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思考：2.5章 思考：2.5章：空间坐标描述的控制方程
m( x ) v ( x )
m( x ) v 2 ( x )
x
m( x + dx)v( x + dx)
m( x + dx)v 2 ( x + dx)
p( x)
p ( x + dx)
dx
x
空间坐标
ρ0 A0 1+ ε
假定：等截面
M = ρ Adx = ρ 0 A0 dX
质量守恒： 动量守恒：
x x + dx 均质 细长杆
dx = (1 + ε )dX
引入线密度：m = ρ A =
空间坐标 描述的控 制方程
18Leabharlann 特征线法一阶P.D.E : au x + bu y = c 方程中a,b,c仅是x,y,u的特征函数。上述 P.D.E为拟线性P.D.E。方程的解为：u=u(x,y).
dX C= 物质波速 dt
dψ dt dψ dt
=
W
∂ψ ∂t
+c
x
∂ψ ∂x ∂ψ ∂X
（2.8）
t
（2.6）
物质坐标中的随波微商：
W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
=
W
dx （2.7） c= 空间波速 当 ψ = x( X , t ) dt W
∂ψ ∂t
+C
X
（2.9）
t
c = v + (1 + ε )C
（2.18）
P.D.E也可写成另一种形式：
(u , u
x
即：
y
,−1)• ( a, b, c) = 0
N = (u x , u y ,−1)
（2.19） （切线方向）
在曲面上每点均有一个切线方(a0,b0,c0) 可连成一条条互不相交的曲线，称为P.D.E 的特征线 特征线。利用特征线可以把P.D.E变为O.D.E 特征线
空间坐标法
v v v v F ( X , t ) = F ( X ( x , t ), t ) ⇒ f ( x, t ) v v v v F ( X , t) ⇐ f ( x ( X , t ), t ) = f ( x , t )
两种方法都可以用来研究介质运动的问题，如何选 择，则根据研究问题的方便
（2.10）
11
物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
ρ0 P(X)
dX X X+dX
A0 P(X+dX)
X 物质坐标
两个假定： 两个假定：
（1）一维假定：杆在变形中横截面保持为平面。沿截 面只有均匀分布的轴向应力（只受纵向拉或压作用）。 u(X,t), v(X,t),σ(X,t)，ε(X,t) （2）应变率无关假定。确切的理解：材料在冲击载荷 的某一应变率范围内具有平均意义下的唯一的动态应力 应变关系. σ(ε)
u=u(x,y)在（x，y，u）三维空间中是个曲面。 取其上两个紧挨的点（微元）
u=u(x,y) P Q
uuu r PQ = (dx, dy, du )
对U的全微分为
（2.17）
可写为
(u , u
x
(u , u
x
y
y
,−1) ⊥ PQ
,−1)• (dx, dy , du ) = 0 （2.24）
du = u x dx + u y dy
2
特征线
初始曲线的间断必须沿着特征线走，因此特 征线是间断的传播轨迹。
x
y
利用这三种特征，确定特征线的方法：方向导数法，不 确定线法和间断轨迹法
例2
uu y + y = 0
(a, b, c) = (0, u , − y )
x = k1 = =−y ⇒ 2 2 0 u y +u = k2
特征线方程为： dx dy
空间微商（Euler微商）
对任一物理量： ψ = ψ ( x, t )
∂ψ ∂t
x
∂ψ ( x, t ) （2.5） = ∂t x
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随波微商
C
t0时刻 时刻
X
L氏 氏
X+C v
t时刻 时刻
C
c
Cε
（E氏） 氏
X
随波微商：随着波阵面观 察物理量随时间的变化率
x
空间坐标中的随波微商：
波速的描述也与坐标选择有关 设t时刻波阵面传到质点X处:
vX = ε t
C2 =
1 dσ ρ0 d ε
（2.14）
vt = C 2ε X
σ t = ρ0C 2 vX （2.15）
波动方程
utt − C 2u XX = 0
（2.16）
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物质坐标描述杆中纵波的控制方程
P(X)
dX X X+dX
P(X+dX)
X 细长杆 物质坐标
假定：等截面
均质
控制方程
连续方程 v X = ε t 运动方程 （2.16） ） （2.17） ） （2.18） ） （2.21） ）
A
v x
t0时刻,参考构形R t0=0, 初始构形 t时刻,当前构形r
欧拉坐标（空间坐标）： 欧拉坐标（空间坐标）：固定于空间坐标系的一组坐标
同一位置，不同的时间有不同的质点经过
v v v 若运动单值连续，则x = x ( X , t )存在逆变换: v v v v v v 运动的E氏描述 X = X ( x , t ) = x − U ( x , t ) 运动的 氏描述
X(t)
p
x
+
X
dψ 物质微商 dt
ψ = ψ p ( x(t ), t ) = ψ ( x(t ), t ) X
=
X
∂ψ ( x, t ) ∂x ∂x t ∂t
∂ψ ( x, t ) ∂ψ ∂ψ =v + ∂t ∂x ∂t x
（2.4）
绝对微商） 物质微商 （绝对微商）= 局部微商)： 空间微商 (局部微商 ： 局部微商 + 迁移变化率：固定时刻， 迁移变化率：固定时刻，空间位置 变化引起的物理量变化
σ = P / A0
ρ0 vt = σ X
（2.12） ）
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控制方程
P(X)
dX X X+dX
P(X+dX)
X 细长杆 物质坐标
假定：等截面
均质
本构方程
2.13 应变率无关假定: σ = σ (ε ) （2.13） 应变率无关假定 一般σ (ε ) 是连续可微函数，设其一阶导数是非零正数，引入
ρ 0 vt = σ X
v v v 欧拉坐标法（空间坐标法）： 欧拉坐标法（空间坐标法）： F = F ( x , t )
6
物质坐标法和空间坐标法的互换
v v v v v v x = x ( X , t ) = X + U ( X , t )运动的L氏描述 v v v X = X ( x , t )运动的E氏描述
物质坐标法
7
物质坐标法和空间坐标法的比较
v v v 拉格朗日坐标法 F = F ( X , t )
分别描述各质点自始至终的轨迹 反映参数在各物质点上的分布 适合描述质点的运动变形特性 在固体力学中常用
欧拉坐标法
v v v F = F ( x, t )
同时描述所有质点的瞬时参数 反映参数的空间分布 适合描述某流体元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
（随体法或跟踪法 随体法或跟踪法） 随体法或跟踪法
空间坐标法 对象为空间位置，描述空间某一位置处经过的所有质 对象为空间位置 空间位置， 点运动随时间的变化。 Euler法： 点运动随时间的变化。研究物理量在空间的分布
（站岗法 站岗法） 站岗法
研究 研究 … t=0 研究 t=T ? 研究 t=0 t=T
v v v 拉格朗日坐标法（物质坐标法）： 拉格朗日坐标法（物质坐标法）： F = F ( X , t )
v v v v 对某个确定质点，表示该质点的物理量F随时间的变化 F = F ( X , t) v 对某个确定时间t0，表示t0时刻各质点的物理量F的分布
5
Euler坐标法（空间坐标法） Euler坐标法（空间坐标法） 坐标法
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特征线
利用特征线，可将P.D.E变成O.D.E方程， 例1 u x + 2u y = 3 因此由可称为方向导数线。 (a, b, c) = (1, 2,3) 如给出定解条件（初始曲线），即可求得方 y = 2x+k1 dx dy du ⇒ 程的解。但若初始曲线正好是特征线的话， u 一簇直线 = = 3 特征线方程为： 1 2 3 则无法求解，因此特征线又可称为不确定线。 u = y +k2
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控制方程
P(X)
dX X X+dX
P(X+dX)
X 细长杆 物质坐标
假定：等截面
均质
动力学条件：运动方程或动量守恒方程 动力学条件：
取微元dX考察，由牛二定律：
( ρ 0 A0 dX )vt = P ( X + dX , t ) − P ( X , t )
P ( X + dX , t ) = P ( X , t ) + ∂P( X , t ) dX ∂X
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ρ0vt = σ X
本构方程 σ = Eε
utt − C 2u XX = 0 (C 2 = E / ρ ) 波动方程
思考题
导出线弹性材料直锥杆细杆的一维控制方程组？
0
2α
X0
提示： 提示：动量守恒公式 ρ0 A( X )dX = P( X + dX , t ) − P( X , t ) P ( X , t ) = σ ( X , t ) A( X ) A也是X的函数，求导时要注意！！
