高中数学 2.4不等式的证明方法之四：放缩法教案 新人教A版选修45

用“放缩法〞证明不等式的根本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法〞证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和根本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能表达出创造性。

“放缩法〞它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否那么就不能同向传递。

下面结合一些高考试题，例谈“放缩〞的根本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项〔或负项〕例1、求证：证明：假设多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，到达证明的目的。

此题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简2、先放缩再求和〔或先求和再放缩〕例2、函数f〔〕=，求证：f〔1〕f〔2〕…f〔n〕>n证明：由fn= =1-得f〔1〕f〔2〕…f〔n〕>此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和假设分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，那么只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，那么只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项〔或先裂项再放缩〕例3、a=n ，求证：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!、n是正整n数，且1＜i≤m＜n1证明：n i A＜m i A；2证明：1m n＞1n m证明：1对于1＜i≤m，且A =m·…·m－i1，，由于m＜n，对于整数=1，2，…，i－1，有，所以2由二项式定理有：1m n=1C m C m2…C m n，1n m=1C n C n2…C n m，由1知m i A＞n i A 1＜i≤m＜n ，而C=∴m i C i n＞n i C i m1＜m＜n∴m0C=n0C=1，m C=n C=m·n，m2C＞n2C，…，m m C＞n m C，m m1C＞0，…，m n C＞0，∴1C m C m2…C m n＞1C n C2m n2…C n m，即1m n＞1n m成立以上介绍了用“放缩法〞证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

第三节放缩法(教案)知识梳理1.放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A2B,需通过B<B b Bi<B2<- <Bi<A(si( A>A!,A I>A2>-^>6),再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1.放缩法的尺度把握等问题(1)放缩法的理论依据主要有：%1不等式的传递性；%1等量加不等量为不等量；%1同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较；%1基本不等式与绝对值不等式的基本性质；%1三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项，减项，利用分式的性质,利用不等式的性质, 利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.比如：13 1舍去或加上一些项:(a+^ )2+ —>(a+-)2;将分了或分母放大(缩小)：4 < —-—,4 > —-—A < r- ------------------------------------ ,k~ k(k-i)k- *佐+1)4k1 2~~j=〉~~j= / (k u R,k> 1)等.,y k+ 1典题精讲【例1】设n是正整数+-1—+■■■+-n<l.2〃 + 1 n + 2 2思路分析：要求一个n项分式— + —的范围，它的和又求不出，可以采用“化整〃 + 1 〃 + 2 2n1"SI) 进行放为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围.证明：由 2n>n+k>n(k=l,2,…,n),得」—-—< —.2n n + k n当 k=l 0t, —<——< —; 2n 〃 +1 n当 k=2 0t, —<—-— < —；； 2n n + 2 n、□ 工 1 1 1当 k=n 时,一< ----- < —,2n 〃 +1 n2 2n n + 1 n + 2 2n n思路整理：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明{ + A + .•. +」？ <7,由」T< ——［，如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2 1~ 2- tr 4 k~ k-1 k项放缩，可得小于2,当放缩方式不同时，结果也在变化.放缩法一般包括:用缩小分母，扩大分子,分式值增大；缩小分子，扩大分母,分式值缩小; 全量不少于部分.每一次缩小其和变小，但需大于所求;每一次扩大其和变大，但需小于所求.即 不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.【变式训练】若 neN +,n>2,求证：-+ • • •< 1 --. 2 〃 +1 22 32 n~ n思路分析：利用一-—<上< k(k + l) k- 证明：,•* ^7 + ^7 + • • 2- 32 1 1 1• + 〉 ++ 1 ,. + -------- n(ji +1) 1 1 1 1 =( — - — )+( — -—)+•• 2 3 3 4j_ _J_ 2 n + 1 1 1 •+( ) n n + 11 1 ------- 1 ------- ... + 2x1 3x2 n(n -1)11111 12 〃 + 1 22 32 n 2 n【例2】(经曲回放)求证：耕3>*思路分析：利用|a+bg|+|b|进行放缩，但需对a,b 的几种情况进行讨论，如a=b=O 时等. 证明：若a+b=O 或a=b=O 时显然成立.1 1 1 1若a+l#O且a,b不同时为0时，1 1+|。

309教育网
309教育资源库 2.3反证法与放缩法
一、教学目标
1．掌握用反证法证明不等式的方法．
2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握用反证法证明不等式的方法．
四、教学难点
了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
五、教学过程
（一）导入新课
若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x
<2中至少有一个成立． 【证明】 假设1＋x y <2和1＋y x
<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x
≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，
得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，
所以x ＋y ≤2，
这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x
<2中至少有一个成立． （二）讲授新课
教材整理1 反证法
先假设 ，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性
质等，进行正确的推理，得到和 (或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论，以说明 不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．
教材整理2 放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
（三）重难点精讲
题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题。

2.3 课时7 反证法与放缩法一、教学目标（一）核心素养通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧. （三）学习重点体会反证法和放缩法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题.（四）学习难点会用反证法证明简单的命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第26页至第29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？（2）想一想：使用两种方法证明时的步骤和注意事项有哪些？2.预习自测（1）使用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是（）A.三角形中的内角都不小于60︒B.三角形中的内角都小于60︒C.三角形中的内角都不大于60︒D.三角形中的内角都大于60︒【知识点】反证法【解题过程】“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是三角形中的内角都小于60︒【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个都没有”【答案】B（2)在求证“数列()A.分析法B.综合法C.反证法D.直接法【知识点】反证法【解题过程】若是等比数列，则25即3=10，显然不成立，则原命题成立.【思路点拨】命题中有“不”等字样的证明常用反证法 【答案】C（3）用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是( )= <=< =<【知识点】反证法≤，即=<.【思路点拨】“大于”的否定是“小于或等于” 【答案】D（4）使用放缩法证明不等式时，要注意不等号的方向，即放大还是缩小，如对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值 . 【知识点】放缩法【解题过程】分子不变，分母缩小（分母仍为正数），分式的值变大 【思路点拨】不等式的性质 【答案】放大 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）证明不等式有比较法、综合法、分析法.（2）综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.（3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中. 2.问题探究 探究一 反证法 ●活动① 反证法的定义前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法.也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立.例如，对于性质（3）“如果a b >，那么a c b c +>+”，我们可以这样来证明：由a b >得0a b ->，于是()()0a c b c a b +-+=->，所以a c b c +>+.但对于性质（6）“如果0a b >>,2)n N n >∈≥”，我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法：>=<.=那么a b =；<，那么由性质5有a b <.这些都与0a b >>矛盾.于是，>.像这样的方法，即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 【设计意图】初步了解反证法. ●活动② 反证法的使用步骤对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.使用反证法证明问题时，主要有以下几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定（反设）；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果（归谬）；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立（结论）. 反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题. 用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件. 反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设.【设计意图】掌握反证法的步骤及注意事项. ●活动③ 反证法的应用例1 设233=+b a ，求证.2≤+b a 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立【思路点拨】用反证法结合不等式性质 【答案】见解析同类训练 已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：,,0a b c >. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设0a <，∵0abc >，∴0bc <.又由0a b c ++>, 则b c a +>- > 0，∴()0ab bc ca a b c bc ++=++<与题设矛盾.又假设若0a =，则与0abc >矛盾，∴0a >.同理可证：0b >，0c >. 【思路点拨】直接证明较困难，用反证法 【答案】见解析例2 设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f 上两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.【思路点拨】直接证明较困难，“少有一个”的问题的证明常用反证法 【答案】见解析同类训练 设0,,1a b c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41. 【知识点】反证法【解题过程】证明：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -同时大于41，即假设 111(1),(1),(1)444a b b c c a ->->->,则三式相乘：1(1)(1)(1)64a b b c c a --->，即 1[(1)][(1)][(1)]64a a b b c c -⋅-⋅->，又∵0,,1a b c <<，∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c ，以上三式相乘： 1[(1)][(1)][(1)]64a ab bc c -⋅-⋅-≤ 上两式矛盾，∴原式成立，即(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41.【思路点拨】直接证明较困难，“不可能”的问题的证明常用反证法.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.思考：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 【答案】见解析【设计意图】通过例题的练习，熟悉并掌握反证法证明不等式. 探究二 放缩法 ●活动① 放缩法的定义所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 【设计意图】了解放缩法的含义. ●活动② 理解放缩法 放缩法的主要理论依据.①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等. 使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型： ①直接放缩；②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩；④利用基本不等式放缩. 常见的放缩方式有以下几类： （1）21111(1)1k k k k k >=-++；*21111(2,)(1)1k k k k k k k <=-≥∈--N（2=>=-；2)k =<=≥（3）2()(0,0)4a b a b ab a b ++≥≤>>（4）121222113211-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k ；（5）1112n n k n<<+ （6）糖水不等式：(0,0)b b ma b m a a m+<>>>+【设计意图】掌握常见的放缩方式. ●活动③ 放缩法的应用 例3 若n 是自然数，求证.213121112222<++++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明：.,,4,3,2,111)1(112n k kk k k k=--=-< ∴nn n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+ =.212<-n【思路点拨】常见放缩*21111(2,)(1)1k k N k k k k k<=-≥∈--注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n 的过程中，已经得到一个更强的结论nn 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 【答案】见解析同类训练 若n 是自然数，求证222211117.1234n ++++< 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 因为2211111()(2)1211n n n n n <=-≥--+， 左边1111111+[(1)+()++()]232411n n <----+11111171+(1+)1(1)221224n n =--<++=+；当1n =时，714<显然成立【思路点拨】将通项放缩成列项求和模型，注意保留第一项从第二项开始放缩 【答案】见解析例4 求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】 证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数），得n ⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111.3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n n n 【思路点拨】将通项放缩成等比数列模型在求和 【答案】见解析同类训练 若,,a b c ∈R ，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a .【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵,,a b c ∈R ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ，∴12m <<，即原式成立.【思路点拨】将分母放缩成相同才能化简 【答案】见解析【设计意图】通过对例题的学习，进一步理解放缩法. 3.课堂总结 知识梳理（1）利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. （2）常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小. 重难点归纳（1）体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （2）体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. （三）课后作业基础型自主突破1.实数,,a b c不全为0的等价命题为()A.,,a b c均不为0 B.,,a b c中至多有一个为0C.,,a b c中至少有一个为0 D.,,a b c中至少有一个不为0【知识点】命题的等价性【解题过程】实数,,a b c不全为0就是,,a b c中至少有一个不为0【思路点拨】“不全”就是“至少一个”【答案】D2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有有理根，那么,,a b c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A.假设,,a b c都是偶数 B.假设,,a b c都不是偶数C.假设,,a b c至多有一个偶数 D.假设,,a b c至多有两个偶数【知识点】反证法【解题过程】假设,,a b c都不是偶数【思路点拨】“至少有一个是”的否定是“一个也不是”【答案】B3.设,,x y z都是正实数，1a xy=+，1b yz=+，1c zx=+，则,,a b c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2 【知识点】反证法【解题过程】因为111()()()22+2=6a b c x y zx y z++=+++++≥+，当且仅当1x y z===时等号成立，所以,,a b c三者中至少有一个不小于2. 【思路点拨】基本不等式模型【答案】C4.若不等式220x ax a -+≥对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的一元二次不等式2230at t +->的解集为( )A.(3,1)-B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.∅D.(0,1) 【知识点】恒成立问题；解不等式【解题过程】不等式220x ax a -+≥对一切实数R x ∈恒成立，则2440a a ∆=-=，即1a =或0a =（舍去），所以不等式2230at t +->转化2230t t +->，解得3t <-或1t >. 【思路点拨】一元二次不等式在R x ∈上恒成立只用考虑开口和Δ. 【答案】B5.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数()f x 在[0,1]上有意义，且(0)(1)f f =，如果对于不同的12,[0,1]x x ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -<-，求证：121|()()|2f x f x -<，那么它的假设应该是 . 【知识点】反证法【解题过程】假设121|()()|2f x f x -≥【思路点拨】小于的否定是大于或等于 【答案】假设121|()()|2f x f x -≥6．lg 9lg11⋅与1的大小关系是________. 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】因为22lg 9lg11lg 99lg 9lg11()()122+⋅<=<，所以lg 9lg111⋅< 【思路点拨】同底对数相加才可用性质化简，和积结构转化用基本不等式 【答案】lg 9lg111⋅< 能力型 师生共研7.设,,a b c 均为正数，,,P a b c Q b c a R c a b =+-=+-=+-，则“0PQR >”是“,,P Q R 同时大于零”的________条件.【知识点】充分必要条件；反证法【解题过程】必要性是显然成立的；当0PQR >时，若,,P Q R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设0,0,0P Q R ><<，则20Q R c +=<，这与0c >矛盾，即充分性也成立. 【思路点拨】直接做较困难，用反证法 【答案】充要9.若0,0a b >>满足1ab a b ≥++ ，那么( )A.a b +有最小值2+B.a b +有最大值2+C.ab 1+D.ab 有最小值2+ 【知识点】放缩法；基本不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】2()14a b a b ab +++≤≤，所以2()4()40a b a b +-+-≥，解得2a b +≤-2a b +≥+1ab a b a b =++⎧⎨=⎩，即1a b ==+等号.【思路点拨】用基本不等式实现和积结构转换 【答案】A 探究型 多维突破9.设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为________. 【知识点】放缩法；不等式的基本性质；基本不等式【解题过程】因为11x y y z ≥≥，且100z zt ≥，所以111005x z z y t z +≥+≥=，当且仅当1,10,100x y z t ====时，等号成立. 【思路点拨】通过放缩消元求最值【答案】1510.设0,0a b >>，且11a b a b+=+.证明： (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【知识点】反证法【解题过程】证明：由11a ba b a b ab++=+=，0,0a b >>，得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥.(2)假设22a a +<与22b b +<不可能同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01a <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【思路点拨】基本不等式化简 【答案】见解析 自助餐 11.设1010101111112212221M =++++++-，则( ) A.1M = B.1M < C.1M > D.M 与1大小关系不定 【知识点】放缩法【解题过程】111010101011101010101011111111221221222122222M -=++++<++++==++- 【思路点拨】放缩成相同分母化简可证 【答案】B12.1A n=+++与*)n N ∈的大小关系为 . 【知识点】放缩法【解题过程】*n ∈N ，当1n =时，1A ==； 当2n ≥时，1121321A n n n =+++>+++++++-11n =++-=综上可知，A ≥.2)k >=-≥【答案】A ≥.13.用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根.B.方程20x ax b ++=至多有一个实根.C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【知识点】反证法【解题过程】假设方程20x ax b ++=没有实根【思路点拨】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【答案】A14.已知,0x y >，且2x y +>.求证：11,x yy x++中至少有一个小于2. 【知识点】反证法 【解题过程】证明：假设112,2x yy x++≥≥，则12,12x y y x +≥+≥ 两式相加，得22()x y x y ++≥+，即2x y +≤，与题设矛盾. 所以11,x yy x++中至少有一个小于2. 【思路点拨】“至少有一个”问题的证明用反证法 【答案】见解析15.若数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+，求证：13521n x x x x -<【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想=， 13521132113211242352121n n n x x x x n n n ---=⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=++. 所以13521n x x x x -<【思路点拨】213211133212112342121321()24222442223452213521n n n n n n n n n n n n -----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯++【答案】见解析16.数列{}n a 的通项公式4(1)n a n n =+. 求证：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----. 【知识点】放缩法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：所证明的不等式为211112723474417n n +++<+-. 首先证明21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. 只要证221244177n n n n<+-+，只要证2277882n n n n +<+-，只要证220n n +->， 只要证(2)(1)0n n +->，当2n ≥时，此式显然成立，所以21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. ∴当2n ≥时，2111112111111212()72347441772334177(1)7n n n n n +++<+-+-++-=-<+-++. 【思路点拨】放缩成列项求和模型 【答案】见解析。

[核心必知]．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．．放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．[问题思考]．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：()必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．()反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．()推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．设，，，都是小于的正数，求证：(－)，(－)，(－)，(－)这四个数不可能都大于.[精讲详析]本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．假设(－)＞，(－)＞，(－)＞，(－)＞，则有(－)＞，(－)＞，(－)＞，(－)＞.∴＞，＞，＞，＞.又∵≤，≤，≤，≤，∴＞，＞，＞，＞.将上面各式相加得＞，矛盾．∴(－)，(－)，(－)，(－)这四个数不可能都大于.()当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．()用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．．已知()是上的单调递增函数，且()＋(－)＞(－)＋()．求证：>.证明：假设≤，。

高中数学放缩法教案人教版课题：数学放缩法教材：人教版高中数学教材教学目标：学生能够掌握数学放缩法的基本原理、方法和应用技巧，能够灵活运用放缩法解决实际问题。

教学重点：数学放缩法的基本原理和方法教学难点：如何灵活运用数学放缩法解决实际问题教学准备：黑板、彩色粉笔、教案、教材教学过程：一、导入（5分钟）1.教师引入放缩法的概念和作用，引导学生思考在解决数学问题中如何应用放缩法。

2.通过一个简单的例题，让学生体会放缩法的作用和优势。

二、讲解放缩法的原理和方法（15分钟）1.教师向学生介绍数学放缩法的基本原理和方法，包括放大和缩小的概念以及如何选择适当的放缩因子。

2.通过几个典型的例题，详细讲解放缩法的具体步骤和注意事项。

三、讨论和练习（20分钟）1.教师布置一些练习题，让学生在小组内进行讨论和解答，提高学生对放缩法的理解和运用能力。

2.教师引导学生分享解题思路和方法，让学生能够相互学习和提高。

四、总结和拓展（10分钟）1.教师总结本节课的重点和难点，帮助学生理清放缩法的要点和应用技巧。

2.教师指导学生思考如何运用放缩法解决更复杂的数学问题，拓展学生的思维和能力。

五、作业布置（5分钟）1.布置作业：完成课后练习册中相关的题目，以巩固和深化对数学放缩法的理解和运用。

2.鼓励学生在课外积极应用数学放缩法，提高解题的速度和准确性。

教学反思：本节课主要围绕数学放缩法展开，通过讲解、练习和讨论等环节，帮助学生掌握放缩法的基本原理和方法，提高解题的能力和效率。

在教学过程中，教师要注重引导学生思考和互动，激发学生的学习兴趣和动力，让学生能够主动思考和解决问题，不断提高学生的数学素养和能力。

2.1.7证明不等式的基本方法——放缩法（二）【学习目标】1. 掌握放缩法证明不等式的方法.2. 掌握放缩法证明不等式的方法步骤.3. 理解放缩法证明不等式的常用技巧.【自主学习】1. 放缩法证明不等式的理论依据是什么？2. 放缩法证明不等式的步骤有哪些？3. 放缩法证明不等式时,放缩技巧有哪些？【自主检测】1．求证：2222111171234n ++++<2. 求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++3.求证:212131211n n >-++++ 【典型例题】例1. 已知数列{}n a 满足2111,0,2n na a a +=<≤求证：1211().32n k k k k a a a ++=-<∑例2. 设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n例3. 已知54n a n =-1对任何正整数m n ，都成立.例4．已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n , 求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+【课堂检测】1. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n.2. 已知i ，m 、n 是正整数，且1＜i ≤m ＜n .(1)证明：n i A im ＜m i A in ；(2)证明：(1+m )n ＞(1+n )m3. 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥.证明:1k a b +>.4. 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f【总结提升】用“放缩法”证明不等式的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

三 反证法与放缩法1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤： ①假设命题不成立； ②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立． 2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．利用反证法证明问题[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “至少有一个”的反面是“一个也没有”． [证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性命题、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”“至少”“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：选D “不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 2．设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.证明：假设4a (1－b )>1,4b (1－c )>1,4c (1－d )>1， 4d (1－a )>1，则有a (1－b )>14，b (1－c )>14，c (1－d )>14，d (1－a )>14.∴a (1－b )>12，b (1－c )>12，c (1－d )>12，d (1－a )>12.又∵a (1－b )≤a ＋(1－b )2，b (1－c )≤b ＋(1－c )2，c (1－d )≤c ＋(1－d )2，d (1－a )≤d ＋(1－a )2，∴a ＋1－b 2>12，b ＋1－c 2>12， c ＋1－d 2>12，d ＋1－a 2>12. 将上面各式相加得2>2，矛盾．∴4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1.3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b .证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． 故a <b .利用放缩法证明不等式[例2] x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明]x 2＋xy ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋y 2≥x ＋y 2.同理可得 y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证：1 a ＋1＋1b ＋1<32.证明：因为1a ＋1＋1b ＋1<1＋b a ＋1＋b ＋1＋a b ＋1＋a＝a ＋b ＋2a ＋b ＋1＝32，所以原不等式得证．5．已知n ∈N ＋，求证：1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122.证明：因为1×3<1＋32＝42，3×5<3＋52＝82，…，(2n －1)(2n ＋1)<(2n －1)＋(2n ＋1)2＝4n2，所以1×3＋3×5＋…＋(2n －1)(2n ＋1)<4＋8＋…＋4n 2＝n 2＋n ，又因为n 2＋n <⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122，所以原不等式得证．1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：选C 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：选B N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y2＋x ＋y＝M .3. 否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．4．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2， 则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，∵a ，b ，c 均小于0，∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c≤－2，∴a ＋1a＋b ＋1b ＋c ＋1c≤－6，这与假设矛盾，则选C. 5．M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1与1的大小关系为________． 解析：M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1210＋(210－1)<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，即M <1. 共210项 答案：M <16．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为____________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝11＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n＝nnn 项＝n . 答案：A ≥n8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1，知a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n<2.10．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 且sin(α＋β)＝2sin α.求证α<β.证明：假设α≥β.①若α＝β，由sin(α＋β)＝2sin α，得sin 2α＝2sin α，从而cos α＝1，这与α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾，故α＝β不成立．②若α>β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin α， 所以cos αsin β＝(2－cos β)sin α，即cos α2－cos β＝sin αsin β.因为α>β，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>sin β.从而cos α2－cos β>1，即cos α>2－cos β，即cos α＋cos β>2，这是不可能的，所以α>β不成立． 由①②可知假设不成立，故原结论成立．。