浅谈不定积分的第一类换元法

不定积分第一类换元法
不定积分是微积分中的一个重要概念，可以用来求解函数的原函数。

其中，不定积分第一类换元法是常用的一种方法之一。

不定积分第一类换元法，也叫做一般换元法，是指通过代入新的自变量来将被积函数化为更简单的形式，从而便于求取原函数的方法。

具体来说，将被积函数中的自变量用一个新的变量替代，然后将原本的自变量用新变量的函数表示出来，并将其代入被积函数中，最后通过简单的代数运算求取原函数。

换元法的主要思想是通过变量代换，将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而使不定积分的计算更加容易。

在进行不定积分第一类换元法时，需要注意两个方面：
1、选择合适的换元变量：要选择一个能够将被积函数转化为更简单形式的变量，通常选择被积函数中的某个因子或者某个函数。

2、确定新的积分上下限：在将原函数用新变量表示出来后，需要将积分上下限也用新变量表示出来，以便对新函数进行积分。

例如，对于不定积分∫x^2/(x+1)^3 dx，我们可以选择x+1 作为新变量，即令t=x+1，则原不定积分可以表示为∫(t-1)^2/t^3 dt。

然后，我们对新函数
进行简单的代数运算，得到原函数为-1/(2(t+1)) - 1/(t+1)^2 + C。

需要注意的是，在换元法中，要保证函数的可导性和单调性，以便进行变量代换和积分。

此外，还需要注意积分上下限的变换，避免出现错误的结果。

综上所述，不定积分第一类换元法是一种常用的方法，可以通过选择合适的换元变量将被积函数转化为更简单的形式，并通过代数运算求得原函数。

这种方法在解决某些特定的积分问题时非常有用。

4.2 不定积分的换元积分法一．教学过程：利用基本积分公式和不定积分的性质所能计算的不定积分是很有限的，因此有必要寻找其他的积分方法，本节讨论换元积分法是通过中间变量代换，变成新变量下的积分，可以用基本积分公式和性质来解决，按照选取换元的方式的不同，换元积分法通常分为第一类换元法和第二类换元法。

1、不定积分的第一类换元法定理1设)(u f 在区间I 上连续，)(x u ϕ=在区间x I 上有连续的导数且I I x ⊆)(ϕ，则有换元公式⎰='dx x x f )()]([ϕϕ⎰=)(])([x u du u f ϕ证明：由)(u f 连续，故有原函数)(u F ，满足)()(u f u F ='或者C u F du u f +=⎰)()(，根据复合函数求导法则，有)()]([)()]([))]([()])(([)(x x f x x F C x F du u f x u ϕϕϕϕϕϕ'=''='+='⎰=这说明⎰=)(])([x u du u f ϕ是)()]([x x f ϕϕ'的原函数，又由于它含有任意常数，故换元公式成立。

例1．2cos 2xdx ⎰2cos 2cos 2(2)sin 2xdx xd x x C ==+⎰⎰例2．()82x dx +⎰()82x dx +⎰=()()()8912229x d x x C ++=++⎰例3．123dx x +⎰()111123ln 23232322dx d x x C x x =⋅+=++++⎰⎰结论： ⎰+dx b ax f )(⎰+==b ax u du u f a])([1例4．x xe dx ⎰()()222222111222xxxxxxe dx exdx ed xe d xeC =⋅=⋅==+⎰⎰⎰⎰例5．tan xdx ⎰()()sin 11tan cos cos ln cos cos cos cos xxdx dx d x d x x C xxx==-=-=-+⎰⎰⎰⎰例6．11cos dx x+⎰22111tan 1cos 22coscos22x x dx d C x x x⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰例7．221dx a x+⎰22222111111()1()x dx dx d x x axaa a aa⎛⎫==⎪+⎝⎭++⎰⎰⎰ 例8．⎰()0a >x a ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰arcsinx C a=+ 例9．221dx a x-⎰2211112dx dx axa a x a x ⎛⎫=+ ⎪-+-⎝⎭⎰⎰ ()()1112d a x d a x a a x a x ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣⎦⎰⎰1ln 2a x C aa x+=+-例10．csc xdx ⎰()221sin 1csc cos sin sin1cos xxdx dx dx d x xxx===--⎰⎰⎰⎰11cos 11cos lnln21cos 21cos x x C C xx+-=-+=+-+211cos ln ln csc cot 2sin x C x x C x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭例11．⎰2sin2cosC ==-⎰⎰例12．2sin xdx ⎰()21cos 2111sin cos 2sin 22222xxdx dx dx xdx x x C -⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 例13．4cos xdx ⎰()242221cos 21cos (cos )12cos 2cos224x xdx x dx dx x x dx +⎛⎫===++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()11cos 4112cos 234cos 2cos 4428x x dx x x dx +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰311sin 2sin 48432x x x C =+++例14．3cos xdx ⎰()()322coscoscos 1sin sin xdx x xdx x d x =⋅=-⎰⎰⎰31sin sin 3x x C =-+*sin or cos m m xdx xdx ⎰⎰看m 是奇数还是偶数采用的方法是奇数凑微分，偶数倍角来降幂 例15．()112ln dx x x +⎰()()()()()1111ln 12ln 12ln 12ln 212ln dx d x d x x x x x ==++++⎰⎰⎰1ln 12ln 2x C =++例16．261xdx x+⎰()()()223226331111311xdx x dx d xxxx=⋅=+++⎰⎰⎰()31arctan 3xC =+例17．设,cos )(sin 22x x f =' 求 )(x f解：令x u 2sin =,1cos 2u x -=⇒,1)(u u f -='()duu u f ⎰-=1)(,212C u u +-=.21)(2C x x x f +-=2、不定积分的第二类换元法 问题：?11=+⎰dx x解决方法：改变中间变量的设置方法.过程：2,,2t x t dx tdt ===….定理2设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且0)(≠'t ψ，又设)()]([t t f ψψ' 原函数，则有换元公式[])()()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ=⎰⎰'=其中)(x ψ是)(t x ψ=的反函数.例1．⎰令2,,2t x t dx tdt ===2111221111dx tdtt dt dt tt t +-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰22ln 12ln 1t t C C =-++=++例2．⎰令65,,6t x t dx t dt ===⎰=2253411166611tt t dt dt dt t ttt-+==+++⎰⎰⎰211616ln 112t dt t t t C t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰(6ln 1C =++ta 2-x 2xa t a 2-x 2xata 2-x2x a例3．()0a >⎰22sin cos 1,sin ()22t t x a t t ππ+==-<<cos ,cos a t dx a tdt===2221cos 2cos2tatdt adt +==⎰⎰⎰()221sin 2sin cos 222a a t t C t t t C⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭2arcsin2ax C a=++例4．(0)a >⎰22tan 1sec ,tan ()22t t x a t t ππ+==-<<2sec ,sec a t dt a tdt==2sec sec lnsec tan sec a t dt tdt t t C a t===++⎰⎰⎰1lnln C x C =+=++⎰例5．(0)a >⎰22sec 1tan ,sec 02t t x a t t π⎛⎫-==<<⎪⎝⎭tan ,sec tan a t dx a t tdt==sec tan sec lnsec tan tan a t t dt tdt t t C a t===++⎰⎰⎰tant a=1lnln C x C =+=++⎰例6．求dx x x⎰+13解：令,6t x =则dx x x⎰+13=dt t tdt t t t⎰⎰+=+166128523=dt t t t t t t ⎰+++++-+11)1(3)1()1(62223226=6C arctgt t t t t x +++---]325171[33567例7．求dx e exx⎰+421解：du u u du u uuu dx e exx ⎰⎰⎰-=--=+244324424)1(14.)1(1=C u u+-343474（将u 代回）=C e e x x++-+4347)1(34)1(74说明：(1) 以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式。

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

浅谈求不定积分的第一换元积分法作者：杨付贵来源：《科学与财富》2019年第13期摘要：在微积分中，已知函数需要求它的导数或微分。

而在实际应用中，大多数情况是已知函数需要求它的积分，即微分法的逆运算——积分。

由于在积分学中，不定积分是定积分、重积分、曲线积分和曲面积分的基础，因此，学好不定积分十分重要。

然而，在学习不定积分过程中发现，不定积分不像求导数或微分那样直观和“有章可循”。

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。

在教学中，如何采用简单可行的方法，本文根据自己多年来在教学和学习过程中经验和体会，对不定积分的第一换元积分法的解法首先做了简介，然后进行归纳和总结。

为读者在学习不定积分的第一换元积分法时提供思路。

文中如有错误之处，望读者批评指正。

关键词：不定积分；换元法；凑微分法。

不定积分的换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。

而在解题过程中我们更加关注的是什么时候使用第一换元法，什么情况下使用第二换元法，以及如何换元，通常情况下一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。

由于不定积分的第一换元积分法（凑微分法）是不定积分学中的一类非常重要的、基本的计算积分的方法。

也是不定积分中的一个重点和难点。

学生们在学习（或复习）不定积分的第一换元法（凑微分法）法时，对其使用并不熟练，特别是对于普通高校文科的学生以及民办高校的学生，用第一换元法（凑微分法）解题的技巧表现得更生硬，他们不知道什么时候用不定积分的第一换元积分法（凑微分法），如何换元，以及怎样才能够更加熟悉，掌握，应用第一换元积分法。

下面我结合自己近四十年，在各高校讲授高等数学的经验和体会，谈一下第一换元积分法（凑微分法）的基本思想，然后通过举例，详细介绍不定积分第一换元积分法的求解方法及使用要点与技巧。

最后进行归纳，总结。

仅供大学生学习不定积分的第一换元积分法（凑微分法）时参考。

一.第一换元法（凑微分法）的基本思想第一换元积分法也称为凑微分法。

不定积分第一类换元法不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4n n n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰ （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰ （5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

浅谈不定积分的第一换元法作者：张红珍
来源：《新教育时代·学生版》2019年第27期
摘要：通过对高等数学课本上的一道不定积分题，给出了若干种不同的解法，并进一步总结了不定积分第一换元法（或凑微分法）的一些常用的計算方法和技巧，促使学生深入考虑学习中所遇到的问题，激起学生学习数学的兴趣。

关键词：不定积分第一换元法计算方法技巧
在同济大学应用数学系的《高等数学》上册（第六版，P222）给出了一道不定积分的计算题：，下面从这道题目的不同解法来探讨并总结不定积分第一换元法（或凑微分法）的一些常用计算方法和技巧，加深同学们对这个换元法的理解和掌握。

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京，高等教育出版社，2002.。