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全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．如图，在ABC ∆和DEF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===DF AC EF BC DE ABABC ∆∴≌DEF ∆【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求A C D D C A D ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EFA D例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠B A C C EA B B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8，AE=AD ，则A B E∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．D 第4题图第5题图B第6题图第7题图 第8题图 第9题题图9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 、互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CDAB CDE6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠FE全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容，它对于解决几何问题有着关键作用。
下面就来对全等三角形的相关知识点进行一个全面的归纳。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等。
也就是说，如果两个三角形全等，那么它们相对应的边的长度是一样的。
2、全等三角形的对应角相等。
对应角的度数完全相同。
3、全等三角形的周长相等。
因为对应边相等，所以三条边相加的总和也相等。
4、全等三角形的面积相等。
由于形状和大小完全相同，所占的空间大小也就一样。
三、全等三角形的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
比如有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
例如在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB ＝ DE，∠A ＝∠D，AC ＝ DF，那么这两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
假设三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，那么三角形 ABC ≌三角形 DEF。
4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
比如三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，这两个三角形就是全等的。
5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
在直角三角形 ABC 和直角三角形 DEF 中，如果斜边 AC ＝斜边DF，直角边 BC ＝直角边 EF，那么这两个直角三角形全等。
四、寻找全等三角形的对应边和对应角的方法1、有公共边的，公共边是对应边。
例如三角形 ABC 和三角形 ABD，AB 就是两个三角形的公共边，是对应边。
全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
全等三角形判定公理以及推论一、全等三角形判定公理1. SSS（边边边）公理- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 作用：当我们知道两个三角形的三条边分别相等时，就可以直接判定这两个三角形全等。
这是全等三角形判定中最基本的一种方法，不需要考虑角的大小。
2. SAS（边角边）公理- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
这里的角必须是两条边的夹角。
- 作用：如果已知两个三角形有两条边相等且这两条边所夹的角也相等，就可以判定它们全等。
在实际解题中，经常需要通过已知条件找出对应的边和角是否满足该公理。
3. ASA（角边角）公理- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，∠B = ∠E，BC = EF，∠C = ∠F，那么△ABC≌△DEF。
这里的边是两个角的夹边。
- 作用：当我们知道两个三角形有两个角以及这两个角的夹边相等时，可以判定这两个三角形全等。
在证明三角形全等时，如果能找到这样的角和边的关系，就可以使用该公理。
4. AAS（角角边）推论- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 例如：在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，那么△ABC≌△DEF。
这里是两个角相等，并且其中一个角的对边相等。
- 作用：在有些情况下，当我们知道两个三角形的两个角相等，且其中一个角的对边相等时，可以使用该推论判定全等。
它是ASA公理的一种延伸，在证明过程中可以根据已知条件灵活运用。
5. HL（斜边、直角边）公理（适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 例如：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，AC = DF，那么Rt△ABC≌Rt△DEF。
全等三角形经典证明方法归类1.SSS法则（边边边）：给定两个三角形，如果它们的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
2.SAS法则（边角边）：给定两个三角形，如果它们的两条边和夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
3.ASA法则（角边角）：给定两个三角形，如果它们的两条角和一边分别相等，那么这两个三角形全等。
4.AAS法则（角角边）：给定两个三角形，如果它们的两条角和另一条边的对应角分别相等，那么这两个三角形全等。
5.RHS法则（直角边和斜边）：给定两个三角形，如果它们的一个角是直角，而且两个直角的边分别相等，那么这两个三角形全等。
6.HL法则（斜边和斜边对应的直角）：给定两个直角三角形，如果它们的斜边相等，而且其中一个直角边和另一个直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
除了以上六种经典的证明方法外，还存在一些其他的证明方法，如：7.余弦定理：如果在两个三角形中，对应的两边和夹角的余弦值都相等，那么这两个三角形全等。
8.正弦定理：如果在两个三角形中，对应的两边和夹角的正弦值都相等，那么这两个三角形全等。
9.星形相等法则：如果两个三角形的对应边分别相等，而且两组对边之间的夹角相等，那么这两个三角形全等。
10.平移法：如果两个三角形中一对边平行且等长，并且另外两对边也分别平行，则这两个三角形全等。
11.旋转法：如果两个三角形中一对边对应相等，并且另外两个角分别相等，则这两个三角形全等。
12.镜像对称法：如果两个三角形对应边的长度相等，并且一个三角形的两个角和对应的另一个三角形的两个角之和都等于180度，则这两个三角形全等。
这些全等三角形的证明方法在几何学中被广泛应用，并且有着重要的理论和实际意义。
通过这些证明方法，我们可以判断两个三角形是否全等，从而在解决几何问题时提供有效的理论依据。
三角形全等的几个条件
1. 全等条件一，SSS（边-边-边）条件。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
2. 全等条件二，SAS（边-角-边）条件。
当两个三角形的一对对应边相等，夹角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
3. 全等条件三，ASA（角-边-角）条件。
当两个三角形的一对对应角相等，夹边相等，另一对对应角相等时，这两个三角形是全等的。
4. 全等条件四，AAS（角-角-边）条件。
当两个三角形的两对对应角相等，另一对对应边相等时，这两个三角形是全等的。
这些条件是用来判断两个三角形是否全等的基本依据。
在几何学中，通过这些条件可以快速判断两个三角形是否全等，从而推导出它们的性质和关系。
这些条件在解决各种相关问题时都具有重要的作用。
全等三角形证明方法归类1.SSS判定法（边边边法）：通过已知三角形的三条边相等来证明两个三角形全等。
这种方法是最直接的证明方法之一，一般需要在已知的三条边相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据SSS判定法，我们可以得出AB=DE，BC=EF，AC=DF，此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理，如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等，从而得出两个三角形全等。
2.SAS判定法（边角边法）：通过已知两边和夹角相等来证明两个三角形全等。
这种方法也是常用的证明方法之一，一般需要在已知两边和夹角相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据SAS判定法，我们可以得出AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理，如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等，从而得出两个三角形全等。
3.ASA判定法（角边角法）：通过已知两角和边长相等来证明两个三角形全等。
这种方法也是常用的证明方法之一，一般需要在已知两角和边长相等的基础上利用欧几里得几何学中的定理、推论来进行论证。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，我们需要证明三角形ABC和DEF全等。
首先根据ASA判定法，我们可以得出∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，此时我们可以利用欧几里得几何学中的定理，如等腰三角形的底角相等、等角的对边相等等来证明两个三角形的对应角相等，从而得出两个三角形全等。
4.RHS判定法：通过已知两个直角三角形的斜边和一个锐角相等来证明两个三角形全等。
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④ 2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3D第3题图第4题图第5题图B第6题图5．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC 6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ． 7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，8．如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆D第7题图第8题图第9题题图全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EFAB D EACDFACEFD7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠E全等三角形（二）【知识要点】 定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.CADBE C【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
全等三角形的证明方法归纳总结全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．构造辅助线办法：全等三角形找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证:（1） △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。
2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证:OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE,AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等(余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A,B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,（1）中的结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立,说明理由.5、如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB ，BM=AC,CN=AB 。
三角形的全等证明在几何学中，全等是两个图形之间的一个重要概念。
当两个图形的所有对应边和对应角相等时，我们可以说这两个图形是全等的。
在本文中，我们将重点讨论三角形的全等证明。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同对应边和相同对应角的两个三角形。
对应边是指两个三角形的对应边长相等，对应角是指两个三角形的对应角度相等。
全等三角形的证明有多种方法，接下来我们将介绍其中的几种常用的证明方法。
二、SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的所有三条边分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.AC=DF3.BC=EF4.AB=DE5.根据SSS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
三、SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.AB=DE3.∠BAC=∠EDF4.BC=EF5.根据SAS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
四、ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的两个角和边分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.∠BAC=∠EDF3.AB=DE4.∠ABC=∠DEF5.根据ASA全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
五、AAS全等定理AAS全等定理是指当两个三角形的两个角和对边角分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.∠ABC=∠DEF3.∠ACB=∠DFE4.BC=EF5.根据AAS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
六、RHS全等定理RHS全等定理是指当两个三角形的斜边和两个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.BC=EF3.AB=DE4.∠BAC=∠EDF5.根据RHS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
通过以上几种全等定理，我们可以根据给定的条件来判断两个三角形之间是否全等。
..【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法图3图1图2（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，如果两个三角形全等，那么，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（①边边边（SSS SSS SSS）） ②边角边（②边角边（SAS SAS SAS）） ③角边角（③角边角（ASA ASA ASA）） ④角角边（④角角边（AAS AAS AAS）） ⑤斜边，直角边（⑤斜边，直角边（HL HL HL）） 注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA AAA；；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA SSA。
全等三角形判定方式和解释一、全等三角形的基础概念全等三角形是指两个三角形能够完全重合，它们的形状和大小都相等。
全等关系是三角形的一种重要性质，它在几何学中有广泛的应用。
二、全等三角形的判定方式1. 边边边（SSS）判定法如果两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, AC = DF。
解释：这个判定法是基于三角形的定义和性质。
在平面几何中，三角形的定义是一个由三条边和三个角构成的闭合二维多边形。
因此，如果两个三角形的三条边长度相等，那么它们的角度一定相等，从而它们的形状和大小都相等。
2. 边角边（SAS）判定法如果两个三角形的两边长度相等，并且这两边所夹的角相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当AB = DE, BC = EF, 且∠BAC = ∠DEF。
解释：这个判定法也基于三角形的性质。
在一个三角形中，任何一边的长度都受到与其所夹的两个角的影响。
因此，如果两个三角形的两条边长度相等，并且这两条边所夹的角相等，那么它们的形状和大小一定相等。
3. 角边角（ASA）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AB = DF。
解释：这个判定法同样基于三角形的性质。
在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。
因此，如果两个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的一边长度相等，那么它们的形状和大小一定相等。
4. 角角边（AAS）判定法如果两个三角形的两个角相等，并且其中一个角所对的一边相等，则这两个三角形全等。
数学表示为：如果△ABC ≌△DEF，当且仅当∠A = ∠D, ∠B = ∠E, 且AC = DF。
解释：这个判定法也是基于三角形的性质。
在一个三角形中，任何一角的度数都受到与其所夹的两边长度的影响。
敷学培fit 方法*»1-2価明三廊形全箸(舍倦段相著、角相等)的几种方法一、三角形全等的判定:① 三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSSJo 【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】② 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
【最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”】 r 当题目中得出“2对边及1对角相等”时，一定要检査“角是不是两边夹角“。
i ③ E鬲爲反養美另另航蒔京满不三浦花荃,新忑「① 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)o⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)o F ............................ } j 直角三角形全等的特殊证法。
但当该方法不行时，前面的4种方法也能用来证明直角三角形全等。
： !如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找90。
的角所对的边就能找到斜边: ................................................................................................. J 二、全等三角形的性质： ① 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
② 全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
①全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
几种常见全等三箱形的基本图形： 【平移】i 题目中只要得出“1对边及2对角相等"，那就能证明三角\ ；形全等，唯一要做的就是区分好是ASA 还是AAS三、找全等三痢形的方法：①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中:②可以从己知条件出发，看己知条件可以确定哪两个三角形相等;③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等;①若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形的证明知识点超详细一、全等三角形的证明。
1. 全等三角形的性质。
- 全等三角形的对应边相等。
例如，若ABC≅ DEF，则AB = DE，BC=EF，AC = DF。
- 全等三角形的对应角相等。
即∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。
2. 全等三角形的判定方法。
- SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC=DF，则ABC≅DEF。
- SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。
- ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，则ABC≅ DEF。
- AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅ DEF。
- HL（斜边、直角边）（适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 示例：在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），则Rt ABC≅ Rt DEF。
二、等腰三角形的证明与性质。
1. 等腰三角形的性质。
- 等腰三角形的两腰相等。
例如，在ABC中，若AB = AC，则ABC是等腰三角形。
- 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。
即若AB = AC，则∠ B=∠ C。
- 等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。
例如，在等腰ABC（AB = AC）中，AD是底边BC上的高，则AD也是BC边上的中线和∠ BAC的平分线。
2. 等腰三角形的判定。
- 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
全等三角形证明条件归类初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。
如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。
分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。
对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共边是第三个条件例1：如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆ 证明：△ABD 和△BAC 中：∵ BD=ACBC=ADAB=BA(公共边)∴ ABC ∆≌ABD ∆（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF证明：∵AE=BD∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）在△ABC 和△DEF 中∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ）∵AB=DC AE=DF CF=BE∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
证明：∵DF=CE ，∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF BF D 第F E D C BA F E DC B A∴△AED ≌△BFC （SAS ）四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，求证：△ACD ≌△BCE 。
证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠ACE =∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）在△ACD 和△BCE 中，∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ） 五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件例1已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE ．求证：△ABC ≌△DCB ．证明：∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC （对顶角）∴△AED ≌△ACD （ASA ） ∴EC=EB∴EC+AE=EB+DE （即AC=DB ） 在Rt △ABC 和Rt △DCB 中∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC （公共边） ∴△ABC ≌△DCB (HL)七是中点等分线段对应相等是第三个条件例1，如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，求证：△AED ≌△EBC ．证明：∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED∵DE ＝DE ，DC ＝AE ∴△AED ≌△EDC 第5A B C D E O E DCB A∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC∵DC ∥AB ∴∠DCE ＝∠BEC∵CE ＝CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC八是其他情形对应角相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：一是公共角相等是第三个条件例1． 如图，CA ⊥BF 于A ，BE ⊥CF 于E ，若AC =BE求证：△AFC ≌△EFB证明：∵CA ⊥BF BE ⊥CF ∴∠CAF=∠BEF =90°在 △AFC 和△EFB 中∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F （公共角） AC =BE∴△AFC ≌△EFB （AAS ）二是对顶角相等是第三个条件例1如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，∠CFM=∠E BE=CF 。
求证：△BEM ≌△CFM证明：∵∠CFM=∠E ∠CMF=∠BME （对顶角） BE=CF∴△BEM ≌△CFM （AAS ） 三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件例1. 已知：∠1=∠2，EF//AB ，∠B=∠ACD CD=DE求证：△EFD ≌△DAC证明∵EF//AB∴∠1=∠EFD ∠B=∠FED∵∠1=∠2 ∠B=∠ACD∴∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD在△EFD 和△DAC 中∵∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD CD=DE∴△EFD ≌△DAC 四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件例1．已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CFB A CD F 2 1E MF E C BA∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE ∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC又∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF ∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE例2．在△ABC中，︒AD⊥=AC=，直线MN经过点C，且MN∠90ACB，BC于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①∆；∆≌CEBADC(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．（2）略五是垂直相交的角是90°是第三个条件例1：如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．求证：MB=MD，ME=MF（1）∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．在Rt△DEM和Rt△BFM中∵∠DME=∠BMF ∠DEC=∠BFA DE=BF∴RtCBFM （AAS ） ∴MB=MD ，ME=MF （2）略六是角平分线分得的角对应相等是第三个条件例1如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠1=∠2， 求证：△ABD ≌△ACD 证明：∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ，∵∠1=∠2 AD=AD ∠BAD=∠CAD ∴△ABD ≌△ACD （ASA ）七是相等对应角+公共角的和对应相等是第三个条件例1．如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。
求证：△ABF ≌△AEC ；证明：∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ， ∴∠BAE=∠CAF=90°∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF在△ABF 和△AEC 中，∵AE=AB ，∠EAC=∠BAF ，AF=AC ， ∴△ABF ≌△AEC （SAS ）， 八是相等对应角+相等对应角和对应相等是第三个条件 例1如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC ≌△DCB证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4（即∠ABC=∠DCB ）在△AOB 和△DOC 中∵∠ABC=∠DCB BC=BC ∠4=∠3∴△ABC ≌△DCB 九是等边三角形的三个角都等于60度（等腰三角形两底角相等）是第三个条件例1：如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：△CFD ≌△BED ．证明：作CG ⊥AB,交AD 于H, 则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB, ∠ACH=∠B=45º ∴△ACH ≌△CBE, ∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º CD=DB∴△CFD ≌△BED十是添加辅助线与对应的角相等是第三个条件A EB MC F .3421D C BA十一是二次证全等找到对应的角相等是第三个条件 例1．AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中 ∵AB=AC BD=DC AD=AD∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC在△BDF 与△FDC 中∵BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF∴△FBD ≌△FCD十二计算角的度数找到对应的角相等是第三个条件 例1．如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ+AQ=AB+BP解：延长AB 至D ，使BD ＝BP ，连DP在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40°从而∠BDP ＝40°＝∠ACP△ADP ≌△ACP （ASA ） 故AD ＝AC又∠QBC ＝40°＝∠QCB 故 BQ ＝QCBD ＝BP 从而BQ+AQ=AB+BP例2 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
求证△CDE ≌△ADF证明：连接D ，D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，故有CD ⊥AB ，CD ＝DA CD 平分∠BCA ＝90°，∠E CD ＝∠DCA ＝45°由于DM ⊥DN ，有∠EDN ＝90°由于 CD ⊥AB ，有∠CD A ＝90°从而∠CDE ＝∠FD A DE ≌△ADF （ASA ） 十三其他情形无论是找对应边相等还是找对应角相等，难点中的难点是找出隐含的条件，像前面的公共边相等，公共角相等，对顶角相等这些类型，我们可以把已知条件和问题结合起来，先找到需要证明全等的三角形，在找证明全等的条件。
