构造等差数列或等比数列(公开课)

高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题02构造等差或者等比数列求解数列的通项公式【典例1】数列{}n a 中，112a =，112(()2n n n a a n N *+=-∈,数列{}n b 满足*2n n n b a n =⋅∈N ．（I ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设2log n n nc a =，求数列22n n c c +⎛⎫ ⎪⎝⎭的前n 项n T ．【思路点拨】（I ）将1122nn n a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭配凑成11221n n n n a a ++=-.由此证得数列{}n b 是等差数列.求得n b 的表达式，进而求得数列{}n a 的通项公式.（II ）先求得n c 的表达式，然后利用裂项求和法求得n T .【典例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可【典例3】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．【典例4】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.【典例5】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【典例6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .1.已知数列{}n a 满足112a =-，()1212n n a a n -=-≥．（1）求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n a b +是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．2.已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .3.已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.5.已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.7.已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．8.已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.参考答案【典例1】解：（I ）由1122nn n a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a ++=-．而2nn n b a =，∴11n n b b +=-，即11n n b b +-=．又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列．于是1(1)1=2nn n b n n a =+-⨯=，∴2n n n a =．（II ）∵22log log 2n n n n c n a ===，∴22211(2)2n n c c n n n n +==-++．∴1111111111111132435112212n T n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭311212n n =--++．【典例2】【2020届湖南省长沙市第一中学高三月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈N.(1)设3n n b a =+，证明数列{}n b 为等比数列，并求出通项公式n a ；(2)求2462n a a a a ++++L .【思路点拨】（1）由题可得()11231n n S a n ++=-+,与条件作差可得123n n a a +=+,则()1323n n a a ++=+,即可证明数列{}n b 为等比数列,利用等比数列的通项公式求得数列{}n b 的通项公式,进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得22323nn a =⋅-,进而利用等比数列的前n 项和公式求解即可解：(1)由23n n S a n =-,得()11231n n S a n ++=-+,两式相减,得123n n a a +=+,所以()1323n n a a ++=+,即()12n n b b n *+=∈N,当1n =时,11123a S a ==-,所以13a =,则1136b a =+=,所以数列{}n b 是以6为首项,2为公比的等比数列,所以162n n b -=⋅,所以()13623321n n n n a b -=-=⋅-=-(2)由(1)知22323nn a =⋅-,则24224623232323nn a a a a n++++=⋅+⋅++⋅-L L ()14143343414n n n n +-=⋅-=---【典例3】【2020届山东省青岛市高三上学期期末数学试题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N .(1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式;(2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.【思路点拨】(1)根据等比数列的定义即可证明{}1n S +为等比数列，再根据n S 和n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出{}n a 的通项公式；(2)根据12n n n n nb a -==，可采取错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T ，然后代入1250n n T n -⋅=+得，2260n n --=，构造函数()226x f x x =--(1x ≥)，利用其单调性和零点存在性定理即可判断是否存在．解：(1)∵121n n S S +-=∴()1121n n S S ++=+，*n N ∈因为111a S ==，所以可推出10n S +>．故1121n n S S ++=+，即{}1n S +为等比数列．∵112S +=，公比为2∴12n n S +=，即21nn S =-，∵1121n n S --=-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；(2)因为12n n n n n b a -==，01112222n n n T -=++⋅⋅⋅+∴121122222n n n T =++⋅⋅⋅+，两式相减得:011111122222222n n n n n n T -+=++⋅⋅⋅+-=-即1242n n n T -+=-，代入1250n n T n -⋅=+，得2260n n --=．令()226x f x x =--(1x ≥)，()2ln 210xf x '=->在[)1,x ∈+∞成立，∴()226xf x x =--，()1,x ∈+∞为增函数，而()()540f f ⋅<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立．【典例4】【广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)】已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和.【思路点拨】（1）根据已知条件求出2a ，3a 即可求出等比数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得11221n n n n b b ++=+，即数列{}2n n b 是公差为1的等差数列，求出n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n 项和.解：（1）由1121nn n n a b b ++=+，取1n =，得22121a b b =+，解得24a =.取2n =，得33241a b b =+，解得38a =.∵{}n a 是等比数列，则322a q a ==，212aa q==.∴{}n a 的通项公式为112n n n a a q -==.（2）∵11221n n n n b b ++=+，∴数列{}2n n b 是公差为1的等差数列.()12211n n b b n n =+-⨯=，则2n nnb =.设{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n n n S =+++⋅⋅⋅+，234112322222n n S n+=++++ .则2311111222222n n n S n +=+++⋅⋅⋅+-11111222112212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-=--.∴222n n n S +=-.【典例5】【2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题】已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N .（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .【思路点拨】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.解：（1）221142n n n n a a a a +++=- ，()()2211112422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++∴+=-=+-.0n a > ，120n n a a +∴+>，121n n a a +∴-=，即121n n a a +=+，则有1122211n n n n a a a a +++==++且112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得12nn a +=，即21nn a =-，得()22111112212232n n n n n n a --=≤=⋅≥--，2123411111111111121232111322232312n n n n a a a a -+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++++≤++++==-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- .【典例6】【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1111n n n n b a a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【思路点拨】(1)由2n n S a n =-，可得()1121n n S a n ++=-+，两式相减，可化为()1121n n a a ++=+,结合等比数列的定义,即可得到结论；（2）由⑴1111111112121n n n n n n n n n a b a a a a a +++++=+==---，利用“裂项法”，即可求得数列{}n b 的前n 项和n T .解：（1）令1n =，得1121a a =-，由此得11a =,由于2n n S a n =-，则()1121n n S a n ++=-+，两式相减得()11212n n n n S S a n a n ++-=-+-+，即121n n a a +=+，所以()1121121n n n a a a ++=++=+，即1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是等比数列，其首项为112a +=，11222n nn a -+=⋅=，故数列{}n a 的通项公式是21nn a =-.（2）1111n n n n b a a a ++=+11n n n a a a ++=()()122121nn n +=--()()()()1121212121n n nn ++---=--，1112121n n +=---，12n nT b b b =+++12231111111212121212121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12231111111212121212121n n +=-+-++-------11121n +=--.1.【思路点拨】（1）由已知构造等比数列，可得111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，化简即为{}n a 的通项.（2）由已知得32n n a b n +=-，代入112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得()1=312nn b n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以数列{}n b 的前n 项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.解：（1）由()1212n n a a n -=-≥，得()1211n n a a -+=+，即()11112n n a a -+=+，又11102a +=≠，∴{}1n a +是以1112a +=为首项，公比为12的等比数列．∴111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由已知得()11332n n a b n n +=+-⨯=-，∵112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()()()11323213122n nn n b n a n n ⎛⎫⎛⎫=--=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以数列{}n b 的前n 项和为：()2121112531222nn b b b n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-- ⎪⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L L ()21112531222nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++--+++⎡⎤⎢⎥⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L()211122231311122212nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+-⎡⎤⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=-+ ⎪⎝⎭-．2.【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .【思路点拨】（1）根据所给通项公式及12a =,24a =,310a =,可求得123,,b b b ,即可利用等比中项定义判断{}n b 是否为等比数列.（2）根据{2}n b +为等比数列,即可由（1）中所得首项与公比求得n b .根据1,n n n a a b +-=结合递推公式与累加法,即可求得n a .解：（1）数列{}n b 不是等比数列.理由如下：由1n n n a a b +-=,且1232,4,10a a a ===得：所以1212b a a =-=,2326b a a =-=,又因为数列{2}n b +为等比数列,所以可知其首项为4,公比为2.所以2324216b +=⨯=,314b =∴,显然22133628b b b =≠=故数列{}n b 不是等比数列.（2）结合（1）知,等比数列{2}n b +的首项为4,公比为2,故112422n n n b -++=⋅=,所以122n n b +=-,因为1n n n a a b +-=,122(2)nn n a a n --=-≥∴令2,,(1)n n =- 累加得()2322222(1)nn a n -=+++-- ,()23222222nn a n ∴=++++-+ ()1221222221n n n n +-=-+=--,又12a =满足上式,+122n n a n=-∴3.【2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月)月考】已知数列{}n b ，满足14b =且12(2)1n n b b n n n --=≥-.(1)求证{}n b 是单增数列；(2)求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【思路点拨】（1）先求出数列{}nb n的通项公式，再得n b ,直接作差可得单调性；（2）用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和．解：（1）∵12(2)1n n b b n n n --=≥-，∴数列{}n b n 是等差数列，公差为2，又141b =，∴42(1)22nb n n n=+-=+，∴2(1)n b n n =+．2n ≥时，12(1)2(1)40n n b b n n n n n --=+--⋅=>，所以1n n b b ->，所以数列{}n b 是递增数列．（2）11111(2(1)21n b n n n n ==-++，∴111111[(1()()]222312(1)n n S n n n =-+-++-=++ ．4.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+.（1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b a =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值.【思路点拨】(1)利用1nn n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥,故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-,所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122nn n b a n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭,所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥.故t 的最小值为14.5.【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a n ++=，*n N ∈.（1）求证：数列12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设212n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路点拨】（1）12n n c a n =-+，则12n n a c n =+-代入已知式可证得结论；（2）由（1）求得n a ，从而得n b ，用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）设12n n c a n =-+，由题111(1)22n n a n a n +⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭，即1n n c c +=-，又11111022c a =-+=≠，∴{}n c 为等比数列，即12n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）知11(1)2n n c -=⋅-，即111(1)22n n a n -=⋅-+-，2121n a n -∴=-，212n n n b -∴=，231135232122222n n n n n S ---=+++⋅⋅⋅++，234+111352*********n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，两式相减得23111111121323222222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎭，2332n nn S +∴=-.6.【2020届陕西省咸阳市高三上学期期末考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()221,n n S a n n N +=--∈.（Ⅰ）求证：数列{}2n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列(){}2n n a ⋅+的前n 项和.【思路点拨】（I ）令1n =，利用11a S =可求得13a =；当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-整理可得()1222n n a a -+=+，从而证得结论；（II ）由（I ）可得{}2n a +的通项公式，从而求得()1252n n n a n -+=⋅，利用错位相减法求得结果.解：（I ）令1n =，11123a S a ==-，解得：13a =当2n ≥且n *∈N 时，221n n S a n =--，11221n n S a n --=-+11222n n n n n a S S a a --∴=-=--，即122n n a a -=+()1222n n a a -∴+=+{}2n a ∴+是以125a +=为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）知：1252n n a -+=⋅()1252n n n a n -∴+=⋅设数列(){}2n n a +的前n 项和为nT 则()012215210215251252n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅()123125210215251252n nn T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式作差得：()()11212125525222552512n n n n n T n n ----=-⋅+⨯++⋅⋅⋅+=-⋅+⨯-()55252105525n n n n n =-⋅+⋅-=-⋅-()5525n n T n ∴=-⋅+7.【2020届四川省达州市普通高中高三第一次诊断性测】已知数列{}n a 满足113a =，且*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列．（1）求证：数列2{}3n a +为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【思路点拨】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列2{}3n a +为等比数列；（2）先根据（1）的结论得出数列{}n a 的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前n 项和n S ．解：（1）证明：由题意，当*n N ∈时，1n a +，n a ，23-成等差数列，则1223n n a a +-=，即1223n n a a +=+，1222222()3333n n n a a a +∴+=++=+，又12121333a +=+= ，∴数列2{}3n a +是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）解：由（1），知1223n n a -+=，即1223n n a -=-，*n N ∈．12n nS a a a ∴=++⋯+1212222(1(2(2)(2)3333n -=-+-+-+⋯+-1212(1222)3n n-=+++⋯+-122123n n -=--2213n n =--．8.【2020届山西省太原市第五中学高三11月阶段性考试】已知数列{}n a 满足11232,2n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.（1）求证：数列{}2nn a -是等比数列.（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，记n T 为数列1{}n na S +的前n 项和，若*,n n N T m ∀∈<，*m N ∈，求m 的最小值.【思路点拨】（1）首先令2n =，解得13a =，将11232n n n a a ---=⋅化简为112122n n n n a a ---=-，得到数列{}2nna -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）可知1122n n n a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，利用分组求和可算出1112()2n n n S +-=-，从而得到11132nn n a S ⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，再计算n T 即可找到m 的最小值.解：（1）当2n =时，2126a a -=，因为1232a a =，所以13a =.由11232,2n n n a a n ---=⋅≥，得()11222nn n n a a---=-，所以112122n n n n a a ---=-，则数列{}2nn a -是以1为首项，12为公比的等比数列.（2）由（1）知1122n nn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-，1122n nn a -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=.111(1)2(12)122()112212nn n n n S +---=+=---.所以111111111132322()2()22nn n n n n n n a S -+-⎛⎫===⋅ ⎪+⎝⎭++- ，11(1)11162(1)132312n n n T -==-<-所以m 的最小值为1.9.在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和.试题分析：（1）题中条件12nn n a b -=，而要证明的是数列是等差数列，因此需将条件中所给的的递推公式122nn n a a +=+转化为的递推公式：11122n n n n a a +-=+，从而11n n b b +=+，，进而得证；（2）由（1）可得，12n n a n -=，因此数列的通项公式可以看成一个等差数列与等比数列的乘积，故可考虑采用错位相减法求其前项和，即有：①，①得：②，②-①得.解：（1）∵122nn n a a +=+，11122n n n n a a +-=+，又∵12nn n a b -=，∴11n n b b +=+，，∴则{}n b 是为首项为公差的等差数列；由（1）得1(1)1n b n n =+-⋅=，∴12n n a n -=，∴①，①得：②，②-①得.。

课题：《数列》章末复习教学目的：1．系统掌握数列的有关概念和公式2．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用3．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧重点：等差等比数列的相关概念性质通项和求和公式及应用难点：灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题一、知识回顾等 差 数 列与等 比 数 列定义,通项,中项,性质及求和公式二、知识应用Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为 或者 ，根据具体问题的不同特点而选择不同设法.2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为 例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.例1(2)：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.Ⅱ、运用等差、等比数列的性质例2（1）已知等差数列{}n a 满足121010a a a ++⋅⋅⋅+=，则 ( )A. 11010a a +>B.21000a a +<C.3990a a +=D. 5151a =（2）已知在等差数列{an}的前n 项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项之和为286，试求数列的项数n.Ⅲ、等差数列的最值问题(一题多解)例3.等差数列｛an ｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?思路1：寻求通项思路2：从函数的角度来分析数列问题思路3：函数图像、数形结合Ⅴ、数列求和的方法：(1)公式法(2)错位相减法(3)分组求和法(4)倒序相加法(5)裂项法(6)并项法Ⅳ、数列求通项方法：(1)观察法(2)公式法：运用等差等比数列公式(3) {}n a 与n S 关系(4)利用递推关系：①累加法;②累乘法;③待定系数法;④构造法等;,,2; ,,a a d a d a d a a d ++-+,,2x y x y +,,a a aq q 2,,.a aq aq 8-Ⅵ、等差、等比数列的综合应用例4 已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，又111a b == ，222a b =,3374a b =．(1) 求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式； (2) 设n n n c a b =求数列{}n c 的前项n 和n S三、基础练习 1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（ ）,38的特点,在括号内适当的一个数是______ 2.在等比数列中,463a a +=,则5357(2)a a a a ++=_____ 3. 在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则 10122a a-的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.284.已知数列{}n a 中, 11a =,并且1331n n a a +-=,则301a =（ ）A.100B.101C.102D.1035.若{}n a 是等比数列，且0n a >,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +的值等于 （ ）A.5B.1C.15D.10 6.等差数列{}n a 中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 17181920a a a a +++的值等于 ( )A.7B.8C.9D.10四、课堂总结Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用Ⅱ、运用等差、等比数列的性质Ⅲ、等差数列的最值问题(一题多解)、Ⅳ数列求和的方法Ⅴ、数列求通项方法Ⅵ、等差、等比数列的综合应用五、课后作业1.首项为24-的等差数列从第10项开始为正数,求公差为d 的取值范围2.在数列{}n a 中, 13a =,13(1)n n a a n n +=+≥求此数列的通项公式3.数列{}nb中, 123218b b b++=,12318b b b=,若{}na是等差数列,且12nanb⎛⎫= ⎪⎝⎭,求{}na的通项公式。

2022高考数学满分讲义：第三章 数列第1讲 等差数列与等比数列[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ； (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；(4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.例1 (1)《周髀算经》中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为( ) A ．15.5尺 B ．12.5尺 C ．10.5尺 D ．9.5尺 答案 A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为a 1，a 2，a 3，…，a 12，由题意，有a 1＋a 4＋a 7＝37.5，根据等差数列的性质，得a 4＝12.5，而a 12＝4.5，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝12.5，a 1＋11d ＝4.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15.5，d ＝－1，所以冬至的日影长为15.5尺．(2)已知点(n ，a n )在函数f (x )＝2x－1的图象上(n ∈N *)．数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝2164n s +，数列{b n }的前n 项和为T n .则T n 的最小值为________． 答案 －30解析 ∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －1的图象上，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，∴{a n }是首项为a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1，则b n ＝264n＝2n －12(n ∈N *)， ∴{b n }是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴T n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝⎛⎭⎫n －1122－1214. 又n ∈N *，∴T n 的最小值为T 5＝T 6＝⎝⎛⎭⎫122－1214＝－30. 规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 ∵a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(多选)(2020·威海模拟)等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则( ) A ．d <0 B ．a 16<0 C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0 答案 ABC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10＝S 20，得10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，化简得a 1＝－292d .因为a 1>0，所以d <0，故A 正确；因为a 16＝a 1＋15d ＝－292d ＋15d ＝12d ，又d <0，所以a 16<0，故B 正确；因为a 15＝a 1＋14d ＝－292d ＋14d ＝－12d >0，a 16<0，所以S 15最大，即S n ≤S 15，故C 正确；S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －30)2d ，若S n <0，又d <0，则n >30，故当且仅当n ≥31时，S n <0，故D 错误．考点二 等差数列、等比数列的性质 核心提炼1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S 2n －1＝(2n －1)a n .例2 (1)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20 D ．22 答案 D解析 结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26， 又该数列为正项数列，可得a 6＝2， 所以由S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， 可得S 11＝S 2×5＋1＝11a 6＝22.(2)已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2 020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于( )A ．2 020B ．1 010C ．2 D.12答案 A解析 ∵a 1a 2 020＝1， ∴f (a 1)＋f (a 2 020)＝21＋a 21＋21＋a 22 020＝21＋a 21＋21＋1a 21＝21＋a 21＋2a 211＋a 21＝2， ∵{a n }为等比数列，则a 1a 2 020＝a 2a 2 019＝…＝a 1 010a 1 011＝1， ∴f (a 2)＋f (a 2 019)＝2，…，f (a 1 010)＋f (a 1 011)＝2， 即f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)＝2×1 010＝2 020. 规律方法 等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8等于( )A ．12B ．24C ．30D ．32 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝21＝2，所以a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 5＝1×25＝32.(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 30＝130，则S 40等于( ) A ．－510 B ．400 C ．400或－510 D ．30或40答案 B解析 ∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等比数列， ∴10×(130－S 20)＝(S 20－10)2， 解得S 20＝40或S 20＝－30(舍)， 故S 40－S 30＝270，∴S 40＝400.考点三 等差数列、等比数列的探索与证明 核心提炼等差数列 等比数列 定义法 a n ＋1－a n ＝d a n ＋1a n＝q (q ≠0) 通项法 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1·q n －1 中项法2a n ＝a n －1＋a n ＋1a 2n ＝a n －1a n ＋1证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3 (2019·全国Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．(1)证明 由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12(n ∈N *)，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12(n ∈N *)．易错提醒 a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)是{a n }为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.跟踪演练3 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1(n ∈N *)．专题强化练一、单项选择题1．在等比数列{a n }中，若a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．5 答案 A解析 ∵数列{a n }为等比数列，且a 3＝2，a 7＝8， ∴a 25＝a 3·a 7＝2×8＝16，则a 5＝±4， ∵等比数列奇数项的符号相同，∴a 5＝4.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n 等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2.由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12， ①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11.那么一定有( ) A ．a 6≤b 6 B ．a 6≥b 6 C ．a 12≤b 12 D ．a 12≥b 12 答案 B解析 因为等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，所以a 1＋a 11＝b 1＋b 11＝2a 6，所以a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112≥b 1b 11＝b 6.当且仅当b 1＝b 11时，取等号，此时数列{b n }的公比为1. 4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C ．2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n答案 C解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，n －1(n ≥2)取代， 累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1，即a nn ＝2＋ln n ，即a n ＝2n ＋n ln n (n ≥2)，又a 1＝2符合上式，故a n ＝2n ＋n ln n .5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝19C ．S 9＝81D ．S 10＝91 答案 D解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n >1，n ∈N *时是等差数列，公差为2， 又a 1＝1，a 2＝2，a n ＝2＋(n －2)×2＝2n －2(n >1，n ∈N *)，∴a 9＝2×9－2＝16，a 10＝2×10－2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选D.6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m ，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为S n ，则( )A ．S n 无限大B ．S n <3(3＋5)mC ．S n ＝3(3＋5)mD ．S n 可以取100m答案 B解析 由题意可得，外围第2个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13m 2＋⎝⎛⎭⎫23m 2＝53m ； 外围第3个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫13×53m 2＋⎝⎛⎭⎫23×53m 2＝59m ； ……外围第n 个正方形的边长为⎝⎛⎭⎫53n －1m .所以蜘蛛网的长度 S n ＝4m ⎣⎡⎦⎤1＋53＋59＋…＋⎝⎛⎭⎫53n －1 ＝4m ×1－⎝⎛⎭⎫53n1－53<4m ×11－53＝3(3＋5)m .故选B. 二、多项选择题7．(2020·厦门模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( ) A ．a 4＝0 B ．S n 的最大值为S 3 C ．S 1＝S 6 D ．|a 3|<|a 5|答案 AC解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的取值情况不清楚，故S 3可能为最大值也可能为最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．8．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项中正确的是( )A ．0<q <1B ．a 6>1C ．T 12>1D ．T 13>1答案 ABC解析 由于等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，且a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，所以(a 6－1)(a 7－1)<0，由题意得a 6>1，a 7<1，所以0<q <1，A ，B 正确；因为a 6a 7＋1>2，所以a 6a 7>1，T 12＝a 1·a 2·…·a 11·a 12＝(a 6a 7)6>1，T 13＝a 137<1，所以满足T n >1的最大正整数n 的值为12，C 正确，D 错误． 三、填空题9．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________． 答案 4解析 由题意知q ≠1，所以S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝na 1＋n (n －1)2d ＋b 1(1－q n )1－q＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋b 11－q －b 1q n1－q ＝n 2－n ＋2n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧d2＝1，a 1－d 2＝－1，b11－q ＝－1，－b11－q q n＝2n，解得d ＝2，q ＝2，所以d ＋q ＝4.10．(2020·北京市顺义区质检)设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝________，S 4S 2＝________.答案 3 10解析 设等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1，又因为3a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以2×2a 2＝3a 1＋a 3，即4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，解得q ＝3或q ＝1(舍)，S 4S 2＝a 1(1－34)1－3a 1(1－32)1－3＝1－341－32＝10.11．(2020·潍坊模拟)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．在某种玩法中，用a n表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需移动的最少次数，{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1(n 为偶数)，2a n －1＋2(n 为奇数)，则解下5个圆环需最少移动________次． 答案 16解析 因为a 5＝2a 4＋2＝2(2a 3－1)＋2＝4a 3，所以a 5＝4a 3＝4(2a 2＋2)＝8a 2＋8＝8(2a 1－1)＋8＝16a 1＝16， 所以解下5个圆环需最少移动的次数为16.12．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤2S n－1S n ≤B 恒成立，则B －A 的最小值为________． 答案136解析 ∵等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， 令t ＝⎝⎛⎭⎫－12n ，则－12≤t ≤14，S n ＝1－t ， ∴34≤S n ≤32， ∴2S n －1S n 的最小值为16，最大值为73，又A ≤2S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，∴B －A 的最小值为73－16＝136.四、解答题13．(2020·聊城模拟)在①a 5＝b 3＋b 5，②S 3＝87，③a 9－a 10＝b 1＋b 2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，________，a 1＝b 6，若对于任意n ∈N *都有T n ＝2b n －1，且S n ≤S k (k 为常数)，求正整数k 的值． 解 由T n ＝2b n －1，n ∈N *得， 当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1＝2b n －1－1， 从而b n ＝2b n －2b n －1，即b n ＝2b n －1，由此可知，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，故b n ＝2n －1.①当a 5＝b 3＋b 5时，a 1＝32，a 5＝20，设数列{a n }的公差为d ，则a 5＝a 1＋4d ，即20＝32＋4d ，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值．因此，正整数k 的值为11.②当S 3＝87时，a 1＝32,3a 2＝87，设数列{a n }的公差为d ，则3(32＋d )＝87，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.③当a 9－a 10＝b 1＋b 2时，a 1＝32，a 9－a 10＝3，设数列{a n }的公差为d ，则－d ＝3，解得d ＝－3，所以a n ＝32－3(n －1)＝35－3n ，因为当n ≤11时，a n >0，当n >11时，a n <0，所以当n ＝11时，S n 取得最大值，因此，正整数k 的值为11.14．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)， 当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列， 所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。