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全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》

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《数学归纳法》ppt课件

《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立

数学归纳法 公开课一等奖课件

数学归纳法 公开课一等奖课件



根据1和2,数列 , , , , , , 3n 23n 1 1 4 4 7 7 10 计算S1, S 2 , S3 , S 4 , 根据计算结果 , 猜出Sn的表达式, 并用 数学归纳法进行证明 . 1 1 1 1 2 解 S1 ; S2 ; 1 4 4 4 47 7 2 1 3 3 1 4 S3 ; S4 . 7 7 10 10 10 10 13 13
2.3
数学归纳法
学习归纳法是一种特殊 的证明方法, 主要用于研究 an ,已知 与正整数有关的数学问 题.例如, 对于数列 an n 1,2, , 通过对n 1,2,3,4前4 a1 1, an1 1 an 1 项的归纳 , 我们已经猜想出其通项 公式为an .但 n 是, 我们只能肯定这个猜想 对前4项成立,而不敢肯 定对后续的项也成立 .这个猜想需要证明 . 自然地, 我们会想到从n 5开始一个个往下验证 . 一般来说,与正整数n有关的命题,当n比较小时可 以逐个验证, 但当n较大时, 验证起来会很麻烦 .特 别是证明n 取所有正整数都成立的 命题时, 逐一
1 思考 你认为证明数列的通项 公式是an 这个 n 猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗? 你能类 比多米诺骨牌游戏解决 这个问题吗?
由条件, 容易知道 n 1时猜想成立 . 这就相当于游戏 的条件 1.类比条件 2,可以考虑证明一个递推 关系 : 1 如果 n k时猜想成立 , 即ak ,那么当 n k 1时 k 1 猜想也成立 ,即ak 1 . k 1 1 1 ak 1 k 事实上,如果 ak ,那么 ak 1 , k 1 ak 1 1 k 1 k
即n k 1时猜想也成立 .

《数学归纳法》课件PPT

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探究？
归纳奠基必不可少
1. 判断下列证明方法对不对？
假设n=k时，等式2+4+6+…+2n = n2+n+1成立，
就是 2+4+6+…+2k = k2+k+1. 那么n=k+1时，
2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)
等式也成立.
=(k+1)2+(k+1)+1
故，等式 2+4+6+…+2n=n2+n+1对任意的 n N * 都成立.
(1)在第一步中的初始值n0不一定从1取起，证明时应 根据具体情况而定.
(2)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设. 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时命题形式的差别, 弄清左端应增加的项.
(3)两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立.
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
12 23
k(k 1) k 1
则n k 1时，
111 1
1
12 23 34
k(k 1) (k 1)(k 2)
k
1
k 1 (k 1)(k 2)
k 1 k 1 k 2 (k 1) 1
即n)知，对一切正整数 n, 等式均成立.
练习： 1.用数学归纳法证明
数学归纳法
第一步 第n0块骨牌倒下 证明n=n0时命题成立
第二步
第k块倒下时， 第K+1块也会倒下
假设n=k(k≥n0)时命题 成立，证明n=k+1时 命题也成立

完整版《数学归纳法》课件

完整版《数学归纳法》课件

完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。

2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。

三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。

教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。

2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。

b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。

c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。

3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。

4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。

六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。

c. 应用数学归纳法解决实际问题。

2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。

2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。

b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。

c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。

重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。

b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。

数学归纳法【公开课教学PPT课件】

数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1

全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》(推荐)

全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》(推荐)
其中n N*.
知识应用 巩固深;22+23+…+2n—１ = 2n－1(n∈ N*).
回顾总结 反思提高
勇攀高峰
数学思想：递推思想、 类比思想、归纳思想
数学方法：数学归纳法—— 证明与正整数有关的命题
数学知识：数学归纳法 要点：两个步骤一结论
布置作业
课本： 第95页练习 1、2 第96页习题2.3A组 1
1 2 3 4 …… k K+1 ……
…… n=1时 a1 1
猜想成立
如果n=k时猜想成立即ak
2 k 1
那么当n=k+1时猜想也成立，即
ak 1
(k
2 1)
1
第一项 成立
第k项成立， 第k+1项成立．
演示
证明一个与正整数有关的命题步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值n = n0 n0 N* 时命题成立
谢谢合作 再 见！
1.知道空气的质量相对很轻，并且空 气的质 量是可 以测量 的。掌 握测量 空气质 量的实 验方法 。 2.经历测量一袋空气的实验，培养细 致、认 真观察 记录的 能力， 学会运 用思辨 的方法 获得科 学概念 。 3.经历实验探究，体会科学实验的趣 味性与 严谨性. 4.认 识 地 球 是 不透 明、不 发光的 球体， 在阳光 照射下 会产生 昼夜交 替现象 。 5.知 道 昼 夜 交 替现 象有多 种可能 的解释 。 6.初 步 理 解 昼 夜交 替现象 与地球 和太阳 的相对 圆周运 动有关 。 7.认 识 到 积 极 参与 讨论， 并发表 有根据 的解释 是重要 的。 8.认 识 到 同 一 现象 ，可能 有多种 不同的 解释， 需要用 更多的 证据来 加以判 断。
递推奠 基

《数学归纳法》PPT课件

《数学归纳法》PPT课件

2021/6/20
11
用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2，
当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原命题都成立。
请问： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
2（ 02k1/+6/120)[1+(2k+1)]
=
2
= (k+1)2
为什么？ 12
用数学归纳证明：如果数列{an}是以d为公差 的等差数列，那么
质数，但这一结论是错误的。因为数学家欧拉
发现，n=5时，22n 1 是一个合数 ：
22n1429496 67 42 6 19 77 00417
2021/6/20
5
• 归纳法是一种发现规律的推理方法， 但得出的结论不一定正确，须进行 证明。
• 对于由归纳法得出的某些与自然数有关 的命题能否通过一一验证的方法加以证 明呢？
2021/6/20
15
例 3、 1357 (1)n1(2n1) (1)n1n

《数学归纳法》示范公开课教学课件

《数学归纳法》示范公开课教学课件

典例分析
例3 求证：当n是大于或等于5的正整数时，2n＞n2．
证明：（i）当n＝5时，25＝32，52＝25，显然25＞52，所以此时命题成立． （ii）假设n＝k（其中k≥5）时命题成立，即2k＞k2． 因为k≥5，所以k2≥5k＞2k＋1， 因此2k＋1＝2×2k＞2×k2≥k2＋5k＞k2＋2k＋1＝（k＋1）2． 可知不等式当n＝k＋1时也成立． 综上可知，不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立．
完成这两个步骤后，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数n都成立． 上述这种证明方法叫做数学归纳法． 数学归纳法是完全归纳法的一种．
典例分析
例1 用数学归纳法证明，对任意的正整数n，都有12 22 32 n2 ＝ nn 12n 1 ．
6
分析：按照数学归纳法证明命题的一般步骤，先验证n＝1时等式是否成立，再进行后续
假设和论证．
证明：（ⅰ）当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝ 1 (1 1)(2 1 1) ＝1 ，所以此时等式成立． 6
（ⅱ）假设n＝k（k≥1）时，等式成立，即 12 22 32 n2 ＝ nn 12n 1 ，
6
则 12 22 32 k 2 (k 1)2 ＝ k k 12k 1 (k 1)2 ＝ (k 1)(k 2)(2k 3)
典例分析
提升演练：已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足： f（a ·b）＝af（b）＋bf（a）
（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（2）＝2，un＝
f
(2n n
)（n∈N＋），求数列｛un｝的前n项的和Sn．
解答：（Ⅱ）f（x）是奇函数．
典例分析

数学归纳法说课课件PPT

数学归纳法说课课件PPT
数学归纳法说课课件
目录
• 引言 • 数学归纳法基本概念 • 数学归纳法证明方法 • 数学归纳法解题技巧与实例分析 • 数学归纳法在数学竞赛中应用与拓展 • 数学归纳法教学设计与实施建议
01
引言
说课背景与目的
背景
介绍数学归纳法的起源、发展以 及在数学领域中的重要地位。
目的
阐述本次说课的目标，包括知识 传授、方法指导和能力培养等方 面。
当n=1时，左边=1，右边 =1(1+1)/2=1，命题成立。
数学归纳法应用举例
01
02
例2
基础步骤
证明n^3-n能被6整除，对于一切自 然数n都成立。
当n=1时，左边=1^3-1=0，能被6 整除，命题成立。
03
归纳步骤
假设当n=k时命题成立，即k^3-k能 被6整除，则当n=k+1时，左边 =(k+1)^3(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k1=k^3-k+3k(k+1)，由于k^3-k能被 6整除，且3k(k+1)能被6整除（因为k 和k+1中至少有一个是偶数），因此 当n=k+1时命题也成立。
思维能力和数学素养。
重点
数学归纳法的基本思想和步骤，如 何运用数学归纳法证明数学命题。
难点
归纳假设的提出和运用，如何从归 纳假设推导出结论。
教学方法选择和手段运用
教学方法
采用启发式教学法、讨论式教学法和案例式教学法相结合，引导学生主动思考、 积极参与。
教学手段
运用多媒体教学课件、黑板演示和实物展示等手段，帮助学生理解和掌握数学归 纳法的知识要点。
说课内容与结构
内容
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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数学知识：数学归纳法 要点：两个步骤一结论
布置作业
课本： 第95页练习 1、2 第96页习题2.3A组 1
谢谢合作 再 见！
巢湖市第四中学 胡善俊
创设问题情境
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，
他曾认为，当n∈N时，22n 一1 定都是质数，这 是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，
提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的瑞
士科学家欧拉（Euler）发现
＝4 2292549167
297＝6700417×641，从而否定了费马的推
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
师生互动，探求新知
引例
在数列{
an}中, a1＝1,
an1

2an 2 an
(n∈ N )*,
（1）求a2，a3，a4 的值；
（2）试猜想该数列的通项公式．
a2

2, 3
a3
1 2
, a4

2 5
an

2 n 1
你能证明这个猜想是正确的吗？
第一块 骨牌倒下
例1 用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
其中n N*.
知识应用 巩固深化
用数学归纳法证明:
1+2+22+23+…+2n—１ = 2n－1(n∈ N*).
回顾总结 反思提高
勇攀高峰
数学思想：递推思想、 类比思想、归纳思想
数学方法：数学归纳法—— 证明与正整数有关的命题
任意相邻的两块牌， 前一块倒下一定导 致后一块牌倒下．
1 2 3 4 …… k K+1 ……
…… n=1时 a1 1
猜想成立
如果n=k时猜想成立即ak

2 k 1
那么当n=k+1时猜想也成立，即
ak 1

(k
2 1)
1
第一项 成立
Hale Waihona Puke 第k项成立， 第k+1项成立．
演示
证明一个与正整数有关的命题步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值n = n0 n0 N* 时命题成立
递推奠 基
(2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时命题成立, 证明
当n＝k＋1时命题也成立．
归纳递推
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数 n都正确．
————这种证明方法叫做数学归纳法．
知识应用 巩固深化