高考数学概率与统计部分知识点梳理

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高考数学概率及统计部分学问点梳理

一、概率：随机事务A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

１．随机事务A的概率0()1PA，其中当()1PA时称为必定事务；当()0PA时称为不行能事务P(A)=0；

注：求随机概率的三种方法：

〔一〕枚举法

例1如图1所示，有一电路AB是由图示的开关限制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的随意两个开关，使电路形成通路．那么使电路形成通路的概率是．

分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的随意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，依据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=106=53

评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事务的概率计算.

〔二〕树形图法

例2小刚和小明两位同学玩一种嬉戏．嬉戏规那么为：两人各执“象、虎、鼠〞三张牌，同时各出一张牌定输赢，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，假设两人所出牌一样，那么为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，那么小刚胜；又如，

两人同时出象牌，那么两人平局．假如用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

分析：为了清晰地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出全部可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

解：画树状图如图树状图。由树状图〔树形图〕或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性一样，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P〔一次出牌小刚胜小明〕=31

点评:当一事务要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率

〔三〕列表法

例3将图中的三张扑克牌反面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形〔状〕图或列表的方法求：〔1〕组成的两位数是偶数的概率；〔2〕组成的两位数是6的倍数的概率．

分析：此题可通过列表的方法，列出全部可能组成的两位数的可能状况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能状况和组成两位数

是6的倍数的可能状况。

解：列的表格如下：依据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以〔1〕两位数是偶数的概率为23．〔2〕两位数是6的倍数的概率为13．

点评：当一事务要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出全部可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率

2.等可能事务的概率〔古典概率〕： P(A)=nm。

3、互斥事务：〔A、B互斥，即事务A、B不行能同时发生〕。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。

4、对立事务：〔A、B对立，即事务A、B不行能同时发生，但A、B中必定有一个发生〕。计算公式是：P〔A〕+ P(B)＝１；P(A)=1－P(A)；

5、独立事务：〔事务A、B的发生互相独立，互不影响〕P(A•B)＝P(A) • P(B) 。提示：〔1〕假如事务A、B独立，那么事务A及B、A及B及事务A及B也都是独立事务；〔2〕假如事务A、B互相独立，那么事务A、B至少有一个不发生的概率是1－P〔AB〕＝1－P(A)P(B)；〔3〕假如事务A、B互相独立，那么事务A、B至少有一个发生的概率是1－P〔AB〕＝1－P(A)P(B)。

6、独立事务重复试验：事务A在n次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k次．的概率()(1)kknknnPkCpp(是二项绽开式[(1)]npp的第k+1项)，其中p为在一次独立重复试验中事务A发生的概率。

提示：〔1〕探求一个事务发生的概率，关键是分清事务的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事务：转化为等可能事务的概率(经常采纳排列组合的学问)；转化为假设干个互斥事务中有一个发生的概率；利用对立事务的概率，转化为互相独立事务同时发生的概率；看作某一事务在n次试验中恰有k次发生的概率，但要留意公式的运用条件。〔2〕事务互斥是事务独立的必要非充分条件，反之，事务对立是事务互斥的充分非必要条件；〔3〕概率问题的解题标准：①先设事务A=“…〞， B=“…〞；②列式计算；③作答。

二、随机变量.

1. 随机试验的构造应当是不确定的.试验假如满意下述条件：

①试验可以在一样的情形下重复进展；②试验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.

ξba也是一个随机变量.一般地，假设ξ是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，那么)(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：,,,,21ixxx

ξ取每一个值),2,1(1ix的概率iipxP)(，那么表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

 1x 2x … ix …

P 1p 2p … ip …

有性质：①,2,1,01ip； ②121ippp.

留意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：假如在一次试验中某事务发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事务恰好发生k次的概率是：knkknqpCk)P(ξ[其中pqnk1,,,1,0] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ听从二项分布，记作～B〔n·p〕，其中n，p为参数，并记p)nb(k;qpCknkkn.

⑵二项分布的推断及应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事务是否是进展n次独立重复，且每次试验只有两种结果，假如不满意此两条件，随机变量就不听从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k〞表示在第k次独立重复试验时，事务第一次发生，假如把k次试验时事务A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21.依据互相独立事务的概率乘法分式：))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21),3,2,1(1kpqk于是得到随机变量ξ的概率分布列.

 1 2 3 … k …

P q qp pq2 … pq1k …

我们称ξ听从几何分布，并记pqp)g(k,1k，其中3,2,1.1kpq

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M〔M＜N〕件次品，今抽取)Nnn(1件，那么其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(ξnNknMNkM.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，假如规定m＜r时0Crm，那么k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件〔1≤n≤a+b〕，那么次品数ξ的分布列为n.,0,1,kCCCk)P(ξnbaknbka.

⑶超几何分布及二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ听从超几何分布.假设放回式抽取，那么其中次品数的分布列可如下求得：把ba个产品编号，那么抽取n次共有nba)(个可能结果，等可能：k)(η含knkknbaC个结果，故n,0,1,2,k,)baa(1)baa(Cb)(abaCk)P(ηknkknnknkkn，即～)(baanB.[我们先为k个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

三、数学期望及方差.

1. 期望的含义：一般地，假设离散型随机变量ξ的概率分布为

 1x 2x … ix …

P 1p 2p … ip …

那么称nnpxpxpxE2211为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均程度.

2. ⑴随机变量ba的数学期望：baEbaEE)(

①当0a时，bbE)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当1a时，bEbE)(，即随机变量ξ及常数之和的期望等于ξ的期望及这个常数的和.

③当0b时，aEaE)(，即常数及随机变量乘积的期望等于这个常数及随机变量期望的乘积.

ξ 0 1 ⑵单点分布：ccE1其分布列为：cP)1(.

⑶两点分布：ppqE10，其分布列为：〔p + q = 1〕

⑷二项分布：npqpknknkEknk)!(!! 其分布列为～),(pnB.〔P为发生的概率〕

⑸几何分布：pE1 其分布列为～),(pkq.〔P为发生的概率〕

、标准差的定义：当随机变量ξ的分布列为),2,1()(kpxPkk时，那么称nnpExpExpExD2222121)()()(为ξ的方差. 明显0D，故.D为ξξ的方差及标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定及波动，集中及离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．

4.方差的性质.

⑴随机变量ba的方差DabaDD2)()(.〔a、b均为常数〕

⑵单点分布：0D 其分布列为pP)1(

⑶两点分布：pqD 其分布列为：〔p + q = 1〕

⑷二项分布：npqD

⑸几何分布：2pqD

5. 期望及方差的关系.

⑴假如E和E都存在，那么EEE)(

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，那么DDDEEE)(,)(

⑶期望及方差的转化：22)(EED ⑷)()()(EEEEE〔因为E为一常数〕0EE.

四、正态分布.〔根本不列入考试范围〕

1.密度曲线及密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[baax及直线bx所围成的曲边梯形的面积

〔如图阴影部分〕的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，由于“),(x〞

是必定事务，故密度曲线及x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布及正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(xexf. 〔,,Rx为常数，且0〕，称ξ听从参数为,的正态分布，用～),(2N表示.)(xf的表达式可简记为),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望及方差：假设～),(2N，那么ξ的期望及方差分别为：2,DE.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，及x轴不相交.

②曲线关于直线x对称.

高考数学概率与统计知识点总结(20200617114507)

高考数学概率与统计知识点总结

概率和统计的相关题目需要记忆相关的公式和大量的计算, 所以也是最能考察学生们

计算能力的题了。果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、

喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌婉转悦耳笨嘴学舌啄木鸟利嘴如铁

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寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地

春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大

雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸

微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云

彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密, 布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似

锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：

一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以

恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后

已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华

横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可

掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发, 威风

凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜

开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、

描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿,

出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：

中考数学知识点梳理(概率与统计)

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统计与概率

一、统计

知识点一：数据收集、整理内容关键点拨

1. 数据收集数据收集常用方法 (1)普查；(2) 抽样调查. 例：为了了解某校2000名学生视力情况，从中测试了100名学生视力进行分析，在这个问题中，总体是某校2000名学生视力情况，样本容量是100. 收集数据时常见的统计量 (1)总体：要考察的全体对象；

(2)个体：组成总体的每一个考察对象；

(3)样本：被抽查的那些个体组成一个样本；

(4)样本容量：样本中个体的数目．

知识点二：反映数据集中程度的量

2.平均数 x1，x2，…，xn的平均数x＝1n(x1＋x2＋…＋xn). 计算平均数时注意分辨是算术平均数还是加权平均数，两者计算方法有差异，不能混淆.

例：某商品共10件，第一天以25元/件卖出2件，第二天以20元/件卖出3件，第三天以18元/件卖出5件，则这种商品的平均售价为20元/件． 3.加权平均数 (1)一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是ω1，ω2，…，ωn，则x1ω1＋x2ω2＋…＋xnωnω1＋ω2＋…＋ωn叫做这n个数的加权平均数．

(2)若x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次，且f1＋f2＋…＋fk＝n，则这k个数的加权平均数x＝1n(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk).

4.中位数一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．例：一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的中位数为1 ． 5.众数一组数据中出现次数最多的数据.一组数据的众数可能有多个，也可能没有.

知识点三：反映数据离散程度的量

6.方差方差公式公式：设x1，x2，…，xn的平均数为x，则这n个数据的方差为s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x )2＋…＋(xn－x )2]. 方差反映一组数据的波动程度，若该组每个数据变化相同，则方差不变.若数据a1，a2，……an的方差是s，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s. 方差意义方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越稳定．

题高考数学概率与统计知识点

高考数学第18题（概率与统计）

1、求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(IcardAcard＝nm;

等可能事件概率的计算步骤：

计算一次试验的基本事件总数n;

设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m;

依公式()mPAn求值;

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);

特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A)＝P(A＋A)＝1.

(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);

特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝knkknppC)1(.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质等可能事件

互斥事件

独立事件

n次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算和事件积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)kknknnmPAnPABPAPBPABPAPBPkCpp等可能事件:

互斥事件：

独立事件：

n次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

2.离散型随机变量的分布列

1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.