥b, ∴a⊥b′. ∵b⊥ α ，b′∥ b, ∴b′⊥ α . 又∵ a′ α, ∴b′⊥ a′． 由 a，b′， a′都在平面 β 内，且 b′⊥ a，b′⊥ a′知 a∥a′. ∴a∥ α . 例 2 如图 9，已知 PA⊥矩形 ABCD所在平面， M、N 分别是 AB、 PC的中点 . （1）求证： MN⊥CD； （2）若∠ PDA=45°，求证 :MN⊥面 PCD.

2.3.2平面与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情感与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生体会数学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

二、教学重点、难点。

重点：二面角，二面角的平面角，平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小，平面与平面垂直判定定理的应用；
三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：（1）教师：长方形硬纸片，长方体模型，投影仪和多媒体；（2）学生：
长方体硬纸片
四、教学设计
1、二面角的定义及相关概念
(如图2.3-6)
设计意图：利用平面角的大小求二面角的大小
变式训练：
反馈练习：。