阶常系数齐次线性方程解法

高阶常系数齐次线性微分方程的解法
高阶常系数齐次线性微分方程（HCCLDE）是一类常见的微分方程，由一个高次项和多个常系数组成。

它可以用来描述许多物理系统的运动规律，如波动方程，动力学系统，电磁学系统等。

因此，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一件重要而又复杂的工作。

首先，为了解决HCCLDE，需要根据给定的方程确定一
个基本的解，可以使用求解基本解的常用方法，如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开等。

其次，要求出方程的通解，需要对基本解进行叠加，也就是找到该方程的特解，可以采用求解特解的常用方法，如换元法、拉普拉斯变换、Laplace变
换等。

最后，将基本解和特解叠加，就可以得到高阶常系数齐次线性微分方程的通解。

为了求解HCCLDE，必须了解其特性，并利用相应的数
学方法。

根据HCCLDE的特性，可以把HCCLDE的解分为基本解和特解，并通过叠加这两类解得到它的通解。

此外，可以利用常用的方法求解基本解和特解，例如解析法、拉普拉斯变换、Fourier级数展开、换元法、Laplace变换等。

总之，解决高阶常系数齐次线性微分方程是一项复杂的任务，需要结合相关知识和技术，并利用一些常用的数学方法来解决。

通过了解HCCLDE的特性，可以将它的解分为基本解
和特解，并将它们叠加，最终得到HCCLDE的通解。

四阶常系数齐次线性微分方程\[a_4y^{(4)}+a_3y^{(3)}+a_2y''+a_1y'+a_0y=0\]的微分方程，其中$a_0,a_1,a_2,a_3,a_4$为常数，$y^{(4)}$表示$y$的四阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y'$表示$y$的一阶导数。

在本文中，我们将详细研究这种类型的微分方程及其解的性质。

一、特征方程和特征根对于四阶常系数线性齐次微分方程，我们可以构造其特征方程。

将$y=e^{rx}$代入方程，可得\[a_4r^4+a_3r^3+a_2r^2+a_1r+a_0=0\]这是一个关于$r$的代数方程，称为特征方程。

通过求解特征方程，可以得到其根$r_1,r_2,r_3,r_4$，这些根被称为特征根。

二、特解的形式根据特征根的不同情况，我们可以分为以下几种情况：1.当特征根都是不相同的实数$r_1,r_2,r_3,r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+C_3e^{r_3x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

2. 当有重根$r_1=r_2=r_3\neq r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x)=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{r_1x}+C_4e^{r_4x}\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

3. 当有一对共轭复根$r_1 = \alpha + \beta i, r_2 = \alpha -\beta i$和两个不相同实根$r_3, r_4$时，方程的通解可表示为\[y(x) = e^{\alpha x}[(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) + C_3e^{r_3x} + C_4e^{r_4x}]\]其中$C_1,C_2,C_3,C_4$为任意常数。

二阶常系数齐次线性方程的解法前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。

但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。

但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。

二阶线性齐次方程的解法二阶线性齐次方程的一般形式为：，其中a1，a2为实常数。

我们知道指数函数e ax求导后仍为指数函数。

利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使e ax满足方程上面的方程。

我们可令：，代入上面的方程得：因为e ax≠0，所以：这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e ax就是方程的一个解。

方程就被称为方程的特征方程。

根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：1.特征方程有两个不等的实根的情形设此两实根为。

于是是齐次方程的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：其中c1，c2为实常数。

2.特征方程有重根的情形此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：.于是方程的通解为:3.特征方程有共轭复根的情形设共轭复根为，那末是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式：，为此可以得到方程的通解：由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：1.对照方程写出其特征方程：；2.求出特征方程的两个根：ρ1，ρ23.根据ρ1，ρ2是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。

例题：求方程的通解.解答：此方程的特征方程为：它有两个不相同的实根，因此所求的通解为：[返回页首][关闭窗口]爱华女子网校版权所有，如若转载请联系我们。

高阶常系数齐次线性微分方程的解法凯歌【摘要】常微分方程是微积分学的重要组成部分，求解高阶微分方程是常微分方程的一难点问题，通常用适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。

结合多年的教学经验，归纳总结给出高阶常系数齐次线性微分方程的一些求解方法，包括常系数齐次线性微分方程和欧拉方程以及可降阶的高阶微分方程等，并通过例题阐述各种方法。

%Ordinary Differential equation is an important part of differential and integration. Solving Ordinary Differential equation of difficult prob-lem is the differential equations of high order. Generally, in order to achieve the purpose to solve problems, it uses an appropriate variable substitution. With many years of teaching experience, summarizes to give some methods for solving the linear differential equation of higher-order, including homogeneous linear differential equation with constant coefficient, Euler equations and higher-order differential of reduce order and so on, gives an example to explain a variety of methods.【期刊名称】《现代计算机（专业版）》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P26-28,51)【关键词】微分方程;特征方程;欧拉方程;齐次方程【作者】凯歌【作者单位】内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特 010070【正文语种】中文求解常微分方程的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶微分方程则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。

4.2 常系数高阶线性方程基本解组求法(How to Solve higher order Linear ODE with constant coefficients)[教学内容] 1. 介绍常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的概念; 2.介绍如何由常系数高阶齐次线性微分方程特征方程的根来获得原微分方程基本解组; 3. 介绍如何说明常系数齐次线性微分方程一组解能否构成基本解组;4. 介绍欧拉方程及其解法.[教学重难点] 重点是知道并会常系数高阶齐次线性微分方程（或 欧拉方程）特征方程来获得原微分方程基本解组； 难点是如何由特征方程的特征根来写出原微分方程的基本解组.[教学方法] 预习1、2；讲授3[考核目标]1. 能写出常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的形式2. 能由常系数高阶齐次线性微分方程或欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道试解法以及微分方程复函数解概念以及其与实函数解关系.1. 认识常系数高阶齐次线性微分方程的试解法.例45. 考察微分方程 x λdtdx =，由分离变量法可得其通解为λt Ce x =. 现考察常系数齐次线性微分方程06x dtdx dt x d 22=--. 大胆假定方程具有形如λt e x =的解，将其代入原方程得到，06)λ(λ e 2λt =--.注意到0e λt ≠，因此λt e x =是方程的解⇔ 06λλ2=--. 我们称代数方程06λλ2=--为微分方程06x dt dx dt x d 22=--的特征方程. ( 如何由常系数齐次线性微分方程来写出其特征方程 ？)由特征方程06λλ2=-- 解出3λ 2,λ21=-=，相应地得到原微分方程的两个解-2t 1e (t )x =，3t 2e x =.下面验证(t) x (t),x 21线性无关：21212)t (33t2t -3t -2t21λλ ,0λλ11e 3e 2e -e e (t)]x (t),W[x ≠≠==-（这里行列式叫做范德蒙行列式，参见《高等代数》 P79例2）因此，(t ) x (t ),x 21构成了原微分方程一个基本解组，原方程的通解为R C ,C ,e C e C x 213t 22t 1∈+=-.例46. Solve the differential equation 02y dtdy 6dt y d 222=++. Solution The associated characteristic equation is 026λ2λ2=++. By applying the quadratic formula, we get two different roots:2532216366λ±-=⋅-±-=。

n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法是一种常用的求解常微分方程的方法。

一般情况下，n阶常系数齐次线性常微分方程可以表示为：$$a_n\frac{d^nx}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dx}{dt}+a_0x=f(t)$$其中，$a_n$、$a_{n-1}$、$\cdots$、$a_0$是常数，$f(t)$是右端函数。

首先，我们计算特征方程的根，即求解：$$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0=0$$当特征方程的根有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到：$$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2te^{\lambda_1t}+\cdots+C_{m-1}t^{m-1}e^{\lambda_1t}+C_me^{\lambda_2t}+C_{m+1}te^{\lambda_2t}+\cd ots+C_{n-1}t^{n-1}e^{\lambda_2t}+C_nt^ne^{\lambda_2t}$$这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$是特征方程的根，其中$\lambda_1$可能与$\lambda_2$相等。

当特征方程的根没有重根时，求解该常微分方程的通解可以通过以下变换得到：$$x=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}+\cdots+C_ne^{\lambda_ nt}$$这里，$C_1$、$C_2$、$\cdots$、$C_n$是常数，而$\lambda_1$、$\lambda_2$、$\cdots$、$\lambda_n$是特征方程的根。