高考数学基础回扣(七)概率与统计学案理
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基础回扣(七) 概率与统计
[要点回扣]
1．排列与组合
(1)解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
(2)解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法．
[对点专练1] 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种．
[答案] 70
2．二项式定理
注意区分二项式系数与项的系数．
[对点专练2] 设x－2x6的展开式中x3的系数为A，二项式系数为B，则A∶B＝________.
[答案] 4∶1
3．条件概率
在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
[对点专练3] 设A、B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为310，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A发生的概率为________．
[答案] 35
4．分布列
求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．
[对点专练4] 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
[答案] A
5．正态分布
正态分布计算的依据是“3σ原则”．
[对点专练5] 已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0
等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
[答案] C
6．抽样方法
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．
[对点专练6] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．
[答案] 24
7．统计图表知识
对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．
[对点专练7] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为________．
[答案] 20
8．样本的数字特征
在频率分布直方图中，众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
[对点专练8] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,0.15,0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________．
[答案] 0.15、0.145
9．回归直线方程
利用散点图判断一组数据的相关关系，回归直线y^＝b^x＋a^必须过样本中心点(x，y)．
[对点专练9] 某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
由上表可得线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )
A．48个 B．49个 C．50个 D．51个
[答案] B
10．独立性检验
如果K2的观测值k越大，说明“两个分类变量有关系”的这种判断犯错误的可能性越小．
[对点专练10] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5
25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
则至少有________的把握认为喜爱打篮球与性别有关．(请用百分数表示)
附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d
P(K2>k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[答案] 99.5%
[易错盘点]
易错点1 排列、组合混淆致误
【例1】 如图所示，A，B，C，D是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？
[错解] 对于有一个中心的结构形式有A44，对于四个岛依次相连的形式有A44，∴共有2A44＝48(种)．
[错因分析] 没有理清题目中的顺序关系，混淆排列与组合．
[正解] 由题意可能有两种结构，如图：
第一种：，第二种：
对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C14种方法．对于第二种结构，有C24A22种方法．
∴总共有C14＋C24A22＝16(种)．
对于排列、组合的混合问题，可以通过分类，画图等搞清其中的顺序．
[对点专练1]
(1)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．60种
(2)将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为________(用数字作答)．
[解析] (1)每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，有C34A33＝24种；一种是其中有一家企业录用2名大学生，有C24A33＝36种，∴一共有24＋36＝60种，故选D.
(2)甲、乙不能分在同一个班，则不同的分组有甲单独一组，只有1种；甲和丙或丁两人一组，有2种；甲、丙、丁一组，也是1种．然后再把这两组分到不同班级里，则共有(1
＋2＋1)A22＝8种分法．
[答案] (1)D (2)8
易错点2 二项式系数与项的系数混淆致误
【例2】 已知x＋12xn的展开式中前三项的系数成等差数列，则n的取值所构成的集合为________．
[错解] 由已知条件可得2C1n＝C0n＋C2n，
化简可得n2－5n＋2＝0，
此方程无整数解，故没有满足条件的n值．故填∅.
[错因分析] 错解中前三项的二项式系数成等差数列，没有搞清二项展开式中二项式系数和系数的概念．
[正解] 由题设，得C0n＋14×C2n＝2×12×C1n，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．
在解此类问题时，关键要抓住：在二项式(a＋b)n的展开式中，其通项Tr＋1＝Crnan－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…，n项的二项式系数分别是C0n，C1n，C2n，…，Cn－1n.
[对点专练2]
(1)2x＋13xn的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2项的系数为________．
(2)已知2x－1xn展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中常数项是________．
[解析] (1)依题意得3n＝729，n＝6，二项式2x＋13x6的展开式的通项是Tr＋1＝Cr6·(2x)6－r·13xr＝Cr6·26－r·x6－4r3 .令6－4r3＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x2项的系数是C36·26－3＝160.
(2)∵2x－1xn展开式的二项式系数之和为64，
∴2n＝64，n＝6，∴Tr＋1＝Cr6(－1)r26－rx6－r－12r
＝Cr6(－1)r26－rx6－32r ，令6－32r＝0，得r＝4，从而常数项为C46(－1)422＝60.
[答案] (1)160 (2)60
易错点3 基本事件概念不清致误
【例3】 先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面”的概率为________．
[错解] 所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；
∴出现“两正一反”的概率为14.
[错因分析] 没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的．
[正解] 所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)八种，而“两正一反”事件含三个基本事件．∴P＝38.
对于公式P(A)＝mn(n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性．
[对点专练3]
(1)从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )
A.16 B.14 C.13 D.12
(2)甲、乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待．已知甲、乙两车装货物需要的时间都为20分钟，倘若甲、乙两车都在某1小时内到达该货场(在此期间货场没有其他车辆)，则恰好有一辆车需要等待装货物的概率是________．
[解析] (1)其中一个数是另外两个数之和的情况有(1,2,3)，(1,3,4)，(1,4,5)，(1,5,6)，(1,6,7)，(1,7,8)，(1,8,9)，(1,9,10)，共8种，(2,3,5)，(2,4,6)，(2,5,7)，(2,6,8)，(2,7,9)，(2,8,10)，共6种，(3,4,7)，(3,5,8)，(3,6,9)，(3,7,10)，共4种，
