中考数学《5.1圆的有关概念与性质》导向(含答案)

【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战2024年中考·数学考点总复习】（全国通用）圆的有关概念和性质一、圆的有关概念弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径经过圆心的弦叫做直径。

弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

优弧 大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧小于半圆的弧叫做劣弧。

常用公式：Lr r n S r n L 213601802===π，π扇形三角形扇形弓形S S S ±=三、垂径定理1．定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.3．推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理1．弧、弦、圆心角的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论:在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等.2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.3．圆周角定理定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等.②半圆(或直径)所对的圆周角是直径，90°的圆周角所对的弦是圆的直径.③圆内接四边形的对角互补.【考点1】圆的相关概念⏜上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，【例1】（2023·江苏）如图，在扇形AOB中，D为AB∠O=75°，则∠A的度数为( )A. 35°B. 52.5°C. 70°D. 72°【答案】C【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质．连接OD ，如图，设∠C 的度数为n ，由于CD =OA =OD ，根据等腰三角形的性质得到∠C =∠DOC =n ，则利用三角形外角性质得到∠ADO =2n ，所以∠A =2n ，然后利用三角形内角和定理得到75°+n +2n =180°，然后解方程求出n ，从而得到∠A 的度数． 【解析】解：连接OD ，如图，设∠C 的度数为n ， ∵CD =OA =OD ， ∴∠C =∠DOC =n ，∴∠ADO =∠DOC +∠C =2n ， ∵OA =OD ， ∴∠A =∠ADO =2n ，∵∠AOC +∠C +∠A =180°，∠AOC =75°， ∴75°+n +2n =180°， 解得n =35°， ∴∠A =2n =70°． 故选：C ．【例2】（2024·全国模拟）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10.若以点C 为圆心，CA 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则⊙C 的半径为( ) A. 5√ 3 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】D【解析】解：如图，连结CD ， ∵CD 是直角三角形斜边上的中线， ∴CD =12AB =12×10=5． 故选：D ．连结CD ，根据直角三角形斜边中线定理求解即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【例3】（2024·江西模拟）一张直径为10cm 的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据(单位：cm)长度不合理的是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】解：A 、B 、C 图形中的三角形，满足三角形三边关系定理，且三角形三边长度合理，故A 、B 、C 不符合题意；D 、如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，∵AB =AC ，∴BH =12BC =12×10=5(cm)， ∴AH =√ AB 2−BH 2=√ 39， ∴AH >5， ∴A 在圆外，∴三角形三边长度不合理， 故D 不符合题意． 故选：D ．由三角形三边关系定理，点和圆的位置关系即可判断．本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系，关键是由等腰三角形的性质，勾股定理求出AH 的长．1.（2024·湖北模拟）以下命题：(1)等弧所对的弦相等；(2)相等的圆心角所对的弧相等；(3)三点确定一个圆；(4)圆的对称轴是直径；(5)在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；(6)三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等.其中正确的命题的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】A【分析】本题主要考查圆的相关概念和性质，深刻理解圆的相关性质是解题的关键．根据圆的相关概念和性质，对各个选项逐一分析判断即可得出答案．【解析】解：(1)等弧所对的弦相等；正确；(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故(2)错误；(3)不在同一直线上的三点确定一个圆；故(3)错误；(4)圆的对称轴是直径所在直线；故(4)错误；(5)在同圆或等圆中，同一条弦所对的弧有两条，每一条弧所对的圆心角不一定相等，则所对的圆周角也不一定相等；故(5)错误；(6)三角形三边的垂直平分线的交点即为其外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等.故(6)正确；综上所述，正确的有(1)(6)，故选A．2.（2024·江苏模拟）下列说法中，正确的是①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．( )A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②③④【答案】A【解析】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；③、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项错误；④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；故选：A．根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．3.（2023·全国模拟）下列说法中，不正确的是( )A. 直径是最长的弦B. 同圆中，所有的半径都相等C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形D. 长度相等的弧是等弧【答案】D【分析】本题主要考查了圆的基本概念，解答此题的关键是正确理解弦，弧的定义，解答此题根据圆的基本概念判断即可．【解析】解：A.直径是最长的弦，正确；B.同一个圆的半径相等，正确；C.圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；D.长度相等的弧不一定是等弧，同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，故该选项的说法错误．故选D．4.（2024·广东模拟）如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为( )A. 38°B. 52°C. 76°D. 104°【答案】C【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念．根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．【解析】解：∵OM=ON，∴∠M=∠N=52°，∴∠MON=180°−2×52°=76°．故选：C．【考点2】垂径定理【例1】（2023·四川）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2√ 3，则OC=( )A. 1B. 2C. 2√ 3D. 4【答案】B【解析】解：连接OB，设OA交BC于E，如图：∵∠ADB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA⊥BC，BC=2√ 3，BC=√ 3，∴BE=12，在Rt△BOE中，sin∠AOB=BEOB，∴sin60°=√ 3OB∴OB=2，∴OC=2；故选：B．连接OB，设OA交BC于E，由∠ADB=30°，得∠AOB=60°，根据OA⊥BC，BC=2√ 3，得BE=1BC=√ 3，2故sin60°=√ 3，从而OC=OB=2．OB本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理的应用，解题的关键是掌握含30°角的直角三角形三边关系．【例2】（2024·湖南模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连接OC，OD.若⊙O的半径为m，∠AOD=α，则下列结论一定成立的是A. OE=m·tanαB. CD=2m·sinαC. AE=m·cosαD. S△OCD=m2·sinα【答案】B【分析】本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三角形等知识.根据垂径定理和锐角三角函数计算则可进行判断．【解析】解：A．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，CD，∴DE=12在Rt△EDO中，OD=m，∠AOD=∠α，∴tanα=DEOE，∴OE=DEtanα=CD2tanα，故选项A错误不符合题意；B.∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD=2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD=∠α，∴DE=OD⋅sinα=m⋅sinα，∴CD=2DE=2m⋅sinα，故选项B正确符合题意；C.∵cosα=OEOD，∴OE=OD⋅cosα=m⋅cosα，∵AO=DO=m，∴AE=AO−OE=m−m⋅cosα，故选项C错误不符合题意；D.∵CD=2m⋅sinα，OE=m⋅cosα，∴S△COD=12CD×OE=12×2m⋅sinα×m⋅cosα=m2sinα⋅cosα，故选项D错误不符合题意；故选B．【例3】（2024·全国模拟）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为．( )A. 3√ 3B. 32C. 3√ 32D. 3【答案】C【解析】连接OC、OD，如图所示，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°．∵OC=OD，OG⊥CD，∴∠COG =30°． ∵⊙O 的周长等于6π，∴OC =3，∴CG =32，∴OG =3√ 32． 故选C ．1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度.1.（2024·广东模拟）已知：如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =70°，则∠ADC 的度数为( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°【答案】B【分析】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、圆心角与弧的关系定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．先根据垂径定理得出AB ⏜=AC ⏜，再由圆周角定理即可得出结论． 【解析】解：如图，连接OC ．∵OA ⊥BC ， ∴AB⏜=AC ⏜， ∴∠AOC =∠AOB =70°，∴∠ADC =12∠AOC =35°． 故选B ．2.（2024·江苏模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD =2√3.则BC ⌒的长为( ) A. π3B.2π3C. √3π3D.2√3π3【答案】B【解析】解：连接AC 、OC ， ∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴CE =ED =12CD =√3，BC ⌒=BD ⌒，∴AB 是线段CD 的垂直平分线， ∴AC =AD ， ∵AD =CD ， ∴AC =AD =CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠CAD =60∘， ∴∠COB =60∘，在Rt △COE 中，OC =CEsin∠COE =2， ∴BC ⌒的长=60π×2180=2π3， 故选：B.连接AC 、OC ，根据垂径定理得到CE =ED =12CD =√3，BC ⌒=BD ⌒，根据线段垂直平分线的性质得到AC =AD ，根据等边三角形的性质求出∠CAD =60∘，根据正弦的定义求出OC ，根据弧长公式计算，得到答案． 本题考查的是弧长的计算、垂径定理，掌握弧长公式：l =nπr180是解题的关键． 3.（2024·陕西模拟）如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，且∠ACD =22.5°，CD =4，则⊙O 的半径长为( ) A. 2 B. 2√ 2 C. 4 D. 10【答案】B【解析】解：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD =4，∴CE =DE =12CD =2，∵∠ACD =22.5°，∴∠AOD =2∠ACD =45°，∴△DOE 为等腰直角三角形，∴OD =√ 2DE =2√ 2，即⊙O 的半径为2√ 2，故选：B ．连接OD ，由圆周角定理得出∠AOD =45°，根据垂径定理可得CE =DE =2，证出△DOE 为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4.（2023·江苏）如图，矩形内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆.若AB =4，BC =5，则阴影部分的面积是( )A. 414π−20B. 412π−20C. 20πD. 20【答案】D【解析】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ，在Rt △ABD 中，AB =4，BC =5，∴BD 2=AB 2+AD 2=41，S 阴影部分=S 以AB 为直径的圆+S 以AD 为直径的圆+S 矩形ABCD −S 以BD 为直径的圆=π×(42)2+π×(52)2+4×5−π×(BD 2)2 =41π4+20−41π4=20，故选：D ．根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分=S 以AB 为直径的圆+S 以AD 为直径的圆+S 矩形ABCD −S 以BD 为直径的圆进行计算即可．本题考查勾股定理，矩形的性质以及圆形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及圆形面积的计算方法是正确解答的前提．5.（2023·内蒙古）如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC.垂足分别为D ，E ，F ，连接DE ，EF ，FD.若DE +DF =6.5，△ABC 的周长为21，则EF 的长为( )A. 8B. 4C. 3.5D. 3【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，∴AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，∴DE ，DF ，EF 是△ABC 的中位线，∴DE =12AC,DF =12BC,EF =12AB ，∴DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，∵DE +DF =6.5，∴EF =10.5−6.5=4，故选：B ．根据垂径定理得到AD =BD ，AF =CF ，BE =CE ，根据三角形的中位线定理得到DE +DF +EF =12(AB +BC +AC)=12×21=10.5，于是得到结论．本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．【考点3】垂径定理的应用【例1】（2023·湖北）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC ⏜上一点，OB ⊥AC 于D.若AC =300√ 3m ，BD =150m ，则AC⏜的长为( )A. 300πmB. 200πmC. 150πmD. 100√ 3πm【答案】B【解析】解：如图所示：∵OB ⊥AC ，∴AD =12AC =150√ 3m ，∠AOC =2∠AOB ，在Rt △AOD 中，∵AD 2+OD 2=OA 2，OA =OB ，∴AD 2+(OA −BD)2=OA 2，∴(150√ 3)2+(OA −150)2=OA 2解得：OA =300m ，∴sin∠AOB =AD OA =√ 32， ∴∠AOB =60°，∴∠AOC =120°，∴AC ⏜的长=120×300π180=200πm ．故选：B ．先根据垂径定理求出AD 的长，由题意得OD =OA −BD ，在Rt △AOD 中利用勾股定理即可求出OA 的值，然后再利用三角函数计算出AC⏜所对的圆心角的度数，由弧长公式求出AC ⏜的长即可． 本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，根据垂径定理得出AD 的长，再由勾股定理求出半径是解答此题的关键，同时要熟记圆弧长度的计算公式．【例2】（2024·山东模拟）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB 长8m ，轮子的吃水深度CD 为2m ，则该桨轮船的轮子直径为( )A. 10mB. 8mC. 6mD. 5m【答案】A【解析】解：设半径为r m ，则OA =OC =r m ，∴OD =(r −2)m ，∵AB =8m ，∴AD =4m ，在Rt △ODA 中，有：OA 2=OD 2+AD 2，即：r 2=(r −2)2+42，解得r =5m ，则该桨轮船的轮子直径为10m ．故选：A ．设半径为r ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道OC 垂直平分AB 这个隐藏的条件．垂径定理及其推论方法技巧：1.圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

【文库独家】圆的有关性质知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．自主测试1．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB＝6，则⊙O的半径为()A ． 2B ．2 2C ．22 D ．622．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC ＝60°，若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为( )5．如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于M ，N 两点，若点M 的坐标是(－4，－2)，则弦MN 的长为__________．(第5题图)考点一、垂径定理及推论【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为( )A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米分析：如图，油面AB 上升1分米得到油面CD ，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝12CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2，在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，由OA ＝OC ，列方程求x 即可求得半径OA ，得出直径MN .解析：如图，依题意得AB ＝6，CD ＝8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，由垂径定理，得AE ＝12AB ＝3，CF ＝12CD ＝4，设OE ＝x ，则OF ＝x －1，在Rt △OAE 中，OA 2＝AE 2＋OE 2， 在Rt △OCF 中，OC 2＝CF 2＋OF 2，∵OA ＝OC ，∴32＋x 2＝42＋(x －1)2，解得x ＝4，∴半径OA ＝32＋42＝5，∴直径MN ＝2OA ＝10(分米)．故选C.答案：C方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．触类旁通1 如图所示，若⊙O 的半径为13 cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦AB 的长为__________ cm.考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系【例2】如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长． 解：(1)证明：∵AB ＝BC ， ∴AB BC =.∴∠ADB ＝∠BDC ， ∴DB 平分∠ADC .(2)由(1)知AB BC =，∴∠BAE ＝∠ADB .∵∠ABE ＝∠ABD ，∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BDAB.∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27.∴AB ＝3 3.方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．触类旁通2 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为( )A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°考点三、圆周角定理及推论【例3】如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝58°，则∠BCD ＝( )A ．116°B ．32°C ．58°D ．64°解析：根据圆周角定理求得，∠AOD ＝2∠ABD ＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD ＝2∠BCD (同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD ＝180°－∠AOD .还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB ＝90°，则∠DAB ＝90°－∠ABD ＝32°，∵∠DAB ＝∠DCB ，∴∠DCB ＝32°.答案：B方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD 的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.A．CM＝DM B．CD DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD3．(2012浙江湖州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()(第3题图)A．45°B．85°C．90°D．95°4．(2012浙江衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm.7．(2012湖南长沙)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC ＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求圆心O到BC的距离OD.1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为()A ．5B ．4C ．3D ．22．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A ．12B ．34C ．32D ．453．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．64．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA ，OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8个单位，OF ＝6个单位，则圆的直径为( )(第4题图)A ．12个单位B ．10个单位C ．4个单位D ．15个单位5．已知如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B ＝30°，则∠D ＝__________.(第5题图)6．如图，过A ，C ，D 三点的圆的圆心为E ，过B ，F ，E 三点的圆的圆心为D ，如果∠A ＝63°，那么∠DBE ＝__________.(第6题图)7．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的直径等于________．(第7题图)8．如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为∠BCA 外角的平分线，F 为弧AD 上一点，BC ＝AF ，延长DF 与BA 的延长线交于点E .求证：(1)△ABD 为等腰三角形； (2)AC ·AF ＝DF ·FE .参考答案导学必备知识 自主测试1．A 2．D 3．60° 4．90°5．3 如图，过点A 作AB ⊥MN ，连接AM ，设MB 为x ，则AM ＝AO ＝4－x . 在Rt △AMB 中， ∵AM 2＝MB 2＋AB 2，∴(4－x )2＝x 2＋22，解得x ＝32.∴MN ＝2MB ＝3. 探究考点方法触类旁通1．24 连接OA ，当OP ⊥AB 时，OP 最短，此时OP ＝5 cm ，且AB ＝2AP .在Rt △AOP 中，AP ＝OA 2－OP 2＝132－52＝12，所以AB ＝24 cm.触类旁通2．B 由题意，得∠A ＝∠C ＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB ＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A ＋∠ABD ＝90°，从而得∠ABD ＝50°. 触类旁通3．48° 因为CD 的度数等于84°，所以∠COD ＝84°.因为OC ＝OD ，所以∠OCD ＝48°.因为CA 是∠OCD 的平分线，所以∠ACD ＝∠ACO ＝24°，因为OA ＝OC ，所以∠OAC ＝∠ACO ＝24°，因为∠ABD ＝∠ACD ＝24°，所以∠ABD ＋∠CAO ＝48°.品鉴经典考题1．A ∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝45°.故选A. 2．D ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ， ∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立； B 为CD 的中点，即CB ＝DB ，选项B 成立； 在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ， ∴△ACM ≌△ADM (SAS)，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立． 故选D.3．B ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，∴∠ABD ＝45°.∵∠C ＝50°，∴∠D ＝50°，∴∠BAD 的度数是180°－45°－50°＝85°.4．8 如图所示，在⊙O 中，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB ＝2AD .∵钢珠的直径是10 mm ， ∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm ， ∴OD ＝3 mm. 在Rt △AOD 中，∵AD ＝OA 2－OD 2＝52－32＝4(mm)． ∴AB ＝2AD ＝2×4＝8(mm)． 故答案为8.5．2 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，∴BC ＝12AB ＝ 3.∵OC ＝1，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋(3)2＝2. 故答案为2.6．150 因为∠AOC ＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC 所对的弧度为300°.因为∠ABC 是圆周角，所以∠ABC ＝150°.7．(1)证明：在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， ∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°， ∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形．(2)解：如图，连接OB ，则OB ＝8，∠OBD ＝30°.又∵OD ⊥BC 于D ，∴OD ＝12OB ＝4.研习预测试题1．C 2．C 3．A 4．B 5．150° 6．18°7．52 连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE .(如图)∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝90°. ∴∠ABE ＝∠ADC . 又∵∠AEB ＝∠ACD ， ∴△ABE ∽△ADC . ∴AB AD ＝AEAC.∵在Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3， ∴AD ＝4.∴AE ＝5 2.8．证明：(1)由圆的性质知∠MCD ＝∠DAB ，∠DCA ＝∠DBA ，而∠MCD ＝∠DCA ， ∴∠DBA ＝∠DAB ，故△ABD 为等腰三角形． (2)∵∠DBA ＝∠DAB ，∴AD BD =.又∵BC ＝AF ，∴BC AF =，∠CDB ＝∠FDA ，∴CD DF =，∴CD ＝DF .由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知， ∠AFE ＝∠DBA ＝∠DCA ，① ∠F AE ＝∠BDE .∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠BDA ＝∠FDA ＋∠BDA ＝∠BDE ＝∠F AE ，②由①②得△CDA ∽△F AE .∴AC FE ＝CDAF，∴AC ·AF ＝CD ·FE . 而CD ＝DF ，∴AC ·AF ＝DF ·FE .。

考点23圆的有关性质考点总结1.圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做⊙O．(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．(3)与圆有关的角：①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数．②圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆的有关性质：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同一条直线上的三点．真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D【分析】 已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可． 【详解】 解：2150615360S ππ⨯==． 故选：D2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B C D ．4【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊥DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊥AC ，FM ⊥AB⊥在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊥AG =DG =EG又⊥AG =FG⊥点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊥⊥DFE =90°⊥在Rt ⊥ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊥CF =BF =122BC =，FN =FM =52 又⊥FN ⊥AC ，FM ⊥AB ，90BAC ∠=︒⊥四边形NAMF 是正方形⊥AN =AM =FN =52又⊥90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊥NFD MFE ∠=∠⊥⊥NFD ⊥⊥MFE⊥ME =DN =AN -AD =12⊥AE =AM +ME =3⊥在Rt ⊥DAE 中，DE故选：A ．3．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒【答案】C【分析】 结合题意，根据三角形外接圆的性质，作O ；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．【详解】 ABC 的外接圆如下图⊥⊥40A =︒⊥280BOC A ∠=∠=︒故选：C ．4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．π+CD ．2π【答案】B【分析】先判断出点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，再判断出点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，找到当点P 与点A 重合时，点P 与点D 重合时，点C 1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP 与CC 1相交于Q ，则⊥BQC =90°，⊥当点P 在线段AD 运动时，点Q 在以BC 为直径的圆弧上运动，延长CB 到E ，使BE =BC ，连接EC ，⊥C 、C 1关于PB 对称，⊥⊥EC 1C =⊥BQC =90°，⊥点C 1在以B 为圆心，BC 为直径的圆弧上运动，当点P 与点A 重合时，点C 1与点E 重合，当点P 与点D 重合时，点C 1与点F 重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠=== ⊥⊥PBC =30°，⊥⊥FBP =⊥PBC =30°，CQ =12BC =BQ 32=，⊥⊥FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCF S CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是2120360BCF S ππ⨯+= 故选：B ． 5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】 根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊥AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊥12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊥tan =DE OE α ⊥=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意； 又sin DE OD α=⊥sin DE OD α=⊥22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意； 又cos OE ODα= ⊥cos cos OE OD m αα==⊥AO DO m ==⊥cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊥2sin CD m α=，cos OE m α=⊥2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ．6．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 【答案】C【分析】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定⊥ABC 是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到2214S AB =，再由勾股定理解得2254OF AB =，解得2154S AB π=⋅，据此解题即可． 【详解】 解：如图所示，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上，∴圆心O 在线段,EF MN 的中垂线的交点上，即在Rt ABC 斜边AB 的中点，且AC =MC ，BC =CG ，⊥AG =AC +CG =AC +BC ，BM =BC +CM =BC +AC ，⊥AG =BM ，又⊥OG =OM ，OA =OB ，⊥⊥AOG ⊥⊥BOM ，⊥⊥CAB =⊥CBA ，⊥⊥ACB =90°，⊥⊥CAB =⊥CBA =45°，12OC AB ∴=， 2211112224S AB OC AB AB AB ∴=⋅=⋅= 22222215()24OF AO AF AB AB AB =+=+= 22154S OF AB ππ∴==⋅， 212254514AB S S AB ππ⋅∴==．故选：C ．7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【分析】 连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊥正方形ABCD 内接于O ，⊥90BOC ∠=° ⊥11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】解：⊥⊥O 的半径为2cm ，线段OA =3cm ，线段OB =2cm ，即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径， ⊥点A 在⊥O 外．点B 在⊥O 上，⊥直线AB 与⊥O 的位置关系为相交或相切，故选：D ．9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为A （4，0），B （﹣6，0）．点C 是y 轴正半轴上的一点，且满足∠ACB ＝45°，圆圆得到了以下4个结论：∠∠ABC 的外接圆的圆心在OC 上；∠∠ABC ＝60°；∠∠ABC的外接圆的半径等于∠OC ＝12．其中正确的是（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠【答案】C【分析】 如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △，过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，由圆心必然在弦的垂直平分线上可判断⊥；再证明E 为ABC 外接圆圆心，求出半径，可判断⊥；再在ECF △中由勾股定理求出CF ，可求得OC 和1tan 2OC ABC OB ∠==，即可判断⊥⊥． 【详解】解：如图，作出ABC 的外接圆，以AB 为斜边在x 轴上方作等腰Rt ABE △， 过点E 作ED x ⊥轴于D ，连接EC ，过点E 作EF y ⊥轴于F ，⊥ABC 的外接圆的圆心必在弦AB 的垂直平分线上，⊥圆心肯定不在OC 上，故⊥错误；⊥⊥ACB ＝45°，⊥由圆周角定理得：AB 所对的圆心角必为90°，⊥EB ＝EA ，⊥在弦AB 的垂直平分线上，⊥⊥AEB ＝90°，⊥E 必为圆心，即AE 、BE 为半径， ⊥AE =⊥正确；⊥BD ＝5，OB ＝6，⊥OD ＝1，⊥⊥EDO ＝⊥DOF ＝⊥OFE ＝90°，⊥OD ＝EF ＝1，ED ＝FO ＝5，⊥7CF ==，⊥OC ＝OF +FC ＝12，故⊥正确；⊥1 tan2OCABCOB∠==，⊥⊥ABC≠60°，故⊥错误；故选：C．10．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A的坐标为（﹣3，2），∠A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切∠A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P 的坐标为（）A．（0，2）B．（0，3）C．（﹣2，0）D．（﹣3，0）【答案】D【分析】连接AQ、P A，如图，利用切线的性质得到⊥AQP=90°，再根据勾股定理得到PQ=AP⊥x轴时，AP的长度最小，利用垂线段最短可确定P点坐标．【详解】解：连接AQ、P A，如图，⊥PQ切⊥A于点Q，⊥AQ⊥PQ，⊥⊥AQP＝90°，⊥PQ当AP的长度最小时，PQ的长度最小，⊥AP⊥x轴时，AP的长度最小，⊥AP⊥x轴时，PQ的长度最小，二、填空题11．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，已知O 的半径为1，点P 是O 外一点，且2OP =．若PT 是O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT =_____．【分析】根据圆的切线的性质，得90OTP ∠=︒，根据圆的性质，得1OT =，再通过勾股定理计算，即可得到答案．【详解】⊥PT 是O 的切线，T 为切点⊥90OTP ∠=︒⊥PT⊥O 的半径为1⊥1OT =⊥PT12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）直接利用弧长公式即可求解．【详解】 解：30122180BC l ππ⋅==， 故答案为：2π．13．（2021·浙江温州·中考真题）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为______；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．【答案】6- (16π-【分析】（1）先求出剪拼后大正方形的面积，得到其边长，再结合图2，求出图1中长方形的长边除去长为d 部分的线段后，剩下的线段长刚好为大正方形的边长，最后用图1中的长方形的长减去图2中大正方形的边长即可完成求解；（2）结合两图分别求出对应线段的长，通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出O 点到'B 、'A 、'C 之间的距离即可确定最小圆的半径，即可完成求解．【详解】解：⊥图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，⊥每个小正方形边长为2，图1和图2中整个图形的面积为2612=⨯，所以图2中正方形的边长''M N =如下图3所示；分别连接'OB 、'OA 、'OC ，并分别过点'B 、'A 、'C 向大正方形的对边作垂线，得到如图所示辅助线，综合两图可知，'1LA =,LJ ='1MA =,O⊥'1JA =，1OJ =,⊥)'1OA ===综合两图可知：'1B E =,6'32B D d =-=,DF =⊥()''33B F DF B D =-==1OF =,⊥'OB =；继续综合两图可知：''1C H C G ==,⊥'1C I OI =,⊥'OC =⊥2816=-<-⊥'B 距离O 点最远，⊥⊥圆的面积为(16π-；故答案为：6-(16π-．14．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，⊥,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，⊥90OCP ODP ∠=∠=︒，⊥120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，⊥60COD ∠=︒，⊥CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．15．（2021·浙江温州·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．【答案】85AB 相切，可求⊥CBO ==30°，利用三角形内角和公式即可求解．【详解】解：连结OO′，⊥将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，⊥BO′=BO =OO′，⊥⊥BOO′为等边三角形，⊥⊥OBO′=60°，⊥O 与OAB 的边AB 相切，⊥⊥OBA =⊥O′BA′=90°，⊥⊥CBO =90°-⊥OBO′=90°-60°=30°，⊥⊥A′=25°⊥⊥A′O′B =90°-⊥A′=90°-25°=65°⊥⊥AOB =⊥A′O′B =65°，⊥⊥OCB =180°-⊥COB -⊥OBC =180°-65°-30°=85°．故答案为85．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．（1）求证：BF 是A 的切线．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接AD ，根据题意证明ABF ABD △△≌，即可证明BF 是A 的切线；（2）根据题意即（1）的结论可得BEF CEA △∽△，列比例求出FB 的长，根据勾股定理求EF 即可．【详解】（1）证明如图，连接AD ，CA CB =，CAB ABC ∴∠=∠，AE AC ⊥，90CAB EAB ∴∠+∠=︒又A 切BC 于点D ，=90ADB ∴∠︒，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，BAE BAD ∴∠=∠．又AB AB ，AF AD =，()ABF ABD SAS ∴△△≌，90AFB ADB ∴∠=∠=︒，BF ∴是A 的切线．（2）由（1）得：90AFB FAC ∠=∠=︒，//BF AC ∴，BEF CEA ∴△∽△，BE BF CE CA∴=， 20CB CA ==，5BE =，∴=．EF317．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD是半径为3的∠O的一条弦，BD＝点A是∠O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．∠求证：平行四边形ABCD是菱形；∠求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与∠O相切．∠求AB的长；∠直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．【答案】⊥证明见解析；⊥（2）⊥AB【分析】（1）⊥利用等弧所对的弦相等可得AD AB=，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；⊥连接AO，交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得DE BE==用勾股定理求出OE的长，即可求解；（2）⊥分情况讨论当CD与O相切时、当BC与O相切时，利用垂径定理即可求解；⊥根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．【详解】解：（1）⊥⊥点A是劣弧BD的中点，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥平行四边形ABCD 是菱形；⊥连接AO ，交BD 于点E ，连接OD ，，⊥点A 是劣弧BD 的中点，OA 为半径，⊥OA BD ⊥，OA 平分BD ， ⊥DE BE ==⊥平行四边形ABCD 是菱形，⊥E 为两对角线的交点，在Rt ODE △中，1OE ,⊥2AE =，⊥122ABCD S BD AE =⋅⨯= （2）⊥如图，当CD 与O 相切时，连接DO 并延长，交AB 于点F ，⊥CD 与O 相切，⊥DF CD ⊥，⊥四边形ABCD 是平行四边形，⊥//AB CD ，⊥DF AB ⊥，在Rt BDF △中，()2222323BF BD DF OF =-=-+， 在Rt BOF △中，22229BF BO OF OF =-=-，⊥()223239OF OF -+=-，解得73OF =，⊥BF =⊥2AB BF = 如图，当BC 与O 相切时，连接BO 并延长，交AD 于点G ，同理可得AG DG =73OG =，所以AB综上所述，AB ⊥过点A 作AH BD ⊥，，由（2）得：7163,33BD AD BG ==+= 根据等面积法可得1122BD AH AD BG ⋅=⋅， 解得329AH =，在在Rt ADH 中，DH ==⊥HI =⊥tan AH AIH HI ∠== 18．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．∠求APO ∠'的度数．∠求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）⊥60°；⊥6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）⊥如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ '60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，⊥如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．⊥点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒． 72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===．。

2025年湖南省中考数学一轮复习第二十三讲　圆的有关概念及性质学生版知识要点对点练习1.圆的定义及性质(1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转,另一个端点A所形成的图形.(2)轴对称性:圆是,任何一条都是它的对称轴.(3)旋转不变性:围绕着它的任意旋转一个角度都能与原来的圆重合1.(教材再开发·湘教九下P46习题2.1T2改编)下列说法中正确的个数有( )①平分弦的直径一定垂直于弦;②圆是轴对称图形,每一条直径都是对称轴;③直径是弦;④长度相等的弧是等弧.　A.1个B.2个C.3个D.4个2.垂径定理及推论(1)垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的.(2)推论:平分弦(不是直径)的直径,并且平分弦所对的. 2.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为( )A.1B.2C.3D.43.弧、弦、圆心角的关系 3.(教材再开发·湘教九下P49T1改编)如图,在☉O中AB=CD,∠AOB=45°,则∠COD=( )A.60°B.45°C.30°D.40°4.如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=80°,则∠C的度数为( )A.30°B.35°C.40°D.45°(2)推论:圆内接四边形的任意一个外角等于它的.AD ,交CD 于点E.若∠BEC =50°,则∠ABC 的度数是()A .50°　B .100°C .130°D .150°考点 圆的基本性质的相关计算(一题多设问)【例】如图,点A ,B ,C ,D 在☉O 上,AC 是☉O 的直径.连接AB ,BC ,CD ,AD ,DB ,OD ,OB.AC 与BD 交于点F ,请回答下列问题:问题1　若∠ACB =30°,则∠BOC = ,∠BDC = ,∠AOB = ,∠ADB =.问题2　若∠BAC =40°,则∠OBC =.问题3　若☉O 的半径为2,∠AOB =∠AOD =60°,则AB = ,AD =.问题4　若AB =CD ,∠BOC =100°,则∠AOB=,∠COD=.问题5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD=.问题6　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径.问题7　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长.问题8　已知∠BOD=130°,则∠BAD=. 问题9　已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是. 提醒:当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑优弧或劣弧的不同情况,避免漏解.2.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等.3.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系”(1)四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量知任意两个即可求其他两个.(2)两关系:①(a2)2+d2=r2;②h+d=r.注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC 的度数为( )A.60°B.75°C.90°D.135°2.(2024·长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则☉O的半径长为( )A.4B.42C.5D.523.(2022·株洲中考)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为( )A.115°B.118°C.120°D.125°4.(多选题·2023·湘潭中考)如图,AC是☉O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD 延长线相交于点B,若AB=AC,则下列说法正确的是(ABD)A.AD⊥BCB.∠CAB=90°BCC.DB=ABD.AD=125.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC=度.6.(2022·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为.2025年湖南省中考数学一轮复习第二十三讲　圆的有关概念及性质教师版知识要点对点练习1.圆的定义及性质(1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转　一周　,另一个端点A所形成的图形.(2)轴对称性:圆是　轴对称图形　,任何一条　过圆心的直线　都是它的对称轴.(3)旋转不变性:围绕着它的　圆心　任意旋转一个角度都能与原来的圆重合1.(教材再开发·湘教九下P46习题2.1T2改编)下列说法中正确的个数有(A)①平分弦的直径一定垂直于弦;②圆是轴对称图形,每一条直径都是对称轴;③直径是弦;④长度相等的弧是等弧.　A.1个B.2个C.3个D.4个2.垂径定理及推论(1)垂径定理:垂直于弦的直径　平分弦　,并且平分弦所对的　两条弧　.(2)推论:平分弦(不是直径)的直径　垂直于弦　,并且平分弦所对的　两条弧　. 2.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为(B)A.1B.2C.3D.43.弧、弦、圆心角的关系 3.(教材再开发·湘教九下P49T1改编)如图,在☉O中AB=CD,∠AOB=45°,则∠COD=(B)A.60°B.45°C.30°D.40°4.如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=80°,则∠C的度数为(C)A.30°B.35°C.40°D.45°A .50°　B .100°C .130°D .150°考点 圆的基本性质的相关计算(一题多设问)【例】如图,点A ,B ,C ,D 在☉O 上,AC 是☉O 的直径.连接AB ,BC ,CD ,AD ,DB ,OD ,OB.AC 与BD 交于点F ,请回答下列问题:问题1　若∠ACB =30°,则∠BOC =　120°　,∠BDC =　60°　,∠AOB =　60°　,∠ADB =　30°　. 问题2　若∠BAC =40°,则∠OBC =　50°　.问题3　若☉O 的半径为2,∠AOB =∠AOD =60°,则AB =　2　,AD =　2　.问题4　若AB =CD ,∠BOC =100°,则∠AOB =　80°　,∠COD =　80°　.问题5　若∠BOC =∠DOC ,∠BCD =60°,BC =3,则BD =　3　.问题6　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径.【解析】设☉O的半径为r,∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4.∵AF=2,则OF=r-2.在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2,即r2=16+(r-2)2,解得r=5.∴☉O的半径为5.问题7　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长.【解析】∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4,∵☉O的直径为10,∴☉O的半径OB=5.由勾股定理得OF=52-42=3,∴AF=5-3=2.即AF的长为2.问题8　已知∠BOD=130°,则∠BAD=　115°　.问题9　已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是　30°或150°　. 弧或劣弧的不同情况,避免漏解.2.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等.3.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系”(1)四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量知任意两个即可求其他两个.(2)两关系:①(a2)2+d2=r2;②h+d=r.注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC 的度数为(C)A.60°B.75°C.90°D.135°2.(2024·长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则☉O的半径长为(B)A.4B.42C.5D.523.(2022·株洲中考)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(C)A.115°B.118°C.120°D.125°4.(多选题·2023·湘潭中考)如图,AC是☉O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD 延长线相交于点B,若AB=AC,则下列说法正确的是(ABD)A.AD⊥BCB.∠CAB=90°BCC.DB=ABD.AD=125.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC=　80　度.6.(2022·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为　7　.。