河北省衡水中学2020届高三年级上学期五调考试数学(理科)试题(解析版)

2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（理工类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则满足的集合的个数为（）A. B. C. 1 D.2.已知为虚数单位，复数，则（）A. B. C. D.3.已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（）A. B. C. D.4.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（）A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量C. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差D. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值5.的展开式中，常数项为（）A. B. C. D.6.若数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.若是上的奇函数，且，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数的部分图像如图所示，点在图象上，若，且，则（）A. B. C. D.9.若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为__________．14.根据下列算法语句，当输入时，输出的最大值为__________．15.已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为___．16.设为平面外两条直线，其在平面内的射影分别为两条直线和.给出下列个命题：①；②与平行或重合；③；④ .其中所有假命题的序号是__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角的对边分别为，若成等差数列，且.求的值；若，求的面积.18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19.如图，在边长为的正方形中，点分别是的中点，点在上，且.将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.试判断与平面的位置关系，并给出证明；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；过椭圆内一点，斜率为的直线交椭圆于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围. 21.已知函数.若在上单调递增，求的取值范围；若，不等式恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆的极坐标方程为.求的普通方程；将圆平移，使其圆心为，设是圆上的动点，点与关于原点对称，线段的垂直平分线与相交于点，求的轨迹的参数方程.23.设，且.若不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在实数，使得，并说明理由.。

2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ）A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．必要充分条件 D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „ 7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．输出S1n=1,S=1结束开始C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0 CD110．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:2811．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由． 18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生n开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=，可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min 12414PA PB ⋅=-⨯=u u u r u u u r ．故选A ．10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图， 则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =，在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x ⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P 的轨迹的周长为(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f xg x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. FM SEDCBA由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x =， 则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵，∴， 整理得，…………2分则，解得，则的取值范围为．…………5分（2）∵，∴，即，则．…………6分 假设存在等差数列，则，即，解得，从而，…………8分此时，…………9分，…………11分故存在等差数列，且，使得数列的前项和为．…………12分 18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分221212a a a a +=+()221112a a d a d ++=+()22112210a d a d d +-+-=()()224180d d d ∆=---≥11d -≤≤d []1,1-1d =-2112420a a -+=11a =2n a n =-{}n b 2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩1216b b =⎧⎨=⎩54n b n =-2211111n n n n a b n n ==-+++222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++{}n b 54n b n =-21nn a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n 1nn +又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ，由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =，过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B，(C，10,2D ⎛- ⎝⎭，(AC =-u u u r，12,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n得201202x y x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,CP m =-u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，2sin cos 3,CP m θ===u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=．由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b+=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =，所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014kΔkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时， 当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数； 当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x-+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分 解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤，所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分（2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号， 所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。

2020届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合S={1，2}，T={x|x2＜4x﹣3}，则S∩T=（）A．{1} B．{2} C．1 D．22．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于（）A．2 B． C．1 D．33．设正数x，y满足x+y=1，若不等式对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a＞1 C．a≥1 D．a＞44．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A． B．C．D．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜206．如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，] B．（，2]C．（，2] D．（2，4]7．数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2 B． C．4n﹣1 D．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B． C． D．9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（）A．f（﹣）＜f（）＜f（）B．f（﹣）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（﹣）D．f（）＜f（﹣）＜f（）10．若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．611．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1] C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．已知f′（x）为函数f（x）的导函数，且f（x）=x2﹣f（0）x+f′（1）e x﹣1，若g（x）=f（x）﹣x2+x，则方程g（﹣x）﹣x=0有且仅有一个根时，a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪{1} B．（﹣∞，1] C．（0，1] D．[1，+∞）第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{a n}的n项和为S n，且a1=a2=1，{nS n+（n+2）a n}为等差数列，则{a n}的通项公式a n= ．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 116. 已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知，记角A，B，C 的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19. （本小题满分12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．20. （本小题满分12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．21. （本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．（1）求直线AB的极坐标方程；（2）若过点C（2，0）的直线C2：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5 B C C DA 6-10 A D B D C 11-12 D A．二．填空题13．﹣8 14.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：，即，又0＜A+B＜π，∴，∴，................4分（2）由三角形是锐角三角形可得，即由正弦定理得∴，，，======，∵，∴，∴，即...............12分18. ．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{c n}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，即，解得：a=﹣1或a=3，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．-- -------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…........................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；.........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；当时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f（x）]min==．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．......................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x ∈[1，e]），又，当x ∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx ≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而g'（x ）≥0（仅当x=1时取等号），所以g （x ）在[1，e]上为增函数，故g （x ）的最小值为g （1）=﹣1，所以a 的取值范围是[﹣1，+∞）．.......12分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线C 1：ρ=﹣sinθ，∴ρ2=﹣4ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4y ， ∴曲线C 1：x 2+y 2+y=0，∴直线AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0， ∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣， ∴直线AB 极坐标方程为：)(61R ∈-=ρθ．.............5分 （2）根据（1）知，直线AB 的直角坐标方程为y=﹣x ， 根据题意可以令D （x 1，y 1），则，又点D 在直线AB 上，所以t 1=﹣（2+t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|=，同理，令交点E （x 2，y 2），则有，又点E 在直线x=0上，令2+t 2=0，∴t 2=﹣，∴|CE|=|t 2|=，∴|CD|：|CE|=1：2．............................10分23.解：（1）∵f （x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式f （x ）＞2，即m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式f （x ）＞2的解集为（2，4），∴5﹣m=2且m+1=4，解得：m=3；........5分（2）关于x 的不等式|x ﹣a|≥f （x ）恒成立⇔关于x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立 ⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3恒成立⇔|a ﹣3|≥3恒成立，由a ﹣3≥3或a ﹣3≤﹣3，解得：a ≥6或a ≤0．..............10分。

3 3河北衡水2020届高三调研考试理数试题一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）1．已知集合 A ＝{x ∈R|x +1＞0}，B ＝{x ∈Z|x ≤1}，则 A ∩B ＝A ．{x |0≤x ≤1}B ．{x |﹣1＜x ≤1}C ．{0，1}D ．{1}6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是A ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2017 项的和B ．求首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 2018 项的和C ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和D ．求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和2．复数 1+ i 1+ 2i 2 A ． 110C ． 3 10的共轭复数的虚部为B ． - 1 10 D ． - 310 7．如图 1，已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，M ，N ，Q 分别 是线段 AD 1，B 1C ，C 1D 1 上的动点，当三棱锥 Q-BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为3．有一散点图如图所示，在 5 个（x ，y ）数据中 去掉 D （3，10）后，下列说法正确的是 A ．残差平方和变小 B ．相关系数 r 变小 C ．相关指数 R 2变小D ．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱35A ．2B ．1C ．D ．2 2⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫x 2 y 28．如图直角坐标系中，角α 0 < α < 2 ⎪ 、角 β - 2 < β < 0⎪4. 已知双曲线 C : - = 1 12 4，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与 C 的两条 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭5渐近线的交点分别为 P ，Q ，若△POQ 为直角三角形，则|PQ |＝ A ．2B ．4C ．6D ．8的终边分别交单位圆于 A 、B 两点，若 B 点的纵坐标为 - ，13α ⎛ α α ⎫ 15．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球 1 个、黑球 2 个，现随机等可能取出小 且满足 S= ，则 sin cos -sin ⎪ + 的值 球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 ξ1；当无放回依次取出两个小球时， ∆AOB 45 122 ⎝ 2 2 ⎭ 2 12 5 记取出的红球数为 ξ2，则（ ）A ．E ξ1＜E ξ2，D ξ1＜D ξ2B ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＞D ξ2C ．E ξ1＝E ξ2，D ξ1＜D ξ2D ．E ξ1＞E ξ2，D ξ1＞D ξ2A ． - 13B ．C ． -D ．13 13 13⎛ 2 3x ( 9. 已知函数 f (x ) = sin ωx - cos ωx (ω > 0) ，若集合{x ∈(0 ， π ) | f (x ) = -1} 含有 4 个元素， 二、填空题（共 4 题，每题 5 分）n则实数 ω 的取值范围是 ⎛ 13. 已知二项式 2x - 1 ⎫ ⎪ 的展开式中第2 项与第3 项的二项式系数之比是 2︰5，则 x 3 的系 A ． [ 3 , 5)2 2B ． ( 3 , 5]2 2C ． [7 , 25)2 6D ． (7 , 25]2 6⎝⎭ 数为10．已知抛物线 y 2 = 4x 上有三点 A ，B ，C ，AB ，BC ，CA 的斜率分别为 3，6，-2 ，则 的重心坐标为 ∆ABC 14. 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f （x ），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数 的一条性质：14( ,1) 9B ． 14 ,0)9C ． (14 , 0)27D ． (14 ,1)27甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增； 丙：函数 f （x ）的图象关于直线 x ＝1 对称；丁：f （0）不是函数的最小值． 11．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 M 是对角线 AC 1 上的点（点 M 与 A、C 1 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是15. 已知△ABC 的一内角 A = π3, AB = 10, AC = 6 ，O 为△ABC 所在平面上一点，满足|OA |＝|OB |＝|OC |，设 AO = m AB + n AC ，则 m +3n 的值为16．已知 ∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 A = 2B ，则 c +2b 的取值ba①存在点 M ，使得平面 A 1DM ⊥ 平面 BC 1D ； ②存在点 M ，使得DM // 平面 B 1CD 1 ； 范围为 ．三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2019～2020学年高三年级第五次调研考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知复数z 满足(12i)43i z +=+，则z 的共轭复数是（ ）A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25 B ．425 C ．25π D ．1625π5．命题:p ,x y ∈R ，222x y +<，命题:q ,x y ∈R ，||||2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ） A ．2018?n „ B ．2019?n „ C ．2020?n „ D ．2021?n „1n=1,S=1开始7．函数2sin ()2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．8．若函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)图象的一个对称中心为π,03⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为7π12x =，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ） A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度 9．已知AB 是圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．1B ．0C 2D 21 10．圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A ．9:32 B ．8:27 C ．9:22 D ．9:28 11．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ）A ．2eB ．eC ．12D ．1 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．14．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =3c =，2B C =，则cos2C 的值为 ．15．正四棱锥S ABCD -底面边长为2，高为1，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC ⋅=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹的周长为 ．16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()0f x >，()()f x f x '为的导函数，且()()()23f x xf x f x '<<对()0,x ∈+∞恒成立，则()()23f f 的取值范围是 ． 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题12分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，221212a a a a +=+．（1）求d 的取值范围；（2）已知1d =-，试问：是否存在等差数列{}n b ，使得数列21n n a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为1nn +？若存在，求{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由．18．（本小题12分）如图1，梯形ABCD 中，AB CD ∥，过A ，B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E 、F ．2AB AE ==，5CD =，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ； （2）若DE CF ∥，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为5，求AP 的长．19．（本小题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ． （1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e 和⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB △是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围．21．（本小题12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a =++∈R ，()23e 2x g x x x =+-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点．如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα==⎧⎨⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,π3⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019～2020学年高三第二学期3月模块诊断数学（理科）参考答案1．【解答】∵()1,8A =-，,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2．【解答】由()12i 43i z +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2i z =+．故选B ． 3．【解答】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,+∞上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C ．4．【解答】由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆．故选D ． 5．【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．6．【解答】 由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+， 211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时， 则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =．故选B ． 7．【解答】()1sin112sin110f =+-=-<，排除B ，C ， 当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选D ． 8．【解答】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，π2ϕ<)的图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，12π7π41π23ω⋅=-，解得2ω=．再根据五点法作图可得2ππ3ϕ⋅+=，可得π3ϕ=， 可得函数解析式为()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故把()sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π12个单位长度，可得sin 2cos236ππy x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．9．【解答】如图所示，()()2214PA PB PC CB PC CA PC AB ⋅=+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以PA PB⋅u u u r u u u r 取最小值时，即PC 取最小值，即PC 与直线10x y -+=垂直，此时PC =，则()min12414PA PB⋅=-⨯=u u u r u u u r．故选A ． 10．【解答】设圆锥底面圆的半径为r ，圆锥母线长为l ，则侧面积为πrl ，侧面积与底面积的比为2π2πrl lr r ==，则母线2l r =，圆锥的高为h =，则圆锥的体积为231π3r h r =，设外接球的球心为O ，半径为R ，截面图如图，则OB OS R ==，OD h R R =-=-，BD r =， 在直角三角形BOD 中，由勾股定理得222OB OD BD =+，即)222R r R =+-，展开整理得R =，∴外接球的体积为33344ππ33R ==，故所求体积比为339332r=．故选A ． 11．【解答】由题意可得图像如右图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FAF S S S ''==△△，又2224tan45FAF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒．故选D ．12．【解答】由120x x <<，得120x x -<，211212ln ln 1x x x x x x ->-化为211212ln ln x x x x x x -<-，即1212ln 1ln 1x x x x ++<， 即函数()ln 1x f x x +=在()0,a 上单调递增，()()221ln 1ln x x x x f x x x⋅-+'==-， 令()0f x '>，得01x <<，故a 的最大值为1．故选D ．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．112 14．59 1516．84,279⎛⎫⎪⎝⎭13．【解答】该二项式的二项式系数之和为2256n=，得8n =．该二项式的展开式通项为()8483882C 2C rrrr rr x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令8403r -=，得2r =，则常数项为()2282C 112-=．14．【解答】由正弦定理可得：sin sin b cB C=，即sin sin 22sin cos 2cos cos sin sin sin b B C C C C C c C C C =====⇒，∴275cos22cos 12199C C =-=⨯-=．15．【解答】如图所示，取SC ，DC 的中点M ，F ，则//EF BD ，//ME SB ，所以平面//SBD 平面MEF ，而AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥平面MEF ，则动点P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△MEF ，则动点P的轨迹的周长为M S(1122MFE SDB l l ===△△16．【解答】由()()2f x xf x '<，得()()()22220f x x xf x x '->，令()()2f x g x x=， 则()()()()22220f x x xf x g x x '-'=>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增，得()()32g g >，即()()222323f f <，得()()2439f f <. 由()()3xf x f x '<，得()()()322330f x x x f x x '-<，令()()3f x h x x=，则()()()()322330f x x x f x h x x '-'=<，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，得()()32h h <，即()()332323f f >，得()()28327f f >. 综上所述，()()2842739f f <<．故填84,279⎛⎫ ⎪⎝⎭．三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）【解答】（1）∵221212a a a a +=+，∴()221112a a d a d ++=+， 整理得()22112210a d a d d +-+-=，…………2分 则()()224180d d d ∆=---≥，解得11d -≤≤，则d 的取值范围为[]1,1-．…………5分（2）∵1d =-，∴2112420a a -+=，即11a =，则2n a n =-．…………6分 假设存在等差数列{}n b ，则2112211221121123a b a b a b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，即12111211223b b ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1216b b =⎧⎨=⎩，从而54n b n =-，…………8分 此时2211111n n n n a b n n ==-+++，…………9分 222112211111111111223111n nnn n n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++++，…………11分故存在等差数列{}n b ，且54n b n =-，使得数列21n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为1nn +．…………12分18．（本小题满分12分） 【解答】（1）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF BE ⊥， ……1分由已知得AF BD ⊥，BE BD B =I ，∴AF ⊥平面BDE ，…………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF DE ⊥， …………3分 又AE DE ⊥，AE AF A =I ，∴DE ⊥平面ABFE ．…………5分（2）在图2中，AE DE ⊥，AE EF ⊥，DE EF E =I ，即AE ⊥面DEFC ， 在梯形DEFC 中，过点D 作DM EF ∥交CF 于点M ，连接CE ， 由题意得2DM =，1CM =，由勾股定理可得DC CF ⊥，则π6CDM ∠=，2CE =， 过E 作EG EF ⊥交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA u u u r ，EF u u u r ，EG u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，…………7分则()2,0,0A ，()2,2,0B ，(3C ，130,2D ⎛- ⎝⎭，(3AC =-u u u r ，132,2AD ⎛=-- ⎝⎭u u u r ． 设平面ACD 的一个法向量为(),,x y z =n ，由00AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 得23013202x y z x y z ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，取1x =得(1,3=-n ， …………9分 设AP m =，则()2,,0P m ，()02m ≤≤，得(2,1,3CP m =--u u u r…………10分设CP 与平面ACD 所成的角为θ，()252sin cos 371,5m CP m m θ===⇒=⋅+-u u u rn ． ∴23AP =． …………12分 19．（本小题满分12分）【解答】（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤< ()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．…………3分 所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．…………5分 （2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，…………7分所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭； ()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 所以X 的分布列为…………11分所以数学期望()26355E X =⨯=． …………12分 20. (本小题满分12分)【解答】（1）由题设知222a b c =+，ce a=． 由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b +=，解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=． 即21112a +=，解得24a =， 所以椭圆的方程是2214x y +=．…………4分（2）【法1】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+， 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k =-+， …………6分 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-，依题意PA PB ⊥，得1PA PB k k =-⋅，010201021y y y y x x x x --∴⋅=---， 即()()220120120120120y y y y y y x x x x x x -+++++-+=，…………8分 220012120y x y y x x ∴+++=，()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解，()()()()222222411624142014k Δkk kk k ⎡⎤+⎢⎥=--+--≥⎢⎥+⎣⎦， …………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分【法2】设()11,A x y 、()22,B x y ，由2214y kxx y =+=⎧⎪⎨⎪⎩，得22414x k =+，不妨设1x =2x =则12AB x =-=…………7分设原点O 到直线2l 的距离为d，则d =…………8分若存在满足条件的点P ，则以AB 为直径的圆与2l 有公共点，故2ABd ≤≤…………10分化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-． …………12分21. (本小题满分12分)【解答】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()210x ax f x x x'++=>，…………1分对于函数210y x ax =++≥，①当240Δa =-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立．()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数； ………2分②当0Δ>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数， …………4分 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数．…………5分综上，当2a <-时，()f x 在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数，⎫⎪+∞⎪⎝⎭为增函数；当2a ≥-时，()f x 在()0,+∞为增函数．（2）()()()()22213ln e ln e 022x x F x f x g x x x ax x x x x ax x x =-=++--+=-++->，()F x Q 存在不动点，∴方程()F x x =有实数根，即2ln e x x x a x -+=有解，…………7分令()()2n 0e l x x xh x x x+-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e xx x x xx x x x h x x x ++-+-+++-='=，…………8分令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， …………10分()()1e 1h x h ∴≥=+，…………11分当e 1a ≥+时，()F x 有不动点，a ∴的范围为[)e 1,++∞．…………12分 22.（本小题满分10分）【解答】（1）2211:C x y +=， …………1分22:cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=．…………3分联立方程组得222212x y x y x⎧+=+=⎪⎨⎪⎩，解得1112x y ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩2212x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭．…………5分 （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=．…………6分∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，…………8分∴当11π12θ=时，max 2S =…………10分 23.（ 本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132x x x ≤--≤+⎧⎨⎩或11222x x x -<⎧≤-+≤+⎪⎨⎪⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩，…………3分解得x ∈∅或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}01x x ≤≤．…………5分 （2）由()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，()min 1322f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； (7)分()()()323121g x x m x m ≥---=-，…………8分当且仅当()()32310x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………10分。

河北省衡水中学2020届高三年级上学期期末考试数 学（理科）本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，总分150分，考试时间 120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．若复数i z ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=53sin 54cos θθ为纯虚数，则θtan 的值为 ( ) A.43-B ．43C ．43-或43D ．54 2．下列函数中，在其定义域内是偶函数，且在区间()0,∞-上单调递增的是 ( ) A ．2)(x x f =B ．xx f 2)(=C ．||1log )(2x x f = D ．x x f sin )(= 3．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos 的值为 ( ) A ．31-B ．97-C ．31 D ．97 4．如图是民航部门统计的2019年春运期间12个 城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年 同期变化幅度的数据统计图，据图分析下面叙 述不正确的是 ( )A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．深圳和厦门的春运期间往返机票的平均价格 同上年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、 深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市 为天津、西安、厦门5．如图，在平行四边形ABCD 中，3π=∠BAD ，=AB 2，.1=AD 若N M ,分别是边CD BC ,上的点，且满足λ==DCNCBC BM ，其中[]1,0∈λ，则AN AM ⋅ 的取值范围是 ( ) A ．[]3,0B ．[]4,1C ．[]5,2D ．[]7,16．函数||cos3)(3xxxxxf+-=在区间[]ππ,-内的图象大致为( )7．已知斐波那契数列的前七项为1，1，2，3，5，8，13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往都恰是斐波那契数．现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有( )A．5层B．6层C．7层D．8层8．设函数)0(5sin)(>⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωxxf，已知)(xf在区间[]π2,0上有且仅有5个零点，下述四个结论：①)(xf在区间()π2,0上有且仅有3个极大值点；②)(x f在区间()π2,0上有且仅有2个极小值点；③)(xf在区间⎪⎭⎫⎝⎛10,0π上单调递增；④ω的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1029,512.其中所有正确结论的编号是( )A．①④B．②③C．①②③D．①③④9．过平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-2,02,02yxyyx内一点P作圆1:22=+yxO的两条切线，切点分别为BA,，记α=∠APB，则当α最小时αcos的值为( )A．1095B．2019C．109D．2110．设21,FF是双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足)(22=⋅+PFOFOP(O为坐标原点)，且||4||321PFPF=，则双曲线的离心率为( )A．21B．2C．3D．511．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=.1,2,1,3)(2xxxxxxxf设Ra∈，若关于x的不等式axxf+≥2)(在R上恒成立，则a的取值范围是( )A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,1647B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1639,1647C．[]2,32-D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1639,3212．已知三棱锥ABCP-满足⊥PA底面ABC，在ABC∆中，6=AB，8=AC，ACAB⊥，D 是线段AC上一点，且DCAD3=，球O为三棱锥ABCP-的外接球，过点D作球O的截面．若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为π40，则球O的表面积为( )A．π72B．π86C．π112D．π128第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知某一段公路限速60千米／小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示， 则这200辆汽车中在该路段没有超速的有 辆． 14．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定 的尺寸，现在我国采用国际标准，规定以A0，Al ，A2， Bl ，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中)8,(≤∈n N n An 系 列的幅面规格为：①A0，Al ，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系 都为=y x :;2:1②将A0纸张沿长度方向对开成两等份，便成为Al 规格，Al 纸张沿长度方向对开成两等份，便 成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，Al ，A2，…，A8纸各一张，若A4纸的宽 度为2dm ，则A0纸的面积为 dm 2；这9张纸的面积之和等于 dm 2．15．正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长均为2，M 为1AA 的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的 表面上从点M 到点N 的最短距离是 ．16．对于函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈=),2(),2(21],2,0[,sin )(x x f x x x f π有下列4个结论：①任取),,0[,21+∞∈x x 都有2)()(21≤-x f x f ；②函数)(x f y =在区间]5,4[上单调递增；③函数-=)(x f y )1ln(-x 有3个零点；④若关于x 的方程)0()(<=m m x f 有且只有两个不同的实根,1x ,2x 则.321=+x x 则所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共70分。

河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学（12月）数学理试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22(1)1i i-++的共轭复数是（）A.13i -B.13i +C.13i-- D.13i-+2.已知集合()12{|log 5},{|2}x A x y x B y y -==-==，则A B =A.[)0,5 B.()0,5C.RD.()0,∞+3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A.10日B.20日C.30日D.40日4.已知函数2,01,()1,1,x x f x x e x⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（）A.43eB.23eC.23D.2e5.若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（）A.1B.74C.114D.56.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A.98?n <B.99?n <C.100?n <D.100?n ≤7.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A.35B.20C.5D.5-8.已知函数()y f x =满足()y f x =-和(2)y f x =+都是偶函数，且(1)1f =，则(1)(7)f f -+=（）A.0B.1C.2D.39.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.75+B.55+ C.43D.725+10.已知()20,{20 360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：（）()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2:,,0;3yP x y D x ∀∈>+()3:,,1;P x y D x y ∃∈+<()224:,,2;P x y D x y ∃∈+≤A.1P ，2P B.2P ，3P C.2P ，4P D.3P ，4P 11.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（）A.22B.6 C.2D.312.已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A .ln 21-- B.ln 21- C.ln 2- D.l n 2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知2,1a b ==，且(2)a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角是__________．14.15sin(),sin()cos(2)3333x x x πππ+=---已知则的值为___________15.如图，圆锥的高2PO =，底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的余弦值为__________．16.设函数ln ,1,()ln ,01,x x x f x x x x≥⎧⎪⎨<<⎪⎩数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且5671a a a =，若12101()()...()f a f a f a a +++=，则1a =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的内切圆面积S 的最大值.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，2AD =.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足2cos 4θ=，求四棱锥P ABCD -的体积.19.一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.21.已知函数()x f x e ax =-（其中e 为自然对数的底数），()4ln(1)g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+，请证明下列结论：①若4a ≤，则对任意0x >，有()1h x >；②若5a ≥，则存在实数0x >，使()1h x <.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,0)P -的直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l与曲线C 交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若PA AB PB ，，成等比数列，求a 的值．23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.河北省2019—2020学年度上学期衡水中学高三年级五调考试数学（12月）数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数22(1)1i i-++的共轭复数是（）A.13i -B.13i+ C.13i-- D.13i-+【答案】A 【解析】()()()()221i 21i 2i 1i-2i=1-3i 1+i 1i 1+i --+=-=--，故选A.2.已知集合()12{|log 5},{|2}x A x y x B y y -==-==，则A B =A.[)0,5 B.()0,5C.R D.()0,∞+【答案】C 【解析】由A 中()2log 5y x =-，得到50x ->，即5x <，(),5A ∴∞；由B 中120x y -=>，得到()0,B =+∞，则A B R ⋃=，故选C.3.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A.10日B.20日C.30日D.40日【答案】C 【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列，15a =，1n a =，90n S =，设其公差为d ，则()()15190903022n n a a n n ++=⇒=⇒=，故选C.4.已知函数2,01,()1,1,x x f x x e x⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E ，直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F ，在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为（）A.43eB.23eC.23D.2e【答案】C【解析】直线x e =、1y =与x 轴、y 轴围成的区域为F 的面积为，11111+1ln |2ee x x ⨯=+=⎰，函数()2,01,1,1,x xf x x e x ⎧≤<⎪⎨≤≤⎪⎩（e 为自然对数的底数）的图象与直线x e =、x 轴围成的区域为E 为211143e ex x +=⎰⎰，由几何概型概率公式可得在区域F 内任取一点，则该点落在区域E 内的概率为42323=，故选C.5.若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（）A.1B.74 C.114D.5【答案】B 【解析】根据题意，双曲线的方程为：22142x y m m +=--，则分两种情况讨论：①当双曲线的焦点在x 轴，则有4020m m ->⎧⎨-<⎩，解可得2m <，此时渐近线的方程为y =，又由题意可得13=，解可得：74m =；②当双曲线的焦点在y 上，则有4020m m -<⎧⎨->⎩，解可得4m >，此时渐近线的方程解为y =12=，解可得83m =，不合题意，舍去，综上可得74m =，故选B.6.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为2，则判断框中填入的条件可以是（）A.98?n <B.99?n <C.100?n <D.100?n ≤【答案】B 【解析】该程序框图表示的是()()()lg 2lg1lg 3lg 2...lg 1lg s n n ⎡⎤=-+-+++-⎣⎦()()=lg 1lg1lg 1n n +-=+，若输出的S 的值为2，即输出()lg 9912S =+=，判断框中填入的条件可以是99?n <，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知6270127(1)()...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（）A.35B.20C.5D.5-【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数，()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.8.已知函数()y f x =满足()y f x =-和(2)y f x =+都是偶函数，且(1)1f =，则(1)(7)f f -+=（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】()y f x =- 为偶函数，()()()()(),f x f x f x f x ∴--=-∴-=，()y f x ∴=为偶函数，于是当1x =时，()()111f f -==，又()2y f x =+是偶函数，()()22f x f x ∴-+=+，于是当5x =时，()()()733f f f =-=，()()311f f ==，故()()172f f -+=，故选C.9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（）A.7B.5+C.43D.7+【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为如图所示的三棱锥D ABC -，依题意有，2,BC CD AB AC ====，BD =，3AD =，2222,210ABC BCD ACDAB BD AD S S S ABD AB BD ∆∆+-===∠==⋅，10sin ABD ∠=，13210ABD S ∆==，7S ∴=+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.已知()20,{20 360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：（）()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2:,,0;3yP x y D x ∀∈>+()3:,,1;P x y D x y ∃∈+<()224:,,2;P x y D x y ∃∈+≤A.1P ，2P B.2P ，3P C.2P ，4P D.3P ，4P 【答案】D【解析】不等式组2020360x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图，()1:2,0p A -点，2011-++=-，故(),,0x y D x y ∀∈+≥，为假命题；()23:2,0p p A -、点，22023-=-<-+，201-+<故()2:,,03yP x y D x ∀∈>+为假命题，()3:,,1P x y D x y ∃∈+<为真命题；()4:1,1p -点，222x y +=，故()22,,2x y D x y ∃∈+≤为真命题，可得选项4P 正确，综上，正确的命题是3P ，4P ，故选D.11.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，垂足为E ，若6AB =，则EM 的长为（）A. B.C.2D.【答案】B 【解析】由已知得()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，并与24y x =联立得2440y my --=，设()()()11220012,,,,,,4A x y B x y E x y y y m +=，则12022y y y m +==，2021x m =+，()221,2E m m ∴+，又()2121224446AB x x m y y m =++=++=+=，解得212m =，线段AB 的垂直平分线为()2221y m m x m -=---，令0y =，得()223,0M m +，从而ME ==，故选B.【方法点晴】本题主要考查抛物线的方程与几何性质，属于难题.解决过抛物线焦点的弦长有关的问题时，求往往考虑将韦达定理与抛物线定义相结合，同时注意两个转化的灵活运用：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.12.已知函数(),()ln(2)4x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A.ln 21--B.ln 21- C.ln 2- D.l n 2【答案】A 【解析】()()f x g x -=1ln(21)42x a a x x x e e ---+++，令1()ln(21)2h x x x =-+，则1()121h x x -'=+，知()h x 在1(,0)2-上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以min ()(0)0h x h ==，又44x a a x e e --+≥所以()()4f x g x -≥，当且仅当0{4x aa xx e e--==即0,ln 2x a ==-.点睛：已知函数有零点（方程有解）求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1a b ==，且(2)a a b ⊥+，则向量a与向量b 的夹角是__________．【答案】34π【解析】()()2,1,0a ab a a b a a b a b ⊥+∴⋅+=+⋅=+= ，cos ,2a b ∴<>=-，又0,,,a b a b π≤≤∴的夹角为34π，故答案为34π.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅= ，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos a b a b θ⋅=（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅ ；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅= ;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.14.15sin(),sin()cos(2)3333x x x πππ+=---已知则的值为___________【答案】49【解析】5cos 22cos 23333sin x x sin x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 212sin 3333sin x x sin x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1241399=-+-=，故答案为49.15.如图，圆锥的高PO =，底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=︒，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的余弦值为__________．【答案】3【解析】设点O 到平面PAC 的距离为d ,设直线OC 和平面PAC 所成角为α，则由等体积法有：O PAC P OAC V V --=，即1133PAC OA S d PO S ∆∆⋅=⋅⋅Ｃ，211223d ⋅⋅∴==,3d sin CO α∴==，于是cos 3α=，故答案为3.16.设函数ln ,1,()ln ,01,x x x f x x x x≥⎧⎪⎨<<⎪⎩数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且5671a a a =，若12101()()...()f a f a f a a +++=，则1a =__________．【答案】e 【解析】若1x >，则101x <<，则()1ln ,ln f x x x f x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，对任意0x >成立，又{}n a 是公比大于零的等比数列，且56761,1a a a a =∴=，故210394857661a a a a a a a a a a =====，故()()()1210...f a f a f a +++()()()()()()()21039576...0f a f a f a f a f a f a f a =+++++++=，()()()()121011...f a f a f a f a a ∴+++==，若11a >，则111ln a a a =，则1a e =，101a <<，则11ln 0a a <，无解，故答案为e .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的周长为3，求ABC ∆的内切圆面积S 的最大值.【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）12π.【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos cos 2cos a B b A c C +=，利用正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得1cos 2C =,，从而可求角C 的大小；（Ⅱ）设ABC ∆的内切圆半径为R ,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积S 的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为cos cos 2cos sin cos sin cos 2sin cos a B b A c C A B B A C C +=⇔+=,即()sin 2sin cos A B C C +=,而()sin sin 0A B C +=>,则1cos 2C =,又()0,C π∈,所以3C π=.（Ⅱ）令ABC ∆的内切圆半径为R ,有11sin •3232ab R π=,则6R ab =,由余弦定理得()2223a b ab a b +-=--,化简得()32ab a b +=+,而a b +≥,故3ab +≥3≥1≤.3≥,则,a b 至少有一个不小于3,这与ABC ∆的周长为3矛盾;1≤,则当1a b c ===时,R取最大值6.综上,知ABC ∆的内切圆最大面积值为2max612S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，2AD =.（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足cos 4θ=，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由正三角形性质可得AE PD ⊥，再利用面面垂直的性质定理得FO ⊥平面PAD ，从而FO AE ⊥，则CD AE ⊥，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得AEC ⊥平面PCD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz -，令AB a =，求出平面PAC 的法向量以及平面PEC 的法向量，根据二面角A PC E --的平面角的余弦值列方程求出a =试题解析：（Ⅰ）取AD 中点为O ，BC 中点为E ，由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，故FO PO ⊥，又FO AD ⊥，则FO ⊥平面PAD ，所以FO AE ⊥，又//CD FO ，则CD AE ⊥，又E 是PD 中点，则AE PD ⊥，由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEC ，故平面AEC ⊥平面PCD .（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -，令AB a =，则(()(),1,0,0,1,,0P A C a -.由（Ⅰ）知3,0,22EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PCE 的法向量，令()1,,n y z =为平面PAC 的法向量，由于(()10,2,0PA CA A =-=- ，，，均与n 垂直，故0,0,n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,20,ay ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得2,,3y a z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故21,,3n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由cos EA nEA n θ⋅=⋅4==，解得a =故四棱锥P ABCD -的体积112233ABCD V S PO =⋅=⋅⋅.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a 、b 、c ，令随机变量ξ表示a 、b 、c 的最大值，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）34；（Ⅱ）127.【解析】试题分析：（Ⅰ）取出两个球是同一颜色的种数为222332C C C ++，由此利用对立事件概率计算公式能求出取两个球颜色不同的概率；（Ⅱ）由已知ξ的可能取值为0,1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望.试题解析：（Ⅰ）设事件A 表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球”，则()22233238314C C C P A C =-=.（Ⅱ）ξ的可能取值为1,2,3.()2338213,28C P C ξ===()21213526382+92,14C C C C P C ξ===()1113323891,28C C C P C ξ===则ξ的分布列为于是，991121232814287E ξ=⨯+⨯+⨯=.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）6.【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为3，结合222,c e a b c a ==+,列方程组求得,a b 的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）点()4,M t ，直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，利用韦达定理解出P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可.【详解】（Ⅰ）由题设知，2,23a c ab ==又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >.将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t x t x t +++-=，由22410827A P t x x t-⋅=+，2A x =-得2225427P t x t -=+，则21827P t y t =+.再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t x t x t +---=，由224123B Q t x x t -⋅=+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t =+.故四边形APBQ 的面积为122P Q P Q S AB y y y y =⋅-=-=221862273t t tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t t t t t t t t ++===+++++++.由于296t tλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥，从而，有48612S λλ=≤+.当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ 恒过椭圆的右焦点()0,1F ”,再将直线PQ 的方程1x ty =+(这里t R ∈)代入椭圆方程22143x y +=,整理得()2234690t y ty ++-=,然后给出面积表达式2P Q S y y =-==211m t=+≥,则S =,当且仅当6λ=即3t =时,max 6S =.21.已知函数()x f x e ax =-（其中e 为自然对数的底数），()4ln(1)g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+，请证明下列结论：①若4a ≤，则对任意0x >，有()1h x >；②若5a ≥，则存在实数0x >，使()1h x <.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出()'f x ，()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间,根据函数的单调性可求()f x 的最小值；（Ⅱ）4a ≤时，可证()h x 在()0,+∞上单调递增，则对任意0x >，有()()01h x h >=，5a ≥时，两次求导，()h x 在()00,x 上单调递减，则()()01h x h <=，可证存在实数()00,x x ∈，使()1h x <.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，()x f x e ax =-，则()1xf x e '=-.当0x <时，()0f x '<，即()f x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时，()0f x '>，即()f x 在()0,+∞上单调递增.故()()min 01f x f ==.（Ⅱ）()()4ln 1x h x e ax x =-++，则()41x h x e a x =+-+'.①若，由（1）知()1xf x e x =-≥，即1x e x ≥+，于是()41x h x e a x =+-+'411x a a x ≥++-≥-+40a =-≥，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，则对任意0x >，有()()01h x h >=；②若5a ≥，令()()41xx h x e a x ϕ==+-+'.则()()241x x e x ϕ=++'在()0,+∞上单调递增，且()()030,110e ϕϕ''=-=-，故存在唯一的()00,1x ∈，使()00x ϕ'=，则当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，即()()x h x ϕ='在()00,x 上单调递减，故()()050h x h a <=-'≤'，从而()h x 在()00,x 上单调递减，则()()01h x h <=，即存在实数()00,x x ∈，使()1h x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,0)P -的直线l 的参数方程为22222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l与曲线C 交于,A B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若PA AB PB ，，成等比数列，求a 的值．【答案】（Ⅰ）曲线C ：()20y ax a =>;l ：2y x =-（Ⅱ）a 的值为2.【解析】试题分析：（1）根据222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+将曲线极坐标方程转化为直角坐标方程22y ax =：利用代入消元将直线参数方程化为普通方程2y x =-（2）根据直线参数方程几何意义将条件2·PA PB AB =转化为()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t =+-，再联立直线参数方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简得1a =试题解析：（1）由()2sin 2cos 0ac a ρθθ=>得：22sin 2cos a ρθρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为：22y ax =，由22{42x t y t =-+=-+消去t 得：42y x +=+，∴直线l 的普通方程为：2y x =-（2）直线l的参数方程为22{42x t y t =-+=-+（t 为参数），代入22y ax =，得到)()24840t a t a -+++=设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,t t 是方程的两个解，由韦达定理得：)()12124,84t t a t t a +=+=+，因为2·PA PB AB =，所以()()22121212124t t t t t t t t -=+-=，解得1a =．考点：极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|1x x ≥；（Ⅱ）[13,1]-.【解析】试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得()5f x ≥不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质可得，不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，等价于67m +≤，解不等式即可求m 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当3m =时，()5f x ≥即65x m x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x ∈∅；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；③当3x ≥时，得95≥成立，所以3x >.故不等式()5f x ≥的解集为{1}x x ≥.（Ⅱ）因为666x m x x m x m +--≤++-=+，由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，解得131m -≤≤，故m 的取值范围是[]13,1-.。

河北省衡水中学2020届高三上学期第二次调研考试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知53cos -=x ，且ππ<<x 2，则x x sin tan +的值是 ( ) A ．1532- B ．158- C ．158 D ．15322．已知2log ,3.0log ,2.0323===c b a ，则 ( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>3．已知奇函数)(x f 满足)4()(+=x f x f ，当)1,0(∈x 时，xx f 2)(=，则=)12(log 2f ( )A ．34-B ．3223 C ．43 D ．83-4．已知圆4:22=+y x O 与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆0顺时针运动3π弧长达到点N ，以z 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角记为α，则=αsin ( )A ．33 B ．21 C ．22 D ．23 5．函数),0()0,(,sin 2)(ππ -∈+=-x xe e xf xx 的图象大致为 ( )6．如图是函数⎪⎭⎫⎝⎛<<>+=20,0)sin(πϕωϕωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，将该图象向右平移)0(>m m 个单位长度后，所得图象关于直线4π=x 对称，则m 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π7．已知函数)(||)(xx e e x x f --=，对于实数”“0,,>+b a b a 是”“0)()(>+b f a f 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0,2,0πβπα，且αααββ2sin cos 22cos 1cos sin ++=，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛++42tan πβα( ) A ．－1 B ．1 C ．322 D ．322- 9．已知函数)(cos sin )(x g x x x f ，-=是)(x f 的导函数，则下列结论中错误的个数是( ) ①函数)(x f 的值域与)(x g 的值域相同；②若0x 是函数)(x f 的极值点，则0x 是函数)(x g 的零点；③把函数)(x f 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数)(x g 的图象；④函数)(x f 和)(x g 在区间⎪⎭⎫⎝⎛-4,4ππ上都是增函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．对于函数x y c o s =，若存在实数n x x x ,,,21 满足π4021≤<<<≤n x x x ，且-)(|1x f ,2,8|)()(||)()(||)(1322≥=-++-+-n x f x f x f x f x f n n *N n ∈，则n 的最小值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．611．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈--=),,2[),2(21),2,(|,1|1)(x x f x x x f 则函数1)()(-=x xf x F 的零点个数为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 12．已知2||,0πϕω≤>，在函数)sin()(ϕω+=x x f 与函数)cos()(ϕω+=x x g 图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当⎪⎭⎫⎝⎛-∈4,6ππx 时，函数)(x f 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2,3ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知曲线x x y -=3在点),(00y x 处的切线平行于直线022=--y x ，则0x = . 14．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)()(x f x f >'，则不等式)12()(1-<-x f x f ex 的解集为 .15．如图阴影部分是由曲线22x y =和322=+y x 及x 轴围成的部分封闭图形，则阴影部分的面积为 ．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，21cos )cos(=--B C A ，延长BC 至D ，若BD = 2，则△ACD 面积的最大值为 ． 三、解答题（共70分。