无锡市高二年级2006-2007学年第二学期期末考试
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高二年级2006-2007学年第二学期期末考试数 学 试 题 卷(理 科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110的逆矩阵是 ( ) A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110 B 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 D 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110 2.从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少要有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法有 ( ) A 、35种B 、70种C 、84种D 、140种3.若随机变量~(0.6)X B n ,,且3)(=X E ,则(1)P X =的值是 ( )A 、420.4⨯B 、520.4⨯C 、430.4⨯D 、430.6⨯4.船员人数关于船的吨位的的线性回归方程是船员人数x y06.095ˆ+=吨位。
如果两艘轮船吨位相差1000吨。
则船员平均人数相差 ( ) A 、40 B 、57 C 、 60 D 、95 5.在极坐标系中,直线θθρsin 2cos 1-=与直线关于极轴对称,则直线l 的方程为 ( )A 、θθρsin 2cos 1+=B 、θθρcos sin 21-=C 、θθρsin cos 21+=D 、θθρsin cos 21-=6.设一随机试验的结果只有A 和A ,()P A p =,令随机变量10A X A =⎧⎨⎩,出现,,不出现,,则X 的方差为( )A、2pB、2(1)p p -C、2)1(p -D、(1)p p -7.已知不等式9)1)((≥++yax y x 对任意正实数y x ,恒成立,则正实数a 的最小值为 ( )A 、2B 、4C 、6D 、88. 以一个平行六面体顶点为顶点的四面体共有 ( ) A 、70个 B 、64个 C 、58个 D 、52个 9. 设复数11i z i+=-(i 为虚数单位),则0122334455667788888888C C z C z C z C z C z C z C z +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=( )A 、16B 、15C 、16iD 、16i - 10.把正奇数数列}12{-n 的各项从小到大依次排成如下三角形状数表:记),(t s M 表示该表中第s 行的第t 个数,则表中的奇数2007对应于A 、 )14,45(MB 、 )24,45(MC 、 )14,46(MD 、 )15,46(M第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.11.在极坐标系中,两条直线0)cos(=-αθρ与a =-)sin(αθρ的位置关系是 __________. 12.抛掷两颗质量均匀的骰子各一次,向上的点数不同时,其中有一个点数为4的概率为_______. 13.已知i z z 5)1|(|+-=,则复数z=________。
14若曲线12422=++y xy x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a 的作用下变换成曲线1222=-y x ,则b a +的值为_________.15.定义一种运算“*”,它对于整数n 满足以下运算性质:(1)2*1001=1; (2)(2n +2)*1001=3·[(2n )*1001],则2008*1001的值是 . 16.如图,已知命题:若矩形ABCD 的对角线BD 与边AB 和BC 所成角分别为βα、,则,1cos cos 22=+βα若把它推广到长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,试写出相应命题形式:__________________________________________________________________ .13 5 7 9 1113 15 17 19… … … … …高二年级2006-2007学年第二学期期末考试数 学 答 题 卷(理 科)11____;12._____.13.______; 14.____; 15._____; 16.______________________________________________.三、解答题:(本大题共6小题,共80分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?18.(本小题满分12分)已知n x )21( 的展开式中,某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍,是它后一项系数的65倍,求该展开式中二项式系数最大的项。
19. (本小题满分12分)某保险公司的统计表明,新保险的汽车司机中可划分为两类:第一类人易出事故,其在第一年内出事故的概率为0.4,第二类人为谨慎的人,其在第一年内出事故的概率为0.2。
假定在新投保的3人中有一人是第一类人,2人是第二类人,一年内这3人出事故的人数记为ξ,(这3人出事故相互之间没有影响)(1) 求3人都不出事故的概率。
(2) 求ξ的分布列及其数学期望和方差。
20.(本小题满分14分)过抛物线x y 42=的焦点F 引两条互相垂直的直线AB 、CD 交抛物线于A 、B 、C 、D 四点, (1)求当CD AB +取最小值时直线AB 、CD 的倾斜角的大小 (2)求四边形ACBD 的面积的最小值。
21 (本小题满分14分)函数数列{})(x f n 满足:)0(1)(21>+=x xx x f ,)]([)(11x f f x f n n =+(1) 求)(),(32x f x f ;(2) 猜想)(x f n 的表达式,并证明你的结论。
22(本小题满分16分)当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍; (3)第n 年时,兔子数量n R 用表示,狐狸数量用n F 表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有1000=R 只,狐狸数量有300=F 只。
请用所学知识解决如下问题:(1)列出兔子与狐狸的生态模型; (2)求出n R 、n F 关于n 的关系式;(3)讨论当n 越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由。
高二数学期末试卷(参考答案)一、选择题:1-5:ABCCA 6-10:DBCCA 二、填空题: 11、垂直 12、31 13、12-5i 14、2 15、10033 16、若长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1与BA 1,BB 1,BC 所成的角分别为γβα,,,则1cos cos cos 222=++γβα。
(其它类比正确同样给分) 三、解答题:17、解:⑴0为末位的四位偶数有35A =60个2,4在末位的四位偶数有96241412=C C C 个∴能组成(60+96)=156个四位偶数………………6’⑵万位排4,5的五位数有2404512=A C 个万位排3,千位排4或5的五位数有483412=A C 个万位排3,千位排1,百位排4或5的五位数有122312=A C 个万位排3,千位排1,百位排2,十位排5的五位数有2个 比31245大的五位数共有240+48+12+2=302个 答:⑴能组成156个四位偶数。
⑵能组成比31245大的五位数共有302个。
………………6’ 18、解:212)2(r rr nrr nr x C x C T ==+由题意知:⎪⎩⎪⎨⎧==++--11112652222r r n rr n r r n r r n C C C C 解得:⎩⎨⎧==47r n ………………8’ ∴二项式系数最大值为2244755602x x C T ==………………2’232333742802x x C T ==………………2’ 19、解:⑴P=0.6×0.8×0.8=0.384……………………2’ ⑵12548545453)0(=⨯⨯==ξP1255654.51..5354.54.52)1(12=+==C P ξ…………2’ 1251951.51.5354.51.52)2(12=+==C P ξ…………2’21.1.2)3(===ξP …………………………2’51253125212511250)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE …………2’25141252.)543(12519.)542(12556.)541(12548.)540()(2222=-+-+-+-=ξV ……2’20、解:⑴F 为极点,FX 为极轴,建立极坐标系,则抛物线的极坐标方程可写为θρcos 12-=……3’⑴设),(1θρA ,则),(2θπρ+B ∴θθπθρρ221sin 4)cos(12cos 12=+-+-=+=AB ………………2’ 同理θπθ22cos 4)2(sin 4=+=CD ………………………………………2’ ∴θθθθθ2sin 16cos sin 4cos 4sin 422222==+=+CD AB …………2’故当4πθ=时,CD AB +取最小值16,此时AB 、CD 的倾斜角分别为4π,43π。
⑵21=ABCD S CD AB .=θθ22cos sin 8=θ2sin 322……………………2’ 易知:当4πθ=时,32)(min =ABCD S注:若以直角坐标系求解可同样给分………………………………4’ 21、解:⑴221111221)(1)())(()(x x x f x f x f f x f +=+==…………2’222221331)(1)())(()(xx x f x f x f f x f +=+==…………2’⑵猜想:)(1)(2*∈+=N n nx x x f n ……………………3’下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,211)(xx x f +=,已知,显然成立………………1’②假设当)(*∈=N K K n JF ,猜想成立,即21)(kxx x f k +=则当1+=K n 时,2222211)1(1)1(11)(1)())(()(xk x kx x kx xx f x f x f f x f k k k k ++=+++=+==+……3’即对1+=K n 时,猜想也成立。
结合①②可知:猜想21)(nx x x f n +=对一切*∈N n 都成立。
………………2’22、解:⑴)1(85.01.015.01.11111≥⎩⎨⎧+=-=----n F R F F R R n n n n n n ……………………4’⑵设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n n F R α,⎢⎣⎡=1.01.1M ⎥⎦⎤-85.015.0 ∴)(21--==n n n M M M ααα=……=∞αn M 又矩阵M 的特征多项式1.01.1)(--=λλf85.015.0-λ=)95.0)(1(95.095.12--=+-λλλλ令0)(=λf 得:95.0,121==λλ特征值11=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=231α特征值95.02=λ对应的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112α……………………6’且2101107011110237030100ααα-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ∴2211011070αλαλααnn n n M -===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙-∙-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙-⎥⎦⎤⎢⎣⎡n nn 95.011014095.01102101195.01102370∴⎪⎩⎪⎨⎧∙-=∙-=nn nn F R 95.011014095.0110210………………………………14’ ⑶当n 越来越大时,n95.0越来越接近于0,n R ,n F 分别趋向于常量210,140。