杭州电子科技大学《线性代数A》试题A卷

线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。

河南理工大学 2012-2013 学年第 1 学期《线性代数》试卷（A 卷）１．设()()()，，，，，，，，t 3,1321111321===βββ若321βββ,,线性相关，则t =．２．矩阵()nn ija ⨯=A 的全体特征值的和等于 , 全体特征值的积等于．３．设A 为4阶方阵，2-=A ，则A 3-= ．４．()234321,,B ,A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=AB．５．设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=120350002A ，则A 的逆矩阵1-A =．６．设3阶方阵A 按列分块为()321ααα,,A =，且Ad e t =5，又设()231215432ααααα,,B ++=，则B =．7．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221xA ，x 为某常数，B 为3阶非零矩阵，且0AB =，则x = ． 8．设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21ηη,是它的两个解向量．且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42232121ηη,该方程组的通解为．1．设A 与B 均为n 阶方阵，则下列结论中成立的为（）．(A) det(AB ) = 0，则0A =或0B =； (B) det(AB ) = 0，则det A = 0或det B = 0； (C) AB = 0，则0A =或0B =； (D) AB ≠ 0，则det A ≠ 0或det B ≠ 0．2. 设n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵，则( ).(A) 2-=n *A A ; (B) 1+=n *A A ; (C) 1-=n *AA ;(D) 2+=n *AA ．3. 已知A 、B 均为3阶方阵，且A 与B 相似，若A 的特征值为1，2，3，则()12-B 的特征值为（ ）(A) 2312,,; (B) 614121,,; (C) 321,,;(D) 3212,,．４. 向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有 ．(A)1β可由324,,βββ线性表示; (B)3β可由42ββ,线性表示 ;(C)2β可由43ββ,线性表示;(D)4β可由32ββ,线性表示 .三、计算题1．（7分）计算行列式211112111121=n D ．一、填空题,每小题4分二、选择题，每小题5分2．（7分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=121011332A ，求1-A ．3．（7分）求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A 的列向量组的一个最大线性无关组．4．（12分）λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x ,,（１）有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多个解？5．（15分）已知二次型()322221321434x x x x x ,x ,x f ++=，求一个正交变换Py x =，把二次型()321x ,x ,x f 化为标准型．。

杭州电子科技大学继续教育学院学生考试卷（ A ）卷A 表示方阵A 的行列式，r (A )表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．-1D ．22．若120231101λλ=0，则12λλ、必须满足（ ）A ．1220λλ==，B 122λλ==C 122λλ=，可为任意数D 12λλ、均可为任意数 3．有矩阵3223,33,A B C ⨯⨯⨯,下列矩阵运算可行的是（ ） A AC B ABC C BAC D AB BC -4.如果线性方程组12323331223(1)(3)(1)x x x x x x x λλλλλλ++=-⎧⎪-=-⎪⎨=-⎪⎪-=---⎩有唯一解，则λ=（ ）A 1或2B —1或3C 1或3D 1-或3- 5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（ ） A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设A=1243⎛⎫⎪⎝⎭, B=12x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A 与B 可交换的充分必要条件是（ ） A 1x y -= B 1x y -=- C x y = D 2x y = 7．下列矩阵不是初等矩阵的是（ ）A 100001010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B001010100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ C 1001002001⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭D100014001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭8．已知向量组 123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--，的秩为2，则t =（ ） A 3 B 3- C 2 D 2-9．四元线性方程组 1421400x x x x x ⎧+=⎪=⎨⎪-=⎩的基础解系是（ ）A (0,0,0,0)TB (0,0,2,0)TC (1,0,1)T- D (0,0,2,0)T和 (0,0,0,1)T10．三阶矩阵A 的特征值为 2,1,3.-则下列矩阵中非奇异矩阵是（ ） A 2I -A B 2I+A C I -A D A -3I 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______． 解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ， 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ． 即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ， 验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =． 应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ． 应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解： 由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________． 解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________． 解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ． 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β． 应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______． 解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤． 应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα， 则此方程组的一般解为____________． 解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ， （其中k 是任意常数）． 应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ， 求X ． 解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ， 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ． 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T． 四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ． 解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k； 若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k． 七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211． 八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ， 求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ． 再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。

A卷2019-2020-1《线性代数》期末试卷(A)答案及评分标准《线性代数》期末试卷答案（32学时必修）专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2016年1月15日题号一二三四五六七总分本题满分15 15 21 16 12 14 7本题得分阅卷人注意事项：1．请用黑色或蓝色笔在试卷正面答题（请勿用铅笔答题），反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共7页。

说明：试卷中的字母E 表示单位矩阵；*A 表示矩阵A 的伴随矩阵；)(A R 表示矩阵A 的秩；1-A 表示可逆矩阵A 的逆矩阵.一、填空题（请从下面6个题目中任选5个小题，每小题3分；若6个题目都做，按照前面5个题目给分）1．5阶行列式中，项4513523124a a a a a 前面的符号为【 负 】.2.设1352413120101311--=D ，)4,3,2,1(4=i A i 是D 的第4行元素的代数余子式，则4443424122A A A A +-+ 等于【 0 】.3．设102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，A 为34⨯矩阵，且()2A =R ，则()AB =R 【 2 】.4．若向量组123(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)t ==-=ααα线性相关，则=t 【 1 】.5．设A 是3阶实的对称矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1m m α是线性方程组0=Ax 的解，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m m 11β是线性方程组0)(=+x E A 的解，则常数=m 【 1 】.6．设A 和B 是3阶方阵，A 的3个特征值分别为0,3,3-，若AB B E =+，则行列式=+-|2|1E B 【 -8 】.二、选择题（共5个小题，每小题3分）1. 设A 为3阶矩阵，且21||=A ，则行列式|2|*-A 等于【 A 】.(A) 2-； (B) 21-； (C) 1-； (D) 2.2. 矩阵110120001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵为【 A 】．(A) 210110001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (B)210110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 110120001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 110110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.3．设A 是n 阶非零矩阵，满足2A A =，若A E ≠，则【 A 】．(A) ||0A =； (B) ||1A =； (C) A 可逆； (D) A 满秩.4. 设300300026,110,001342A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1-=AB C ，则1C -的第3行第1列的元素为【D 】．(A) 4； (B) 8； (C) 0； (D) 1-.5．设323121232221321222222),,(x ax x ax x ax x x x x x x f +++++=，a 是使二次型),,(321x x x f 正定的正整数，则必有【 B 】．(A) 2=a ； (B) 1=a ； (C) 3=a ； (D) 以上选项都不对.三、求解下列各题(共3小题，每小题7分)1. 若,,αβγ线性无关，2,αβ+2k βγ+，3βγ+线性相关，求k . 解：因为2,αβ+2k βγ+与3βγ+线性相关，所以必定存在不全为零的数321，，λλλ，使得0=3+++2+2+321）（）（）（γβλγβλβαλk ----------2分 整理得：0=3+++2+2+323211γλλβλλλαλ）（）（k 由于,,αβγ线性无关，因此可得=3+0=+2+20=323211λλλλλλk 由于321，，λλλ不全为零，即上述齐次线性方程组有非零解，因此0=30122001k ，由此得k = 6. ----------7分 2. 设()011201-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=03112211a B ，若2)(=+B AB R ，求a .解：由2)(=+B AB R 可知0=+B AB ，由此可得 0=+B E A又 02=122010012=+≠--E A----------2分因此 0=B因此可得 5=-a . ----------7分3. 设矩阵2001000240021603,A a B t -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,A B 相似，求a 与t 的值．解：由,A B 相似可知,A B 的特征值相同，而易知B 的特征值为 -1,t ,3，因此A 的特征值也为 -1,t ,3 利用特征值的性质可得21132(4)3t a t a ++=-++⎧⎨-=-⎩ ----------5分 解得12a t ==,. ----------7分四、（共2小题，每小题8分）1．求向量组123410311301,,,217242140⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα的一个最大无关组，并将其余向量用这一最大无关组表示出来.解：令()123410311301,,,217242140A αααα⎛⎫ ⎪--⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 把A 进行行变换，化为行最简形， ()123410300110~00010000A C ββββ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭----------6分则421，，βββ是C 的列向量组的一个最大无关组，且421303ββββ++=， 故421，，ααα是A 的列向量组的一个最大无关组，且421303αααα++=.----------8分2. 问a 满足什么条件，才能使得21403003A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共有两个线性无关的特征向量？解：由0=30030412=λλλλ----a E A ，得A 的特征值：3==2=321λλλ， 要使A 有两个线性无关的特征向量，则特征值3对应一个线性无关的特征向量， 即0=)3(x E A -的解空间的维数为1，则2=)3(E A R -， ----------6分而114300000A E a -⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此可知0≠a . ----------8分五、问λ为何值时，线性方程组13123123,4226423x x x x x x x x +=⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩λλλ无解，有无穷多解，并在有无穷多解时求出其通解．解：记方程组的增广矩阵为，则101412261423B ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭λλλ，对其进行行变换，化为行阶梯形：101012320001B λλλ⎛⎫ ⎪→--+ ⎪ ⎪-+⎝⎭，易知，当1≠λ时，3)(2)(=≠=B R A R ，方程组无解；当1=λ时，2)()(==B R A R ，方程组有无穷多解； ----------6分当1=λ时，101101210000B ⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭，与原方程组同解的方程组为1323121x x x x =-+⎧⎨=-⎩，由此可得原方程组的通解为()123112110x x k k R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ----------12分六、求实二次型32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的秩，并求正交变换Py x =，化二次型为标准形．解：记二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=442442221A ,122~000,000A -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 故二次型f 的秩为1. ----------4分由0442442221=-------=-λλλλE A ，可得：0，9321===λλλ，当，91=λ求解0)9(=-x E A 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11-211ξ，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3232-311p ,当，032==λλ求解0=Ax 的一个基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102-，01232ξξ，正交化：[][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==15452--，012222323322ηηηξηξηξη，单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3515541552-15452-35，0125132p p ， ----------12分令()321p p p P =，则可得正交变换Py x =，二次型的标准形为：232221321009),,(y y y y y y f ++=. ----------14分七、（请从下面2个题目中任选1个，若2个题目都做，按照第1题给分）1. “设A 是n 阶实的反对称矩阵，则对于任何n 维实的列向量α，α和αA 正交，且E A -可逆”．您认为该结论成立吗？请说明理由. 解：该结论成立。

完整版)线性代数试卷及答案线性代数A试题（A卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数学号：______ 姓名：______题号得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分）1.设A经过初等行变换变为B，则(B)。

(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。

A) r(A)。

r(B)；(D)2.设A为n(n≥2)阶方阵且|A|=，则(C)。

A) A中有一行元素全为零；(B) A中必有一行为其余行的线性组合；(C) A有两行（列）元素对应成比例；(D) A的任一行为其余行的线性组合。

3.设A,B是n阶矩阵(n≥2),AB=O,则下列结论一定正确的是: (D)A) A=O或B=O。

(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O的解。

(C) BA=O。

(D) R(A)+R(B)≤n.4.下列不是n维向量组α1,α2.αs线性无关的充分必要条件是（A）A) 存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs≠O；(B) 不存在一组不全为零的数k1,k2.ks使得k1α1+k2α2+。

+ksαs=O(C) α1,α2.αs的秩等于s；(D) α1,α2.αs 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示。

5.设n阶矩阵(n≥3)A=，若矩阵A的秩为n-1，则a必为（）。

11；(C) -1；(D)。

(A) 1；(B)6.四阶行列式a1a2a3a4b1b2b3b4的值等于（）。

A) a1a2a3a4+b1b2b3b4；(B) (a1a2-b1b2)(a3a4-b3b4)；(C)a1a2a3a4-b1b2b3b4；(D) (a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4)。

1.设A为四阶矩阵且A=b，则A的伴随矩阵A的行列式为b^3.(C)2.设A为n阶矩阵满足A+3A+In=O，In为n阶单位矩阵，则A=−A−3In。

(C)9.设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是A与B的行列式相同。

《线性代数》试卷A适用专业： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 总分100分 考试日期： 一.选择题（2分×6=12分）1.排列4 1 3 2 5 的逆序数为（ ） A.4 B.1 C.3 D.22. 设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则13-A 必有特征值（ ）A.021λ B. 023λ C.30λ D. 20λ 3. 设A 为n 阶可逆阵，则下列成立的是( ) A.112)2(--=A A B. 11)2()2(--=T T A AC. [][]1111)()(----=TTA A D.[][]TTT AA 111)()(---=4.如果333231332221131211a a a a a a a a a =d,则行列式131211232221333231222333a a a a a a a a a ---=( )A. –6dB. 6dC. 4dD. –4d5．设A 为3阶方阵，且2=A ，则A 2=（ ） A.4 B.8 C.16 D.216.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a α，且αA 与α线性相关，则=a （ ）。

A.1-B.1C. 2D.3二．填空题（2分×11=22分）1．设A 、B 均为3阶方阵，且|A |=3，|B |=-2，则|AB |=2. 设A 为方程组⎩⎨⎧=+=+02121x x x x λλ有非零解,则λ=3．已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则方阵2A 的特征值是 、 、4.向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,211的正交化向量为5. A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321,B=[1,2,3],则BA= 6．设32212221321424),,(x x x x x x x x x f -++-=，则二次型矩阵为7.设y x ,为实数，则当=x ， 且=y 时，010100=---yx y x8.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x A 112与⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Λ31相似，则=x 三. 计算题：（总共66分）1.计算 600300301395200199204100103=D （6分） 2.求13211A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（4分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________3．设3351110243152113-----=D ,(1)求行列式D的值 ，(2)求4443424123A A A A +-+ （12分）4.讨论λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 有：1）唯一解； 2）无解； 3）无穷多解？此时求出其通解（12分）5．求矩阵E A 2-的逆矩阵，其中A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300041003 （ 10分）7．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101121002A 。

XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）。

1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。

1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。