B= A
种子的发芽与不发芽；新生婴儿的性别；
5 独立事件
事件A和事件B的发生无关，事件B的发生与 事件A的发生无关，则事件A和事件B为独立 事件。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为 “产量高”，显然如果花的颜色与产量无关，则事 件A和B相互独立。
如果多个事件A1、A2、A3、…、An 彼此独立， 则称之为独立事件群。
（二）概率的计算法则 1 互斥事件加法定理 定理: 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
试验的全部结果包含n个基本事件，事件A包含其中m1个 基本事件，事件B包含其中m2个基本事件。由于A和B互斥， 因而它们各包含的基本事件应该完全不同。所以事件A＋B所 包含的基本事件数为m1+m2。
容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将
它近似地看成总体概率分布。
对于一个连续型随机变量x，取值于区间[a,b]内的概 率为函数f(x)从a到b的积分，即：
P(a x b) f ( x)dx
a
b
连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。
P( x ) f ( x)dx 1
随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的
现象，叫随机事件。为了研究随机现象，需要进行大量 重复的调查、实验、测试等，这些统称为试验。
（二）频率（frequency）
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
作为该随机事件概率的近似值。
任何事件
必然事件 不可能事件 随机事件
0≤P(A)≤1 P(U)=1
P(V)＝0
0<P(A)<1
二、概率的计算
（一）事件的相互关系
和事件 积事件 互斥事件 对立事件 独立事件 完全事件系
1 和事件
事件A和事件B中至少有一个发生而构成的新 事件称为事件A和事件B的和事件，记作A+B。
P(A+B)=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)
1 互斥事件加法定理
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
1 互斥事件加法定理 例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B)占30.7%，空 穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和双穗株的概率。 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979 因为P(A)+P(B)+P (C) =1 P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979
概率密度函数f(x)曲线与x轴所围成的面积为1。
随机变量可能取得的每一个实数值 或某一范围的实数值是有一个相应概率
于其对应的，这就是所要研究和掌握的
规律，这个规律称为随机变量的概率分
布。
四、大 数 定 律
大数定律：是概率论中用来阐述大量随机
现象平均结果稳定性的一系列定律的总称。 主要内容：样本容量越大，样本统计数与 总体参数之差越小。
对离散型变量x的一切可能值xi(i=1,2,3…), 及其对应的概率pi P (x=xi) = pi, i=1,2,3…
离散型变量的概率分布的特点
Pi≥ 0
(i=1,2,…)
Pi
i 1
=1
（二）连续型变量的概率分布
当试验资料为连续型变量，一般通过分组
整理成频率分布表。如果从总体中抽取样本的
3 互斥事件（互不相容事件）
事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事 件A和B互不相容或互斥。
n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。 例如棉花纤维长度“＜28毫米”和“等于28毫米” 不可能同时发生，为互斥事件。
4 对立事件
事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同 时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。 即A+B=U，AB=V。我们称事件B为事件A的 对立事件。
n个事件的和，可表示为A1+A2+…+An 例如测定棉花的纤维长度，以＜28毫米为事件A， 28至30毫米为事件B，则抽取一根≤30毫米的这一新 事件为A＋B。
2 积事件
事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称 为事件A和事件B的积事件，记作A•B。
n个事件的积，可表示为A1 • A2 • … • An 例如某小麦品种，以发生锈病为事件A，发生白粉 病为事件B，则锈病和白粉病同时发生这一新事件 为AB。
0≤W(A) ≤1
（三）概率（probability,P)
统计定义：设在相同的条件下，进行大量重复试 验，若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近 摆动，则称p为事件A出现的概率。
m m P(A) = p=lim n n
在一般情况下，随机事件的概率P是不可能准确得到 的。通常以试验次数n充分大时，随机事件A的频率
2 独立事件乘法定理
定理: 事件A和事件B为独立事件，则事件A与事 件B同时发生的概率为各自概率的乘积。 P(AB)=P(A)P(B)
推理：A1、A2、…An彼此独立，则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)
三、概 率 分 布
（一）离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，必须知道 它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
伯努利大数定律
辛钦大数定律
（1)伯努利大数定律 设m是n次独立试验中事件A出现的次数， 而p是事件A在每次试验中出现的概率，则对 于任意小的正数ε，有如下关系：
第三章 概 率
与 概率分布
第Байду номын сангаас节：概率基础知识
一、概率的概念 二、概率的计算 三、概率的分布 四、大数定律
一、概率基本概念
（一）事件 定义：在一定条件下，某种事物出现与否 就称为是事件。
确定性事件
必然事件（U)(certain event)
不可能事件（V)(impossible event)
6
完全事件系
如果多个事件A1、A2、A3、…、An两两互斥， 且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、 A2、A3、…、An为完全事件系。 完全事件系的和事件概率为１，任何一个事 件发生的概率为1/n。即：
P（A1＋A2＋…＋An）＝１
例如对于棉花纤维长度，＜28毫米、≥28毫米和＜ 30毫米、≥30毫米均构成了完全事件系。
