不定积分换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。

几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(；○4nn n n x d x f n dx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ； ○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f x dxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ （3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。

不定积分第一类换元法
不定积分是微积分中的一个重要概念，可以用来求解函数的原函数。

其中，不定积分第一类换元法是常用的一种方法之一。

不定积分第一类换元法，也叫做一般换元法，是指通过代入新的自变量来将被积函数化为更简单的形式，从而便于求取原函数的方法。

具体来说，将被积函数中的自变量用一个新的变量替代，然后将原本的自变量用新变量的函数表示出来，并将其代入被积函数中，最后通过简单的代数运算求取原函数。

换元法的主要思想是通过变量代换，将一个复杂的函数转化为一个简单的函数，从而使不定积分的计算更加容易。

在进行不定积分第一类换元法时，需要注意两个方面：
1、选择合适的换元变量：要选择一个能够将被积函数转化为更简单形式的变量，通常选择被积函数中的某个因子或者某个函数。

2、确定新的积分上下限：在将原函数用新变量表示出来后，需要将积分上下限也用新变量表示出来，以便对新函数进行积分。

例如，对于不定积分∫x^2/(x+1)^3 dx，我们可以选择x+1 作为新变量，即令t=x+1，则原不定积分可以表示为∫(t-1)^2/t^3 dt。

然后，我们对新函数
进行简单的代数运算，得到原函数为-1/(2(t+1)) - 1/(t+1)^2 + C。

需要注意的是，在换元法中，要保证函数的可导性和单调性，以便进行变量代换和积分。

此外，还需要注意积分上下限的变换，避免出现错误的结果。

综上所述，不定积分第一类换元法是一种常用的方法，可以通过选择合适的换元变量将被积函数转化为更简单的形式，并通过代数运算求得原函数。

这种方法在解决某些特定的积分问题时非常有用。

不定积分的换元法不定积分是微积分的重要内容，其中换元法是计算不定积分的一种常用方法。

换元法是指将被积函数中的变量通过代换，转化为新的自变量的函数形式进行积分求解。

一、基本概念在介绍换元法之前，首先需要了解一些基本概念。

1. 不定积分：指对一个函数进行求导的逆运算，即对于函数f(x)，若F(x)是其导数，则F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记为∫f(x)dx。

不定积分中的积分符号∫表示对变量的积分，dx表示被积函数中的自变量。

2. 原函数：指函数f(x)的一个不定积分F(x)，即F(x)是f(x)的原函数。

3. 积分变量：指被积函数中的自变量。

4. 积分限：指积分区间的起点和终点。

5. 积分常数：表示积分时所得到的结果中的常数项，因为不定积分中存在无限个解，所以需要添加积分常数来求得特定的解。

二、换元法的原理假设对于被积函数f(x)，想要将其变为一个与变量t有关的函数g(t)，即f(x) = g(t)，则可通过以下步骤进行换元：1. 选取一个可导函数u(x)，并令t = u(x)，则有t' = u'(x)。

2. 则原式∫f(x)dx = ∫g(t)dt。

3. 将自变量x换成新的自变量t，被积函数中的自变量x的所有出现均用对应的t代替。

4. 将x关于t求导，将t'代入被积函数中dt中，并将dx用du 表示。

5. 对新的函数∫g(t)dt进行求解。

6. 最后将所得解中的t用x表示，并加上积分常数C。

三、实例分析以求解∫2x/(1+x^2)dx为例，借助于换元法进行求解。

1. 令t = 1 + x^2，则有dt/dx = 2x，可以得出dx = dt/2x。

2. 将原式转化为∫2x/(1+x^2)dx = 2∫(1+x^2)/(1+x^2) * 1/(1+x^2) dt = 2∫(1/(t/2))dt。

3. 对新的函数2∫(1/(t/2))dt进行求解，解得结果为2ln|t| + C，其中|t|表示t的绝对值。

不定积分换元法1. 引言在微积分中，不定积分是求函数的原函数，也就是求导函数的逆运算。

不定积分换元法是一种求解复杂函数的不定积分的方法，通过引入一个新的变量来替代原函数中的一个或多个变量，从而简化不定积分的求解过程。

2. 换元法的基本思想换元法是一种利用代换来简化不定积分的方法。

它的基本思想是通过引入一个新的变量来代替原不定积分中的一个或多个变量，使得不定积分式子变得更加简单，从而更容易求解。

3. 换元法的步骤换元法的求解步骤如下：步骤1：选择合适的换元变量首先需要选择一个合适的变量来替代原不定积分中的一个或多个变量。

选择合适的换元变量是换元法的关键。

步骤2：计算新的不定积分将原不定积分中的变量用选定的换元变量表示，并计算出新的不定积分。

步骤3：替换回原变量将新的不定积分表达式中的换元变量替换回原变量，得到最终的不定积分表达式。

步骤4：确定积分常数在求得最终的不定积分表达式后，需要确定积分常数。

4. 换元法的应用举例以下举例说明换元法在不定积分中的应用：例1：求解∫(2x + 1)³ dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x + 1。

步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u 表示，得到∫u³ du。

步骤3：替换回原变量，将u³替换成(2x + 1)³，得到最终的不定积分表达式∫(2x + 1)³ dx。

步骤4：确定积分常数。

最终得到∫(2x + 1)³ dx = (2x + 1)⁴/4 + C，其中C为积分常数。

例2：求解∫(sin 2x) dx步骤1：选择合适的换元变量，令u = 2x。

步骤2：计算新的不定积分，将原不定积分中的变量用u表示，得到∫sin u du。

步骤3：替换回原变量，将sin u替换成sin 2x，得到最终的不定积分表达式∫(sin 2x) dx。

步骤4：确定积分常数。

最终得到∫(sin 2x) dx = -1/2 cos 2x + C，其中C为积分常数。