(全国通用版)2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第3讲 统计与统计案例学案 理

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1 第3讲 统计与统计案例

[考情考向分析］ 1。以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等。2。在概率与统计的交汇处命题,以解答题中档难度出现．

热点一 抽样方法

1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围:总体中的个体数较少．

2．系统抽样特点是将总体平均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围:总体由差异明显的几部分组成．

例1 （1）某学校在高一新生入学后为了解学生的体质情况，决定从该校的1 000名高一新生中采用系统抽样的方法抽取50名学生进行体质分析，已知样本中第一个号为007号,则抽取的第10个学生的编号为( )

A．107 B．097 C．207 D．187

答案 D

解析 根据题意组距为错误!＝20，则抽取学生的编号组成以7为首项,20为公差的等差数列，其通项公式为an＝7＋20(n－1）,∴a10＝7＋20错误!＝187.

（2)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860，820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________．

答案 43 （全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第3讲 统计与统计案例学案 理

2 解析 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.

思维升华 (1）随机抽样的各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的．

(2）系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同．

（3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

跟踪演练1 (1)（2018·福州检测）为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样

C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样

答案 C

解析 我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．了解某地区的“微信健步走”活动情况，按年龄段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．

（2)（2018·永州模拟)现从已编号(1~50)的50位同学中随机抽取5位了解他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是（ ）

A．5，10，15，20，25

B．3,13,23，33，43

C．1，2，3，4，5

D．2，10,18,26，34

答案 B

解析 由系统抽样方法的概念可知，抽取5位,必须每层都有，则每10个里面有1个，所以符合要求的编号可能是3，13,23,33,43。

热点二 用样本估计总体

1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示错误!,频率＝组距×错误!。

2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.

3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第3讲 统计与统计案例学案 理

3 图中:

(1）最高的小长方形底边中点的横坐标即众数．

（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和相等．

（3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

例2 (1)一组数据共有7个数，记得其中有10,2，5，2,4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列,这个数的所有可能值的和为（ )

A．－11 B．3 C．9 D．17

答案 C

解析 设没记清的数为x，若x≤2，则这列数为x，2,2,2,4，5，10,平均数为错误!，中位数为2，众数为2，所以2×2＝错误!＋2,得x＝－11；若2〈x≤4,则这列数为2，2,2，x，4，5,10，则平均数为错误!,中位数为x，众数为2,

所以2x＝错误!＋2，得x＝3；若x≥5，则这列数为 2,2，2,4,5，x,10或2，2,2，4，5，10，x,则平均数为错误!，中位数为4，众数为2，所以2×4＝错误!＋2,得x＝17，

所以－11＋3＋17＝9。

（2)(2018·齐齐哈尔模拟)某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是［17。5,30]，样本数据分组为［17。5，20），［20，22。5)，[22.5,25)，[25，27。5),[27.5，30]。根据频率分布直方图可知，这320名学生中每周的自习时间不足22。5小时的人数约是( )

A．68 B．72 C．76 D．80

答案 B

解析 由频率分布直方图可得,320名学生中每周的自习时间不足22。5小时的人数约是320×(0。02＋0.07)×2.5＝72.

思维升华 (1）反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小,高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和（全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第3讲 统计与统计案例学案 理

4 总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数、中位数和方差等．

(2）由样本数据估计总体时,样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

跟踪演练2 （1）为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计,甲、乙两人的得分情况如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲,x乙,则下列说法正确的是( )

A．x甲〉x乙，乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛

B．x甲〉x乙,甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C．x甲

D．x甲

答案 D

解析 由茎叶图可知，

甲的平均数是x甲＝72＋78＋79＋85＋86＋926＝82，

乙的平均数是x乙＝错误!＝87,

所以乙的平均数大于甲的平均数，即x甲

从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛．

（2)（2018·大庆质检)下面是追踪调查200个某种电子元件寿命(单位：h）的频率分布直方图，

其中300～400,400～500的两组数据丢失,下列四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是（ ）

①寿命在300～400的频数是90;

②寿命在400～500的矩形的面积是0。2；

③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为

150×0.1＋250×0。15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15； （全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第3讲 统计与统计案例学案 理

5 ④寿命超过400 h的频率为0。3。

A．① B．② C．③ D．④

答案 B

解析 若①正确,则300～400对应的频率为0.45,

则400~500对应的频率为0.15，明显与图不一致，

故①不符合原数据；

若②正确，则300～400对应的频率为0。4,频数为80，

则①错误；

电子元件的平均寿命为

150×0.1＋250×0.15＋350×0.4＋450×0。2＋550×0。15，

则③错误；

寿命超过400 h的频率为0。2＋0.15＝0。35，

则④错误，故符合题意．

由［400,500）对应的频率明显大于0。15知③，④不符合原数据． （全国通用版）2019高考数学二轮复习 专题三 概率与统计 第3讲 统计与统计案例学案 理

6 热点三 统计案例

1．线性回归方程

方程错误!＝错误!x＋错误!称为线性回归方程，其中错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!，（错误!,错误!)称为样本点的中心．

2．随机变量

K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d.

例3 (2018·广东省省际名校联考）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学,他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：

数学成绩x 145 130 120 105 100

物理成绩y 110 90 102 78 70

数据表明y与x之间有较强的线性关系．

(1）求y关于x的线性回归方程;

(2）该班一名同学的数学成绩为110分,利用（1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩;

（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀,物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误的概率不超过0。01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?

参考数据:回归直线的系数错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!。

K2＝错误!，

P错误!＝0。01，P错误!＝0。001.

解 （1）由题意可知错误!＝120，错误!＝90,

错误!(xi－错误!)（yi－错误!)＝（145－120）（110－90)＋(130－120）×(90－90)＋(120－120)（102－90）＋(105－120)（78－90)＋（100－120)(70－90）

＝500＋0＋0＋180＋400＝1 080，

错误!(xi－错误!）2＝（145－120)2＋(130－120）2＋（120－120）2＋（105－120)2＋（100－120）2

＝625＋100＋0＋225＋400＝1 350，

故错误!＝错误!＝错误!＝0。8。

错误!＝90－120×0。8＝－6，