热固耦合结构的拓扑优化设计研究

σ ij
= D ijkl (εk l
-
ckl u1 ) in Ω
ε ij
1 = 2 [ u2 ( i, j)
+ u2 ( j, i) ] in Ω
(2)
u2 ( i) = u2 ( i) on Γu2
σ ij
nj
= t2 ( i) on Γt2
其中 a为热传导系数 , h为对流换热系数 , u1 为已知
0 引言
拓扑优化是结构优化领域的热点问题 [ 1 ] ,拓扑 优化涉及到耦合场结构分析的微机电产品 (M EM S) 设计的应用研究是一个重要的发展方向 [ 2 ].
多物理耦合场的结构优化可以包括热 、声 、电 、 磁 、结构场等相互作用与影响 ,由于多物理场的耦合 关系 ,结构的最优拓扑关系往往与直观感觉和经验 相差甚远. 如何设计出多物理场耦合作用下的结构 最优 、效果最好的结构布局形式是一个重要的命题. 一些学者在耦合场结构优化分析和微型柔性机构的 拓扑优 化 方 面 做 了 一 些 探 索 性 的 研 究 工 作. Sig2 mund[ 3, 4 ]研究了电热传感器的材料插值模型问题和 拓扑优化建模 、设计和制造问题. Ananthasuresh[ 5 ]提 出了一种适用于电热传感器拓扑优化设计的新型指 数函数材料插值模型. Autio[ 6 ]探讨了叠层复合材料 结构在位移和温度约束条件下的应变能和固有频率 优化问题. Ananthasuresh等 [ 7 ]研究了嵌入式电热微 型柔性传感器的原理 、设计和制造问题. Lee等 研 [ 8 ] 究了横向电热激励下变截面和变长度梁结构的设 计 、优化和制造问题. Frecker等 [ 9 ]采用机械效率为 目标函数 ,采用序列线性规划算法和优化准则法研 究了压电晶体柔性放大器的拓扑优化问题. M anka2 me等 [ 10 ]采用一种新的线性单元研究了梁结构形式 的电热柔性机构的拓扑综合问题.
0
( xe ) p
cEΔT 2 ( 1 - μ)
·
{ - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1} T ( 20)
5uou t 5xe
=
λT 2
5K2 5xe
U2
-
5P2 5xe
=
λT 2
p
(
xe
)
p-
1
·
K0 U2
-
λT 2
p
(
xe
)
p-
1
cEΔT 2 ( 1 - μ)
·
{ - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1} T =
优化问题须求解结构响应对设计变量的敏度信
息 , 敏度分析一般采用三类方法 [13, 14 ] :直接虚载荷
方法 、半解析法和伴随矩阵分析方法. 本文在求解结
构响应对单元密度设计变量的敏度过程中 , 采用了
基于 SIM P的伴随矩阵求解技术.
设结构响应为给定点的输出位移 uout , 则位移的
敏度 duout / dxe 可求解如下
摘 要 研究了热 、固耦合场结构拓扑优化设计中的几个关键问题 ,建立了热 、固两相耦合场问题的控制方 程 ,建立了热 、固耦合场结构的拓扑优化模型 ,用伴随矩阵方法研究了耦合场的敏度分析技术 ,研究了耦合场拓扑 优化中的优化求解数值算法 ,通过数值算例验证了理论和算法的有效性.
关键词 热固耦合场 ,拓扑优化 ,敏度分析 ,数值计算
·448·
固体力学学报
2005年 第 26卷
1. 2 耦合场的控制方程 为了简化讨论的问题 ,这里仅以热 、固两相物理
场作用下的结构拓扑优化问题为例 ,进行优化设计. 由于热 、固耦合场中产生几何非线性 、材料非线性的
情况不多见 ,因此本文对固体结构场的计算采用线 性有限元方法 ,没有考虑材料的非线性行为.
各向同性稳态热传导问题的控制方程为
au1, ii + b1 = 0 in Ω
b1 = h ( u1 - u1 )
u1 = u 1 on Γu1
(1)
- au1, n = t1 on Γt1
包含热力学耦合项的结构场控制方程为
σ + b ij, j
2 ( i)
= 0 in Ω
∫ k1e ( xe )
=
a ( xe )
Ve
B
T 1
B1
dV
(6)
∫ he
=
h
Se
N
T 1
N 1 dS
(7)
∫ k2e ( xe )
=
Ve
B
T 2
D
( xe ) B 2 dV
(8)
求得上述两个单一物理场后 , 即可构造耦合场
的拓扑优化模型 , 然后选用优化求解算法进行优化
迭代求解.
1. 3 耦合场的敏度分析
LTU2 ( x ) +λ1T ( P1 - K1 U1 ) +
λT 2
(
P2
-
K2 U2 )
( 10 )
其中
λT 1
、λ2T
为伴随矩阵矢量
, 则输出位移
uout对单元
密度设计变量 xe 的导数可写为
d uou t dxe
= LT
dU2 dxe
+λ1T
5R1 5U1
dU1 dxe
+
5R1 5xe
=
Ve
B
T 2
D cΔTdV
( 17 )
cx
其中 ,结构热膨胀系数向量 c = cy ,对各向同性材
0
1 料有 c = c 1 ,ΔT为温度差.
0
2y - 1 0
1 - 2y
0
1 + 2y 0 - 1 - 2y 1 - 2x
B2
= N2
=
1 2
0
2x - 1
0
- 1 - 2x 0 1 + 2x
0
0
( 18 )
+
λ2T
5R2 5U2
dU2 dxe
+
5R2 5xe
=
LT
dU2 dxe
+λ1T ·
5P1 5xe
-
dK1 dxe
U1
+λ2T
5P2 5xe
-
dK2 dxe
U2
-
λ1T K1
dU1 dxe
-
λT 2
K2
dU2 dxe
+λ2T
5P2 5U1
dU1 dxe
( 11 )
伴随矩阵矢量的取值无限制 , 为了消除未知的
K2 ( x ) U2 ( x ) = 0 ( 4)
其中指标 1表示热力场 , 2表示结构场 , 温度场导致
结构产生热应变 , K1为结构热传导矩阵 , K2为结构刚 度矩阵 , U1为温度向量 , U2为位移矢量 , P1 、P2分别 为热载荷向量和结构外载荷矢量 , 系统矩阵和载荷
( xe ) p E0 ,同样设 k02 和 k2e 分别是单元初始结构刚度矩 阵和优化后的结构刚度矩阵 ,则可推得关系式 : k2e = ( xe ) p k02 , p为惩罚权因子 , 选择惩罚因子的目的是 : 对中间密度单元项进行惩罚 , 以减少结构中间密度
单元的数目 ,使结构单元密度尽可能为 0或 1.
5U2 5xe
+λ2T
5K2 5xe
U2
-
5P2 5xe
+
λ2T
K2
5U2 5xe
-
λT 2
5P2 5U1
5U1 5xe
=
(LT
+λ2T
K2 )
5U2 5xe
+λ2T
5K2 5xe
U2
-
5P2 5xe
=
λT 2
5K2 5xe
U2
-
5P2 5xe
( 16 )ຫໍສະໝຸດ 6 ∫ P2 =p2e , p2e
3 中国博士后科学基金 (2005037347)资助 、国家重点基础研究发展规划 (2003CB716207)资助项目. 2004212221收到第 1稿 , 2005211207收到修改稿.
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标的微分.
将以上两个物理场用有限元方法进行离散近似
求解 ,假设为平面应力模型 ,二维计算域离散为四节 点四边形单元 ,热和结构系统分别可离散为下两个 有限元方程.
R1 ( x ) = P1 ( x ) - K1 ( x ) U1 ( x ) = 0 ( 3)
R2 (U1 ( x ) , x ) = P2 (U1 ( x ) , x ) -
涉及到热 、固耦合场分析的情况非常普遍 ,然 而 ,关于单纯研究热 、固耦合场结构的拓扑优化方
面的论述还未见报道. 本文建立了热 、固两相耦合场结构的控制方程 ,
采用结构输出点位移为目标函数 ,建立了基于 SIM P 方法的耦合场结构拓扑优化模型 ,提出了适用于热 、 固耦合场结构敏度分析的伴随矩阵方法 , 并采用 GCMMA 算法进行优化求解. 以二维连续体结构拓 扑优化问题为例 ,编制了热 、固耦合场结构的优化求 解算法 ,并进行了数值验证.
2x - 1 2y - 1 - 1 - 2x 1 - 2y 1 + 2x 1 + 2y 1 - 2x - 1 - 2y
对平面应力问题有
1μ
0
D0
=
1
E
- μ2
μ
1
00
0 ( 1 - μ) /2
( 19)