中考数学考点一遍过考点18 圆的性质及与圆有关的位置关系圆的性质及与圆有关的位置关系是中考数学中的一个重要考点。
在这个考点中，我们需要掌握圆的定义、圆弧、圆心角、弧长和扇形面积的计算方法，以及圆与直线的位置关系。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是由平面上距离圆心相等的点构成的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其所有点到圆心的距离都相等。
在圆的性质中，圆弧是一个重要的概念。
圆弧是圆上两个点之间的一段弧线。
我们可以使用圆心角来描述圆弧的大小。
圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧所对的圆心角大小等于弧所对的圆弧长度的一半。
通过圆心角的大小，我们可以判断圆弧的长度。
根据圆的性质，我们可以计算圆的弧长和扇形面积。
弧长是圆弧的长度，可以通过圆心角的大小和半径的关系来计算。
弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
扇形面积是由圆心角和半径所围成的扇形的面积，可以通过圆心角的大小和半径的关系来计算。
扇形面积等于圆心角的弧度数乘以半径的平方再除以2。
除了圆弧、圆心角、弧长和扇形面积的计算方法，我们还需要了解圆与直线的位置关系。
当直线与圆相交时，可以根据相交的情况判断它们的关系。
如果直线与圆相交于两个不同的点，我们可以得到两条相交弧。
如果直线与圆相切于一个点，那么这条直线被称为切线。
同时，切线与半径垂直。
综上所述，圆的性质及与圆有关的位置关系是中考数学中的一个重要考点。
我们需要掌握圆的定义、圆弧、圆心角、弧长和扇形面积的计算方法，以及圆与直线的位置关系。
通过熟练掌握这些知识，我们可以在中考数学考试中轻松应对相关题目。
希望同学们能够通过不断练习和巩固知识，顺利掌握这个考点，取得好成绩。
第23讲 与圆相关的位置关系知识点1 点与圆的位置关系1．已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是(C )A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与圆心O 重合2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，若以点A 为圆心，以4为半径作⊙A ，则下列各点在⊙A 外的是(C )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D知识点2 直线与圆的位置关系3．已知⊙O 的半径是6 cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断4．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以2为半径为⊙C ，则斜边AB 与⊙C 的位置关系是(C )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定知识点3 切线的性质5．如图，AB 和⊙O 相切于点B ，∠AOB ＝60°，则∠A 的大小为(B )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°第5题图 第6题图6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为(A )A .12B .22C .32D .33知识点4 切线的判定7．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PA ，PB ，AB ，已知∠PBA ＝∠C.求证：PB 是⊙O 的切线．证明：连接OB.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA.∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线．知识点5切线长定理8．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝5，则△PCD的周长为(D)A．5B．7C．8D．10知识点6三角形与圆9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(B)A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点第9题图第10题图10．如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝120°.重难点切线的性质与判定(2017·咸宁T21，9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．【思路点拨】 (1)连接OD ，可以先证明OD ∥AC ，根据DF ⊥AC 即可得出结论；(2)过圆心O 作OG ⊥AC 于点G ，根据cos A ＝25，可求出OG 的长，且可证四边形ODFG 是矩形，即可求出DF 的长．(1)证明：连接OD.∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠B. 又∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B. ∴∠ODB ＝∠C. ∴OD ∥AC.······2分∵DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝90°. ∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°. ∴DF 是⊙O 的切线.······4分 (2)作OG ⊥AC 于点G ， ∴AG ＝12AE ＝2.······5分∵cos A ＝AG OA ，∴OA ＝AG cos A ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.·····7分∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°，∴四边形OGFD 为矩形． ∴DF ＝OG ＝21.······9分方法指导证明圆的切线时，可以分以下两种情况：(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角(如例(1))；(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等(如【变式训练1】(1))．【变式训练1】 (2016·贵港)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 为BC 的中点，AC 与半圆O 相切于点D.(1)求证：AB 是半圆O 所在圆的切线；(2)若cos ∠ABC ＝23，AB ＝12，求半圆O 所在圆的半径．解：(1)证明：作OE ⊥AB 于E ，连接OD ，OA. ∵AB ＝AC ，O 为BC 的中点，∴∠CAO ＝∠BAO. ∵AC 与半圆O 相切于D ，∴OD ⊥AC.∵OE ⊥AB ，∴OD ＝OE.∴AB 经过圆O 半径的外端点，∴AB 是半圆O 所在圆的切线． (2)∵cos ∠ABC ＝23，AB ＝12，∴OB ＝8.由勾股定理，得AO ＝AB 2－OB 2＝4 5.由三角形的面积公式，得S △AOB ＝12AB·OE ＝12OB·AO.∴OE ＝OB·AO AB ＝853.∴半圆O 所在圆的半径是853.,变式点本题将切线的判定与性质结合锐角三角函数进行考查．【变式训练2】 (2017·菏泽)如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C.连接BC. (1)求证：∠BAC ＝∠CBP ；(2)求证：PB 2＝PC·PA ；(3)当AC ＝6，CP ＝3时，求sin ∠PAB 的值．解：(1)证明：∵PB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥PB.∴∠ABP ＝90°.∴∠ABC ＋∠CBP ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴∠A ＋∠ABC ＝90°.∴∠BAC ＝∠CBP. (2)证明：在△ABP 和△BCP 中，⎩⎨⎧∠ABP ＝∠BCP ＝90°，∠A ＝∠CBP ，∴△ABP ∽△BCP.∴AP BP ＝BPCP .∴PB 2＝PC·PA.(3)∵AC ＝6，CP ＝3，∴AP ＝PC ＋AC ＝3＋6＝9. ∴PB 2＝PC·PA ＝3×9＝27.∴PB ＝3 3.∴sin ∠PAB ＝PB PA ＝339＝33.,变式点本题以切线的性质为主线，综合考查三角形相似和锐角三角函数，三者之间环环相扣，由切线的性质推出角相等，由角相等证明三角形相似(常见的三垂直模型)，由三角形相似求线段长，由线段的长求出某锐角的三角函数值．题目难度适中，设计精巧．1．(2017·自贡)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ，连接BC.若∠P ＝40°，则∠B 等于(B )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°2．在一个三角形中，已知AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，D 是BC 的中点，以D 为圆心作一个半径为5 cm 的圆，则下列说法正确的是(C )A ．点A 在⊙D 外B ．点B 在⊙D 上C ．点C 在⊙D 内 D ．无法确定3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为(0，3)，点B 为(2，1)，点C 为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是(C )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．(－2，－1)D ．(2，0)4．(2017·日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是(A )A ．5 3B ．5 2C ．5D .525．(2017·泰安)如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与边AD 所在直线垂直于点M ，若∠ABC ＝55°，则∠ACD 等于(A )A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°6．(2017·百色)以坐标原点O 为圆心，作半径为2的圆，若直线y ＝－x ＋b 与⊙O 相交，则b 的取值范围是(D ) A ．0≤b<2 2 B ．－22≤b ≤2 2C ．－23<b<2 3D ．－22<b<2 2 7．(2017·武汉)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(C )A .32B .32C . 3D ．2 38．(2017·连云港)如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径长为5．第8题图 第9题图9．(2017·眉山中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为123°． 10．(2017·徐州)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为D ，AB ＝BC ＝2，则∠AOB ＝60°．第10题图 第11题图11．如图，△ABC 是一张三角形的纸片，⊙O 是它的内切圆，点D 是其中的一个切点，已知AD ＝10 cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O 相切的任意一条直线MN 剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN 的周长为20__cm ． 12．(2017·德州)如图，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点．以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AE ∶EB ＝1∶2，BC ＝6，求AE 的长．解：(1)证明：连接OE ，CE. ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC ＝∠BEC ＝90°. ∵D 是BC 的中点， ∴ED ＝12BC ＝DC.∴∠DEC ＝∠DCE.∵OE ＝OC ，∴∠OEC ＝∠OCE.∴∠DEC ＋∠OEC ＝∠DCE ＋∠OCE ，即∠OED ＝∠ACD. ∵∠ACD ＝90°，∴∠OED ＝90°，即OE ⊥DE. 又∵E 是⊙O 上一点，∴DE 是⊙O 的切线． (2)由(1)知∠BEC ＝90°.在Rt △BEC 与Rt △BCA 中，∠B 为公共角， ∴△BEC ∽△BCA. ∴BE BC ＝BCBA.即BC 2＝BE·BA. ∵AE ∶EB ＝1∶2，设AE ＝x ，则BE ＝2x ， BA ＝3x.又∵BC ＝6，∴62＝2x·3x.∴x ＝6，即AE ＝ 6.13．(2017·山西)如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，OD ⊥AB ，与AC 交于点E ，与过点C 的⊙O 的切线交于点D.(1)若AC ＝4，BC ＝2，求OE 的长；(2)试判断∠A 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25， ∴OA ＝12AB ＝ 5.∵OD ⊥AB ，∴∠AOE ＝∠ACB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AOE ∽△ACB. ∴OE CB ＝AO CA ，即OE 2＝54.解得OE ＝52. (2)∠CDE ＝2∠A.理由如下：连接OC ，∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A. ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∴∠OCD ＝90°.∴∠DOC ＋∠CDE ＝90°. ∵OD ⊥AB ，∴∠DOC ＋∠COB ＝90°. ∴∠COB ＝∠CDE.∵∠COB ＝∠A ＋∠ACO ＝DOC ∠A ， ∴∠CDE ＝DOC ∠A.14．(2017·枣庄)如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为(B )A ．22<r<17B .17<r<3 2C .17<r<5D ．5<r<29第14题图 第15题图15．(2017·安顺)如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为(B )A .65B .85C .75D .23516．(2017·无锡)如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径长等于(C )A ．5B ．6C ．2 5D ．3 217．(2017·衢州)如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是22．18．(2017·南宁)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，连接AC ，过弧BD 上一点E 作EG ∥AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG ＝FG ，连接CE.(1)求证：△ECF ∽△GCE ； (2)求证：EG 是⊙O 的切线；(3)延长AB 交GE 的延长线于点M ，若tan G ＝34，AH ＝33，求EM 的值．解：(1)证明：∵AB 是直径，CD ⊥AB ， ∴AC ︵＝AD ︵. ∴∠CEF ＝∠ACD. 又∵EG ∥AC ， ∴∠CGE ＝∠ACD. ∴∠CEF ＝∠CGE. 又∵∠ECF ＝∠GCE ，∴△ECF ∽△GCE.(2)证明：连接OE ，∵EG ＝FG ，∴∠GFE ＝∠GEF.∵∠OAF ＋∠AFH ＝90°，∠AFH ＝∠GFE ， ∴∠GEF ＋∠OAF ＝90°.∵OA ＝OE ，∴∠OAF ＝∠OEA. ∴∠GEF ＋∠OEA ＝90°. ∴EG 是⊙O 的切线．(3)连接OC ，∵tan G ＝34，∠G ＝∠ACH ，∴tan ∠ACH ＝AH CH ＝34.∵AH ＝33，∴CH ＝4 3.设⊙O 的半径为r ，在Rt △CHO 中，根据勾股定理有r 2＝(43)2＋(r －33)2，解得r ＝2536.∵∠EOM ＋∠M ＝90°，∠G ＋∠M ＝90°，∴∠EOM ＝∠G.∴tan ∠EOM ＝34，即EM OE ＝34.∴EM ＝34OE ＝34r ＝2538.。
中考数学辅导之—圆和圆的位置关系一、教材简析本单元主要研究圆和圆的位置关系，内容主要包括两个圆各种不同位置关系的概念；相交、相切两圆的性质以及两个圆的公切线。
其中两个圆不同位置关系的概念及相交、相切时的性质是本单元的重点。
同学们在学习过程中要注意与前面所学的圆的有关知识的联系。
当一条直线与两个圆相切时，这条直线就是这两个圆的公切线，而对于每一个圆来说，这条直线都是他们的切线。
因此，研究两圆的公切线问题，就是圆的切线的判定和性质在两个相关的圆中的应用。
由圆的轴对称性可以推出，任意两个圆组成的图形，一定是以连心线为轴的对称图形。
两圆相交、相切的性质，都是由这个对称性得到的。
所以在学习这一单元时，要随时复习巩固前面所学知识，并逐步学会运用这些知识来解决两圆位置关系中的新问题。
本单元学习过程中，涉及实际应用的问题较多，有计算题，也有作图题，要学会把实际问题抽象成数学问题，在关于两圆公切线长的计算中，要学会把它转化为解直角三角形的问题。
二、基本内容及应注意的问题1、圆和圆的位置关系的分类，既考虑了数(两圆公共点的个数)，又考虑了形(两圆的相对位置)，两圆的五种位置关系按公共点的个数(0，1，2)可分为三类：(1)没有公共点⇔相离外离内含(包括同心)；(2)有1个公共点⇔相切外切内切；(3)有2个公共点⇔相交2、与点和圆、直线和圆的位置关系相类似，两圆的位置关系(形的关系)与两圆的半径、圆心距的大小(数量关系)有关。
(1)两圆外离⇔d＞R＋r(2)两圆外切⇔d＝R＋r(3)两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r(R≥r)(4)两圆内切⇔d＝R－r(R＞r)(5)两圆内含⇔d＜R－r(R＞r)这个结论是双向的，“⇒”是由两圆位置的关系，得到两圆半径与圆心距之间特定的数量关系，这是两圆位置关系的性质，利用这些性质可以把形的问题转化为数的问题来解决；“⇐”是根据两圆半径与圆心距之间的某种数量关系来判定两圆的位置关系，从而把判定形的问题，转向为数的问题来解决。
（分类）第23讲与圆相关的位置关系知识点1 点与圆的位置关系知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质知识点4 切线的判定知识点5 切线长定理知识点6 三角形与圆知识点1 点与圆的位置关系（2018烟台）（考查确定圆的条件）（-1，-2）知识点2 直线与圆的位置关系知识点3 切线的性质（2018福建）D（2018·包头）115(2018重庆A卷)9．如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD与O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若O的半径为4，6BC ，则PA的长为( A )A ．4B ．C ．3D ．2.5（2018重庆B 卷）10.如图，△ABC 中，∠A=30°，点0是边AB 上一点，以点0为圆心，以OB 为半径作圆,⊙0恰好与AC 相切于点D ，连接BD ，若BD 平分∠ABC ，AD=32,则线段CD 的长是( )A.2B.3C.23D.323（2018哈尔滨）A（2018宁波）17.如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P .当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为．（2018山西）15． 如 图 ， 在 Rt △ A BC 中， ∠ A CB=900， A C=6， B C=8，点 D 是 AB 的 中 点 ， 以 CD 为 直 径 作 ⊙ O ，⊙ O 分别与 AC ， B C 交于点 E ， F ，过点 F 作⊙ O 的切线 FG ，交 AB 于点 G ，则 FG 的长为 ___125__.（2018无锡）6.如图，矩形ABCD中，G是BC中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；BC与圆O相切。
其中正确的说法的个数是（C）A.0B.1C.2D.3（2018安徽）12如图,菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D,E若点D是AB的中点,则∠DOE 60°。
