专升本(高等数学一)模拟试卷52(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷52 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题

1． 设函数y=ax2+c在区间(0，+∞)上单调增加，则( )

A．a＜0且c=0

B．a＞0且c为任意实数

C．a＜0且c≠0

D．a＜0且c为任意实数

正确答案：B

解析：由题设有y’=2ax，则在(0，+∞)上2ax＞0。所以必有a＞0且c为任意实数，故选B。

2． 微分方程y”+y=0的通解为( )

A．C1cosx+C2sinx

B．(C1+C2x)ex

C．(C1+C2x)e-x

D．C1e-x+C2ex

正确答案：A

解析：由题意得微分方程的特征方程为r2+1=0，故r=±i为共轭复根，于是通解为y=C1cosx+C2sinx。

3． 设f(x)为连续函数，则积分=( )

A．0

B．1

C．n

D．

正确答案：A

解析：

故选A。

4． 平面x+2y-z+3=0与空间直线的位置关系是( )

A．互相垂直

B．互相平行但直线不在平面上

C．既不平行也不垂直

D．直线在平面上

正确答案：D

解析：平面π：x+2y-z+3=0的法向量n={1，2，-1}，直线的方向向量s={3，-1，1)，(x0，y0，z0)=(1，-1，2)，因为3×1+(-1)×2+1×(-1)=0，所以直线与平面平行，又点(1，-1，2)满足平面方程(即直线l上的点在平面π上)，因此直线在平面上。故选D。

5． 设a＜x＜b，f’(x)＜0，f”(x)＜0，则在区间(a，b)内曲线弧y=f(x)的图形( )

A．沿x轴正向下降且向上凹

B．沿x轴正向下降且向下凹

C．沿x轴正向上升且向上凹

D．沿x轴正向上升且向下凹

正确答案：B

解析：当a＜x＜b时，f’(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下降，由于在(a，b)内f”(x)＜0，因此曲线弧y=f(x)在(a，b)内下凹，故选B。

6． 设f(x)=e-x2-1，g(x)-x2，则当x→0时( )

A．f(x)是比g(x)高阶的无穷小

B．f(x)是比g(x)低阶的无穷小

C．f(x)与g(x)是同阶的无穷小，但不是等价无穷小

D．f(x)与g(x)是等价无穷小

正确答案：C

解析：=-1，故选C。

7． 中心在(-1，2，-2)且与xOy平面相切的球面方程是( )

A．(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=4

B．(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=2

C．x2+y2+z2=4

D．x2+y2+z2=2

正确答案：A

解析：已知球心为(-1，2，-2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y-2)2+(z+2)2=r2。又与xOy平面相切，则r=2。故选A。

8． 函数z=xy在点(0，0)处( )

A．有极大值

B．有极小值

C．不是驻点

D．无极值

正确答案：D

解析：由z=xy得解得驻点(0，0)。又因为A=z”|0,0=0，B=z”|0,0=1，C=z”yy|0,0=0，B2-AC=1＞0，所以在(0，0)处无极值。故选D。

9． 已知曲线y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线x-y+6=0，又y=y(x)满足微分方程(y”)2=1-(y’)2，则此曲线方程是y=( )

A．-sinx

B．sinx

C．cosx

D．-cosx

正确答案：B

解析：要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3)代入(y”)2=1-(y’)2应成立。故逐个验证后应选B。

10． 设f(x，y)为连续，二次积分∫02dx∫x2f(x，3，)dy交换积分次序后等于( )

A．∫02dy∫0yf(x，y)dx

B．∫01dy∫0yf(x，y)dx

C．∫02dy∫y2f(x，y)dx

D．∫02dy∫02f(x，y)dx

正确答案：A

解析：积分区域D可以表示为0≤x≤2，x≤y≤2，其图形如图中阴影部分所示。交换积分次序，D也可以表示为0≤y≤2，0≤x≤y，因此∫02dx∫x2f(x，y)dy=∫02dy∫0yf(x，y)dx，故选A。

填空题

11． =________。

正确答案：2

解析：由于所给极限为型极限，由极限的四则运算法则有

12． 比较积分大小：∫12lnxdx________∫12(lnx)3dx．

正确答案：＞

解析：因为在[1，2]上lnx＞(Inx)3，所以|lnxdx＞|(Inx)3dx。

13． 设y=，则y’=________。

正确答案：

解析：

14． 设z=y2x，则=________。

正确答案：2xy2x-1

解析：求只需将x看作常数，因此y2x可看作是幂函数，故

15． 设y=，则其在区间[0，2]上的最大值为________。

正确答案：

解析：由所以y在[0，2]上单调递减，于是ymax=y|x=0=arctan1=。

16． 微分方程y”+y’+y=0的通解为________。

正确答案：(其中C1，C2为任意常数)

解析：特征方程为r2+r+1=0，解得：所以通解为(其中C1，C2为任意常数)。

17． 设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为________。

正确答案：y=f(1)

解析：因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线平行于c轴，所以y’(1)=0，即斜率k=0，则此处的切线方程为y-f(1)=0(x-1)=0，即y=f(1)。

18． 过点M0(1．-2．0)且与直线垂直的平面方程为________。

正确答案：3(x-1)-(y+2)+z=0(或3x-y+z=5)

解析：因为直线的方向向量s={3，-1，1)，且平面与直线垂直，所以平面的法向量n={3，-1，1}，由点法式方程有平面方程为：3(x-1)-(y+2)+(z-0)=0，即3(x-1)-(y+2)+z=0。

19． 级数的收敛区间为________。(不包括端点)

正确答案：(1，3)

解析：级数的一般项an(x)=，则由比值法有：即当|x-2|＜1时收敛，所以有-1＜x-2＜1，即1＜x＜3。故收敛区间为(1，3)。

20． 设二元函数z=ln(x+y2)，则=________。

正确答案：dx

解析：由于函数z=ln(x+y2)的定义域为x+y2＞0。在z的定义域内为连续函数，因此dz存在，且

解答题

21． 已知当x→0时，与sin2x是等价无穷小量，求常数a

的值。

正确答案：由于当x→0时，与sin2x是等价无穷小量，因此有解得a=2。

解析：因为当x→0时，与sin2x是等价无穷小量，所以有。

22． 设y=

正确答案：

解析：本题考查复合函数的求导，可利用链式法则求解。

23． 求证：∫0πxf(sinx)dx=

正确答案：∫0πxf(sinx)dx=-∫π0(sint)dt=∫π0(π-t)f(sint)dt=π∫0πf(sint)dt-∫0πtf(sint)dt因为定积分与积分变量无关，所以∫0πxf(sinx)dx=。

解析：解题思想是对左侧积分作替换，令x=π-t，即-∫π0(π-t)f(sint)dt打开括号后整理，再运用

x=a-x，x=的思想，即可得证。

24． 求曲线y=+2在点(1，3)处的切线方程。

正确答案：由导数的几何意义知，曲线Y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率k=f’(x0)，切线方程为y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)，由于y’=，则y’|x=1=-2，因此切线方程为y-3=-2(x-1)，即2x+y-5=0。

解析：本题考查利用导数求曲线的切线方程．

25． 设z=(x+2y)3x2+y2，求。

正确答案：设u=x+2y，υ=3x2+y2，则z=uυ，由复合函数的链式法则有=2(3x2+y2)(x+2y)3x2+y2-1+2y(x+2y)(3x2+y2)ln(x+2y)。

解析：本题考查由复合函数的链式法则求偏导数。

26． 要造一个容积为32π立方厘米的圆柱形容器，其侧面与上底面用一种材料，下底面用另一种材料，已知下底面材料每平方厘米的价格为3元，侧面材料每平方厘米的价格为1元，问该容积的底面半径r与高h各为多少时，造这个容器所用的材料费用最少?

正确答案：设S为材料费用函数，则S=2πrh+兀r2+3πr2，且满足条件πr2h=32π，令

S’(r)=0，得驻点r=2。因S”(2)=24π＞0，且驻点唯一，所以r=2为S(r)的最小值点，此时所以r=2厘米，h=8厘米时，材料费用最省。

解析：本题为利用导数求最值问题。求最大值与最小值的一般方法是：(1)求出f(x)在(a，b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点：x1，…xk。(2)求出上述各点及区间两个端点x=a，x=b处的函数值：f(x1)，…，f(xk)，f(a)，f(b)进行比较，其中最大的数即为y=f(x)在[a，b]上的最大值，相应的z的取值即为f(z)在[a，b]上的最大值点，而其中最小的数值即为f(x)在[a，b]上的最小值，相应的x的取值即为f(x)在[a，b]上的最小值点。

27． 设平面薄片的方程可以表示为x2+y2≤R2，x≥0，薄片上点(x，y)处的密度ρ(x，y)=，求该薄片的质量M。

正确答案：利用对称性，依题设

解析：由二重积分的物理意义知：该薄片的质量(其中ρ(x，y)为密度函数)，而此积分的区域D为半圆，即x2+y2≤R2(x≥0)，所以由下面解法可以得到质量M的结果。

28． 设函数f(x)在[-a，a](a＞0)上连续，证明∫-aaf(x)dx=∫0a[f(x)+f(-x)]dx。

正确答案：∫-aaf(x)dx=∫-a0f(x)dx+∫0af(x)dx。对于∫-a0f(x)dx，令x=-t，则∫-a0f(x)dx=-∫a0f(-t)dt=∫a0f(-t)dt=∫a0f(-x)dx。所以∫-aaf(x)dx=∫0af(-x)dx+∫0af(x)dx=∫0a[f(-x)+f(x)]dx。

解析：本题利用定积分的性质证明等式成立。