下载文档原格式
11.2三角形全等的判定ABC DEF（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DEAC DF BC EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。
例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。
求证：△ABC ≌△DCB 。
A BCD分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。
证明：在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
“ASA ”。
表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。
例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。
ABEFCD分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。
事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等） 又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，()()()B C BF CE AFB CED ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已证已证已证∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）角边”或“AAS ”。
全等三角形知识要点② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3． 请填空1） 全等形的概念两个______________的图形叫全等形。
2） 全等形的性质全等图形的________和__________都相同。
3) 全等三角形的判定____________________________________________________ 4)角平分线的性质角平分线的性质：___________________________ 5)角平分线的判定角平分线的判定的判定定理：_________________________________________ 6)三角形角平分线的性质三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
题型汇总一、填空题（3分×10=30分） 题型：边角边证明三角形全等 1.如图（1），△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC ，则__________≌__________．2.如图4，已知AB=BE ，BC=BD ，∠1=∠2，那么图中 ≌ ，AC= ，∠ABC= .3、如图，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠C AE ，AC=AE ，求证：CB=ED4、已知：如图，AB ＝CD ，AB ∥DC． 求证：，AD∥BC ， AD ＝BCAB CDE5、如图，D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠ADE=∠AED ，求证：AB=AC 。
6、如图，已知AB=AD ，且AC 平分∠BAD ，求证：BC=DC题型：角角边证明三角形全等 1．如图（3），若∠1=∠2，∠C =∠D ，则△ADB ≌__________，理由______________________．2．如图（5），AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交BD 于P ，则PD __________PE （填“<”或“>”或“=”）．AB C D题型：角边角证明三角形全等1．如图（4），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________ 三角形．2．（5分）已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求证：CF=DE．题型：边边边证明三角形全等1．如图（6），△ABC中，AB=AC，现利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线AD应是____________________________．题型：角平分线的应用1、如图，在△AB C中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离为___________。
全等三角形证明判定方法分类归纳一、直接证明法直接证明法是指通过对已知条件进行计算和推理，直接得出两个三角形全等的结论。
常用的直接证明法有以下几种：1.SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SSS判定法可知，只需要证明∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE即可。
这个可以通过角的和为180°进行计算和推理得到。
2.SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两个边分别相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SAS判定法可知，只需要证明BC=EF即可。
这个可以通过边与角关系进行计算和推理得到。
3.ASA判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角的夹边相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过ASA判定法可知，只需要证明AB=DE即可。
这个可以通过角与角关系进行计算和推理得到。
二、间接证明法间接证明法是指通过假设两个三角形不全等，然后推出与已知条件矛盾的结论，从而得出两个三角形全等的结论。
常用的间接证明法有以下几种：1.矛盾法假设三角形ABC和DEF不全等，然后通过对已知条件进行计算和推理，得出一个与已知条件矛盾的结论，进而推出两个三角形全等的结论。
2.割取法假设三角形ABC和DEF不全等，然后取一个边分别作其平行线或垂线，进而构造出等腰三角形或等边三角形，从而推出两个三角形全等的结论。
三、利用全等条件证明法利用全等条件证明法是指在已知两个三角形之间有一个或多个角、边、角边相等的关系时，可以根据全等条件推出两个三角形全等的结论。
11．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ， 求证：CAD BAE ∠=∠2．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（2）AB//DE ，BC//EF3．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥（2）BD 平分∠1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是 A 、①④ B 、①② C 、②③ D 、③④ 2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B 以及C和D分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ）A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BEB 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BDC 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若AE 与BC 的关系DF AFD 第4第5题图2是 ．7．如图，A B C ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠B A C C E A B B 则,45,30,40=DAC． 8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则A B E ∆ACD ∆，所以=∠AEB，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A、互余与F C ∠∠B 、互补与FC ∠∠C、互余与E A ∠∠D 、互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cmCD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ）A 、7cmB 、5cmC 、8cmD 、无法确定2．如图，A B C ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一） ︒38 C 、︒1103．如图，A B C ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，A B E ∆≌ACD ∆，D第7题图 第8题图 第9题题图ADE3︒=∠︒=∠25,100B A ，求B DC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠FE5全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
全等三角形证明判定方式分类总结全等三角形是指具有完全相同形状和大小的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否全等是一种重要而基础的推理方法。
全等三角形的证明判定方式主要有三种：SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。
接下来我将分别介绍这三种定理的内容及具体应用。
1.SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
SSS全等定理的证明方法主要是通过边的长度作为条件来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的三条边的长度分别相等时，可以直接通过SSS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的三边分别等于3cm、4cm、5cm时，即可判定这两个三角形全等。
2.SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等，则这两个三角形全等。
SAS全等定理的证明方法主要是通过一条边、夹角和另一条边的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个夹角和两条边分别相等时，可以直接通过SAS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个夹角为60度，两个边分别等于4cm和6cm时，即可判定这两个三角形全等。
3.ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等，则这两个三角形全等。
ASA全等定理的证明方法主要是通过一条角、边和另一条角的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个角和两条边分别相等时，可以直接通过ASA全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个角为30度，两个边分别等于5cm和7cm时，即可判定这两个三角形全等。
全等三角形证明判定方法分类总结汇总第一类：SSS判定法（边边边判定法）SSS判定法是指通过边长的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的三条边长度分别相等时，可以推断这两个三角形全等。
这是最常用的全等三角形的证明方法。
第二类：SAS判定法（边角边判定法）SAS判定法是指通过边长的相等和两边夹角的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两条边长度分别相等，且这两边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。
第三类：ASA判定法（角边角判定法）ASA判定法是指通过角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。
第四类：AAS判定法（角角边判定法）AAS判定法是指通过两个角度的相等和一边的相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的两个角度分别相等，且这两个角度之间的一边的长度相等时，可以推断这两个三角形全等。
第五类：HL判定法（斜边高判定法）HL判定法是指通过边长的相等和一条边上的高线相等来判定两个三角形全等。
当两个三角形的一条边和这条边上的垂线长度分别相等，且这条边夹角相等时，可以推断这两个三角形全等。
第六类：SSA判定法（边边角判定法）SSA判定法是指通过两个边长的相等和这两个边之间的夹角相等来判定两个三角形全等。
但应注意，当只知道两个边的长度和它们之间的夹角时，并不能推断这两个三角形全等。
需要注意的是，以上列举的全等三角形证明判定法是充分条件而不是必要条件。
如果满足了一些判定条件，则可以推断两个三角形全等，但如果不满足判定条件，则并不能推断两个三角形不全等。
因此，在证明中还需要注意辅助线的使用和合理的推理过程。
除了上述分类的判定法，还可以根据题目给出的条件和限制灵活运用相关的定理和性质进行推理。
例如，利用平行线的性质、欧几里得几何的基本定理等进行推理。
综上所述，全等三角形的证明判定方法主要包括SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法、HL判定法和SSA判定法。
全等三角形的判定一、5种判定方法1、SSS（边边边）2、SAS（边角边）3、ASA（角边角）4、AAS（角角边）5、HL（直角三角形专用）二、注意事项【思考】①要证明两个三角形全等，条件中必须要有“边”吗？至少要有几条边？②要证明两个三角形全等，条件中必须要有“角”吗？至少要有几个角？③使用“两边一角”证明两个三角形全等时，对“角”有什么特殊要求？④使用“两角一边”证明两个三角形全等时，对“边”有什么特殊要求？⑤证明两个直角三角形全等，只能使用“HL”来判断吗？1、判定两个三角形是否全等，必须要有边！2、用“两边一角”来判定三角形全等，必须是夹角！3、虽然直角三角形可以用“HL”来判断（也应该优先考虑），但不意味着只能用“HL”来判断，直角三角形虽然是特殊三角形，但是本质上依然是三角形，所以适用于所有三角形的前面4种方法依然适用于直角三角形！三、如何由已知条件寻找所需条件已知条件可判定方法寻找条件两边对应相等(SS)SSS或SAS第三边或两边的夹角对应相等角的另一边对应相等或边的另一邻角对一边及其邻角对应相等(SA)SAS、ASA、AAS应相等或边的对角相等一边及其对角对应相等(SA)AAS另一个角对应相等两角对应相等(AA)ASA、AAS两角的夹边或其中一角的对边对应相等四、隐含条件1、对顶角一定是对应角；2、公共角一定是对应角；3、直角一定是对应角；4、公共边一定是对应边.真题精炼1、（17-18学年汇文月考）如图，沿直线AD折叠，△ACD与△ABD重合，若∠B=58°，则∠CAD=度．2、（17-18学年求真月考）如图所示，由∠D=∠C，∠BAD=∠ABC推得△ABD≌△BAC，所用的判定定理的简称是（）A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS3、（17-18学年汇文月考）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件．4、（17-18学年南师江宁月考）如图，12∠=∠，要使ABD△，需添加的一个条件△≌ACD是__________（只添一个条件即可）．5、（17-18学年汇文月考）如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BE=CF，AF=DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．6、（17-18学年鼓楼区期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，要用SAS证明△ABC≌△DEF，可以添加的条件是（）A.∠A＝∠D B．AC∥DF C．BE＝CF D．AC＝DF7、（17-18学年求真月考）如图，已知AB=AC，AD=AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（）A．BD=CE B．∠ABD=∠ACEC．∠BAD=∠CAE D．∠BAC=∠DAE8、（17-18学年汇文月考）下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边9、（17-18学年栖霞区期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8，D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°10、（16-17学年钟英期末）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个11、（17-18学年南师江宁月考）在下列各组条件中，不能说明ABC △≌DEF △的是（）．A ．AB DE =，B E ∠=∠，C F ∠=∠B ．AC DF =，BC EF =，AD ∠=∠C ．AB DE =，A D ∠=∠，B E∠=∠D ．AB DE =，BC EF =，AC DF=12、（16-17学年致远期中）如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第__________块去配，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是__________．可以用字母简写）13、（17-18学年溧水区期末）如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL14、（17-18学年南师江宁月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出A O B AOB '''∠=∠的依据是（）．A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS15、（17-18学年汇文月考）如图，点A 、E 、F 、D 在同一直线上，若AB ∥CD ，AB =CD ，AE =FD ，则图中的全等三角形有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对16、（17-18学年联合体期末）如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（）A、1组B、2组C、3组D、4组17、（16-17学年南外期中）以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个18、（17-18学年汇文月考）如图，在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC 交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是；（填序号）19、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE 的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm20、（17-18学年栖霞区期中）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：①AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1；②AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠D =∠D 1；③AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1，∠D =∠D 1；④AB =A 1B 1，CD =C 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1．其中能判定四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1全等有（）个A ．1B ．2C ．3D ．421、（17-18学年求真月考）如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为4，则BE =（）A ．1B ．2C ．3D ．4AB C DA 1B 1C 1D122、（16-17学年致远期中）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．求证：ABC △≌ADE △．23、（17-18学年南师新城月考）已知：如图，AC =AE ，∠1=∠2，AB =AD ．求证：BC =DE ．24、（17-18学年建邺区期中）如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD ．求证BC ＝AD ．25、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ．（2）求证：AF 平分∠BAC ．BCDA26、（17-18学年汇文月考）（阅读理解题）如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC．（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；（2）小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD，再证明△ADB≌△AEC 得到AB=AC，然后利用等式的性质得到BE=CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；（3）要得到BE=CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．27、（16-17学年南外期中）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，BC B C ''=，B B '∠=，C C '∠=∠，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．下列四个条件：①A A '∠=∠；②D D '∠=∠；③''AD A D =；④CD C D ''=（1）其中，符合要求的条件是__________．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．全等三角形的判定真题精炼【答案】1、（17-18学年汇文月考）如图，沿直线AD 折叠，△ACD 与△ABD 重合，若∠B =58°，则∠CAD =32度．【解析】解：由题意得：∠B =∠C ，∠ADB =∠ADC =90°，∴∠CAD =90°﹣∠C =32°．故答案为：32．2、（17-18学年求真月考）如图所示，由∠D =∠C ，∠BAD =∠ABC 推得△ABD ≌△BAC ，所用的判定定理的简称是（A ）A ．AASB ．ASAC ．SASD ．SSS3、（17-18学年汇文月考）如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL ”判定，还需要加条件AB=AC．【注意】此题绝对不可以写“BD=CD ”，因为要使用“HL ”，就必须要有“一条直角边、一条斜边”——题目中AD 作为公共边，同时也是“直角边”，所以要找的必须是“斜边”！4、（17-18学年南师江宁月考）如图，12∠=∠，要使ABD △≌ACD △，需添加的一个条件是__________（只添一个条件即可）．【答案】BD CD =（或B C ∠=∠，或BAD CAD ∠=∠）【解析】由12∠=∠易得ADC ADB ∠=∠，又知AD AD =，①可添加条件BD CD =⇒由SAS 判定全等；②可添加条件B C ∠=∠或BAD CAD ∠=∠⇒由AAS 判定全等．5、（17-18学年汇文月考）如图，已知B 、E 、F 、C 在同一直线上，BE =CF ，AF =DE ，则添加条件∠AFB =∠DEC 或AB =DC，可以判断△ABF ≌△DCE ．【解析】由BE =CF 易得BF=CE 已知两边——BF=CE 和AF =DE要想证明两个三角形全等，只需要再加一组对应边（SSS ）或一组对应角（SAS ，必须是夹角）！6、（17-18学年鼓楼区期末）如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，要用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，可以添加的条件是（C ）A.∠A ＝∠DB ．AC ∥DFC ．BE ＝CFD ．AC ＝DF【解析】∵AB //DE ∴∠ABC =∠DEF∴要想使用SAS 来证明△ABC ≌△DEF 就必须保证BC =EF但是题目的4个选项中却没有BC =EF ！但是，因为EC 是BC 、EF 的公共部分，所以只需要保证BE =CF 即可！7、（17-18学年求真月考）如图，已知AB=AC，AD=AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不恰当的是（B）A．BD=CE B．∠ABD=∠ACEC．∠BAD=∠CAE D．∠BAC=∠DAE【解析】已知“AB=AC，AD=AE”——已知两边，要想保证两个三角形全等 要么再找一条边，要么再找一个角（必须是夹角）！8、（17-18学年汇文月考）下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（C）A．已知两边和夹角B．已知两角和夹边C．已知两边和其中一边的对角D．已知三边【提示】用“两边一角”来判断时，必须是夹角！9、（17-18学年栖霞区期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（C）A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8，D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°10、（16-17学年钟英期末）在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以在1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（C）A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】∵点A与l上的各点连线中，垂线段最短——AD=2（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），所以AC最小为2.11、（17-18学年南师江宁月考）在下列各组条件中，不能说明ABC △≌DEF △的是（B ）．A ．AB DE =，B E ∠=∠，C F ∠=∠B ．AC DF =，BC EF =，AD ∠=∠C ．AB DE =，A D ∠=∠，B E∠=∠D ．AB DE =，BC EF =，AC DF=【解析】A 、C 、D 分别为AAS ，ASA ，SSS ；B 为SSA 不可判定全等．12、（16-17学年致远期中）如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带第__________块去配，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是__________．可以用字母简写）【答案】③，ASA【解析】因为第③块中有完整的两个角及其夹边，利用ASA 可证三角形全等，故应带第③块．13、（17-18学年溧水区期末）如图，一个三角形被纸板挡住了一部分，我们还能够画出一个与它完全重合的三角形，其原理是判定两个三角形全等的基本事实或定理，本题中用到的基本事实或定理是（A）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．HL14、（17-18学年南师江宁月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出A O B AOB '''∠=∠的依据是（D）．A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【解析】由作法易得OD O D ''=，OC O C ''=，CD C D ''=，依据SSS 可判定COD △≌C O D '''△，再由全等三角形对应角相等得到COD C O D '''∠=∠，即AOB A O B '''∠=∠．15、（17-18学年汇文月考）如图，点A、E、F、D在同一直线上，若AB∥CD，AB=CD，AE=FD，则图中的全等三角形有（C）A．1对B．2对C．3对D．4对16、（17-18学年联合体期末）如图，给出下列四个条件，AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有（C）A、1组B、2组C、3组D、4组【解析】此题的难度不在于会不会判断，而是能不能快速找全4种组合情况.从4个条件中选3个条件出来，如何才能保证把所有情况都找全——“任选三个条件”的另一层含义也就是“任意不选1个条件”：①不选AB＝DE⇒选BC＝EF，∠B＝∠E，∠C＝∠F⇒ASA②不选BC＝EF⇒选AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F⇒AAS③不选∠B＝∠E⇒选AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F⇒角不是夹角，错！④不选∠C＝∠F⇒选AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E⇒SAS17、（16-17学年南外期中）以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有（B）．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】务必注意“高”的特殊性——高可以在三角形内部、可以在三角形边上也可以在三角形外部！①错误，反例（要否定一个命题，只需要举出一个反例）如下：AC=A’C’，BC=B’C’，AD=A’D’②错误，反例如下：AB=A’B’，AC=A’C’，AD=A’D’③④是正确的.18、（17-18学年汇文月考）如图，在∠AOB的两边截取OA=OB，OC=OD，连接AD，BC 交于点P，则下列结论中①△AOD≌△BOC，②△APC≌△BPD，③点P在∠AOB的平分线上．正确的是①②③；（填序号）【解析】解：∵OA=OB，OC=OD，∠O为公共角，∴△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，又∠APC=∠BPD，∴∠ACP=∠BDP，OA﹣OC=OB﹣OD，即AC=BD，∴△APC≌△BPD，∴AP =BP ，连接OP ，即可得△AOP ≌△BOP ，得出∠AOP =∠BOP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上．故题中结论都正确．故答案为：①②③．19、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AC =8cm ，F 是高AD 和BE 的交点，则BF 的长是（C）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm【解析】∵AD ⊥BC ∴∠ADB =90°∵∠ABC =45°∴∠BAD =∠ABC =45°∴AD =BD在Rt △ADC 中，∠DAC +∠C =90°在Rt △BEC 中，∠DBF +∠C =90°∴∠DAC =∠DBF 在△FBD 和△CAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠AD BD CDA FDB CAD FBD 90∴△FBD ≌△CAD （AAS ）∴BF =AC =8cm20、（17-18学年栖霞区期中）规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．某学习小组在研究后发现判定两个四边形全等需要五组对应条件，于是把五组条件进行分类研究，并且针对二条边和三个角对应相等类型进行研究提出以下几种可能：①AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1；②AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠D =∠D 1；③AB =A 1B 1，AD =A 1D 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1，∠D =∠D 1；④AB =A 1B 1，CD =C 1D 1，∠A =∠A 1，∠B =∠B 1，∠C =∠C 1．其中能判定四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1全等有（C）个A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】（1）除三角形之外，其他多边形要想全等，就必须同时满足“所有的边对应相等和所有的角对应相等”；（2）题目给的4组条件，看似给的都是3组对应角相等，但是根据四边形内角和为360°，所以其实告诉的是4组对应角相等，所以我们只需要再保证4组对应边对应相等即可；（3）我们在课本上只学习了三角形全等的判定条件，没有学习四边形全等的判定条件——这其实意味着我们要想办法把四边形“转化”为我们熟悉的三角形！怎么办？连接对角线，分别证明对角线两侧的两组三角形对应全等即可！（4）能够保证两个四边形全等是①②③.21、（17-18学年求真月考）如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为4，则BE =（B）A ．1B ．2C ．3D ．4AB C DA 1B 1C 1D1【解析】解：如图，过B 点作BF ⊥CD ，与DC 的延长线交于F 点，∵∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD ，∴四边形EDFB 是矩形，∠EBF =90°，∴∠ABE =∠CBF ，∵在△BCF 和△BAE中，∴△BCF ≌△BAE （ASA ），∴BE =BF ，∴四边形EDFB 是正方形，∴S 四边形ABCD =S 正方形BEDF =4，∴BE ==2．22、（16-17学年致远期中）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．求证：ABC △≌ADE △．【答案】见解析【解析】证明：∵BAE DAC ∠=∠，∴BAE CAE DAC CAE ∠-∠=∠-∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC △和ADE △中，BAC DAE C EAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC △≌(AAS)ADE △．23、（17-18学年南师新城月考）已知：如图，AC =AE ，∠1=∠2，AB =AD ．求证：BC =DE ．【解析】∵∠1=∠2∴∠1+∠EAB =∠2+∠EAB ，即∠CAB =∠EAD在△CAB 和△EAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BA EAD CAB EA CA △CAB ≌△EAD （SAS ）∴BC =DE24、（17-18学年建邺区期中）如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD ．求证BC ＝AD ．【证明】∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠C ＝∠D ＝90°．在Rt △ABC 和Rt △BAD中，＝BA ，＝BD ．∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )．∴BC ＝AD ．B CD A25、（17-18学年汇文月考）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于F．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：AF平分∠BAC．【解析】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC=∠ADB=90°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS）．（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE=AD，在Rt△AEF和Rt△ADF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴∠EAF=∠DAF，∴AF平分∠BAC．26、（17-18学年汇文月考）（阅读理解题）如图所示，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD，CE交于点O，且AO平分∠BAC．（1）图中有多少对全等三角形？请一一列举出来（不必说明理由）；（2）小明说：欲证BE=CD，可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD，再证明△ADB≌△AEC 得到AB=AC，然后利用等式的性质得到BE=CD，请问他的说法正确吗？如果正确，请按照他的说法写出推导过程，如果不正确，请说明理由；（3）要得到BE=CD，你还有其他思路吗？若有，请写出推理过程．【解析】解：（1）图中有4对全等三角形，有△ADB≌△AEC，△ADO≌△AEO，△AOB≌△AOC，△EOB≌△DOC．（2）正确，理由是：∵AO平分∠BAC，∴∠EAO=∠DAO，∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEO=∠ADO=90°，∴在△AEO和△ADO中∴△AEO≌△ADO（AAS），∴AE=AD，在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（ASA），∴AB=AC，∵AE=AD，∴BE=CD．（3）有，理由是：∵AO 平分∠BAC ，OE ⊥AB ，OD ⊥AC ，∴OE =OD ，∠BEO =∠CDO =90°，在△BEO 和△CDO中∴△BEO ≌△CDO （ASA ），∴BE =CD ．27、（16-17学年南外期中）我们知道能完全重合的图形叫做全等图形，因此，如果两个四边形能完全重合，那么这两个四边形全等，也就是说，当两个四边形的四个内角、四条边都分别对应相等时，这两个四边形全等．请借助三角形全等的知识，解决有关四边形全等的问题．如图，已知，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，BC B C ''=，B B '∠=，C C '∠=∠，现在只需补充一个条件，就可得四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．下列四个条件：①A A '∠=∠；②D D '∠=∠；③''AD A D =；④CD C D ''=（1）其中，符合要求的条件是__________．（直接写出编号）（2）选择（1）中的一个条件，证明四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．【解析】（1）①②④（2）选④证明：连接AC 、A C ''，在ABC △和A B C '''△中，AB A B B B BC B C ⎧''=⎪⎪'∠=∠⎨⎪''=⎪⎩，∴ABC △≌(SAS)A B C '''△，∴AC A C ''=，ACB A C B '''∠=∠，∵BCD B C D '''∠=∠，∴BCD ACB B C D A C B ''''''∠-∠=∠-∠，∴ACD A C D '''∠=∠．在ACD △和A C D '''△中，AC A C ACD A C D CD C D ⎧''=⎪⎪'''∠=∠⎨⎪''=⎪⎩，∴ACD △≌A C D '''△，∴D D '∠=∠，DAC D A C '''∠=∠，DA D A ''=，∴BAC DAC B A C D A C ''''''∠+∠=∠+∠，即BAD B A D '''∠=∠，∴四边形ABCD 和四边形A B C D ''''中，AB A B ''=，BC B C ''=，AD A D ''=，DC D C ''=，B B '∠=∠，BCD B C D '''∠=∠，D D '∠=∠，BAD B A D '''∠=∠，∴四边形ABCD ≌四边形A B C D ''''．。
三角形全等的判定方法——SSA——探究SSA 三角形全等的判定方法的可行情况通过学习三角形全等，我们可以知道，三角形全等的判定方法只有“SSS”、“AAS”、“SAS”、“ASA”四种，“SSA ”的判定方法是不可行的，但是在某些情况下，“SSA ”是成立的，下面开始分类讨论。
一、直角三角形的SSA 全等判定有一个特殊的名字——“HL ”定理1、定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
2、定理证明HL 定理可以用勾股定理证明如图，已知Rt △ABC 与Rt △DEF, ∠B=∠E=90°，AC=DF,AB=DE在Rt△ABC 中，BC=， 在Rt△DEF 中，EF=，∵AC=DF，AB=DE.∴BC=EF在△ABC 与△DEF 中 ∵∴△ABC≌△DEF（SSS ）这样HL 定理成立了，我们在后续证明中需要运用到HL 定理。
A B C D E F那么，当两个三角形都为锐角三角形时，SSA 成立吗锐角三角形有三种情况，但三种情况都是相同的，所以在这里只选择一种证明。
二、锐角三角形如图，已知锐角△ABC 与锐角三角形DEF 中，∠A=∠D ，AB=DE,BC=EF证明△ABC ≌△DEF作AG ⊥BC,EH ⊥DF∵AG ⊥BC,EH ⊥DF∴∠AGB=∠EHD=90°在△ABG 与△DEH 中 ∵∴△ABG ≌△DEH （AAS ）∴BG=EH （全等三角形对应边相等）在Rt △BGC 与Rt △EHF 中BC=EFBG=EH∴△BGC ≌△EHF(HL)∴∠C=∠F （全等三角形对应角相等）在△ABC 与△DEF 中 A B CD EFG H ∵∵∴△ABC ≌△DEF （AAS ）通过上述证明，我们可以知道，在两三角形都为锐角三角形的情况下，SSA 成立。
那么问题来了，在直角、锐角三角形中都成立的SSA 证明方法在钝角三角形中会不会成立呢因为钝角三角形有三条高，且位置各不相同，所以需要分类讨论。
全等三角形判定的分类解析作者：何兴安来源：《都市家教·下半月》2017年第01期一、全等三角形的性质基本知识：全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。
拓展知识：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等;②全等三角形的周长相等，面积相等;③平移、翻折、旋转前后的图形全等.二、基本方法的应用1.运用三边“SSS”判定两个三角形全等例1 . 如图所示，已知AB= DC，AC= BD.求证∠ABO=∠DCO.〔解析〕 BC是ΔABC和ΔDCB的公共边，直接利用“SSS”证全等.證明：在ΔABC与ΔDCB中，∴ΔABC≌ΔDCB（SSS），∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABO=∠DCO.2.运用角边角“ASA” 判定两个三角形全等例2、如图所示，已知点E，C，D，A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD.求证ΔABC≌ΔDEF.解析：首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明ΔABC≌ΔDEF.证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD，∴∠E=∠B，在ΔABC和ΔDEF中，∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）.3.运用角角边“AAS” 判定两个三角形全等例3、（2015·衡阳中考）如图所示，在ΔABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证ΔBED≌ΔCFD.〔解析〕首先根据AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后根据AAS可判定ΔBED≌ΔCFD.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.在ΔBED和ΔCFD中，∴ΔBED≌ΔCFD（AAS）.4. 运用两边夹角“SAS ” 判定兩个三角形全等 ; ; ; ; ; ; ;例4 、（2016·吉林中考）如图所示，ΔABC和ΔDAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证ΔABD≌ΔAEC.〔解析〕根据∠BAC=∠DAE可得∠BAD=∠CAE，再根据全等三角形的条件可得出结论.证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠BAD=∠CAE.在ΔABD 和ΔAEC中，∴ΔABD≌ΔAEC（SAS）.三、各种方法的灵活应用例5、在ΔABC中，∠ACB=2∠B，如图（1）所示，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD.（1）如图（2）所示，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明.（2）如图（3）所示，当AD为ΔABC的外角∠CAF的平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.〔解析〕（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证ΔADE≌ΔADC（SAS），则可得∠AED=∠ACD，ED=CD，又由∠ACB=2∠B，得∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易得DE=CD=BE，则可得AB=AC+CD.（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证ΔEAD≌ΔCAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可得AC+AB=CD.解：（1）猜想：AB=AC+CD.证明如下：如图（1）所示，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD.∵AD=AD，∴ΔADE≌ΔADC（SAS），∴∠AED=∠ACD，ED=CD.∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B.∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.（2）猜想：AB+AC=CD.证明如下：如图（2）所示，在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD.在ΔEAD与ΔCAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴ΔEAD≌ΔCAD（SAS）.∴ED=CD，∠AED=∠ACD.∴∠FED=∠ACB，又∵∠ACB=2∠B，∴∠FED=2∠B，∵∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B，∴EB=ED.∴EA+AB=EB=ED=CD.∴AC+AB=CD.[规律方法] 在几何证明的过程中，当题目中的已知条件无法解决问题时，我们可以适当地添加辅助线来构造全等三角形，添加辅助线时要先分析题目中的已知条件，然后合理地作辅助线，辅助线添加得正确与否是解决问题的关键.。
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DEABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA D例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8，AE=AD ，则ABE ∆ACD ∆，所以=∠AEB，=∠BAE ，=∠BAD ．D 第4题图第5题图B第6题图第7题图 第8题图 第9题题图9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 、互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CDAEAD CAB CDEACF6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠FE全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
求证：BD ＋CD=AD 。
C AD B EC ABCE【巩固练习】1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠B ' C.∠C=∠C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=CD B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EFC ．CA=CD ；∠B=∠E D.AB=DE ；BC=EF ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.小明的解答：21∠=∠ AOD ≌△BOC而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD（1）你认为小明的解答有无错误；（2）如有错误给出正确解答；4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。
5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由DOA=OB OD=OC全等三角形（二）作业1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ∆≌CEF ∆。
2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。
求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。
3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。
求证：BF=FC 。
4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。
5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FECAB CE D FA C EFAD E CB F O 1 2 DCABE FD ABQCPE7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN（2）求∠AFN大小。
11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.CNMBAEDFFDACE BFDACGEB全等三角形（三）ASA【知识要点】ASA如图，在ABC∆与DEF ∆中EB DE AB D A ∠=∠=∠=∠ ∴)(ASA DEF ABC ∆≅∆ASA公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．【典型例题】【例1】下列条件不可推得ABC ∆和'''C B A ∆全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '，'A A ∠=∠，'C C ∠=∠B 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，BC='B C 'C 、 AB= A 'B '，AC=A 'C '，'B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'B B ∠=∠【例2】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BCAD A B【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD【巩固练习】1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '的角平分线AD 、A 'D '相等4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ∆≅∆，求证：COF AOE ∆≅∆5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DEAD'B D'C 'CBABD全等三角形（三）作业1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE4．已知如图，在ABC ∆中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ∆≅∆5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EFCEA D ECBF7、 (1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD ∥BC , F 是AB 的中点 , DF 交CB 延长线 于E , CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC ．13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA 与BE 交于C , AB 和EF 交于O ,求证：∠1=∠2．AG FC BD E （图１）全等三角形（四）强化训练1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．（1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =；5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；（2）当150α=时，试判断AOD △的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？BDA E F C H GB A BCDO110 α7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。
