专升本(高等数学一)模拟试卷50(题后含答案及解析)

专升本（高等数学一）模拟试卷50 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题

1． 设f(0)=0，且f’(0)存在，则=( )

A．f’(0)

B．2f’(0)

C．f(0)

D．

正确答案：B

解析：此极限属于型，可用洛必达法则，即，故选B。

2． 设有直线l1：，当直线l1与l2平行时，λ=( )

A．1

B．0

C．

D．-1

正确答案：C

解析：本题考查的知识点为直线间的关系。直线，其方向向量分别为s1={1，2，λ)，s2={2，4，-1)．又l1∥l2，则，从而λ=，故选C。

3． 设∫0xf(t)dt=xsinx，则f(x)=( )

A．sinx+xcosx

B．sinx-xcosx

C．xcosx-sinx

D．-(sinx+xcosx)

正确答案：A

解析：在∫0xf(t)dt=xsinx两侧关于x求导数，有f(x)=sinx+xcosx。故选A。

4． 设f(x)=sin2x，则f’(0)=( )

A．-2

B．-1

C．0

D．2

正确答案：D

解析：由f(c)=sin2x可得f’(x)=cos2x(2x)’=2cos2x，f’(0)=2cos0=2，故选D。

5． 设z=xy+y，则=( )

A．e+1

B．

C．2

D．1

正确答案：A

解析：因为=elne+1=e+1。故选A。

6． 设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f’(x)＞0，则( )

A．f(1)＞f(0)

B．f(1)＜f(0)

C．f(1)=f(0)

D．f(1)与f(0)的值不能比较

正确答案：A

解析：由f’(x)＞0说明f(x)在[0，1]上是增函数，因为1＞0，所以f(1)＞f(0)。故选A。

7． 曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为( )

A．-1

B．-2

C．-3

D．-4

正确答案：C

解析：由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f’(x0)。由于y=x-3，y’=-3x-4，y’|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

8． 方程x2+2y2-z2=0表示的二次曲面是( )

A．椭球面

B．锥面

C．旋转抛物面

D．柱面

正确答案：B

解析：对照二次曲面的标准方程，可知所给曲面为锥面，故选B。

9． 设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y”+p1y’+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2( )

A．为所给方程的解，但不是通解

B．为所给方程的解，但不一定是通解

C．为所给方程的通解

D．不为所给方程的解

正确答案：B

解析：如果y1，y2这两个特解是线性无关的，即≠C，则C1y1+C2y2是其方程的通解。现在题设中没有指出是否线性无关，所以可能是通解，也可能不是通解，故选B。

10． 设un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收敛，则( )

A．必定收敛

B．必定发散

C．收敛性与a有关

D．上述三个结论都不正确

正确答案：D

解析：由正项级数的比较判定法知，若un≤υn，则当收敛时，

也收敛；若也发散，但题设未交待un与υn的正负性，由此可分析此题选D。

填空题

11． 若=-2，则a=________。

正确答案：-2

解析：因为=a，所以a=-2。

12． 设sinx为f(x)的原函数，则f’(x)=________。

正确答案：0

解析：因为sinx为f(x)的一个原函数，所以f(x)=(sinx)’=cosx，f’(x)=-sinx。

13． 设y=，则y’=________。

正确答案：

解析：

14． ∫x(x2-5)4dx=________。

正确答案：

解析：

15． 如果函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=________。

正确答案：f’(ξ)(b-a)

解析：由题目条件可知函数f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理的条件，因此必定存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)。

16． 设z=sin(x2y)，则=________。

正确答案：x2cos(x2y)

解析：设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

17． 二元函数z=x2+3xy+y2+2x，则=________。

正确答案：3

解析：因为z=x2+3xy+y2+2x，

18． 交换二重积分次序∫01dx∫x2xf(x，y)dy=________。

正确答案：

解析：因为∫01dx∫x2xf(x，y)dy，所以其区域如图所示，所以先对x的积分为。

19． 设Ф(x)=∫0xln(1+t)dt，则Ф”(x)=________。

正确答案：

解析：用变上限积分公式(∫0xf(t)dt)’=f(x)，则Ф’(x)=ln(1+x)，Ф”(x)=。

20． 微分方程y’=x的通解为________。

正确答案：

解析：本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，

解答题

21． 求函数y=在点x=0处的导数y’|x=0。

正确答案：可知y’|x=0=0。

解析：此题如果先求函数y的导数y’后，再代入x=0便得y’没有意义。所以此题只能利用导数的定义式，即f’(x0)=的方法来求。

22． 计算

正确答案：利用洛必达法则：。

解析：本题考查的知识点为利用洛必达法则求“”型极限，或利用等价无

穷小量代换简化求极限运算。

23． 设y=-2，求所给曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

正确答案：，可知y=2为水平渐近线；，可知x=0为铅直渐近线。

解析：解本题的关键是要知道函数y=f(x)的水平渐近线和铅直渐近线的判定方法。即：(1)如果=∞，则称x=x0是一条铅直渐近线；(2)如果=C，则称y=C是一条水平渐近线。

24． 求由曲线y=2-x2，y=x(x≥0)与直线x=0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积。

正确答案：由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为Vx=π∫aby2(x)dx。画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2-x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y≤x所围成的平面图形绕z轴旋转一周所生成的旋转体体积。

解析：就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=b(a≤b)所围成的平面绕x轴旋转一周后所成的旋转体的体积公式为：Vx=π∫ab[f2(x)-g2(x)]dx。

25． 将f(x)=展开为x的幂级数。

正确答案：所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于

解析：不容易直接展开为幂级数形式．但是对其求导后所得函数，即是常见函数，它的展开式是已知的。这样我们就得到f’(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到f(x)的展开式。

26． 设z=f(u，υ)，而u=x2y，υ=，其中f(u，υ)存在偏导数，求。

正确答案：由复合函数的链式法则有

解析：本题考查的是抽象函数求偏导数的方法。题中已给出u=x2y，υ=，所以直接利用复合函数求偏导的链式法则即可。

27． 判定级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛?

正确答案：所给级数是任意项级数，不是交错级数。由于又由于的p级数，因而收敛。由正项级数的比较判别法可知。

解析：这是一道任意项级数判断敛散性的题，首先清楚如果给了一个任意项级数

28． 求y”+6y’+13y=0的通解。

正确答案：特征方程为r2+6r+13=0，故r=-3±2i为共轭复根，于是通解为y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x)。

解析：本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的求解。