第三章 常用概率分布
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第三章几种常见的概率分布律
PY 2 C32 (0.05)2 (0.95)32 0.007125
二项分布的程序计算方法
❖ 二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true）
❖ 某数阶乘的计算函数Fact
❖ 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排列
组合数C
n m
计算函数Combin（m，n）
n
n
（2） P(y) Cny y (1 )ny [ (1 )]n 1n 1
y0
y0
例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子 二代中白猪与黑猪的比率为3:1。求窝产仔10头，有7头白猪 的概率。
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题，
视白猪为成功，有 n 10, ＝ 3 0.75，y 7。
例如：抛一枚硬币，看得到正面还是反面； 掷一次骰子，看得到6还是没有得到6； 随机抽查一名婴儿的性别，看是男是女
在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
• 什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量Y；Y称为二项分布变量，Y的概率分布 称为二项分布。
每种方式发生的概率为：
乘法法则
P(ssff) P(s)P(s)Pf()P(f) (1 ) (1 ) 2 (1 )2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得y 2次成功的概率为
P(2) C42 2 (1 )42
** 由此类推到一般情形，在n此贝努利试验中，共获得 y次成功的概率是
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或样本含量） y :在n次试验中事件 A出现的次数，即二项分 布变量Y的取值
二项分布的程序计算方法
❖ 二项分布函数Binomdist（k,n,p,false/true）
❖ 某数阶乘的计算函数Fact
❖ 从给定元素数目m的集合中抽取若干n元素的排列
组合数C
n m
计算函数Combin（m，n）
n
n
（2） P(y) Cny y (1 )ny [ (1 )]n 1n 1
y0
y0
例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子 二代中白猪与黑猪的比率为3:1。求窝产仔10头，有7头白猪 的概率。
解：根据题意，这是一 个二项分布的问题，
视白猪为成功，有 n 10, ＝ 3 0.75，y 7。
例如：抛一枚硬币，看得到正面还是反面； 掷一次骰子，看得到6还是没有得到6； 随机抽查一名婴儿的性别，看是男是女
在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功”和“失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。
• 什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量Y；Y称为二项分布变量，Y的概率分布 称为二项分布。
每种方式发生的概率为：
乘法法则
P(ssff) P(s)P(s)Pf()P(f) (1 ) (1 ) 2 (1 )2
其它5种方式发生的概率也是如此。
因此，在n 4次试验中取得y 2次成功的概率为
P(2) C42 2 (1 )42
** 由此类推到一般情形，在n此贝努利试验中，共获得 y次成功的概率是
2. 二项分布的常用符号
n :贝努利试验的次数（或样本含量） y :在n次试验中事件 A出现的次数，即二项分 布变量Y的取值
第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)
P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x
(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。
第三章 常用概率分布之正态分布
图4.13 离均差的绝对值≤1 , 2 和3 的概率值
随机变量x在区间( μ – kσ, μ + kσ )外取值的概率P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )为两尾概率，记为α P ( x<μ – kσ ) + P( x>μ + kσ )=α P ( x<μ – kσ ) = P( x>μ + kσ )=α/2 两尾分位数Uα
=0.0227
0.020
fN (x)
0.020
fN (x)
0.016
0.016
0.012
0.012
0.008
P( y 40) 0.9773
P( y 26) 0.2119
0.008
0.004
0.004
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
0.000 10 15 20 25 30 35 40 45
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
第三章
常用概率分布
第一节 事件与概率 第二节 概率分布 第三节 二项式分布 第四节 正态分布 第五节 样本平均数抽样分布与标准误 第六节 t分布，x2分布和F分布
首先计算：
查附表2，当u=－0.8时，FN(26)=0.2119，说明这 一分布从－∞到26范围内的变量数占全部变量数的 21.19%，或者说，y≤26概率为0.2119. 同理可得： FN(40)=0.9773
所以：P(26＜y≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119
第3章 几种常见的概率分布律
服从
U
110k 2
,
110k 2
的
r.v.
随机变量
期望
区间(a,b)上的 均匀分布
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其它
ab 2
方差
区间(a,b)上 的均匀分布
f
(x)
b
1
a
,
0,
a x b, (b a)2 其它 12
(2) 指数分布 若 X 的d.f. 为
ex , x 0
(2) 二项分布 n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试 验中发生的次数 , P (A) = p ,则
Pn (k) P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0–1 分布是 n = 1 的二项分布
其期望和方差都是
在某个时段内：
① 大卖场的顾客数；
应 用
② 市级医院急诊病人数； ③ 某地区拨错号的电话呼唤次数； ④ 某地区发生的交通事故的次数.
场 ⑤ 放射性物质发出的 粒子数；
合 ⑥ 一匹布上的疵点个数；
⑦ 一个容器中的细菌数；
⑧ 一本书一页中的印刷错误数；
都可以看作是源源不断出现的随机 质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
Show[fn1,fn3]
小
0.5 0.4
大 0.3 0.2 0.1
-6
几何意义 数据意义
-5 -4 -3 -2 -1
大小与曲线陡峭程度成反比 大小与数据分散程度成正比
概率论第三章
若二维随机变量（ 若二维随机变量（X,Y）具有概率密度 ） 1 1 x − µ1 2 f (x, y) = exp{− ) 2 [( 2 2(1− ρ ) σ1 2πσ1σ2 1− ρ x − µ1 y − µ2 y − µ2 2 )( ) +( ) ]} − 2ρ( 其中
µ1, µ2,σ1,σ2, ρ
3.1.2、二维随机变量的联合分布函数 、 维随机变量的联合 联合分布函数
二维随机变量（ 二维随机变量（X,Y） ） ( X , Y )的联合分布函数 )的联合分布函数
一维随机变量X 一维随机变量 X的分布函数 的分布函数
F(x, y) = P(X≤ x,Y ≤ y) − ∞ < x, y < ∞
xi ≤3yj ≤2
求：F(3,2) = P(X≤ 3,Y ≤ 2) = ∑∑pij
1 1 1 1 = + 0+ 0+ + + 0 = 4 8 8 2
例２ 设随机变量 Y ~ E (1) ，随机变量
0 , 若Y ≤ k ( k = 1，） 2 Xk = 1 , 若Y > k 的联合概率分布列。 求 X 1 和 X 2 的联合概率分布列。
第三章 多维随机变量及其分布
到现在为止， 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来 描述还不够， 描述还不够，而需要用几个随机变量来描述 在打靶时, 在打靶时,命中点的位置是由一 对随机变量(两个坐标)来确定的. 对随机变量(两个坐标)来确定的. 飞机的重心在空 中的位置是由三个随 机变量(三个坐标） 机变量(三个坐标）来 确定的等等. 确定的等等.
1/ 4 x 1 1 解: (3)P( X < ,Y < ) = ∫0 [∫0 3xdy]dx 4 2
常用概率分布
关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 x处
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
田间试验与统计分析第三章概率和概率分布课件
发芽频率 0.9 0.95 0.92 0.93 0.93 0.91 0.92 0.92 0.91 0.92 0.92 0.92
概率的统计定义
在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生 的 次 数 为 m ， 那 么 m/n 称 为 随 机 事 件 A 的 频 率 （frequency）；当试验重复数n逐渐增大时，随机事 件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就 把 p 称为随机事件A的概率。
一、统计概率的含义
事件：在试验的结果中所发生的现象
概率：每一事件出现的可能性
随机事件：在相同条件下，对事物或现象所进行的观察， 其试验结果具有以下特点：可以在相同的条件下重复进行； 每次试验结果可能不止一个；试验的所有可能结果在试验 之前是确切知道的，但在试验结束之前，不能确定该次试 验的确切结果。
对于随机事件，如果要研究它的规律性，必须通过大量 重复观察、调查或试验，从而计算在相同条件下发生这
类事件的可能程度大小。
水稻某品种种300 400 500 600 800 1000
发芽粒数 9 19 41 93 141 182 277 365 458 555 733 921
（
）区间内的概率。
在实际应用中，凡计算正态分布区间概率时，先将x
转换为u值，然后查附表2，便可得到x落于这一区间
的概率。
例1：
计算生物统计中的常用的几个概率植： (1) P(μ-σ＜ X ≤ μ+σ) (2) P(μ-2σ＜ X ≤ μ+2σ) (3) P(μ-3σ＜ X ≤ μ+3σ) (4) P(μ-1.96σ＜ X ≤ μ+1.96σ) (5) P(μ-2.58σ＜ X ≤ μ+2.58σ) (6) P(︱X︱≥ μ+1.96σ ) (7) P(︱X︱≥ μ+2.58σ )
数学初中二年级下册第三章概率分布的认识与运算
数学初中二年级下册第三章概率分布的认识与运算数学初中二年级下册第三章：概率分布的认识与运算在初中数学的学习中，概率是一门重要的数学分支。
概率分布是概率的重要内容之一，它描述了不同事件发生的可能性。
在初中二年级下册的数学教材中，第三章主要介绍了概率分布的认识与运算。
本文将深入探讨这一章节的内容，帮助读者更好地理解和运用概率分布。
1. 基本概念引入概率分布是指在一次试验中，各种可能结果发生的概率情况。
在初中二年级下册第三章的学习中，通过一系列的例子和练习，我们可以了解到概率分布的基本概念和计算方法。
2. 离散型概率分布离散型概率分布是指概率与某个随机变量关联的概率分布。
在学习中，我们主要学习了两种离散型概率分布：均匀分布和二项分布。
2.1 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，各个数值出现的概率是相等的。
我们可以通过一种数学方法来计算均匀分布的概率，即通过区间的长度与总数的比值来计算。
2.2 二项分布二项分布是离散型概率分布的另一种常见形式。
它描述了在一次试验中，成功和失败发生的次数的概率分布。
我们可以通过二项分布的计算公式来求解其中的概率。
3. 连续型概率分布与离散型概率分布不同，连续型概率分布是指概率与某个随机变量关联的概率分布。
在初中二年级下册第三章的学习中，我们主要学习了两种连续型概率分布：正态分布和均匀分布。
3.1 正态分布正态分布是一种非常常见的概率分布，在自然界和社会现象中的许多现象都可以近似地遵循正态分布。
我们需要掌握正态分布的概率性质和计算方法，以解决一些实际问题。
3.2 均匀分布与离散型概率分布中的均匀分布类似，连续型概率分布中的均匀分布是指在一个区间内，概率密度函数是常数的概率分布。
我们可以利用区间长度与总长度的比值来计算均匀分布的概率。
4. 概率计算应用概率分布的认识与运算不仅仅只是理论上的探讨，它在实际应用中也有着广泛的应用。
在日常生活中，我们可以利用概率计算解决一些实际问题，比如抽奖、游戏中的胜率计算等。
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 曲线与横坐标轴所夹的图形面积为1； ➢ 累积分布函数曲线从－∞到0平稳上升，围绕点(0,0.5)对称；
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
5.1 第三章 常用概率分布10.14
相等。
设有一个总体 ，总体平均数为 μ,方差为σ2，总 体中各变数为 x， 将 此总体称为原总体。现从这个 总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为 。 可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个 x 含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小， 不尽相同，与原总体平均数μ相比往往表现出不同程 度的差异。这种差异是由随机抽样造成的 ，称为 抽 样误差(sampling error)。 显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分 布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的 总体称为样本平均数的抽样总体。
由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出 下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地 计算有关概率：
P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5
P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
【例4.6】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05
P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
（二）一般正态分布的概率计算
正 态 分 布 密度曲线和横轴围成的一个区
域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x
取值在-∞与+∞之间”是一个必然事件，其概
率为1。
若随机变量 x服从正态分布N(μ,σ2)，则x
即大数定理
x2 2. 若随机变量x服从平均数是 μ，方差是 σ2的分布(不是正态分布)； x1， x 2 ，…， x n 是 x 由此总体得来的随机样本，则 统 计 量 x =Σx／n的概率分布，当n相当大时逼近正态分 布N(μ,σ2／n)。这就是中心极限定理。
常见概率分布类型解析
常见概率分布类型解析概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率之间的关系。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，每种类型都有其特定的特征和应用场景。
本文将对常见的概率分布类型进行解析，包括离散型分布和连续型分布。
一、离散型分布1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型分布之一，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k为0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
例如，抛硬币n次，正面朝上的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。
例如，单位时间内电话呼叫的次数、单位面积内的交通事故发生次数等。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
二、连续型分布1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的连续型分布之一，它的概率密度函数在一个区间内是常数。
例如，抛硬币的结果可以用均匀分布来描述，因为正面和反面的概率是相等的。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a和b为区间的上下界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的连续型分布之一，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重等。
第三章常用概率分布生物统计学课件
【例 3·2】 对 100 株树苗进行嫁接，观察 其成活株数，其可能结果是 “0 株成活”，“1 株成活”，……，“100 株成活”。 用x表示 成活株数，则x的取值为0、1、2、……、100。
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【例3·3】 抛掷一枚硬币，其可能结 果是“币值一面朝上” 、“币值一面朝 下”。“币值一面朝上”用1表示，“币 值一面朝下”用0表示，用x表示试验结果， 则x的取值为0、1。
如“取得1个数字是2的倍数”是一个复合 事件，它由“取得1个数字是2”、“是4”、 “是6”、…… 、“是20”10个基本事件组合 而成。
（2）必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然
事件，用Ω表示。
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（3）不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可
能事件，用ф表示。 必然事件与不可能事件实际上是确定性现
第三章 常用概率分布
本章在介绍概率论中最基本的两个概念— —事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研 究中常用的几种随机变量的概率分布——二项 分布、正态分布以及样本平均数的抽样分布、t 分布、 2 分布和F分布。
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第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象
在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
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从表3-1可看出，随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地 接近0.7，我们就把0.7作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
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【例3·3】 抛掷一枚硬币，其可能结 果是“币值一面朝上” 、“币值一面朝 下”。“币值一面朝上”用1表示，“币 值一面朝下”用0表示，用x表示试验结果， 则x的取值为0、1。
如“取得1个数字是2的倍数”是一个复合 事件，它由“取得1个数字是2”、“是4”、 “是6”、…… 、“是20”10个基本事件组合 而成。
（2）必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然
事件，用Ω表示。
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（3）不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可
能事件，用ф表示。 必然事件与不可能事件实际上是确定性现
第三章 常用概率分布
本章在介绍概率论中最基本的两个概念— —事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研 究中常用的几种随机变量的概率分布——二项 分布、正态分布以及样本平均数的抽样分布、t 分布、 2 分布和F分布。
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第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象
在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
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从表3-1可看出，随着实验次数的增多， 1粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地 接近0.7，我们就把0.7作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型与其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果.如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作,或者失效.描述这类随机事件变量只有两个取值,一般取0和1.它服从的分布称两点分布.其概率分布为：其中 Pk=P〔X=Xk〕,表示X取Xk值的概率：0≤P≤1.X的期望 E〔X〕=PX的方差 D〔X〕=P〔1—P〕2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f〔x〕在有限的区间[a,b]上等于一个常数,则X服从的分布为均匀分布.其概率分布为：X的期望 E〔X〕=〔a+b〕/2X的方差 D〔X〕=〔b-a〕2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品,总数为N,其中不合格数为d,从这批产品中随机地抽出n 件作为被检样品,样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布.X的分布概率为：X=0,1,……X的期望 E〔X〕=nd/NX的方差 D〔X〕=〔〔nd/N〕〔〔N-d〕/N〕〔〔N-n〕/N〕〕〔1/2〕3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式,共有9个阶乘,因而计算起来十分繁琐.二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化.假设有一批产品,不合格品率为P,从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品,其中不合格品数X服从的分布为二项分布.X的概率分布为：0<p<1x=0,1,……,nX的期望 E〔X〕=npX的方差 D〔X〕=np〔1-p〕3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要.我们从产品受冲击〔指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等〕而失效的事实引入泊松分布.假设产品只有经过一定的冲击次数后,产品才失效,又设这些冲击满足三个条件：〔1〕、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；〔2〕、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；〔3〕、在单位时间内发生冲击的平均次数λ〔λ＞0〕不随时间变化,即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击,它和Δt 的起点无关.则在[0,t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布,其分布概率为：X的期望 E〔X〕=λtX的方差 D〔X〕=λt假设仪表受到n次冲击即发生故障,则仪表在[0,t]时间内的可靠度为：其中：x =0,1,2,……,λ＞0,t＞0.3．2．4 x2分布本分布是可靠性工程中最常用的分布之一,虽然其概率密度形式较复杂,但可由标准正态分布推出.设有v个相互独立的随机变量X1,X2,…… Xv,它们服从于标准正态分布N 〔0,1〕.记x2 =X12 + X22 +…Xv2 ,x2读作"卡方"则x2服从的分布称为x2分布.它的概率密度函数为：该式称为随机变量x2服从自由度为V的x分布.式中：V—为自由度,是个自然数x2分布最重要的性质是：当m为整数时：3．3 产品的寿命分布3．3．1 指数分布指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布.通常情况下,电子产品在剔除了早期故障后,到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律.指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布.容易推出：指数分布有如下三个特点：1．平均寿命和失效率互为倒数；MTBF=1/λ2．特征寿命就是平均寿命；3．指数分布具有无记忆性.〔即产品以前的工作时间对以后的可能工作时间没有影响〕3．3．2 威布尔分布从上面的描述可知,指数分布只适用于浴盆曲线的底部,但任何产品都有早期故障,也总有耗损失效期.在可靠性工程学中用威布尔分布来描述产品在整个寿命期的分布情况.将指数分布中的〔-λt〕替换为〔-〔t/η〕m〕,就得到威布尔分布.容易得到：3．3．3 正态分布与对数正态分布正态分布又称为常态分布或高斯分布.它的概率密度函数为：式中：-∞＜x＜∞分布函数记为：对数正态分布是指：若寿命T的对数lnT服从正态分布N〔u,σ〕,则T服从对数正态分布.它的概率密度函数为：式中：t,σ为正数,μ和σ分别称为对数正态分布的"对数均值"和"对数标准差".3．4 为进行统计推断所构造的分布3．4．1 t分布〔学生氏分布〕t—分布常用于区间估计、正态总体的假设检验以与机械概率设计之中.服从t—分布的随机变量记住t.它是服从标准正态分布N〔0,1〕的随机变量U和服从自由度为v的x2分布的随机变量x2〔v〕的函数.它的概率密度函数f〔t〕为：3．4．2 F—分布F分布主要用于两个总体的假设检验与方差分析.服从F分布的随机变量F是两个相互独立的x2分布随机变量x2〔v1〕和x2〔v2〕的函数：式中：F只能取正值.F分布的概率密度函数为：另外还有β—分布等.中位秩是β—分布的中位数,一般用下式求出：中位秩值≈〔i-0.3〕/<n+0.4> 式中：n为样本总数.。
概率论与数理统计第三章知识点总结
概率论与数理统计第三章知识点总结概率论与数理统计第三章主要涉及随机变量及其概率分布。
这部分知识可是相当重要且有趣的哟！首先，咱们来聊聊随机变量的概念。
随机变量简单来说，就是把随机试验的结果用数值来表示。
比如说抛硬币，正面记为 1 ，反面记为0 ，这就是一个简单的随机变量。
随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，像掷骰子得到的点数。
咱举个例子，假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，分别有 2 个、 3 个、 5 个，随机摸一个球，颜色就是一个离散型随机变量。
而连续型随机变量的取值则是充满了某个区间，比如说人的身高、体重。
就拿人的身高来说，它可以在一个范围内取到任意一个值，不是像离散型那样只能是几个特定的值。
接下来，就是概率分布啦！离散型随机变量的概率分布常用概率质量函数来描述。
比如说，抛硬币5 次，正面出现的次数X 就是一个离散型随机变量，它的概率质量函数就能清楚地告诉我们出现0 次、 1 次、 2 次…… 5 次正面的概率分别是多少。
连续型随机变量的概率分布则用概率密度函数来表示。
比如说正态分布，它在生活中可常见啦！像学生的考试成绩、产品的质量指标等很多都近似服从正态分布。
然后是数学期望和方差。
数学期望反映了随机变量取值的平均水平。
比如说，一个游戏中，赢一次得 5 元，输一次扣 2 元，赢的概率是0.6 ，输的概率是0.4 ，那玩一次的数学期望就是5×0.6 - 2×0.4 = 2.2 元，这能帮助我们判断这个游戏值不值得玩。
方差呢，则衡量了随机变量取值的离散程度。
方差越大，说明数据越分散；方差越小，数据就越集中。
比如说，有两个班级的考试成绩，方差小的班级成绩相对更稳定。
再说说常见的离散型分布，像二项分布。
比如说投篮，每次投篮命中的概率是0.7 ，投10 次命中的次数就服从二项分布。
还有泊松分布，比如某商店在一定时间内顾客到达的人数就可能服从泊松分布。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
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如果表示试验结果的变量x，其可能取 值至多为可列个，且以各种确定的概率取 这些不同的值，则称 x为离散型随机变量； 如果表示试验结果的变量x ，其可能 取值为某范围内的任何数值 ，且x在其取 值范围内的任一区间中取值时，其概率是 确定的，则称x为 连续型随机变量。
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第三章 常用概率分布
本章在介绍概率论中最基本的两个概念—— 事件、概率的基础上，重点介绍生物科学研究 中常用的几种随机变量的概率分布——二项分 布、正态分布以及样本平均数的抽样分布、t分
分布和F分布。 布、
2
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第一节
概 率
刻划事件发生可能性大小的数量指标，称为
概率。事件A的概率记为P（A）。
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二、离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，就必 须知道它的一切可能值 xi 及取每种可能值的概 率pi。 如果我们将离散型随机变量x的一切可能取 值xi ( i=1, 2 , … )，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,… (3—3)
则称 （3—3）式为离散型随机变量x的概率 分布或分布。
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三、小概率事件实际不可能性原理
随机事件的概率表示了随机事件在一次试验 例如小于0.05、0.01、0.001，称之为小概率事 件。
中出现的可能性大小。若随机事件的概率很小，
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小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次 试验中出现的可能性很小，不出现的可能性很 大,以至于实际上可以看成是不可能发生的。在 统计学上，把小概率事件在一次试验中看成是 实际不可能发生的事件称为小概率事件实际不 可能性原理，亦称为小概率原理。小概率事件 实际不可能性原理是统计学上进行假设检验 （显著性检验）的基本依据。
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这 个事件的概率，在表3 下一张 主 页
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表3—1
试验种子 粒数n 发芽种子 粒数m 频率 m/n 100 65 0.650
小麦种子发芽试验记录
200 155 300 204 400 274 500 349 600 419 700 489
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常用列表法表示离散型随机变量的概率 分布：
x x 1 x 2 … xn p p 1 p 2 … pn
… …
显然离散型随机变量的概率分布具有
pi≥0和Σpi=1这两个基本性质。
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三、连续型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率分布不能用分布列
0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
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从表3-1可看出，随着实验次数的增多， 1
粒小麦种子发芽这个事件的概率越来越稳定地
接近0.7，我们就把0.7作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率 p 是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。 即 P（A）=p≈m/n （n充分大）
mB=10，即抽得数字为 2，4，6，8，
10，12，14，16，18，20中的任何1
个，事件B便发生，故
mB 10 P( B) 0.5 n 20
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（三）概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1；
2、必然事件的概率为1，即P（Ω）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（ф）=0。
来表示， 因为其可能取的值是不可数的。
对于连续型随机变量x，要了解的是它在
某个区间[a，b）上取值的概率，即P（a≤x＜
b）＝？
下面通过频率分布密度曲线予以说明。
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由表2-6 作140行水稻产量资料的频率分布 直方图 ，见图3-1 ，图中纵座标取频率与组距 的比值 。
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因为该试验样本空间由20个等可能的基 本事件构成，即n=20,而事件A所包含的基本 事件有4个，既抽得编号为1，2，3，4中的 任何1个，事件A便发生，即mA=4，所以
mA 4 P( A) 0.2 n 20
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同理
， 事件B所包含的基本事件数
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（二）概率的古典定义
有很多随机试验具有以下特征：
1、试验的所有可能结果只有有限个，即样
本空间中的基本事件只有有限个；
2、各 个 试验的可能结果出现的可能性相
等，即所有基本事件的发生是等可能的；
3、试验的所有可能结果两两互不相容。
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具有上述特征的随机试验，称为古典概型。
（一）概率的统计定义
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在相同条件下进行n次重复试验，如果随机
事件A发生的次数为m ，那么m/n称为随机事件 A的频率；当试验重复数n逐渐增大时，随机事
件A的频率越来越稳定地接近某一数值 p ，那
么就把 p称为随机事件A的概率。 这样定义的概率称为统计概率。
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对于古典概型，概率的定义如下： 设样本空间由n个等可能的基本事件所构 成，其中事件A包含有m个基本事件，则事件 A的概率为m/n，即
P（A）=m/n
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这样定义的概率称为古典概率。 【例3· 1】 在1、2、3、… 、20这20个数字 中随机抽取1个，求下列随机事件的概率。 （1）A=“抽得1个数字≤4”； （2）B=“抽得1个数字是2的倍数”。
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第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发 生的可能性大小。 若要全面了解试验，则必须知道试验的全 部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必 须知道随机试验的概率分布。 先引入随机变量的概念。
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一、随机变量
作一次试验，其结果有多种可能。每一种可 能结果都可用一个数来表示，把这些数作为变量 x的取值范围，则试验结果可用变量x来表示。 【例 3· 2】 对 100 株树苗进行嫁接，观察其 成活株数，其可能结果是 “0 株成活”，“1 株 成活”，……，“100 株成活”。 用x表示成活 株数，则x的取值为0、1、2、……、100。