2821解直角三角形23课件
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第23章：解直角三角形知识点强化记忆页数:8
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《28.2.1解直角三角形》PPT课件(西 藏市级优课)
a
┌
A
bC
（2）已知一条边和一个锐角
1.已知a,b.解直角三角形(即求：∠A，∠B及C边)
2. 已知∠A，a.解直角三角形
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数
1. 在Rt△ABC中，3 ∠C=90°，AB=5，AC=4， 则sinA的值为_____5 __．
解直角三角形的依据
1、三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）；
锐角之间的关系 ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
边角之间的关系（锐角三角函数）
sinA ＝ a
c
cosA＝
b c
Ａ
tanA＝
a b
Ｂ
c a
bＣ
2、30°，45°，60°的三角函数值
sina cosa tana
30°
1 2
3 2
3 3
45° 60°
题型3 解斜三角形
1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8， 求△ABC的面积（结果可保留根号）．
解：过C作CD⊥AB于D， 设CD=x．在Rt△ACD中，tan60°=
∴AD= 3 x．
3
在Rt△BCD中，BD=CD=x．
∴ 3 x+x=8． 3 解得x=4（3- 3）．
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b，
28.2.1解直角三角形
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系CaBFra biblioteksin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠BAC的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
A
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2 6
CAD 30
43
因为AD平分∠BAC
C
D
B
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
补充练习
2．(2010·广东)如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD＝4， cosB＝45，则 AC＝________.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形；
（1）a = 30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72°，c = 14. B
(3) ∠B＝30°，a = 7 . 解：（1）根据勾股定理
c a=30
C a2 b2 302 202 10 13 ∵ tan A a 30 3 1.5
c
c=14
b
∴ b c sin B 14sin 72 13.3148 B a C
人教版九年级数学下册《28-2-1 解直角三角形》教学课件PPT初三公开课
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cos A 1 ， 3
BC = 5， 试求AB的长.
解：∵C 90，cos A 1 ， ∴
3
AC 1 . AB 3
B
设 AB x, AC 1 x ∵AB2 AC2 BC2
3
∴ x2
1 3
2 x
52.
C
A
∴
x1
15 4
2
, x2
15 4
2（舍去）.
c
∴ a c cos B 14cos 72 4.33.
A
c=14 b B aC
A 90 72 18.
课堂检测
能力提升 题
如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
分析：作CD⊥AB于点D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长， 从而求解．
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗? 不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出
你发现了
这个三角形的其他元素吗? 不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的 一边
其他元素吗?
∠B
AC
BC
两边
A
tan B b ,
a
b
20
a tan B tan 35 28.6.
c
b
35°
20
C
a
B
sin
B b , c
c
b sin B
20 sin 35
34.9.
23.2.1解直角三角形
23.2
解直角三角形及其应用
第1课时
解直角三角形
课前预习
课堂合作
当堂检测
1.在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫 做 解直角三角形. 2.在△ABC 中,∠C=90° ,已知 c=8 3,∠A=60° ,求∠B,a,b.
解:∠B=90° -∠A=90° -60° =30° , a=c·sin A=8 3·sin 60° =12, b=c·sin B=8 3·sin 30° =4 3.
1 2
3 2
2答案16来自关闭所以 BC=4 cm.
解析
答案
12
课前预习 1 2
课堂合作 3 4 5
当堂检测 6
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,若 AC=2BC,则 sin A 的值是( A. C.
1 2 5 5
)
B.2 D.
5 2
关闭
根据题意,已知 AC=2BC,结合勾股定理,可得到三角形的三边之比为 1∶ 2∶5,
当堂检测
1.解简单的直角三角形 【例 1】 如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB,垂足为 D,若 ∠B=30° ,CD=6,求 AB 的长.
分析:解 Rt△CDB,求出 CB 的长,再解 Rt△ACB,求出 AB 的长.
解:在 Rt△CDB 中,CB= 在 Rt△ACB 中,AB=
������������ sin������
=
6 =12. sin30°
������������ cos������
=
12 =8 cos30°
3.
4
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
本图形是解直角三角形常见的图形,方法很多,要灵活运用不同的方法.如本 题可以解 Rt△CDB,求出 DB,再解 Rt△ACD,求出 AD 的值.
解直角三角形及其应用
第1课时
解直角三角形
课前预习
课堂合作
当堂检测
1.在直角三角形中,除直角外,由已知元素求出未知元素的过程,叫 做 解直角三角形. 2.在△ABC 中,∠C=90° ,已知 c=8 3,∠A=60° ,求∠B,a,b.
解:∠B=90° -∠A=90° -60° =30° , a=c·sin A=8 3·sin 60° =12, b=c·sin B=8 3·sin 30° =4 3.
1 2
3 2
2答案16来自关闭所以 BC=4 cm.
解析
答案
12
课前预习 1 2
课堂合作 3 4 5
当堂检测 6
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,若 AC=2BC,则 sin A 的值是( A. C.
1 2 5 5
)
B.2 D.
5 2
关闭
根据题意,已知 AC=2BC,结合勾股定理,可得到三角形的三边之比为 1∶ 2∶5,
当堂检测
1.解简单的直角三角形 【例 1】 如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB,垂足为 D,若 ∠B=30° ,CD=6,求 AB 的长.
分析:解 Rt△CDB,求出 CB 的长,再解 Rt△ACB,求出 AB 的长.
解:在 Rt△CDB 中,CB= 在 Rt△ACB 中,AB=
������������ sin������
=
6 =12. sin30°
������������ cos������
=
12 =8 cos30°
3.
4
课前预习 1 2
课堂合作 课堂合作
当堂检测
本图形是解直角三角形常见的图形,方法很多,要灵活运用不同的方法.如本 题可以解 Rt△CDB,求出 DB,再解 Rt△ACD,求出 AD 的值.
《28.2.1解直角三角形》教学课件(共12张PPT)
Ｂ
Ｂ
c 45°
6a
c 30° a
Ａ
bＣ
Ａ
bＣ
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，
BA的C 平分线AD=4 3，解此直角三角形。
A
30 60
12
6
43
60
30
C
D
B
63
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根
号）？
义务教育教科书（人教版）九年级数学下册
一、真空。
角α
三角函数
sinα
cosα
tanα
30°
1 2
3 2
3Байду номын сангаас
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3 2
1 2
3
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何 关系？
有三条边和三个角，其中有一个角为直角
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
观测点
北
60º
A
？
30海里
C
被B 观测点
这个问题归结为:
在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的 长
在直角三角形中,由已知元素求未知
元素的过程,叫 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c
(3)边角之间的关系: a
Ｂ
(3)边角之间的关系:
23.2.1+解直角三角形课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
cos
∠ ABC ＝ ＝ ， BC ＝8，
∴ AB ＝10，∴ AC ＝ − ＝ − ＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. [2024·西安月考]如图，在△ ABD 中， AC ⊥ BD ， BC ＝
8， CD ＝4， cos ∠ ABC ＝ ， BF 为 AD 边上的中线.
∴∠ B ＝60°， a ＝ c ＝ ×2 ＝ .
∵ sin B ＝ ，∴ b ＝ c sin B ＝2 ×
1
2
3
4
5Байду номын сангаас
6
7
8
9
10
11
＝3.
12
13
14
5. 【教材改编题】在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°.
(2)已知 a ＝5 ，∠ A ＝45°，求∠ B ， b ， c .
6
7
8
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10
11
12
13
14
12. 【易错题】在△ ABC 中， AB ＝10， AC ＝2 ，∠ B ＝
15 或10
30°，则△ ABC 的面积为
.
易错点睛：未给出具体三角形，易忽略三角形的高在外部的
情况导致出错.
1
2
3
4
5
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13.
如图， AD 是△ ABC 的中线，tan B ＝ ，
∠ ABC ＝ ＝ ， BC ＝8，
∴ AB ＝10，∴ AC ＝ − ＝ − ＝6.
1
2
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14. [2024·西安月考]如图，在△ ABD 中， AC ⊥ BD ， BC ＝
8， CD ＝4， cos ∠ ABC ＝ ， BF 为 AD 边上的中线.
∴∠ B ＝60°， a ＝ c ＝ ×2 ＝ .
∵ sin B ＝ ，∴ b ＝ c sin B ＝2 ×
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5Байду номын сангаас
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＝3.
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5. 【教材改编题】在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°.
(2)已知 a ＝5 ，∠ A ＝45°，求∠ B ， b ， c .
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12. 【易错题】在△ ABC 中， AB ＝10， AC ＝2 ，∠ B ＝
15 或10
30°，则△ ABC 的面积为
.
易错点睛：未给出具体三角形，易忽略三角形的高在外部的
情况导致出错.
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13.
如图， AD 是△ ABC 的中线，tan B ＝ ，
23.解直角三角形PPT课件(沪科版)(156张)
(1) 三边之间的关系:a2+b2=___c_2_； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=__9_0_°_； ABc a来自bCa
b
(3)边角之间的关系：sinA=___c__，cosA=___c__，
a
tanA=____b_.
新知探究 一 已知两边解直角三角形
例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6 ，
A c=14 b B aC
新知探究
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理）A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
∴AC=BC·cosC= 2√3 ∴△ABC的周长是6+2√3 .
c a=30
A b=20 C
新知探究
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14.
解：∵sin B b c
∴b c sin B 14sin 72 13.3
∵cos B a c
∴a c cos B 14 cos 72 4.34
∴A 90 72 18
A．
1 3
B．
1 2
C．
2 2
D．3
随堂小测
2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上， 且△ABD是等边三角形.若AB=2，求△ABC的周长.（结 果保留根号）
2821解直角三角形(第23课时)PPT课件
cosB= 斜边
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
A 的对边 a
tanA= A 的邻边
=
b
B 的对边 b
tanB=
B 的邻边
=
a
例3： 2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与
“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接， “神舟”
九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的
圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它 距离灯塔P大约130.23海里．
（2014•呼和浩特）如图，一艘海轮位于灯 塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里 的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处， 这时，海轮所在
的B处距离灯塔P有多 远？（结果用非特殊
例1. 如图，一艘海轮位
于灯塔P的北偏东65°方 向，距离灯塔80海里的A
65° A
处，它沿正南方向航行
P
C
一段时间后，到达位于
灯塔P的南偏东34°方向
34°
上的B处，这时，海轮所
在的B处距离灯塔P有多
B
远？ （精确到0.01海里）
【方位角】
指南或指北的方向线与目标方向线构成小
于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
答：棋杆的高度为15.2m.
练习2：如图， 在上海黄埔江东岸，矗立着亚 洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄 埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退 400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔底C 与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．
D
A
23.2.1解直角三角形课件
气 质 小 男 人$ | 温 柔小 女人$∝ 喜欢是 浅\浅\的 爱 | ∝ 爱是深 深的喜欢哈哈，陪你
23.2 解直角三角形
东至县胜利中学 黎曙平
Ｂ 1.特殊角三角函数
30º
45º
60º
c
sinA
a
cosA
tanA
2.直角三角形中的边角关系
Ａ
bＣ
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(1)根据∠A= 35°,边BC=4, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
(2)根据两条直角边AC=6m,BC=4m,
A
ห้องสมุดไป่ตู้
C 你能求出这个三角形的其他元素吗?
三角形有六个元素,分 别是三条边和三个角.
(3)根据∠A=30°,∠B=60°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如 果知道两个元素, (其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫 解直角三角形
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系:
sinA＝ a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
c a
Ａ
bＣ
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6', c=287.4, 解这个直角三角形。
再 失 去 丶 █梨花 香 | █落 得满地 伤◆◇ ヽ日日 光倾城 。 | ◆ ◇ヽ也 未必温 暖。 ◇ ヽ 等 不 起。 | ◆ ◇ヽ 伤不起 。‘清 茶的香 气 | 蜜茶 的滋味 ’我是 你阿爸 | 我是 阿 妈 告 诉 我你想 我了ら | 告诉 我你爱 着我ら 述说、 我给你 讲的故事 | 倾听、你给 讲 的 情 话 金立先 生っ | 朵 唯小 姐っ想 念你的 黑夜丶 | 想念你 的白天丶为你笑、为 哭 | 为 你 down、 为你hih听 つ我 心跳゜ | 吻つ 我眉梢 ゜美女 来一下 。 | 帅 哥你来 。 づ 、 ｄ a爷 | хιaο妞 、 づ∞该 执 着的 没执着 | ∞应 放 下的放 不下喂 ﹏我可 以喜欢 么 。 | 嗯 ﹏我允 许你喜 欢我、 ↗沉默?那 些伤 | 不要 再ˇ沉默 ↖√嫩公 知足 | 嫩婆满
23.2 解直角三角形
东至县胜利中学 黎曙平
Ｂ 1.特殊角三角函数
30º
45º
60º
c
sinA
a
cosA
tanA
2.直角三角形中的边角关系
Ａ
bＣ
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(1)根据∠A= 35°,边BC=4, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
(2)根据两条直角边AC=6m,BC=4m,
A
ห้องสมุดไป่ตู้
C 你能求出这个三角形的其他元素吗?
三角形有六个元素,分 别是三条边和三个角.
(3)根据∠A=30°,∠B=60°, 你能求出这个三角形的其他元素吗?
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如 果知道两个元素, (其中至少有一个是边),
就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫 解直角三角形
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系:
sinA＝ a c
tanA＝
a b
cosA＝
b c
c a
Ａ
bＣ
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=42°6', c=287.4, 解这个直角三角形。
再 失 去 丶 █梨花 香 | █落 得满地 伤◆◇ ヽ日日 光倾城 。 | ◆ ◇ヽ也 未必温 暖。 ◇ ヽ 等 不 起。 | ◆ ◇ヽ 伤不起 。‘清 茶的香 气 | 蜜茶 的滋味 ’我是 你阿爸 | 我是 阿 妈 告 诉 我你想 我了ら | 告诉 我你爱 着我ら 述说、 我给你 讲的故事 | 倾听、你给 讲 的 情 话 金立先 生っ | 朵 唯小 姐っ想 念你的 黑夜丶 | 想念你 的白天丶为你笑、为 哭 | 为 你 down、 为你hih听 つ我 心跳゜ | 吻つ 我眉梢 ゜美女 来一下 。 | 帅 哥你来 。 づ 、 ｄ a爷 | хιaο妞 、 づ∞该 执 着的 没执着 | ∞应 放 下的放 不下喂 ﹏我可 以喜欢 么 。 | 嗯 ﹏我允 许你喜 欢我、 ↗沉默?那 些伤 | 不要 再ˇ沉默 ↖√嫩公 知足 | 嫩婆满
第23章解直角三角形期末复习PPT课件(沪科版)
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F， C
求sin∠BCF的值.
E A
B F
D
解：(1)在Rt△CDE中，
∵
cos∠D
=
DE CD
DE=30，
cos∠D
=
3 5
∴
30 CD
=
3 5
C
∴CD=50
E A
∵B点是CD的中点，
B F
∴BE=
1 2
CD
=25
D
∴AB=BE－AE=25－8.3 =18.7 (海里) ．
例4 如图，已知斜坡 AB长为80米，坡角为30°，
现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修
建一个平行于水平线 CA的平台 DE 和一条新的斜坡
BE.若修建的斜坡 BE的坡角为45°，求平台 DE 的长.
解： ∵修建的斜坡 BE的坡角为45°，
∴ ∠BEF=45°.
∵ ∠DAC=∠BDF=30°， AD=BD=40米，
A
D 54°
30
EC B
解：过D点作DF⊥AB，交AB于点F． A 在Rt△ECD中，CD=6，∠ECD=30°，
∴DE=3=FB， EC= 3 3
∴DF=CB＋EC =8＋3 3 ．
D 54°
在Rt△ADF中，tan∠ADF=
AF DF
，3E0°
C
F B
∴AF=DF×tan54°．
∴AF= (8＋3 3 )×1.38 ≈18.20．
∠ACD=23.5°，则山峰AD的高度为 480 米.
(参考数据:sin23.5°≈0.40,cos23.5°=0.92,tan23.5°=0.43)
A B
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2821解直角三角形23课件
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理） (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
(3)边角之间的关系:
B
sinA a,cosA b,tanA a
c
c
b
sinB b,cosB a,tanB b
c
c
a
ca A bC
P74例3： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船
解得x=6 AF6x6310.4
10.4 > 8没有触礁危险
(2014年河南) 在中俄“海上联合—2014”反潜 演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位 于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇 C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开 海平面的下潜深度.
C D AtD an 12 t0 a6n 0
αD Aβ
12031203
B C B D C D 40 3 12 30
C
160327.17
答：这栋楼高约为277.1m
练习：
两个建筑物AB和CD的水平距离是72m,从其中一个建 筑物的顶点A测得另一个建筑物的顶点C的俯角是30º, 底D的俯角是45º求这两个建筑物的高.
65° A
≈80×0.91
P C
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
34°
sinB PC PB
B
P B s P iB n C s7 i3 .8 n 2 4 0 7 .5 .8 2 5 1 9.3 20 3
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它 距离灯塔P大约130.23海里．
练习1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B A
A
60°
B 12
30°
DF
解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F， 垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x
AF AD2 DF 2
2x2 x2 3x
A 60°
在Rt△ABF中，
B
DF
tanABF AF tan 30 3x 30°
BF
12 x
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
仰角
分析：我们知道，在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
αD Aβ
水平线
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
俯角
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
taanBD ,tanCD
AD AD
B D AtD a a n 1 2 ta 3 0 n 0
B
120 3 40 3 3
如图，⊙O表示地球，点F是 飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最 远点，弧PQ的长就是地面上P、 Q两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ（即a）
F
P Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
cos a OQ 6400 0.95 OF 6400 350
A
300 450
E
C
D
B
72m
练习：
如图，在地平面上一点A测得塔尖C的仰角为45º,向前 进100米，在B处又测得塔尖C的仰角为60º，求塔高CD。
C
A 45
60Байду номын сангаас
B
D
例5. 如图，一艘海轮位
于灯塔P的北偏东65°方 向，距离灯塔80海里的A
65° A
处，它沿正南方向航行
P
C
一段时间后，到达位于
灯塔P的南偏东34°方向
的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到
B
0.1m,tan540≈1.38）
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
54°45°
tanADC AC
D 40m
C
A CD DC C t a An DC
ta n 5 4 4 0 1 .3 8 4 0 5 5 .2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面
350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球 表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地 球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是 多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能最 远直接看到的地球上的 点，应是视线与地球相 切时的切点．
AB 140°
C
E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
cos BDE DE
50°
BD
D EBD c o Bs DE D
cos 50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
例6.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
答：棋杆的高度为15.2m.
练习2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度， 要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取 ∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点
E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线 上，则 ∠ABD是 △BDE 的一 个外角
34°
上的B处，这时，海轮所
在的B处距离灯塔P有多
B
远？ （精确到0.01海里）
【方位角】
指南或指北的方向线与目标方向线构成小
于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25°
a 18
∴ 弧PQ的长为
F
P Q
α O·
18 6400 3.14 640 2009.6
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的 最远点距离P点约2009.6km
介绍: 仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理） (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
(3)边角之间的关系:
B
sinA a,cosA b,tanA a
c
c
b
sinB b,cosB a,tanB b
c
c
a
ca A bC
P74例3： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船
解得x=6 AF6x6310.4
10.4 > 8没有触礁危险
(2014年河南) 在中俄“海上联合—2014”反潜 演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300．位 于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇 C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开 海平面的下潜深度.
C D AtD an 12 t0 a6n 0
αD Aβ
12031203
B C B D C D 40 3 12 30
C
160327.17
答：这栋楼高约为277.1m
练习：
两个建筑物AB和CD的水平距离是72m,从其中一个建 筑物的顶点A测得另一个建筑物的顶点C的俯角是30º, 底D的俯角是45º求这两个建筑物的高.
65° A
≈80×0.91
P C
=72.8
在Rt△BPC中，∠B＝34°
34°
sinB PC PB
B
P B s P iB n C s7 i3 .8 n 2 4 0 7 .5 .8 2 5 1 9.3 20 3
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它 距离灯塔P大约130.23海里．
练习1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B A
A
60°
B 12
30°
DF
解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F， 垂足为F，∠AFD=90°
由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x
AF AD2 DF 2
2x2 x2 3x
A 60°
在Rt△ABF中，
B
DF
tanABF AF tan 30 3x 30°
BF
12 x
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
仰角
分析：我们知道，在视线与水平线所
B
成的角中视线在水平线上方的是仰角，
视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
αD Aβ
水平线
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
俯角
所以利用解直角三角形的知识求出
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
taanBD ,tanCD
AD AD
B D AtD a a n 1 2 ta 3 0 n 0
B
120 3 40 3 3
如图，⊙O表示地球，点F是 飞船的位置，FQ是⊙O的切线， 切点Q是从飞船观测地球时的最 远点，弧PQ的长就是地面上P、 Q两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ（即a）
F
P Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
cos a OQ 6400 0.95 OF 6400 350
A
300 450
E
C
D
B
72m
练习：
如图，在地平面上一点A测得塔尖C的仰角为45º,向前 进100米，在B处又测得塔尖C的仰角为60º，求塔高CD。
C
A 45
60Байду номын сангаас
B
D
例5. 如图，一艘海轮位
于灯塔P的北偏东65°方 向，距离灯塔80海里的A
65° A
处，它沿正南方向航行
P
C
一段时间后，到达位于
灯塔P的南偏东34°方向
的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到
B
0.1m,tan540≈1.38）
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
54°45°
tanADC AC
D 40m
C
A CD DC C t a An DC
ta n 5 4 4 0 1 .3 8 4 0 5 5 .2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面
350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球 表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地 球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是 多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
分析：从飞船上能最 远直接看到的地球上的 点，应是视线与地球相 切时的切点．
AB 140°
C
E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
cos BDE DE
50°
BD
D EBD c o Bs DE D
cos 50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
例6.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
答：棋杆的高度为15.2m.
练习2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度， 要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取 ∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点
E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线 上，则 ∠ABD是 △BDE 的一 个外角
34°
上的B处，这时，海轮所
在的B处距离灯塔P有多
B
远？ （精确到0.01海里）
【方位角】
指南或指北的方向线与目标方向线构成小
于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25°
a 18
∴ 弧PQ的长为
F
P Q
α O·
18 6400 3.14 640 2009.6
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的 最远点距离P点约2009.6km
介绍: 仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅