5 空间力系(一)

Fy = −Fxy cos β = −F cosα cos β n
机械设计基础
§5-2 力对轴的矩
y
平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。 平面里的力对点之矩，实际是空间里力对轴之矩。
z
r r Mz (F) = Mo (Fxy ) =±Fxy ⋅ h
x
空间的力对轴之矩： 空间的力对轴之矩：
（a）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）力与轴平行，力对轴的力矩等于零； ）、（c） （b）、（ ）力与轴相交，力对轴的力矩等于零； ）、（ 力与轴相交，力对轴的力矩等于零；
X Y Z 方向： 方向： cosα = , cos β = , cosγ = F F F
机械设计基础
⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量； 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。 力在坐标平面上的投影是矢量。 二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法 与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求 与平面汇交力系的合成方法相同， 合力。 合力。
⒊ 二次投影法（间接投影法） 二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向间夹角不易 确定时， 面上， 确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴 上。 X =F⋅sinγ ⋅cosϕ=F ⋅cosϕ=F⋅cosθ⋅cosϕ 即：
Y =F⋅sinγ ⋅sinϕ=Fxy ⋅sinϕ=F⋅cosθ⋅sinϕ Z = F ⋅ cosγ = F ⋅ sinθ
Fxy
作用点： 作用点： 物体和力矢的起点或终点 的接触之点。 的接触之点。
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一次投影法（直接投影法） ⒉ 一次投影法（直接投影法） 由图可知： 由图可知： X =F⋅cosα,

第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。

Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。

熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。

对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。

了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。

能正确地画出各种常见空间的约束反力。

会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。

对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。

1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。

cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。

MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
Mz(F)
Mz(F) = MO(Fxy) =±Fxy h = ±2 △OAb
★ 力对轴的矩等于力在垂直于该 x 轴的平面上的投影对轴与平面交
点的矩。
z
O h
F
Fz
B
b
A
Fxy
y
力对轴之矩用来表征——力对刚体绕某轴的转动效应。
☆ 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
M
z
(F
)

xFy

yFx

● 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。
MO (F )x MO (F )y

M x(F) M y(F)

MO (F )z

M
z
(F )

MO (F ) 2OAB
Mz(F) = MO(Fxy) = ±2 △Oab
M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
M Mxi My j Mzk
M x M1x M 2x L M nx Mix M y M1y M 2 y L M ny Miy M z M1z M 2z L M nz Miz
x
Fx Fy

F F
sin sin
cos sin

Fz F cos

F
Fx2

Fy2

Fz2

cos(F , i) Fx F

ห้องสมุดไป่ตู้
cos(F , j) Fy

F
cos(F , k) Fz F