专升本(高等数学一)模拟试卷100(题后含答案及解析)
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专升本（高等数学一）模拟试卷100 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题
1． 当x→0时，无穷小x+sinx是比x
A．高阶无穷小
B．低阶无穷小
C．同阶但非等价无穷小
D．等价无穷小
正确答案：C
解析：因=2，所以选C。
2． 设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的—个极小值，则等于
A．一2
B．0
C．1
D．2
正确答案：B
解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导．于是f’(x0)=0．又
3． 设函数f(x)=，则f’(x)等于
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
4． 函数y=x-arctanx在(一∞，+∞)内
A．单调增加
B．单调减少
C．不单调
D．不连续
正确答案：A
解析：因y=x—arctanx，则y’=1一于是函数在(一∞，+∞)内单调增加．
5． 设∫f(x)dx=ex+C,则∫xf(1一x2)dx为
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
6． 设ψ(x)=则ψ’(x)等于
A．tanx2
B．tanx
C．sec2x2
D．2xtanx2
正确答案：D
解析：因tantdt是复合函数，于是ψ’(x)=tanx2．2x=2xtanx2．
7． 下列反常积分收敛的
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D.
8． 级数
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．无法确定敛散性
正确答案：C
解析：级数的通项为此级数为p级数．又因所以级数发散．
9． 方程x2+y2=R2表示的二次曲面是
A．椭球面
B．圆柱面
C．圆锥面
D．旋转抛物而
正确答案：D
解析：由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．
10． 曲线
A．有水平渐近线，无铅直渐近线
B．无水平渐近线，有铅直渐近线
C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线
D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线
正确答案：C
填空题
11． 函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．
正确答案：
解析：
12． 设f”(x)连续，
正确答案：yf”(xy)+f’(x+y)+yf”(x+y)
解析：
13． 设D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．
正确答案：0
解析：用极坐标计算．
14． 设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0．则a，b的取值为_________．
正确答案：
解析：f’(x)=3ax2一12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4．而x=4不在[一1．2]中，故舍去．f”(x)=6ax一12a，f”(0)=一12a．因为a＞0，所以f”(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31．
15． 设曲线则该曲线的铅直渐近线为_______．
正确答案：x=一1
解析：
16． 当p_______时，级数收敛.
正确答案：＞1
解析：当p＞1时收敛，由比较判别法知p＞1时，
17． 求
正确答案：
解析：
18． 幂级数的收敛半径R=_______．
正确答案：1
解析：
19． 方程y”一2y’+5y=exsin2x的特解可没为y*=________．
正确答案：xex(Asin2x+Bcos2x)
解析：由特征方程为r2一2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)．
20．
正确答案：
解析：
解答题
21． 确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点．
正确答案：在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0．且一6a＜0(a＞0)．故(a，a)是极大值点．
22．
正确答案：
23． 讨论级数的敛散性．
正确答案：因所以级数收敛．
24．
正确答案：
25． 证明：ex＞1+x(x＞0)．
正确答案：对F(x)=ex在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得 F(x)-F(0)=F’(ξ)x，0＜ξ＜x，因F’(ξ)=eξ＞1，即故ex＞x+1(x＞0)．
26． 设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=f(t)dt，求f(x)．
正确答案：因f(x)=可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得 f(x)+xf’(x)=1+f(x)，则
f(x)=lnx+C，再由x=1时．f(1)=1．得C=1，故f(x)=lnx+1．
27． 求方程y”-2y’+5y=ex的通解．
正确答案：y”一2y’+5y=0的特征方程为r2一2r+5=0。 故特征根为r=1+2i。 非齐次项的特解可设为y=Aex，代入原方程得所以方程的通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+
28． 设f(x)=∫0a-xey(2a-y)dy，求∫0af(x)dx(提示：利用二重积分交换顺序去计算)．
正确答案：将f(x)代入有 ∫0af(x)dx=∫0adx∫0a-xey(2a+y)dy =∫0ady∫0a-yey(2a+y)dx =∫0a(a-y)ey(2a-y)dy
