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生物统计学 第三章 概率分布

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医学统计学-第三章-概率分布

医学统计学-第三章-概率分布
图5-4 正态分布位置随参数μ变换示意图
⑵ 形状参数：σ
当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲 线越尖峭，σ 叫正态曲线N（μ, σ2）的形状参数。
f(X)
0.9
0.8
σ=1
0.7
0.6
0.5
0.4 0.3
σ=1.5
0.2 0.1
σ=2
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
累积频率
0.004 3 0.042 8 0.158 3 0.367 3 0.623 4 0.835 9 0.935 8 0.985 7 0.997 9 1.000 0
频率密度 (频率/组距)
0.001 1 0.009 6 0.028 9 0.052 2 0.064 0 0.053 1 0.025 0 0.012 5 0.003 0 0.000 5
医学研究中许多正常人的生理、生化指标 的变量分布呈正态分布或近似正态分布。
体重频率密度
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 48- 56- 64- 72- 80体重（kg）
图5-1 体重频率密度图
由于频率的总和为1，所以该曲线下横轴上的面积为1 面积=频率
正态分布曲线：两个参数 μ和σ决定了x的概率分布，习
3 概率分布
教学内容：
变量
定量资料
集中趋势：算术均数、 中位数等
极差、 四分位数间距、方差、
离散趋势：标准差、变异系数
统计 描述
定性资料：频率型指标、强度型指标、比 统计表和统计图 概率分布：正态分布、二项分布、Possion分布
统计 推断
抽样分布—参数估计：点估计、区间估计

生物统计学第三章 概率和概率分布(2)

生物统计学第三章 概率和概率分布(2)

的第x 1项，所以有“二项分布”这个名称。
0 0 1 1 x x n n [ (1 )]n Cn (1 )n Cn (1 )n1 Cn (1 )nx Cn (1 )0
x x （2） P(x) Cn (1 )nx [ (1 )]n 1n 1 x 0 x 0
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或 样本含量）
x : 在n次试验中事件A出现的次数，即二项分布变量X 的取值
: 事件A发生的概率 (每次试验都是恒定的 )
1 － : 事件A发生的概率
p(x) : X的概率函数即P(X x)
F( x) P(X x) p(xi )
2014-4-21
二项分布的程序计算方法

二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true） 某数阶乘的计算函数Fact 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排 列组合数C n m 计算函数Combin（m，n）
2014-4-21
二、 泊松分布 （Poisson Distribution）
2014-4-21
二项分布
（实例）
【例】已知 100 件产品中有 5 件次品，现从中任取一件，有 放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的 概率 解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数，则根据二项分 布公式有
P X 2 C32 (0.05)2 (0.95)32 0.007125
二项分布变量的一些例子：
（1）连续抛硬币100次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。

生物统计学课件1、概率及概率分布

生物统计学课件1、概率及概率分布
04
指数分布在统计分析中常用于计算随机事件的概率和期望值，如生存 分析和可靠性工程。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
概率分布的应用
在生物统计学中的应用
描述生物样本人群的特征
遗传学研究
通过概率分布，可以描述生物样本人 群的某些特征，如身高、体重、年龄 等。
在遗传学研究中，概率分布被广泛应 用于基因频率的分布和遗传疾病的分 布。
正态分布在统计学中的重要性在于许 多统计方法和假设检验都是基于正态 分布的假设。
泊松分布
泊松分布是一种离散概率分布 ，常用于描述单位时间内随机
事件发生的次数。
泊松分布的概率函数由两个参 数λ和k控制，其中λ表示单位时
间内随机事件发生的平均次数 ，k表示随机事件发生的次数。
泊松分布在生物统计学中常用 于描述某些离散变量的分布， 如遗传学中的基因突变频率、 流行病学中的疾病发病率等。
在社会科学研究中的应用
人口统计学研究
在人口统计学研究中，概率分布 被用于描述人口特征和分布情况
。
社会调查
在社会调查中，概率分布被用于描 述调查结果的分布情况，例如调查 结果的置信区间和抽样误差。
经济预测
在经济预测中，概率分布被用于预 测经济发展趋势和未来经济状况。
REPORT
CATALOG
DATE
描述随机变量取连续数值时的概率分布，如正态分布、指数 分布等。
离散概率分布
二项分布
描述在n次独立重复的伯努利试验中 成功的次数的概率分布，常用于描述 生物实验和调查中的成功次数。
泊松分布
描述单位时间内（或单位面积上）随 机事件发生的次数，常用于描述稀有 事件的概率模型。

生物统计学 几种常见的概率分布律

生物统计学 几种常见的概率分布律

非此即彼
随机试验有两种互不相容不同结果。 重要条件： 1. 每次试验两个结果（互为对立事件），每一种结果在每次 试验中都有恒定的概率； 2. 试验之间应是独立的。
P(AB)=P(A)P(B)
2.14
二项分布的概率函数
服从二项分布的随机变量的特征数
方差 当以比率表示时
偏斜度
了解
峭度
做题时请先 写公式，代 数字，出结 果，描述结 果的意义。
正态分布表的单侧临界值
上侧临界值
下侧临界值
双侧临界值
§3.5 另外几种连续型概率分布
指数分布（exponential distribution）
了解
Γ分布（gamma distribution）
了解
了解
随着p的增加， Γ分布愈来愈 接近于正态分 布。
§3.6 中心极限定理 （Central Limit Theorem） 假设被研究的随机变量X可以表 示为许多相互独立的随机变量Xi 的和。如果Xi的数量很大，而且 每一个别的Xi对于X所起的作用 又很小，则X可以被认为服从或 近似地服从正态分布。
作业
P51
3.1, 3.2（算出各表现型概率即可）; 3.12, 3.18
正态分布的密度函数和分布函数 正态分布（normal distribution） 高斯分布（Gauss distribution） 正态曲线（normal curve） 连续型概率分布律 两头少，中间多，两侧对称
了解
标准正态分布
/fai/
标准正态分布的特性
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正态分布表的使用方法
正态分布标准化
生物统计学
第三章 几种常见的概率 分布律
2010.9

生物统计学：第三章随机变量与概率分布

生物统计学：第三章随机变量与概率分布

例：用复合饲料饲养动物，每天增重的kg数及 其相应的概率如下：
每天增重xi /kg 0.5
概率 0.10
1.0
0.20
1.5
0.50
2.0
0.20
问每天增重的数学期望和方差是多少？
解： μ=E(X)=1.40
E(X2 ) =2.15
var=σ2 = E(X2 ) –μ2=2.15-1.42=0.19
15.167
（4）随机变量的方差(variance) - 总体方差
度量随机变量取值的变异程度的指标，其定义式：
Var( X ) 2 ( xi )2 E[( X )2 ]
N
E[( X )2 ] E( X 2 2 X 2 )]
E(X 2) 2E(X ) 2
对于例1：
件的集合）的概率有以下关系：P（A ）=1-P（A）
2 ）条件概率
➢ 已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率 称为条件概率，记为P（A︱B） Ｐ（Ａ∣Ｂ）＝Ｐ（ＡＢ）／Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ｂ∣Ａ）＝Ｐ（ＡＢ）／Ｐ（Ａ）
例：一周的天气情况如下：
周日
日
一
二
三
四
五
六
预报
晴
阴
雨
雨
雨
晴
雨
实际
晴
雨
阴
雨
雨
晴
晴
设A表示预报有雨的事件，B表示实际下雨的事件
些值的概率p(x1)，p(x2)，…，p(xn)，…，排列起来，构 成了离散型随机变量的概率分布。常用概率分布表或概 率分布图表示（如，p28表与p29图3-1）。
例3.1 掷一次骰子所得点数的概率函数
f (x) 1 , x 1, 2, 3, 4, 5, 6 6

生物统计学03概率和概率分布

生物统计学03概率和概率分布

e
−λ
(λ = np)
x = 0, 1, 2…, n
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 参数 参数:
µ= λ
2 = λ σ
☆ 形状
λ=0.5 λ=1.5 λ=2.5
λ→20
泊松分布→正态分布 泊松分布 正态分布
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
☆ 是一种连续随机变量的概率分布 ☆ 许多生物现象的计量资料均服从正态分布 ☆ 一般假定试验误差的分布服从正态分布 ☆ 非正态总体统计数的抽样分布近似服从正态分布
☆当 p 值较小且 n 值不
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 1 3 5 7
p=0.3
p=0.5
p=0.75
大时， 大时，图形是偏倚的
☆当 p 值趋于 时，分 值趋于0.5时
布趋于对称
9
11
13
15
17
19
21
第二节 常用的概率分布 二、泊松分布
☆ 概率函数
P( x ) =
λ
x
x!
第二节 常用的概率分布
随机抽取20株小麦 测得平均株高为82.3cm，标准差为 株小麦， cm， 例3.4 随机抽取 株小麦，测得平均株高为 cm 1.7502cm，试计算： cm，试计算： cm 1）株高≥85cm的概率； 的概率； 的概率 的正常值范围。 2）小麦株高的95%的正常值范围。 小麦株高的 的正常值范围
第二节 常用的概率分布 三、正态分布
1. 概率函数
f (x) = 1
− ( x−µ)2 2σ 2
σ 2 π
e
记为x～ 记为 ～N(µ,σ2)
第二节 常用的概率分布
2. 正态曲线的特点

生物统计学课件--2概率的基本知识


A1 A2 An V
则有：
P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An) 1
1 如果n个事件出现的概率相等，那么， P ( Ai ) n
称Ai为完全事件系。
复习思考题
①什么概率论？什么叫统计学？两者的关系是什么？ ②什么是试验？ ③举例说明什么是必然事件、什么是随机事件？请说 明事件之间的关系。
④什么是概率？利用统计概率的定义说明概率的性质。
⑤什么是统计概率？要想了解随机事件的发生规律， 应如何进行研究？ ⑥试阐述“小概率实际不可能性”的原理及应用。 ⑦说明随机事件的概率计算法则。
第四章
第一节 随机变量
几种常见的概率分布
一、随机变量 在随机试验中被测量的量，称随机变量。 有时随机试验的结果为数量，有时随机试验的结果 不是数量，要人为地量化。
F ( x0) P( x), 其中，xx0
例：掷骰子试验，X为点数，是离散型随 机变量，其可能值为1、2、3、4、5、6， 若求出现的点数不多于3点的概率，则为 求 P( x 3) F (3)
P( x 1) P( x 2) P( x 3)
p(1) p(2) p(3)
方 差：2 = npq ，
标准差： =
npq
四、例1：
试求掷10次硬币，出现3次正面的概率是多少？ 解：掷硬币为随机试验，可能的结果有两种， A：正面向上；B：反面向上。 p = P（A）= 1/n =1/2 = 0.5，
q = 1- p = 0.5
则有：P（x=3）= p（3）
x C n p x
0.40 0.48
2、概率的性质 • 任何事件（A）的概率均满足：0≤P（A）≤1； • 必然事件的概率为1；

第三章 常用概率分布之正态分布


图4.13 离均差的绝对值≤1 , 2 和3 的概率值
随机变量x在区间( μ – kσ, μ + kσ )外取值的概率P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )为两尾概率，记为α P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )=α P ( x<μ – kσ ) = P( x>μ + kσ )=α/2 两尾分位数Uα
=0.0227
0.020
fN (x)
0.020
fN (x)
0.016
0.016
0.012
0.012
0.008
P( y 40) 0.9773
P( y 26) 0.2119
0.008
0.004
0.004
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
首先计算：
查附表2，当u=－0.8时，FN(26)=0.2119，说明这 一分布从－∞到26范围内的变量数占全部变量数的 21.19%，或者说，y≤26概率为0.2119. 同理可得： FN(40)=0.9773
所以：P(26＜y≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119

生物统计学第三章概率分布

➢ 只有一个峰，峰值在x = 处 ➢ 曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=
中位数 ➢ x轴为曲线向左、右延伸的渐进线
➢ 由两个参数决定： 平均数 和 标准差 • 决定曲线在x 轴上的位置 • 决定曲线的形状
正态分布
平均数的影响
标准差的影响
正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)
对于给定的两尾概率求标准正态分布在x 轴上的分位点
/2
/2
对于给定的一尾概率求标准正态分布在x 轴上的分位点
/2
/2
（1）设标准正态分布的右尾(左尾)概率为
，求分位数u值
用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位数u值
= 20.05 = 0.1查表得u = 1.644854 。
（2）
， = 20.01 = 0.02查表得u = 2.326348
离散型随机变量的概率分布
普哇松分布的概率函数
普哇松分布的期望与方差
离散型随机变量的概率分布
例2:某遗传病的发病率为0.0003,某鸡场有10000头 肉鸡,问今年发生该遗传病4头及4头以上的概率有 多少?
λ=μ=np=10000×0.0003=3 x=4 P(x≥4)=1-P(x<4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)
离散型随机变量的概率分布
二项分布的概率函数
二项分布的期望 二项分布的方差
离散型随机变量的概率分布
例1：一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其
中有2头公猪和6头公猪的概率。
产公猪头数的期望值： 产公猪头数的方差：
离散型随机变量的概率分布
普哇松分布（Poisson distribution）

几种常见的概率分布率

u
❖对于一般正态分布，要先进行标准化，再查表；
标准化的公式为： u = x -
u
=
x-
=
9.2 10
5
= 0.42
正态分布 σ= 10
标准正态分布 σ=1
μ=5 9.2
x
μ=0 0.42 u
例3.7 查标准正态分布u＝-0.82 及u＝1.15时的F（u）的值 例3.8 随机变量u服从正态分布N（0，1），问随机变量u的值落
在生物统计学中，正态分布占有极其重要的地位。许多生物学 现象所产生的数据，都服从正态分布。
一、 正态分布（x—N (μ,σ2)）的密度函数与分布函数
➢ 正态分布的规律是数据分布集
中在平均数附近，并且在平均
数的两侧成对称分布。正态分
布密度函数的图像，称为正态
曲线。
➢ 密度函数： f (x) =
1
正态曲线
p(x)
=
cnx
px (1-
p)n-x
=
n! x!(n -
x)!
p x (1-
p)n-x
= n(n -1)(n - 2)(n - x 1) px (1- p)n-x
=
1(1-
1
)(1-
x! x -1)
(np) x
(1-
p)n-x
（将系数的分子分母同乘以nx）
n
n
x!
= x (1- p)n-x
=
x!
2
=
1
概率函数内的λ ，不但是它的平均数，而且是
它的方差。
λ很大时， γ1和γ2则接近于0，这时的泊松分布近
似于正态分布。
三、 泊松分布应用实例
例3.5 在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每 100m2麦田中，有0株、1株、2株、…杂草的概率 是多少？
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单侧（尾）概率：
0.05时，u = 1.64（-1.64）
0.01时，u = 2.33（-2.33）
抽样分布 P43 原总体
样本统计量的概率分布 称为抽样分布
样本1
x1
样本2 样本n n
x2
xn
统计量
新总体
正态总体样本平均数的抽样分布
数的分 (n>30)
1、中心极限定理：从正态总体Ｎ(µ,σ2)抽样，样本均 布服从正态分布；若从非正态总体抽样，当n→∞
P (Z u )P (Z u ) 直接查表
标准正态分布的概率计算
标准正态分布函数表----附表1 (p. 297)
(1) 直接查附表1，P（Z 0.64）= 0.7389； (2) P( Z 1.53)= 1 - P（ Z 1.53）= 1 – 0.9370 = 0.0630； (3) P (2.12 Z 0.53)= P (Z -0.53)- P (Z 2.12)
13 0 ！ 0e 33 1 !1e 33 2 2 !e 33 3 3 !e 3
=0.3528
连续型随机变量的概率分布
正态分布（normal distribution）
➢具有如下概率密度函数的随机变量称为正态 分布随机变量：
1
(x)2
f (x)
e[
]
2
22
x
= 期望 2 = 方差
X~N(,2)
样本均数的分布亦接2近正态分布。
的期望为
2、设原总体的期望为，方差为 ，则样本平均数
x
样，本方均差数为的均2 x/数n（期n 望） x —N（，
（2） 0.01 ， = 20.01 = 0.02查表得u = 2.326348
标准正态分布几个常用的分位数值：
双侧（尾）概率：
下面是标0.准0正5态时分，布u的=几个1.特96殊的且常用的分位数值：
0.01时，当u双=尾概2.率58为0.05时，u = 1.96 当双尾概率为0.01时，u = 2.58 当右尾概率（左尾概率）为0.05 时，u = 1.64（-1.64） 当右尾概率（左尾概率）为0.01 时，u = 2.33（-2.33）
例1：一头母猪一窝产了10头仔猪，分别求其
中有2头公猪和6头公猪的概率。
f (2) C1200.52(1 0.5)102 10! 0.520.58 2!(10 2)!
f (6) C1600.56(1 0.5)106 10! 0.560.54 6!(10 6)!
0.0439
0.2051
产公猪头数的期望值： E (X ) n p 1 0 .5 5 产公猪头数的方差：
正态分布
正态分布概率密度函数的几何表示
f (x)
正态曲线
x
曲线下某区间的面积即为随机变量在该区间取值的概率
正态分布
正态分布的特点
➢只有一个峰，峰值在x = 处 ➢曲线关于x = 对称，因而平均数=众数=中
位数 ➢x轴为曲线向左、右延伸的渐进线
➢由两个参数决定： 平均数 和 标准差 • 决定曲线在x 轴上的位置 • 决定曲线的形状
第三章 常用概率分布
二项分布 普哇松分布 正态分布 抽样分布
离散型随机变量的概率分布
二项分布（binomial distribution）
假设：1. 在相同条件下进行了n次试验 2. 每次试验只有两种可能结果（1或0） 3. 结果为1的概率为p，为0的概率为1-p 4. 各次试验彼此间是独立的
在n次试验中，结果为1的次数（X = 0，1，2， ，n）服从二项分布，表示为
Z服从正态分布 Z~N(0,1) 标准正态分布
正态分布标准正态分布的概率源自度函数f(z) 1 e[z2] z
2 2
0
正态分布
标准正态分布的概率计算
➢ 附表1 (p. 297)
u
u
P(Zu) f(z)d z
1 e(z2)dz
2 2
正态分布
(1) P( Z u) 或 P(Z -u) (u > 0)
X~B(n,p)
离散型随机变量的概率分布
二项分布的概率函数
f(x)Cn xpx(1p)nx
E (X ) xif(xi) np
n! px(1p)nx (x0,1,2, ,n) x!(nx)!
二项分布的期望
E (X ) xif(xi) np
二项分布的方差
2Va (X)rn(p 1p)
离散型随机变量的概率分布
正态分布
平均数的影响
标准差的影响
正态分布
标准正态分布(standard normal distribution)
对于 X~N(,2)
令
Z
X
标准化
E (Z ) 1[E (X ) ] 1( ) 0
V(Z a ) 1 r 2 [ V(X a ) V r(a ) ]r 1 2 (2 0 ) 1
= 0.2981 – 0.0136 = 0.2811。
标准正态分布的双侧分位数
标准正态分布的双侧分位数表 ----附表2 (p. 299)
对于给定的两尾概率求标准正态分布在x 轴上的分位点
/2
/2
（1）设标准正态分布的两尾概率之和 0.05，求分位数u值。
由附表2可直接查得分位数为u = 1.959964
（2） 0.01 , 分位数为u = 2.575829
标准正态分布的双侧分位数表 ----附表2 (p. 299)
对于给定的一尾概率求标准正态分布在x 轴上的分位点
0.05
/2
0.01
/2
（1）设标准正态分布的右尾(左尾)概率为 0.05，求分位数u值
用2 查附表2，可得一尾概率为 时的分位数u值 = 20.05 = 0.1查表得u = 1.644854 。
V ( X ) a n ( r 1 p p ) 1 0 . 0 5 0 .5 0 .25
离散型随机变量的概率分布
普哇松分布（Poisson distribution）
描述稀有事件的试验,对于二项分布 X~B(n,p) 如果概率P很小，试验次数n很大 ，则二项分布 趋近普哇松分布，表示为:
x ~ p()
离散型随机变量的概率分布
普哇松分布的概率函数
p(X x) x e
x!
普哇松分布的期望与方差
2
离散型随机变量的概率分布
例2:某遗传病的发病率为0.0003,某鸡场有10000头 肉鸡,问今年发生该遗传病4头及4头以上的概率有 多少?
λ=μ=np=10000×0.0003=3 x=4 P(x≥4)=1-P(x<4)=1-P(0)-P(1)-P(2)-P(3)