数字信号处理第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

系统函数包括：无限长单位脉冲响应的系统函数和有限长单位脉 冲响应的系统函数，可根据容限选择IIR或FIR滤波器。
逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求 的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性 尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后
脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器
的脉冲响应在采样点上完全一样。即： hn ha nT
单位脉冲响应不变法的设计思想：使 数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。
H a s L1 ha t 采样 ha nT hn Z变换 Hz
2．脉冲响应不变法设计的系统的频率响应
E
H e jwi H d e jwi
2 最小
i 1
第二步：进行迭代运算，确定最优系数
N
ai z i
H z
i0 N
1 bi z i
i 1
DF的传递函数
通过改变 Hz的系数 ai、 bi，分别计算均方误差E ， 经过多次迭代运算，寻找一组系数 ai、 bi，使得均方误差
利用模拟滤波器设计数字滤波器， 首先利用模拟滤波器的现成结果， 在S平面设计出符合要求的模拟滤波
器的传递函数H a s ，再通过一定的
映射关系，得到数字滤波器的传递
函数 Hz 。
二. 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法
在进行IIR 数字滤波器的设计时， 要逼近模拟原型低通滤波器， 模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示 模特性。
即要求
② 是因果稳定的映射
指 H a s 的因果稳定性通过映射后， Hz 仍应保持因果
稳定。
§4.2 脉冲响应不变法

ωp ----通带截止频率（Pass band cut off frequency） 通带频率范围：0≤ω≤ ωp
通带中要求：(11)H(ej)1
ωs ----阻带截止频率（Stop band cut off frequency） 阻带频率范围： ωs ≤ω≤π 阻带中要求： H(ej) 2
通带内和阻带内允许的衰减用dB表示 通带内允许的最大衰减用αp表示 阻带内允许的最小衰减用αs表示
(3) 按网络结构分：FIR、IIR滤波器
FIR滤波器：永远稳定，容易做到线性相位； IIR滤波器：极点要求苛刻，设计来源于AF，传输特 性差，相位需要矫正
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )

2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
6.1 数字滤波器的基本概念
1 定义：
(1)广义滤波器：信号选择系统，让某些信号通过又阻 止或衰减一些成分，其输入输出均为数字信号，即通过 一定的运算改变输入信号所含频率成分的相对比例或者 滤除某些频率成分的器件。
（2）狭义：选频系统，低通，高通，带通滤波器等 2 数字滤波器的分类
经典滤波器：数字信号处理就是从噪声中提取信号， 噪声和信号频谱无重叠时用。
zk-1是极点， (zk-1)*也是极点
-----最小相位系统
相频特性：表示各频率成分通过滤波器后在时 间上的延时情况
实际的滤波器通带和阻带中都 允许一定的误差-----通带不一 定水平，阻带不一定完全衰减 到零，通带和阻带之间允许一 定宽度的过渡带。

（3）按频率特性确定增益常数 。
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N

二、巴特沃斯低通滤波器的设计
由图可知：
（ 1）幅度 的 特单 性减 是函 的数 增， 大随 而 当c(通带)时 内H ， a(j)具有最大平坦 幅度特N 性 越， 大，越平坦。 当c时， Ha(j)随的增大而迅速衰减， N越大，衰减越快， 带过 越渡 陡。
当 s(阻带截)时 止的 频衰 率减 （ s 称 阻为 带
最小衰减）。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
（ 2 ） 当 0时 H a， (j )1
即在 0(直流分 )处量无衰减；
（ 3 ） 当 c 时 H a (j ， )2 1 2 ,H a (j ) 1 2 0 .70 即 A ( ) 3 d， B 在 c(截止 )处频 3 衰 d； B 率
Ha(s):系统函数
Ha(s) ha(t)estdt
设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(jΩ)| 给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数 Ha(s)
1、四个技术指标
工程实际中通常用损耗函数（衰减函数） A(Ω)来描述滤波器的幅频响应特性
A () 2 0 lg H a (j) 1 0 lg H a (j)2d B
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha (
j) 2

1
1

c
2N
式中N为正整数，代表的 滤阶 波,次 器
c称为 3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系
二、 数字滤波器的技术指标
p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；