高考数学总复习 考前三个月 考前回扣8 算法、复数、概率统计 理

回扣8 算法、复数、概率统计

1．复数的相关概念及运算法则

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类

①z是实数⇔b＝0；

②z是虚数⇔b≠0；

③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.

(2)共轭复数

复数z＝a＋bi的共轭复数z＝a－bi.

(3)复数的模

复数z＝a＋bi的模|z|＝a2＋b2.

(4)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．

(5)复数的运算法则

加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；

乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i

()其中a，b，c，d∈R.

2．复数的几个常见结论

(1)(1±i)2＝±2i.

(2)1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．

(4)ω＝－12±32i，且ω0＝1，ω2＝ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.

3．程序框图的三种基本逻辑结构

(1)顺序结构：如图(1)所示．

(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．

(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．

4．牢记概念与公式

(1)概率的计算公式

①古典概型的概率计算公式

P(A)＝事件A包含的基本事件数m基本事件总数n；

②互斥事件的概率计算公式

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；

③对立事件的概率计算公式

P(A)＝1－P(A)；

④几何概型的概率计算公式

P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.

(2)抽样方法

简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．

①从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；

②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．

(3)统计中四个数据特征

①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；

②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；

③平均数：样本数据的算术平均数，

即x＝1n(x1＋x2＋…xn)；

④方差与标准差

方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]；

标准差：

s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].

1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．

2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．

4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别

(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．

(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．

5．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．

6．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“＞”的区别．

7．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．

1．(2017·江苏南京高淳区质检)若a＋i1－i(i是虚数单位)是实数，则实数a的值是________．

答案 －1

解析 因为a＋i1－i＝a＋i1＋i1－i1＋i＝a－1＋a＋1i2是实数，所以a＋1＝0，所以a＝－1.

2．(2017·江苏南京溧水中学质检)某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________．

I←1

S←1

While S≤24

S←S×I

I←I＋1

End While

Print I

答案 6

解析 该算法经过五次循环：经过第一次循环，因为S＝1＜24，所以得到新的S＝1，I＝2；

然后经过第二次循环，因为S＝1＜24，所以得到新的S＝2，I＝3；

然后经过第三次循环，因为S＝2＜24，所以得到新的S＝6，I＝4；

然后经过第四次循环，因为S＝6＜24，所以得到新的S＝24，I＝5；

然后经过第五次循环，因为S＝24，所以得到新的S＝120，I＝6；

所以结束循环体并输出最后的I.

综上所述，可得最后输出的结果是6.

3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为________．

答案 0

解析 设看不清的数字为x，

甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，

所以93＋94＋97＋110＋110＋x5<101，解得x<1，

所以x＝0.

4．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．

答案 680

解析 根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x＋0.03＋0.03)＝1⇒x＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1000×0.68＝680.

5．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是2，则xy＝________.

答案 96

解析 根据平均数及方差的计算公式，可得9＋10＋11＋x＋y＝10×5，即x＋y＝20，因为标准差为2，方差为2，

所以15[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2]＝2，即(x－10)2＋(y－10)2＝8，

解得x＝8，y＝12或x＝12，y＝8，则xy＝96.

6．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．

答案 6

解析 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n36＝n6，篮球运动员人数为12×n36＝n3，足球运动员人数为18×n36＝n2，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.

7．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率是________．

答案 16

解析 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，记作(m，n)，共有6×6＝36(种)结果．(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，应满足m＝n，有6种情况，所以所求概率为636＝16.

8．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为____________．

答案 310

解析 设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，

(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为620＝310.

9．执行如图所示的流程图，则输出的结果是________．

答案 32

解析 由题意得log2n＋1n＋2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，由程序框图的计算公式，可得

S＝(log22－log23)＋(log23－log24)＋…＋[log2n－log2(n＋1)]＝1－log2(n＋1)，由S＜－4，可得1－log2(n＋1)＜－4⇒log2(n＋1)＞5，解得n＞31，

所以输出的n为32.

10．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

答案 23

解析 设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，得P1＝V半球V圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P到点O的距离大于1的概率P2＝1－13＝23.

11．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为________．

答案 1－π4

解析 由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，

可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，

整理得a2＋b2≥π2.

如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，

试验的全部结果构成的区域为

Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，