第3讲 排队系统的基本概念
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排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队系统
2. 排队系统的概念
在实际应用中，有一大类系统被称之为随机服务系统或排队系统。在这些系统中顾 客到来的时刻与服务时间的长短都是随机的，并且可能会随不同的条件而变化，因而 服务系统的状况也是随机的，会随各种条件而波动。在电信网络中，交换机就可以看 成是一种随机服务系统。对于不同的电信网络，可以使用不同的排队系统模拟不同的 电信业务交换机进行分析。模拟这些系统的排队系统的状态变化实际上是一个生灭过 程。
到来的顾客流
队列
离开的顾客流 服务员
服务机构
图1.排队系统模型
•
要仔细描述一个排队系统，主要需要描述三个方面的内容：输入过程、服务 时间、排队方式等。下面使用一个随机点移动模型来说明关于排队系统的模型 和假设。
t1 t2 服务员 队列
服务机构
τ1
τ2
图2 排队系统的点移动模型 如果只有一个服务员，在轴上有一些点从左向右做同 速率的匀速直线运动，图中的t1,t2….表示顾客到达排队系 统的到达间隔，它们均为随机变量；在系统忙时，τ1， τ2…表示不同顾客的服务时间，它们也是随机变量，关于 ti和τi满足下面3个假设： （1）ti独立同分布； （2）τi独立同分布； （3）ti和τi独立。
图4到达过程A(t)和离开过程B(t)
列德尔（Little）公式
•
如果N 表示系统中的平均顾客数，T 表示顾 客在系统中的平均时间（这个时间 有时也 被称为系统时间）,λ 表示单位时间到达系 统的顾客数，对于任意排队系统，有 N= T λ 上面结论可以证明对于 任意排队系统都是正确的，直观意义就是 一种平衡关系。
图3 排队系统模型
3. Little公式
Little 公式描述了任意排队系统满足的关系，下面通过简单描述来说明该公式。 下 面考虑一个任意的排队系统，为了说明 Little 公式，首先定义：A（t）为在（0,t ） 内到达的顾客数；B(t)为在（0，t）内离开的顾客数；那么t时刻系统内的顾客数为 N（t）=A(t)-B(t)
排队系统分析 全
= 0.122;
(2) P4 = ρ 4P0 = 1.254 × 0.122 = 0.298;
(3) λe = λ(1 − P4 ) = 1× (1 − 0.298) = 0.702;
(4)
Ls
=ρ 1− ρ
−
(4 + 1)ρ 1− ρ5
5
=
1
1.25 − 1.25
−
5 1
× −
1.255 1.255
Pn，表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。
排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间：
一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。
等待时间：
一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。
第二节 到达与服务的规律
现实中的例子：
•程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
（2）等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下 来等待，直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为： • 先到先服务（FCFS） • 后到先服务（LCFS） • 带有优先权的服务（PS）
ห้องสมุดไป่ตู้ 2. 排队规则
（3）混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长；或允许等待但不允许等待时间无 限长。
二. 排队模型的表示 火车站排队.flv
（X/Y/Z/A/B/C）
X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
二. 排队模型的表示
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS）表示：
排 队 系 统
17
顾客到达
队列
服务台1 服务台2 服务台3
（e）多队列、多服务台、单服务阶段
顾客离去
18
2、排队结构类型的特点
队列数量对排队类型特点的影响
单队列：比较公平，先来者先服务，顾 客不必担心排错队 多队列：感觉比较短、比较快，离服务 员距离近；当发现自己选择对了队伍， 比先来者先获得服务，那么他会获得一 种幸运的感觉。
4
2、顾客源总量
有限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量比
较少，每一位顾客的到来和离去都会影响到队列的长度， 影响到下一次要求服务的概率。
例如：咨询公司、律师事务所、美容店的 顾客人数 无限总量：是指到服务系统接受服务的顾客数量非
常多，顾客人数的少量增减不会对顾客到达时间的概率 分布产生显著影响。
也就是说，随机变量“顾客到达率”或“顾 客到达人数”服从参数为λt（当t取1时，该参数 为λ，即平均顾客到达人数）的泊松分布。
11
二、排队规则
排队规则：也就是优先服务规则，它决定了顾
客队列中哪些顾客将优先获得服务。
排队规则的制定：它可能是由服务系统明确规定的，
也可能是出于行规或人们普遍接受的社会观念。
例如，高速公路收费服务
5
3、顾客群规模
含义：是指一起来消费的同一组顾 客的数量。到达的顾客群规模一般 服从一定的概率分布。 对顾客群规模的预测，将会关系到 服务系统服务能力的配置和调整。 例如，餐馆的餐桌配置应当依据顾 客群规模的预测。
6
4、耐心程度
耐心顾客:在接受服务前一直在等待的顾客。 不够耐心的顾客分为两类：
负指数分布具有连续型的概率密度函数 泊松分布是一种离散型的概率函数
8
负指数分布
排队论
排队论道路上交通流排队现象随时可见，如高速公路收费站的车辆排队，加油站等候加油的车辆排队等等。
因此，有必要研究交通流中的排队理论及其应用。
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。
一、排队论的基本概念1．“排队”与“排队系统”“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务的，而“排队系统”既包括了等待服务的，又包括了正在服务的车辆。
2．排队系统的三个组成部分（1）输入过程指各种类型的“顾客（车辆或行人）”按怎样的规律到来。
有各种类型的输入过程，例如：定长输入——顾客等时距到达。
泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。
这种输入过程最容易处理：因而应用最广泛。
爱尔朗分布——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
（2）排队规则指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
例如：损失制——顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来；等待制——顾客到达时，若所有服务台均被占，它们就排成队伍，等待服务。
服务次序有先到先服务（这是最通常的情形）和优先服务（如急救车、消防车）等多种规则；混合制——顾客到达时，若队长小于L，就排入队伍；若队长大于等于L，顾客就离去，永不再来。
（3）服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。
每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。
服务时间的分布主要有如下几种：定长分布——每一顾客的服务时间都相等；负指数分布——即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布；爱尔朗分布——即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。
3．排队系统的主要数量指标（1）等待时间——从顾客到达时起到开始接受服务时的这段时间; （2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度；（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
排队系统
排队系统的主要数量指标
队长——是指系统中的平均顾客数(排队等待的顾客数与
正在接受服务的顾客数之和)。
L或Ls—— 平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数 平均队长，
的期望值；
队列长——是指系统中正在排队等待服务的平均顾客数。 Lq—— 平均等待队长或队列长 ， 即稳态系统任一时刻的 平均等待队长或队列长，
排队模型
典型的排队例子
到达的顾客 在公路收费站排队的车辆 病人 到达机场上空的飞机 不能运转的机器 到达港口的货船 客户 进入我方阵地的敌机 汽车驾驶员 需加油车辆 服务内容 收费 看病 降落 修理 装货（卸货） 装货（卸货） 法律咨询 我方防空火力射 执照年码头或泊位 法律咨询人员 我方高炮或防空导弹 管理部门年审办事员 加油站的加油机
排队系统基本概念
“顾客”——要求服务的对象统称； 顾客” 服务台” 服务员” “服务台”或“服务员”——提供服务的人或机 构；
不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统。 不同的顾客与服务组成了各式各样的服务系统 。 顾客为了得到某种服务而到达系统， 顾客为了得到某种服务而到达系统 ， 若不能立即获得 服务而又允许排队等待，则加入等待队伍， 服务而又允许排队等待 ， 则加入等待队伍 ， 待获得服 务后离开系统，见图1至图5 务后离开系统，见图1至图5。
按以上数据可推算出每一顾客到达、服务开始、服务结束 的时刻以及顾客排队等待时间、在系统中停留时间和售票 员空闲的时间。将数据依次填入表中。 20次试验中顾客停留时间的平均值：72/20＝3.60分。 售票员空闲时间占总时间的百分数：34/103＝33%
三、排队论研究的基本问题 排队论研究的首要问题是排队系统主要数 量指标的概率规律，即研究系统的整体性质，然 后进一步研究系统的优化问题。与这两个问题相 关的还包括排队系统的统计推断问题。 (1)通过研究主要数量指标在瞬时或平稳状 态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的 基本特征。 (2)统计推断问题，建立适当的排队模型是 排队论研究的第一步，建立模型过程中经常会碰 到如下问题：检验系统是否达到平稳状态；检验 顾客相继到达时间间隔的相互独立性；确定服务 时间的分布及有关参数等。
排队系统
M—— 负指数分布(M是Markov的字头，因为负指数分布具有 无记忆性，即Markov 性)。 D —— 确定性(Deterministic)。
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
X/Y/Z
其中， XEk—— k阶爱尔朗(Erlang)分布。 ——表示相继到达间隔时间的分布； YGI —— 一般相互独立(General Independent)的随机分布。 ——表示服务时间的分布； ZG —— 一般(General)随机分布。 ——表示并列的服务设备的数目。
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.1 排队论的基本概念
排队模型的分类——例题
D/M/2
表示的是并行双服务机构的服务系统，客户到 客户到达系统的间隔时间为确定的定长分布 达的时间间隔符合定长分布，服务时间符合负 系统服务机构的服务时间为负指数分布 指数分布。 系统并行的服务机构数量为2台（单队排队）
队列的度量
已知平均到达速率λ和平均服务速率μ,定义业务量强度u为
u
在某些场合下，到达的动态实体并不全都能够得到服务。 因此有必要区分实际到达速率λ’以及得到服务的到达速率λ。
此时的业务量强度u为
' u
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
合一般分布。 系统的服务机构数量为1台
工业工程与管理系
Industrial Engineering & Management
3.2 到达时间间隔和服务时间分布 引
收集顾客到达的时间间隔 运用回归法等统计方法， 计算得到到达模式分布的理论值
言
收集服务的时间统计值 运用回归法等统计方法， 计算得到服务时间分布的理论值
随机服务系统理论排队论
随机服务系统理论排队论
第三，排队系统是由顾客到达过程、服务过程和排队结构组成的。
排
队结构主要包括单通道排队系统、多通道排队系统和并行排队系统等。
单
通道排队系统是指只有一个服务设施，顾客依次等待服务；多通道排队系
统是指有多个并行的服务设施，顾客可以选择一个通道等待服务；而并行
排队系统是指有多个并行的服务设施，顾客可以同时接受多个设施的服务。
通过对排队系统的研究，可以分析系统的繁忙程度、排队长度和等待时间
等指标，为系统的设计和管理提供依据。
最后，排队系统的性能评估和优化是排队论研究的核心任务。
性能评
估主要包括系统的平均等待时间、平均服务时间、系统繁忙度等指标；而
优化问题主要包括如何设计系统的排队结构、如何分配资源和如何调整服
务策略等。
通过对性能评估和优化的研究，可以提高系统的服务能力和服
务质量，提高顾客满意度和系统的效益。
排队系统概述
顾客到达
……
服务台
服务完成后离开
图二 单服务台服务过程
服务台1
顾客到达
……
服务台2
………
服务台S
服务完成后离开
图三 多服务台并联单个队列服务过程
……
服务台1
服务完成后离开
顾客到达
…… 服务台2
服务完成后离开
……
………
服务台S
服务完成后离开
图四 多服务台并联多个队列服务过程
顾客到达
…… 服务台1
…… 服务台S
（4）顾客的到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后顾客的到来没 有影响。在港口，前面船舶的到达时间对后面船舶的到达时间没有影响。
（二）排队规则。排队规则主要描述服务机构是否允许顾客排队、顾客 对排队长度、时间的容忍程度以及在排队队列中等待服务的顺序。常见 的排队规则有如下几种情况：
（1）损失制排队系统。这种排队系统的排队空间为零，即不允许排队，顾客到 达系统时，若所有服务台均被占用，则自动离去，并假定不再回来。 （2）等待制排队系统。当顾客到达时，如所有服务台均被占用且允许排队，则 该顾客将进入队列等待。对于等待制，为顾客进行服务的次序可以采用以下规 则： ① 先到先服务（FCFS）。按照到达先后次序排成队依次接受服务，是最常见的 服务规则； ② 后到先服务（LCFS）。后到达的顾客先先接受服务。如仓库中后到的零件、 材料由于堆放在最上面而先被领走就属于这种情况； ③ 优先权服务（PR）。按照重要性对到达的顾客进行分类，服务设施优先对重 要性级别高的顾客服务，级别相同的顾客则按照先到先服务原则。如银行服务 系统对VIP客户实施优先服务，普通顾客则按照先到先服务原则进行服务； ④ 随机服务（SIRO）。到达服务系统的顾客不成队伍，当服务设施有空时，随 机选取一名顾客进行服务，对每名等待的顾客来说，被选取的概率相等。如， 仓库中并排放置的零件，当有领单下达时，库管员是随机选取的。
运筹学 16-排队系统
考虑： 1.售票处空闲的概率； 2.顾客在系统中平均等待时间和逗留时间； 3.系统中平均总顾客数和排队的顾客数。
管理人员和顾客关心和研究的问题
系统中没有顾客的概率 排队等候的顾客的平均数 系统中顾客的平均数 一个顾客在队列中等候的平均时间 一个顾客在系统中等候的平均时间 一个顾客必须等待服务的概率 系统中有n个顾客的概率
排队论简史
➢ 排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹 麦数学家、电气工程师爱尔兰（A.K.Erlang）用概率 论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学 学科，并为这门学科建立许多基本原则。他在热力学 统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡 模型并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的 埃尔朗电话损失率公式。
接受服务
顾客 离开
顾客到达时间
接受服务时间
随机变量
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客相继到 达时间间隔和服务时间这两个量中至少有一个是随机的， 因此，排队论又称随机服务理论。
二. 排队模型的表示
用记号（X/Y/Z/A/B/C）表示，其中 X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
有形排队现象：进餐馆就餐，到图书馆借书，车站等车， 去医院看病，售票处售票，食堂就餐，生产线上的半成品 等待加工，码头的船只等待装卸货物等现象。
无形排队现象：如几个旅客同时打电话订车票；如果有一 人正在通话，其他人只得在各自的电话机前等待，他们分 散在不同的地方，形成一个无形的队列在等待通电话。
现实世界中形形色色的排队系统
顾客到达
服务完成后离开
服务台
2、多个服务台，单队列的排队系统
顾客到达
管理人员和顾客关心和研究的问题
系统中没有顾客的概率 排队等候的顾客的平均数 系统中顾客的平均数 一个顾客在队列中等候的平均时间 一个顾客在系统中等候的平均时间 一个顾客必须等待服务的概率 系统中有n个顾客的概率
排队论简史
➢ 排队论起源于20世纪初的电话通话。1909—1920年丹 麦数学家、电气工程师爱尔兰（A.K.Erlang）用概率 论方法研究电话通话问题，从而开创了这门应用数学 学科，并为这门学科建立许多基本原则。他在热力学 统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡 模型并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的 埃尔朗电话损失率公式。
接受服务
顾客 离开
顾客到达时间
接受服务时间
随机变量
一般来说，排队论所研究的排队系统中，顾客相继到 达时间间隔和服务时间这两个量中至少有一个是随机的， 因此，排队论又称随机服务理论。
二. 排队模型的表示
用记号（X/Y/Z/A/B/C）表示，其中 X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
有形排队现象：进餐馆就餐，到图书馆借书，车站等车， 去医院看病，售票处售票，食堂就餐，生产线上的半成品 等待加工，码头的船只等待装卸货物等现象。
无形排队现象：如几个旅客同时打电话订车票；如果有一 人正在通话，其他人只得在各自的电话机前等待，他们分 散在不同的地方，形成一个无形的队列在等待通电话。
现实世界中形形色色的排队系统
顾客到达
服务完成后离开
服务台
2、多个服务台，单队列的排队系统
顾客到达
排队论简要知识
某些情况下，排队问题仅用上述表达形式 中的前3个符号。例如，某排队问题为M／M／S，
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
二，排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数 量指标有：
1．队长和排队长(队列长) 队长是指系统中的顾客数(排队等待的 顾客数与正在接受服务的顾客数之和)； 排队长是指系统中正在排队等待服务的 顾客数。队长和排队长一般都是随机变 量。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2．服务规则
(3)混合制 这是等待制与损失制相结合的一
种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许 队列无限长下去。具体说来，大致有三种： 1)队长有限。当排队等待服务的顾客人数超过 规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服 务，即系统的等待空间是有限的。 2)等待时间有限。即顾客在系统中的等待时间 不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时， 顾客将自动离去，并不再回来。 3)逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
各种形式的排队系统
随机服务系统
排队论所要研究解决的问题
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务 设施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出 就越大，甚至会出现空闲浪费，如果服务设施太 少，顾客排队等待的时间就会很长，这样对顾客 会带来不良影响。如何做到既保证一定的服务质 量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解 决顾客排队时间与服务设施费用大小这对矛盾， 就是随机服务系统理论——排队论所要研究解决 的问题。
第三章 排队系统(3.4)
M/G/1排队系统
0
顾客所需的服务时间序列 i , i 1相互独立，服从同一分布G (t),t>=0,记平均
服务时间为 0< 1 = t dG t
P vn =k =
t
k!
k
0
e-t d G t , k 0
k Vn z =E z = P v = k z n v k =0 k
M/G/1排队系统
• 对于M/G/1排队系统，由于服务时间是一般分布，对任选 的一个时刻t，正在接受服务的顾客可能没有服务完。从 时刻t起的剩余服务时间的分布不再具有无记忆性质，于 是队长过程{N(t)，t>=0}不再具有马尔可夫性质。
令 N n+ 表示第n个顾客服务完毕离开时留在系统中的顾客数，
则 N n+ ,n 1 是马尔可夫链，被称为队长过程{N(t)，t>=0}的 嵌入马尔可夫链。
+ + + + Nn N , N • 当已知 N n 时， 只与到达过程有关，而与 +1 1 2 ,
+ ,N n -1 无关。
+ + • 定义 Pij 为其一步转移概率，即 Pij =P N n +1 =j N n =i
• 则有
k = lim P vn =k
n
国家重点实验室
M/G/1排队系统
国家重点实验室
M/G/1排队系统
i-1 i-Ni 服务员
第i个用户到达
S 第l个用户正在接受服务 Ni个用户正在等待服务
• 第i个用户的等待时间Wi为
Wi Ri N i 个用户的服务时间 Ri
排队理论模型课件
表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务 n
时间所构成的序列
{ }n 服从相互独立的且与某一随机
变量
有相同分布，其中
的概率分布是已知的可以
根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分布(定长分布，一般独立分布等) (3)排队与服务规则 顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制，消失制和混合制。所谓等待制(系统容量
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设 计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为
排队等待的顾客数，其期望记为 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以
煤矿
火车
煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有 (6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验有关分布。
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负指数分布， 则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程，而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随机过程的生灭过程。
t n(t)
n
' n(t)
第十三章排队系统分析
服务台(员)为顾客服务的顺序: a)先到先服务(FCFS); b)后到先服务(LCFS); c)随机服务; d)优先服务;
排队模型与系统参数 一、排队模型 (一)排队模型表示方法 1、D.G.Kendall(1953)表示法 X / Y / Z ——依据排队系统3个主要特征： （1） X 顾客到达间隔时间分布； （2） Y 服务台（员）服务时间分布； （3） Z 服务台（员）个数（单个或多个并 列）；
(二)系统运行指标参数 ——评价排队系统的优劣。 1、队长与排队长 (1)队长: 系统中的顾客数（n）； 期望值 Ls=å n*Pn (2)排队长: 系统中排队等待服务的顾客数; 期望值 Lq =
n c 1
( n c ) Pn
Lq= Ls-[正被服务的顾客数]
2、逗留时间与等待时间 (1)逗留时间: ——指一个顾客在系统中的全部停留时间； 期望值，记为 Ws (2)等待时间: ——指一个顾客在系统中的排队等待时间； 期望值，记为 Wq Ws = Wq + E[服务时间]
一. 排队系统的组成
排队规则
顾客源 排队结构
服排队系统
第一节 排队的基本概念
到达顾客 病 人 进港的货船 到港的飞机 电话拨号 故障机器 修理技工 上游河水 服务内容 诊断/手术 装货/卸货 降落 通话 修理 领取修配零件 入库 服务机构 医生/手术台 码头泊位 机场跑道 交换台 修理技工 仓库管理员 水闸管理员
顾客到达时刻ti
（2）排队结构与排队规则
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
排队系统的基本概念
k 2
K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
14
排队系统
四． 排队系统的符号表示
根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模 型进行描述或分类，可以给出很多的排队模型。为了 方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种目 前在排队论中被广泛采用的“Kendall 记号”，一般形 式为：
28
生灭过程
p
，
n
n
0,1,2,...
求解状态n的概率
为求平稳分布，考虑系统可能处的任 一状态n。假设记录了一段时间内进入状 态n和离开状态n的次数，则因为“进入” 和“离开”是交替发生的，所以这两个数 要么相等，要么相差为1。但就这两种事 件的平均发生概率是相等的。即当系统运 行相当时间到达平稳状态后，对任一状态 n来说，单位时间内进入该状态的平均次 数和单位时间内离开该状态的平均次数是 相等的，这就是系统在统计平衡下的“流
23
排队系统的数据指标
忙期和闲期
B
I
忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲
期为和 ，s为系统中并行的服务台数。
24
排队系统的基本问题
六． 排队系统研究的基本问题
排队系统研究的首要问题是排队系统的主要数量指标的概率规律， 即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。
1. 通过研究主要数据指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数
16
排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系 统的运行的状况，对系统进行调整和控 制，使系统处于最优的运行状态。因此， 首先需要弄清系统的运行状况。描述一 个排队系统的主要数量指标有：
K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
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排队系统
四． 排队系统的符号表示
根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模 型进行描述或分类，可以给出很多的排队模型。为了 方便对众多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一种目 前在排队论中被广泛采用的“Kendall 记号”，一般形 式为：
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生灭过程
p
，
n
n
0,1,2,...
求解状态n的概率
为求平稳分布，考虑系统可能处的任 一状态n。假设记录了一段时间内进入状 态n和离开状态n的次数，则因为“进入” 和“离开”是交替发生的，所以这两个数 要么相等，要么相差为1。但就这两种事 件的平均发生概率是相等的。即当系统运 行相当时间到达平稳状态后，对任一状态 n来说，单位时间内进入该状态的平均次 数和单位时间内离开该状态的平均次数是 相等的，这就是系统在统计平衡下的“流
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排队系统的数据指标
忙期和闲期
B
I
忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲
期为和 ，s为系统中并行的服务台数。
24
排队系统的基本问题
六． 排队系统研究的基本问题
排队系统研究的首要问题是排队系统的主要数量指标的概率规律， 即研究系统的整体性质，然后进一步研究系统的优化问题。
1. 通过研究主要数据指标在瞬时或平衡状态下的概率分布及其数
16
排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系 统的运行的状况，对系统进行调整和控 制，使系统处于最优的运行状态。因此， 首先需要弄清系统的运行状况。描述一 个排队系统的主要数量指标有：
4-随机服务系统
2
4.1 排队的基本概念
4.1.1 顾客、服务台与服务 顾客、
队列
服务台
进入队列
接受服务
顾客离去
3
4.1.2 排队系统的分类
1、按顾客到达的类型分类 (1)按顾客源顾客的数量，可分为有限顾客源和无限顾客源； 按顾客源顾客的数量， 按顾客源顾客的数量 可分为有限顾客源和无限顾客源； (2)按顾客到达的形式，可分为单个到达和成批到达； (3)按顾客相继到达的时间间隔分布，可分为定长分布和负指 数分布； 2、按排队规则分类 (1)等待制：顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去； 等待制： 等待制 顾客到达后，一直等到服务完毕以后才离去； (2)损失制：到达的顾客有一部分未接受服务就离去； 3、按服务规则分类 (1)先到先服务（FCFS，First Come First Serve）； 先到先服务（ Serve） 先到先服务 FCFS， (2)后到先服务（LCFS，Last Come First Serve）； (3)有优先权的服务（PR，Priority） (4)随机服务（SIRO，Service in Random Order）
密度函数为： 密度函数为：
( t≥0, µ≥0)
一个结论
分布” “到达的顾客数是一个以λ 为参数的 Poisson 分布” 等价于 到达的顾客数是一个以λ “顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布” 顾客相继到达的时间间隔服从以λ 顾客相继到达的时间间隔服从以 为参数的负指数分布”
18
谢 谢
15
4.2 顾客到达和服务时间分布
4.2.1 Poisson 分布 设随机变量X服从 分布， 设随机变量 服从Poisson 分布，则：
λ P [ X=n] = λ n e-λ /n!
数据、模型与决策(第13章排队原理及应用)
2016/2/27
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第13章排队原理及应用
• 二、排队系统的典型分布 • 3、爱尔朗分布
k k t k 1 kt e ,t 0 f t k 1! 0, t 0
0.2 0.15 0.1 0.05 0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
2016/2/27 4来自第13章排队原理及应用
• 一、基本概念 • 5、排队系统的指标 反映排队系统的主要指标有： （1）队长与排队长 队长是排队系统中的顾客数，由排队等候的顾客数和 正在接受服务的顾客数两部分组成。排队长是指排队系统 中正在排队等候的顾客数 。 （2）等待时间和逗留时间 等待时间是顾客到达排队系统那一刻起直到开始接受 服务时所花去的时间。顾客在排队系统中的逗留时间是等 待时间和服务时间的和。 （3）忙期与闲期 排队系统的忙期是指从排队系统有顾客接受服务开始， 到服务台空闲下来的时间长度。
2016/2/27 5
第13章排队原理及应用
• 二、排队系统的典型分布 • 1、定长分布 • 2、泊松分布 x
f ( x) x! e
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
x 0,1,2, , 0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
参数2.5
W
1
1 L
1 1 W
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排队系统
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排队系统
1. 输入过程
说明顾客是按什么样的规律到达系统，需 要从三个方面来描述：
顾客总数。可以是有限的，也可以是无限的； 到达方式。单个到达还是成批到达。库存问题中的进 货为成批到达； 顾客相继到达时间间隔的分布。
3
顾客到达
队列
...
完成服务后离去 服务台
正在接受服务的顾客 单服务台排队系统
4
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排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
2. S 个服务台，一个队列的排队系统
二．排队系统的形式
3. S 个服务台，S个队列的排队系统
排队系统的数据指标
五．排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系统的 运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统 处于最优的运行状态。因此，首先需要弄清系 统的运行状况。描述一个排队系统的主要数量 指标有：
1. 2. 3. 队长和排队长 等待时间和逗留时间 忙期和闲期
•
队长和排队长
1. 队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客 数与正在接受服务的顾客数之和）， 2. 排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客 数。 3. 队长和排队长一般都是随机变量。
• 一般说来，得到N(t)的分布 p{N (t ) n}(n 0,1,2...) 是比较困难的，因此通常是求当系统达到 平衡状态后的状态分布，记为：
pn， n 0,1,2,...
则称｛N(t)，t≥0｝是一个生灭过程。
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排队系统的数据指标
• 上述指标的常用记号
– N (t ) ：时刻t 系统中的顾客数（又称为系统的状 态），即队长。 – N q (t ) ：时刻t 系统中排队的顾客数，即排队长。 – T (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的逗留时 间。 – Tq (t ) ：时刻t 到达系统的顾客在系统中的等待时 间。
t0 t0
（2.1）
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排队系统
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排队系统
2.
a)
②
排队及排队规则
排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占后，后面再来的顾客 不能进入系统接受服务。又可以分为以下两种：
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排队系统的数据指标
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排队系统的数据指标
•
等待时间和逗留时间
1. 等待时间：从顾客到达时刻起到他接受服务 止这段时间。 2. 逗留时间：从顾客到达时刻起到接受服务完 成止这段时间。 3. 等待时间、逗留时间都是随机变量
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排队系统
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排队系统
一．排队系统的特征
1.
• •
二．排队系统的形式
1. 单服务台的排队系统
排队除了有形的队列外，还可以是无形的队 列。
电话预定租车服务； 网络传输；
2. • • • •
排队的可以是人，也可以是物。 生产线上的原材料、半成品； 故障待修的机器； 要进站的火车由于展台被占而等待； 网络打印
• 平衡状态下的指标
– 当系统达到平衡时处于状态n的概率，记为 ，又记： pn
• N：系统处于平衡状态时的队长，其均值为L，称为平均队长； • N q ：系统处于平衡状态时的排队长，其均值为，称为平均排队长； • T ：系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，其均值为W，称为平均逗 留时间； • T ：系统处于平衡状态时顾客的等待时间，其均值为，称为平均等待 q 时间； • •
1 k 2
e b(t ) 0
t
t0 t0
（2.2）
为可知，方差将趋近于零，即为完全非随机的。所以，
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排队系统
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排队系统
（FIFS/LIFS）
四． 排队系统的符号表示
排队系统的数据指标
• 系统的服务强度
当 为常数时，记为 ；当每个服务台的平
n
• 忙期和闲期
– 忙期为B，闲期为I，平均忙期和平均闲期为 B 和 I ，s为 记每个服务台的服务率为
n
，则当 n s 时，有
n
s
。因此，顾客相继达到的
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生灭过程
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0 1 2 ┇ n-1
生灭过程
1 p1 0 p0
• 求解状态n的概率 pn， n 0,1,2,... 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态n。 假设记录了一段时间内进入状态n和离开状态n的 次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的， 所以这两个数要么相等，要么相差为1。但就这两 种事件的平均发生概率是相等的。即当系统运行 相当时间到达平稳状态后，对任一状态n来说，单 位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离 开该状态的平均次数是相等的，这就是系统在统 计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理， 可得到任一状态下的平衡方程如下：
K阶爱尔朗分布（E k ）：每个顾客接受服务的时间服务K阶爱尔朗 分布，其密度函数为
b(t )
k (k t ) k 1 k t e (k 1)!
（2.3）
爱尔朗分布比负指数分布更具有广泛的适应性。当k=1时，爱 尔朗分布为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。 事实上，当k≥30以后，爱尔朗分布近似于正态分布。当k→∞时， 由方差 K阶爱尔朗分布可看成完全随机（k＝1）与完全非随机之间的分布， 能更广泛的适应于现实世界。
•
忙期和闲期
1. 忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起， 到服务机构再次称为空闲止的这段时间 。 2. 闲期是与忙期相对的，是服务机构连续保持 空闲的时间。 3. 忙期和闲期都是随机变量
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排队系统的数据指标
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系统建模与仿真
排队系统
•
知识回顾
1. 离散事件系统（DEDS或DES)基本概念、基 本要素 2. DES系统举例 3. 离散事件系统仿真步骤 4. 离散事件系统策略 5. 手工仿真 排队系统
系统建模与仿真
第三讲 排队系统的基本概念
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X/Y/Z/A/B/C
X 表示顾客相继达到时间间隔的分布；
Y Z A B C 表示服务时间的分布 表示服务台的个数 表示系统容量，即可容纳的最多顾客数 表示顾客源的数目 表示服务规则
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排队系统
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排队系统
二．排队系统的形式
4. 多个服务台的串联排队
顾客到达
队列
三．排队系统描述 实际中的排队系统各不相同，但概括起 来都由三个基本部分组成：输入过程、 排队及排队规则和服务机制。
...
队列
服务台
...
完成服务后离去 服务台 多个服务台的串联排队
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3.
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生灭过程
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生灭过程
•
定义 1： 设｛N(t)，t≥0｝为一个随机过程。 若N(t)的概率分布有如下性质：
1. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客到达 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 2. 假设N(t)＝n，则从时刻t起到下一个顾客离去 的时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布， n＝0，1，2，…。 3. 同一时刻只有一个顾客到达或者离去。
队列 1
服务台 1
...
完成服务后离去
完成服务后离去 服务台 1 完成服务后离去 服务台 2 完成服务后离去 服务台 3
顾客到达
队列
...
服务台 2 服务台 3 S 个服务台，一个队列的排队系统
顾客到达
队列 2
...
队列 3
...
S 个服务台，S个队列的排队系统
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排队系统
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排队系统
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