中考数学《5.3与圆有关的位置关系》导向(含答案)

2019年中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系【根底学问回忆】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的间隔为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同始终线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提示：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的间隔为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和断定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提示：依据这确定理，在圆中遇到切线时，经常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵断定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【名师提示：在切线的断定中，当直线和圆的公共点标出时，用断定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的间隔d=r来断定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的间隔相等，内心与每一个顶点的连接线平分【名师提示：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【名师提示：两圆相离（无公共点）包含和两种状况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种状况，留意题目中两种状况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由冲突断定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提示：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的冲突可以与相冲突，也可以与相冲突，从而确定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质例1 （2018•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE= °．【思路分析】连接OA，依据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，依据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．【解答】解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=12∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【点评】本题考察的是切线的性质、等边三角形的性质，驾驭圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键考点二：切线的断定例2（2018•怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为点D．（1）求扇形OBC的面积（结果保存）；（2）求证：CD是⊙O的切线．【思路分析】（1）由扇形的面积公式即可求出答案．（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知AD∥OC，由于CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切线．【解答】解：（1）∵AB=4，∴OB=2∵∠COB=60°，∴60423603OBCSππ⨯==扇形；（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAC=∠CAO，∵AO=CO，∴∠ACO=∠CAO∴∠FAC=∠ACO∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC∵C在圆上，∴CD是⊙O的切线【点评】本题考察圆的综合问题，解题的关键是娴熟运用扇形面积公式以及切线的断定方法，本题属于中等题型．考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（2018•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的间隔为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【思路分析】依据圆心到直线的间隔5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的间隔5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．【点评】此题考察直线与圆的关系，可以娴熟依据数量之间的关系推断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【备考真题过关】一、选择题1．（2018•眉山）如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（）A．27°B．32°C．36°D．54°2.（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O 于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°3.（2018•泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4.（2018•常州）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，假如∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76°B．56°C．54°D．52°5.（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1C．2 D．36.（2018•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交8.（2018•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜79.（2018•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°10.（2018•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的随意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4C．6 D．8二、填空题11.（2018•连云港）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB=22°，则∠OCB= ．12.（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC 边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为．13.（2018•台州）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D= 度．14.（2018•长沙）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB= 度．15.（2018•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．三、解答题16. （2018•邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．17.（2018•宜宾）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．（1）求证：直线EC为圆O的切线；（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．18.（2018•南充）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）求tan∠CAB的值．19.（2018•郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．20.（2018•常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．21.（2018•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）推断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．2019年中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】干脆利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP=90°，∵∠P=36°，∴∠AOP=54°，∴∠B=27°．故选：A．【点评】此题主要考察了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．2.【思路分析】依据切线的性质得到∠ABC=90°，依据直角三角形的性质求出∠A，依据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选：D．【点评】本题考察的是切线的性质、圆周角定理，驾驭圆的切线垂直于经过切点3.【思路分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，依据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接OA、OB，∵BM是⊙O的切线，∴∠OBM=90°，∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=12∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考察切线的性质，解题的关键是驾驭切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4.【思路分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后依据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【点评】本题考察了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考察了圆周角定理．5.【思路分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可推断点O在HG上，再依据HG⊥BC可断定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可推断圆心O不是AC与BD的交点；然后依据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可推断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【点评】本题考察了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的间隔相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考察了矩形的性质．6.【思路分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，依据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联络即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3-2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．【点评】此题考察了圆与圆的位置关系．留意驾驭两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联络是解此题的关键．8.【思路分析】作半径AD，依据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3-2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．【点评】本题考察了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，娴熟驾驭圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．9.【思路分析】依据圆内接四边形的性质求出∠A，再依据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°-∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：B．【点评】本题考察的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，驾驭圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10.【思路分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB获得最小值，则PO需获得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′获得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB获得最小值，则PO需获得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′获得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．【点评】本题主要考察点与圆的位置关系，解题的关键是依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB获得最小值时点P的位置．二、填空题11.【思路分析】首先连接OB，由点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，依据等角的余角相等，易证得∠CBP=∠CPB，利用等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∴∠OBA+∠CBP=90°，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO=90°，∵OA=OB，∠OAB=22°，∴∠OAB=∠OBA=22°，∴∠APO=∠CBP=68°，∵∠APO=∠CPB，∴∠CPB=∠ABP=68°，∴∠OCB=180°-68°-68°=44°，故答案为：44°【点评】此题考察了切线的性质．此题难度适中，留意驾驭协助线的作法，留意驾驭数形结合思想与方程思想的应用．12.【思路分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，∴x2=42+（8-x）2，∴x=5，∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM=PK=CD=2BM，∴BM=4，PM=8，在Rt△PBM中，PB=2284=43．综上所述，BP的长为3或43．【点评】本题考察切线的性质、正方形的性质、勾股定理等学问，解题的关键是学会用分类探讨的思想思索问题，学会利用参数构建方程解决问题．13.【思路分析】连接OC，依据圆周角定理得到∠COD=2∠A，依据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考察的是切线的性质、圆周角定理，驾驭圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14.【思路分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再依据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出∠OCB的度数．【解答】解：∵∠A=20°，∴∠BOC=40°，∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC=90°，∴∠OCB=90°-40°=50°，故答案为：50．【点评】本题考察了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．15.【思路分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=n°故答案为：n【点评】本题考察了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是驾驭：圆内接四边形的对角互补．三、解答题16.【思路分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后依据切线的断定定理得到结论．【解答】证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠DBC，∴OC∥BD，∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．【点评】本题考察了切线的断定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．17.【思路分析】（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF ∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值．【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD于点E∴∠DEC=90°，∵BC=CD，∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点，∴OC是△BDA的中位线，∴OC∥AD∴∠OCE=∠CED=90°∴OC⊥CE，又∵点C在圆上，∴CE是圆O的切线．（2）连接AC，∵AB是直径，点F在圆上∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA∵∠EPF=∠EPA∴△PEF∽△PEA∴PE2=PF×PA∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA∴△PCF∽△PAC∴PC2=PF×PA∴PE=PC在直角△PEF中，45PFsin PEFPE∠==．【点评】本题考察了切线的断定、三角形的中位线定理、相像三角形的性质和断定等学问点．利用三角形相像，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．18.【思路分析】（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线（2））AB是直径，得∠ACB=90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而2142BC PBAC PC＝＝＝，得出t12BCan CABAC∠=＝．【解答】解：（1）如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为3，PB=2∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5∵PC=4∴OC2+PC2=OP2∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OC⊥PC∴∠BCP+∠OCB=90°∴∠BCP=∠ACO∵OA=OC∴∠A=∠ACO∴∠A=∠BCP在△PBC和△PCA中：∠BCP=∠A，∠P=∠P ∴△PBC∽△PCA，∴2142 BC PBAC PC＝＝＝∴12BCan CABAC∠=＝。

2021中考数学 三轮专题冲刺：与圆有关的位置关系一、选择题1. 平面内，☉O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作☉O 的切线条数为 ( ) A .0条 B .1条 C .2条 D .无数条2. 如图，AB 和⊙O相切于点B ，∠AOB ＝60°，则∠A 的大小为( )A . 15°B . 30°C . 45°D . 60°3. 2019·武汉江岸区期中点P 到直线l 的距离为3，以点P 为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l 与⊙P 相交的是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44. 已知⊙O 的面积为9π cm2，若点O 到直线l 的距离为π cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法确定5. 如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 的延长线于点P ，则PA 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2D.126. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，要使DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD7. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为()A．54°B．36°C．32°D．27°8. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A．E，F，G B．F，G，HC．G，H，E D．H，E，F二、填空题9. 如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与☉O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE=.10. 如图1，已知△ABC的外心为O，BC＝10，∠BAC＝60°，分别以AB，AC 为腰向三角形外作等腰直角三角形ABD与ACE，连接BE，CD交于点P，则OP长的最小值是________．11. 设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是关于x的方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为________．13. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．14. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．15. 如图，半圆的圆心O与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是________．16. 如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD的对角线长为6，OA＝4.若将⊙O绕点A按顺时针方向旋转360°，则在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现()A．3次B．4次C．5次D．6次三、解答题17. 如图，△ABC内接于☉O，∠B=60°，CD是☉O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.(1)求证:P A是☉O的切线;(2)若PD=，求☉O的直径.18. 已知AB是☉O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°.(1)如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如图②，过点D作☉O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD 的大小.19. 如图，城市A的正北方向50千米的B处，有一无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100千米，AC是一条直达C城的公路，从A城发往C城的班车速度为60千米/时．(1)当班车从A城出发开往C城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5小时的时候，接收信号最强．此时，班车到发射塔的距离是多少千米？(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从A城到C城共行驶2小时，请你判断到C城后还能不能接收到信号，并说明理由．图20. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5.(1)以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC的位置关系是________；(2)以点B为圆心的⊙B与直线AC相交，求⊙B的半径r的取值范围；(3)以点C为圆心，R为半径的⊙C与直线AB相切，求R的值．21. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．(1)如图2，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段________．(2)①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以点O为圆心的同一个圆上？如果有，请指出点O的具体位置；②如图2，直接写出符合损矩形ABCD的两个结论(不再添加任何线段或点)．2021中考数学 三轮专题冲刺：与圆有关的位置关系-答案一、选择题1. 【答案】C [解析]∵☉O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，∴d>r ，∴点P 与☉O 的位置关系是:P 在☉O 外.∵过圆外一点作圆的切线有2条，故选C .2. 【答案】B 【解析】∵AB 和⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥AB ，∴∠ABO ＝90°，∵∠AOB ＝60°，∴∠A ＝90°－∠AOB ＝90°－60°＝30°.3. 【答案】D4. 【答案】C [解析] 由题意可知，圆的半径为3 cm.∵圆心到直线l 的距离为π cm ＞圆的半径3 cm ，∴直线l 与⊙O 相离．故选C.5. 【答案】B [解析] 连接OA.因为∠ABC ＝30°，所以∠AOC ＝60°.因为PA 为⊙O 的切线，所以∠OAP ＝90°，所以∠P ＝90°－∠AOC ＝30°.因为OA ＝OC ＝1，所以OP ＝2OA ＝1， 所以PA ＝ 3.6. 【答案】A7. 【答案】D [解析] ∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB ＝90°.∵∠ABO ＝36°，∴∠AOB ＝90°－∠ABO ＝54°. ∴∠ADC ＝12∠AOB ＝27°.故选D.8. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA ＝12＋22＝ 5.因为OE ＝2＜OA ，所以点E 在⊙O 内； OF ＝2＜OA ，所以点F 在⊙O 内； OG ＝1＜OA ，所以点G 在⊙O 内； OH ＝22＋22＝2 2＞OA ， 所以点H 在⊙O 外． 故选A.二、填空题 9. 【答案】60° [解析]连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ，∵AB 与☉O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB. ∵D 是AB 的中点，∴OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOD=∠AOB=30°， 同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°， 故答案为60°. 110. 【答案】5－533 [解析] ∵∠BAD ＝∠CAE ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAE .在△DAC 和△BAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAE ，AC ＝AE ，∴△DAC ≌△BAE (SAS)， ∴∠ADC ＝∠ABE ，从而∠PDB ＋∠PBD ＝90°， 即∠DPB ＝90°，从而∠BPC ＝90°， ∴点P 在以BC 为直径的圆上．如图，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，连接OB ，OC . ∵△ABC 的外心为O ，∠BAC ＝60°， ∴∠BOC ＝120°.又∵BC ＝10， ∴OH ＝53 3，∴OP 长的最小值是5－53 3.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】4 [解析] ∵R ，d 是关于x 的方程x2－4x ＋m ＝0的两根，且直线l 与⊙O 相切， ∴d ＝R ，∴方程有两个相等的实数根， 即Δ＝16－4m ＝0，解得m ＝4.13. 【答案】70° [解析] 由切线长定理可知∠OBD ＝12∠ABC ＝20°.∵BC 是⊙O 的切线，∴OD ⊥BC ，∴∠BOD ＝90°－∠OBD ＝70°.14. 【答案】254 【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵BC 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝12AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝254.∴⊙O的半径为254.解图15. 【答案】t＝2或－1≤t＜1[解析] 若直线与半圆只有一个公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)．直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.当点O到直线l的距离OC＝1时，直线l与半圆O相切，设直线l与y轴交于点D，则OD＝2，即t＝ 2.当直线过点A时，把A(－1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝1.当直线过点B时，把B(1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝－1.即当t＝2或－1≤t＜1时，直线和半圆只有一个公共点．故答案为t＝2或－1≤t＜1.16. 【答案】B[解析] ∵正方形ABCD的对角线长为6，∴它的边长为3 2.如图，⊙O与正方形ABCD的边AB，AD只有一个公共点的情况各有1次，与边BC，CD只有一个公共点的情况各有1次，∴在旋转的过程中，⊙O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现4次．三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，∴OA⊥P A，∴P A是☉O的切线.(2)在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=OD+PD=2OA，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴CD=2OA=2PD=2.∴☉O的直径为2.18. 【答案】解:(1)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°.又∵∠BAC=38°，∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为的中点，得=.∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图，连接OD.∵DP切☉O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP=90°.∵DP∥AC，∠BAC=38°，∠AOD是△ODP的外角，∴∠AOD=∠ODP+∠P=∠ODP+∠CAB=128°.∴∠ACD=∠AOD=64°.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.19. 【答案】解：(1)如图，过点B作BM⊥AC于点M，则班车行驶了0.5小时的时候到达点M.∵AM＝60×0.5＝30(千米)，AB＝50千米，∴BM＝40千米．答：此时，班车到发射塔的距离是40千米．(2)能．理由如下：如图，连接BC.∵AC＝60×2＝120(千米)，AM＝30千米，∴CM＝AC－AM＝120－30＝90(千米)，∴BC＝CM2＋BM2＝902＋402＝10 97(千米)＜100千米，∴到C城后还能接收到信号．20. 【答案】解：(1)∵AC⊥BC，而AC＞4，∴以点A为圆心，4为半径的⊙A与直线BC相离．故答案为相离．(2)BC＝AB2－AC2＝12.∵BC⊥AC，∴当⊙B 的半径大于BC 的长时，以点B 为圆心的⊙B 与直线AC 相交，即r ＞12.(3)如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D .∵12CD ·AB ＝12AC ·BC ，∴CD ＝5×1213＝6013.即当R ＝6013时，以点C 为圆心，R 为半径的⊙C 与直线AB 相切．21. 【答案】解：(1)AC(2)①在损矩形ABCD 内存在点O ，使得A ，B ，C ，D 四个点都在以点O 为圆心的同一个圆上，O 是线段AC 的中点．②答案不唯一，如损矩形ABCD 是圆内接四边形，∠ADB ＝∠ACB 等．。

第 27 讲 与圆有关的位置关系
目录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 点、直线与圆的位置关系 题型 01 判断点和圆的位置关系 题型 02 根据点和圆的位置关系求半径 题型 03 判断直线与圆的位置关系 题型 04 根据直线与圆的位置关系求半径 题型 05 根据直线与圆的位置关系求点到直线 的距离 题型 06 求圆平移到与直线相切时圆心坐标 题型 07 求圆平移到与直线相切时运动距离 题型 08 根据直线与圆的位置关系求交点个数 题型 09 圆和圆的位置关系
【详解】解：∵OA＝ 32 + 42＝5，
考点二 切线的性质与判定 题型 01 判断或补全使直线成为切线的条件 题型 02 利用切线的性质求线段长 题型 03 利用切线的性质求角度 题型 04 证明某条直线时圆的切线
类型一 由公共点：连半径，证垂直 类型二 无公共点：作垂直，证半径 题型 05 利用切线的性质定理证明 题型 06 切线的性质与判定的综合运用 题型 07 作圆的切线 题型 08 应用切线长定理求解 题型 09 应用切线长定理求证 考点三 三角形内切圆与外接圆 题型 01 判断三角形外接圆圆心位置 题型 02 求外心坐标 题型 03 已知外心的位置判断三角形形状 题型 04 求特殊三角形外接圆的半径 题型 05 由三角形的内切圆求长度 题型 06 由三角形的内切圆求角度 题型 07 由三角形的内切圆求周长、面积 题型 08 求三角形的内切圆半径 题型 09 直角三角形周长、面积和内切圆半径 的关系 题型 10 圆外切四边形模型 题型 11 三角形内心有关的应用 题型 12 三角形外接圆与内切圆综合
相切
有唯一公共点
d = r直线 l 与⊙O 相切
相交
有两个公共点
d < r直线 l 与⊙O 相交

2019年全国中考试题汇编知识点31 与圆有关的位置关系（通用版全解全析）一、选择题 5．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．54 ° B ．36° C ．32 ° D ．27°（第5题）【答案】D 【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ．1. （2019·无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ） A.20° B.25° C.40° D.50°【答案】B 【解析】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．2.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）x yO-6OO BCA ABE FA .817B.717C.49D.59【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900， ∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450， 取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时， ∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线， ∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动， 当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小. 在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13, ∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ， ∴△AOE ∽△ADH ， ∴OE AO=DH AD，即OE 8=512，∴OE =103， ∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG =BE·OA AB=143×88√2=7√23.在Rt △BGE 中，∠EBG =450， ∴BG =EG =7√23，∴AG =AB -BG =17√23. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =EGAG =717. 故选B.3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C＝40°则∠B的度数为50°. 故选Ｂ．5.（2019·重庆A卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C．6.7.8.9.10.二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2=AC·AB；③若AB=4，∠APE=30°，则¼BM的长为3；④若AC=3，BD=1，则有CM=DM．【答案】①②④【解析】连接OM ，BM∵PE 是⊙O 的切线， ∴OM ⊥PE ． ∵AC ⊥PE ， ∴AC ∥OM ．∴∠CAM ＝∠AMO ． ∵OA ＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAO ． ∴∠CAM =∠MAO ．∴AM 平分∠CAB ．选项①正确； ∵AB 为直径，∴∠AMB =90º=∠ACM ． ∵∠CAM =∠MAO ， ∴△AMC ∽△ABM ． ∴AC AMAM AB=． ∴AM 2=AC ·AB ．选项②正确； ∵∠P =30°， ∴∠MOP =60°． ∵AB =4， ∴半径r =2． ∴¼60221803BM l ππ⨯==．选项③错误； ∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ，∴CM =MD ．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°， ∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM =∠BDM =90°， ∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CMDM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM ．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，e O 在△ABC 内自由移动，若e O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.3. （2019·济宁）如图，O 为Rt △ABC 直角边AC 上一点，以OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ，已知BCAC ＝3．则图中阴影部分的面积是．【答案】64- 【解析】在Rt △ABC中，∵tan BC A AC ==，∴∠A ＝30°． ∵⊙O 与斜边AB 相切于点D ，∴OD ⊥AB ． 设⊙O 的半径为r ，在Rt △ADO 中，tan 3OD r A OA r==-，解得r＝32，∴阴影的面积是S ＝60360×π×(32)2＝6－334π．4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短， ∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB = 12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB•=4， ∴PQ=．故答案为：AC5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的e P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或【解析】半径为6的e P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:①当e P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;②当e P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当e P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ,∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或6. 7. 8. 9. 10.三、解答题 23．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°． 在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ． ∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线； （2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝．由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝∴∆OBD 的面积为12×8×，扇形OAB 的面积为16×π×82＝323π， ∴阴影部分的面积为323π． 24．（2019·淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E. (1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O 的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF 的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE 与⊙O 相切.理由如下：第24题答图1如图所示，连接OD ，则OA=OD ， ∴∠ODA=∠BAD. ∵弦AD 平分∠BAC ， ∴∠FAD=∠BAD. ∴∠FAD=∠ODA ， ∴OD ∥AF. 又∵DE ⊥AC ， ∴DE ⊥OD ，∴直线DE 与⊙O 相切. （2）连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°.第24题答图1∵AD 平分∠BAC ，∠BAC=60°， ∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°， ∴∠DFE=∠B=60°. ∵⊙O 的半径为2， ∴AB=4，∴3223430cos =⨯=︒⋅=AB AD ， ∴3213230sin =⨯=︒⋅=AB DE ，∴13360tan ==︒=DE EF .22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 21．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积图1 图2【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ．图6CBOEDCBA∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE =，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。