程序公理化证明

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形式化验证：从混成系统到CPS

卜　磊南京大学形式化验证：从混成系统到CPS关键词：形式化验证　混成系统　CPS混成系统是一种嵌入在物理环境下的实时系统，一般由离散组件和连续组件连接组成，组件之间的行为由计算模型控制。

经典混成系统一般分为离散层和连续层，其构成体现了计算机科学和控制理论的交叉。

在连续层，通过系统变量对时间的微分方程来描述系统的实际控制操作模型以及系统中参数的演变规律。

而在离散层，则通过状态机、佩特里网等高抽象层次模型来描述系统的逻辑控制转换过程。

在两层之间通过一定的接口和规则将连续层的信号与离散层的控制模式进行关联和转换。

大多数复杂实时控制系统，都包含连续变化的物理层与离散变化的决策控制层之间的交互过程，因此混成系统在工业控制和国防等领域大量存在，特别是安全系统，如交通运输、航空航天、医疗卫生、工业控制等。

随着在人们生活中的应用越来越广，重要性越来越高，人们对相应系统的质量特别是可信性的需求快速提升，系统失效所带来的灾难也越来越大。

在交通运输方面，车载导航系统的小小失误就可能造成交通事故，而飞机导航系统的失误则可能导致机毁人亡。

在国防领域，对软件系统的错误已经进入零容忍度阶段。

因此，如何对混成系统进行有效的可信性保障成为一个亟待解决的问题。

一般而言，测试、仿真[2,3]等技术是研究和保障软件质量的主要方法。

这些方法主要以运行系统为发现问题的主要手段。

由于人力无法穷尽地遍历系统所有可能的运行输入和场景，也就不足以保证检测的完备性，这可能会给系统后期运行留下安全隐患。

因此，在对系统错误零容忍的安全攸关的系统领域，采用可证明系统模型正确性的形式化验证理论和技术[4,5]来对系统模型进行安全性验证就显得极为重要，这也成为了相关领域近期的主要关注点。

混成系统形式化验证形式化方法形式化方法(formal method)混成系统实时嵌入式系统，特别是复杂的实时控制系统，广泛存在着这样一类子系统：它们行为中的离散化逻辑控制与连续性的时间行为相互依赖，相互影响，彼此互为依存，息息相关。

第5章程序正确性证明

试。
测试的原则
1. 应当 “尽早地和不断地进行软件测试” 。 2. 测试用例应由测试输入数据和对应的预期输出结果组成。
3. 程序员应避免检查自己的程序。 4. 在设计测试用例时，应当包括合理的输入条件和不合理的输入条件。
5. 充分注意测试中的群集现象。即测试后程序中残存的错误数目与该程序中已发现的错误数目成正比。
白盒测试
此方法把测试对象看做一个透明的盒子，它允许测试人员利用程序内部的逻辑结构及有关信息，设计或选择测试用例，对程序所有逻辑路径进行测试。
通过在不同点检查程序的状态，确定实际的状态是否与预期的状态一致。因此白盒测试又称为结构测试或逻辑驱动测试。
白盒测试…
软件人员使用白盒测试方法，主要想对程序模块进行如下的检查：
但这是不可能的。
假设一个程序P有输入量X和Y及输出量Z。在字长为32位的计算机上运行。若X、Y取整数，按黑盒方法进行穷举测试：
可能采用的测试数据组： 232×232＝264
如果测试一组数据需要1毫秒，一年工作365×24小时，完成所有测试需5亿年。
等价类划分边界值分析错误推测法因果图
…黑盒测试
9）输入三个数，其中含有0 10）输入三个数，其中含有负数 11）输入三个数，其中含有非整数值 12）输入三个均为0的数 13）输入三个均为非法字符
列出各种产生的情况来测试的方法显然是黑盒子方法。它不关心盒子内程序的具体逻辑，只是根据程序功能来设计测试用例
程序测试的黑盒子方法常凭经验进行，在设计测试用例时可以综合使用上述各种方法。在设计测试数据时，我们应该考虑认为最易出错和最易忽略的地方，进行重点测试。
包含的不同执行路径数达520条，对每一条路径进行测试需要1毫秒，假定一年工作365 × 24小时，要想把所有路径测试完，需3170年。

程序设计语言的形式语义

程序设计语言的形式语义形式语义是计算机科学中一个重要的概念，它用于描述程序设计语言中程序的含义和行为。

形式语义是一种精确的数学方法，通过定义语言的语法和语义规则，来确保程序的正确性和一致性。

在程序设计语言中，形式语义可以分为静态语义和动态语义两个方面。

静态语义主要关注程序的类型检查和变量的作用域规则，它通过一系列规则来判断程序是否满足语法要求和类型约束，从而确保程序的合法性。

动态语义则描述了程序在执行过程中的行为和结果，它通过一系列规则来定义程序的执行步骤和语义含义。

在形式语义中，常用的方法包括操作语义和公理语义。

操作语义通过定义一系列的转换规则来描述程序的执行过程，它使用状态转换和语义规则来说明程序的语义含义。

公理语义则通过一系列的公理和推理规则来描述程序的语义，它使用公理和推理规则来推导程序的含义和行为。

在操作语义中，常用的方法包括结构操作语义和语言操作语义。

结构操作语义是一种基于程序的结构和语句的执行顺序来描述程序的语义，它通过定义一系列的转换规则来说明程序的执行过程。

语言操作语义则是一种基于程序的语言特性和语句的语义含义来描述程序的语义，它通过定义一系列的语义规则和语义函数来说明程序的含义和行为。

在公理语义中，常用的方法包括公理化语义和推理规则。

公理化语义是一种基于逻辑公理和推理规则来描述程序的语义，它使用公理和推理规则来推导程序的含义和行为。

推理规则则是一种基于逻辑推理和证明方法来描述程序的语义，它使用推理规则和证明方法来推导程序的语义含义和行为。

除了操作语义和公理语义，形式语义还包括其他一些重要的方法，如轨迹语义和模型检测。

轨迹语义是一种基于程序的执行轨迹和状态变化来描述程序的语义，它使用轨迹和状态变化来说明程序的含义和行为。

模型检测则是一种基于模型和属性规约来描述程序的语义，它使用模型和属性规约来验证程序的正确性和一致性。

形式语义是程序设计语言中描述程序含义和行为的一种精确的数学方法。

几何学：第五公设——公理化方法

再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。
公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。 2．等量加等量，其和相等。 3．等量减等量，其差相等。 4．彼此能重合的物体（thing）是全等的。 5．整体大于部分。
公设：1．由任意一点到任意一点可作直线。 2．一条有限直线可以继续延长。 3．以任意点为心任意距离可以画圆。 4．凡直角都相等。 5．平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某侧的
十部著作：《原本》，《数据》，《二次曲线》，《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，《曲面轨迹》，《光学》，《镜面反射》，《现象》。
二．《原本》：（Elements ）
版本：888年希腊文抄本， 1294年拉丁文手抄本， 1350年阿拉伯文手抄本， 1480年最早拉丁文印刷本， 1570年英译本， 1607年、1857年、1990年中译本， 1655年Barrow拉丁文译本， 1925年T.LHeath英译本。
两个内角和小于二直角，则这二直线延长后在该侧相交。
• 第五公设——从欧几里得到兰伯特用现代数学公理化方法的标准来衡量，《原本》的公理
体系存在严重缺陷。例如：《原本》第1卷命题16：在任意三角形中，若延长一边，
则外角大于任何一个内对角。
鉴于此，有人把第 5 公设也作为一个缺陷，试图用其他公理，公设或定理证明它，以至将它取消。
设直线 a 不通过不在一条直线上的三点A，B，C ，当 a 与
AB 相交时；a 与 AC 或 BC 相交，二者必居其一。引理：
1°任意 ABC的两个内角和小于． 2°对于 ABC的B，DBC，能使(ABC )= (DBC)，且存在一个内角 (1/2)B.

armstrong公理系统证明

Armstrong公理系统的证明①A1自反律：若丫 X U，则X-Y为F所蕴含证明1设丫 X U。

对R<U,F>£任一关系r中的任意两个元组t,s :若t[X]=s[X]，由于丫 X,则有t[Y]=s[Y]，所以X^Y成立，自反律得证。

②A2增广律：若X-Y为F所蕴含，且Z U,则XIYZ为F所蕴含证明2设X-Y为F所蕴含，且Z U。

对R<U,F>£任一关系r中的任意两个元组t,s :若t[XZ]=s[XZ]，由于X XZ,ZXZ,根据自反律，则有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]; 由于心丫，于是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ];所以XZ^YZ成立，增广律得证。

③A3传递律：若X-Y，Y-Z为F所蕴含，则X-Z为F所蕴含证明3设X-Y及Y-Z为F所蕴含。

对R<U,F>£任一关系r中的任意两个元组t,s :若t[X]=s[X]，由于X-丫，有t[Y]=s[Y];再由于Y-Z,有t[Z]=s[Z]，所以X-Z为F所蕴含，传递律得证。

④合并规则：若X-Y, X-Z,贝U X-YZ为F所蕴含证明4因X- 丫（已知）故X-XY （增广律），XIXY即X-XY因X- Z （已知）故XY-YZ （增广律）因心XY XJYZ （从上面得知）故X- YZ （传递律）⑤伪传递规则：若X-Y, WY乙贝U XW>Z为F所蕴含证明5因X- Y （已知）故W—WY （增广律）因W—Z （已知）故XV—Z （传递律）⑥分解规则：若X-Y, Z 丫，则X-Z为F所蕴含证明6因Z Y （已知）故Y- Z （自反律）因X- Y （已知）故X- Z （传递律）。

利用HOARE公理化方法证明程序部分正确性

Hoare提出的公理和相应控制语句的证明规则。
5. 结论规则 P=>R,[R]S[Q] [P]S[Q] 或 [P]S[R], R=>Q [P]S[Q]
山东大学计算机科学与技术学院嵌入式系统学科组
8
程序正确性验证– Hoare公理学方法
证明过程证明程序部分正确性的公理学方法就是依据以上的公理和推理规则,一般有两种形式:正向证明和反向证明正向“证明” : 从某些公理出发, 使用规则, 直到最后获得结果. 根据给出的不变式断言,建立一些引理; 根据引理和赋值公理,对程序中的每一个赋值语句 Fi 导出相应的不变式语句[Ri] Fi [Qi]; 再根据这些不变式语句和上述的推理规则逐步地组成越来越长的程序段,一直到推演出:[P(x)] F [Q(x,z)]为止.
[x>=0]
(y1,y2,y3) (0,1,1); While ( y2<=x ) do
(y1,y2,y3) (y1+1,y2+y3+2,y3+2);
Z y1; [ Q(x,z)]
[证明完毕]
山东大学计算机科学与技术学院嵌入式系统学科组 14
The End ! Thanks !
若有问题请发邮件，共同进步。
3)
[P(x,y1+1,y2+y3+2,y3+2)] (y1,y2,y3) (y1+1,y2+y3+2,y3+2) [P(x,y)] ..(6)
得：[ P(x,y)y2≤x] (y1,y2,y3) (y1+1,y2+y3+2,y3+2) [P(x,y)] ..(7)
山东大学计算机科学与技术学院嵌入式系统学科组 12

公理化方法和演绎

公理化方法和演绎
公理化方法是数学中一种基本的证明方法，它强调了严密的逻辑推理和严格的定义。

这种方法将数学的各个领域系统化，使得所有的推理都能够遵循一致的规则。

演绎是公理化方法的重要组成部分，它是一种通过已知的前提来得出结论的推理方法。

演绎的过程中，我们首先确定一组公理和一些推理规则，然后通过应用这些规则来得出结论。

公理化方法和演绎的优点在于它们能够确保数学推理的正确性和精确性。

通过这种方法，我们可以准确地证明一个定理，并且可以将其应用于其他相关的数学问题。

最近，公理化方法和演绎在计算机科学中也变得越来越重要。

计算机程序的正确性可以通过演绎的方法来证明，这种方法能够有效地避免程序的错误和漏洞。

综上所述，公理化方法和演绎是数学中一种重要的证明方法，它们不仅能够确保证明的正确性和可靠性，同时也能够在计算机科学中发挥重要作用。

- 1 -。

公理化体系-概述说明以及解释

公理化体系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述公理化体系是数学、哲学和科学领域中的一种重要方法论。

它建立在公理的基础上，并通过逻辑推理和证明来构建完备且一致的理论体系。

公理是一组基本假设或原则，它们被认为是不需要证明的真理。

在公理化体系中，我们可以通过基于这些公理的演绎推理，来推导出更多的命题和定理。

公理化体系的重要性在于它为科学研究和理论建构提供了一个严格且可靠的框架。

通过将复杂的问题分解为基本公理，并利用逻辑推理进行严密证明，我们可以建立起一套严密的理论体系，从而使得科学的发展更加系统化和科学化。

公理化体系的构建方法可以有多种。

通常，我们可以通过观察、实验、归纳等方式来提出一组基本假设或原则，作为公理的基础。

然后，通过逻辑推理和严谨的证明，我们可以从这些公理中推导出更多的命题和定理。

在这个过程中，我们还需要注意公理的自洽性和一致性，以确保体系的完备性和可靠性。

公理化体系的应用领域非常广泛。

在数学中，公理化体系被用来构建不同领域的数学理论，例如几何学、代数学、分析学等。

在哲学中，公理化体系被用来研究推理、辩证法和认知过程等，从而对人类思维和知识体系进行深入探索。

在科学中，公理化体系被用来构建科学理论和模型，从而实现对自然规律和现象的解释和预测。

总之，公理化体系是一种重要的思维工具和方法论，它为科学研究和理论建构提供了一个严谨且可靠的框架。

通过建立基于公理的理论体系，我们可以推导出更多的命题和定理，从而推动科学和哲学的发展。

公理化体系不仅在数学领域有着重要应用，而且在哲学和科学领域也具有重要价值。

随着研究的不断深入和发展，公理化体系的未来发展方向也将更加广阔。

文章结构部分介绍了本篇长文的整体结构和各个部分的内容概述。

下面是文章结构部分的内容：在本篇长文中，我们将讨论公理化体系。

文章主要分为引言、正文和结论三个部分。

首先，在引言部分（1.引言）我们将概述本篇长文的主题和目的，加以简单的介绍。

在1.1 概述部分，我们将对公理化体系进行概括性的介绍，给出一个整体的认识。

数理逻辑的公理化理论

04 数理逻辑的公理化理论的应用
数学基础研究
1 2 3
数学证明
数理逻辑的公理化理论为数学证明提供了形式化的基础，使得数学定理的证明过程更加清晰、准确和易于理解。
数学体系构建
通过数理逻辑的公理化理论，可以构建各种数学体系，如集合论、实数理论等，为数学学科的发展提供坚实的逻辑基础。
数学哲学思考
数理逻辑的重要性
数理逻辑是数学的基础，它为数学提供了严格的逻辑基础，确保数学理论的正确性和一致性。
数理逻辑在计算机科学中也有广泛应用，它是设计和分析计算机程序、算法和数据结构的重要工具。
数理逻辑的公理化理论简介
公理化理论是数理逻辑中的一个重要概念，它通过一组基本的、不证自明的公理来定义数学概念和推理规则。
公理化理论的目标是建立一个一致、完备和自洽的数学体系，以确保数学推理的有效性和正确性。
02 数理逻辑的公理化理论概述
公理化方法的起源与发展
公理化方法的起源
古希腊数学家欧几里德在《几何原本》中首次采用公理化方法，通过五条公理和五条公设构建了平面几何的理论基础。
公理化方法的发展
随着数学和科学的不断进步，公理化方法逐渐扩展到各个领域，成为现代科学理论的重要构建方式。
详细描述
集合论公理体系由一系列基本公理和推理规则组成，用于推导和证明集合之间的逻辑关系。这些公理和推理规则基于集合论的直观，具有很高的可靠性和完备性。
详细描述
集合论公理体系包括并集公理、交集公理、差集公理等，这些公理用于描述集合的基本性质和关系。此外，该体系还包括一些常用的推理规则，如分离规则、重写规则等。
数理逻辑的公理化理论
目录
• 引言 • 数理逻辑的公理化理论概述 • 数理逻辑的公理体系 • 数理逻辑的公理化理论的应用 • 数理逻辑的公理化理论的未来发展

(最新整理)程序正确性证明(下)

– 先用规则，把总目标分成若干子目标，最后寻根于公理。
2021/7/26
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正向证明过程
• 从某些公理出发，经使用规则，直到最后获得结果：
– 根据给出的不变式断言，建立一些引理。
– 根据引理和赋值公理，对程序中S的每一个赋值语句 Fi 导出相应的不变式语句[Ri] Fi [Qi]。
– 再根据这些不变式语句和上述的推理规则，逐步组成越来越长的程序段。
根据式(2),(6)结论得： [p(x,y)y2≤x] (y1,y2,y3)(y1+1,y2+y3+2,y3+2)
[p(x,y)] …(7)
p(x,y)y2≤x p(x,y1+1,y2+y3+2,y3+2) …(2)
2021/7/26
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正向证明举例
4) 取I为p(x,y), Q为p(x,y) y2 >x ，有： pI, p(x,y) y2 >x Q …..(8)
(5) 结论规则
P R, [R] F [Q]
[P] F [Q]
或者: [P] F [R], R Q
[P] F [Q]
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派生规则
(1) 赋值规则 P(x,y) Q(x,g(x,y))
[P(x,y)] y g(x,y) [Q(x,y)]
(2) 重复赋值规则
P(x,y) Q(x,gn(x,gn-1(x,…,g2(x,g1(x,y))…))) [P(x,y)] y g1(x,y); y g2(x,y);…; ygn(x,y); [Q(x,y)]
– 一直到推演出：[P(x)] F [Q(x,z)] 为止。
2021/7/26

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{P} S1 {Q}， {Q}S2{R} {P} S1;S2 {R}
if-then-else规则
{P∧p} S1 {Q} ，{P∧┒p} S2 {Q} {P} if p then S1 else S2 {Q}
• i行f语S2句。的语义是：如果p成立，则执行S1，否则执 • 前提条件表明
– 如果开始状态满足P∧p那么执行了S1 之后满足Q。 – 如果开始状态满足P∧┒p，那么执行S之后仍然满足Q。
• 如果开始状态满足P，那么它要么满足P∧p，要么满足P∧┒p。从if语句的含义我们可以知道结论成立。
while规则(部分正确性)
{P∧p} S {P} {P}while p do S {φ∧┒P} • P被称为while语句的不变式。
– 在while语句的执行过程中，这个性质总是成立。
• 而while语句会执行到p不成立为止。
{P} skip {P}
pre,post规则
• 在证明了一个断言之后，我们可以弱化其后置条件，或者强化其前置条件。
P=>P’，{P’} S {Q} {P} S {Q}
{P} S {Q’}，Q’ => Q {P} S {Q}
顺序组合规则
• 在证明一个顺序组合语句的时候，我们可以先分别证明两个子语句的性质，然后将其合并得到整个组合语句的性质。
例子（1）
• 整数除法的累减实现
y1=0; y2=x1; while y2>x2 do
y1:=y1+1; y2:=y2-x2 end
• 要证明如下结论：
–当x1>=0, x2>=0成立时，最终得到的y1是x1/x2的整数商部分，y2是x1/x2的余数部分即：
–Precondition: x1>=0 ∧ x2>=0 –Postcondition：x1=y1*x2+y2 ∧ y2>=0 ∧ y2<x2
练习
• 考虑辗转相除法求解GCD的算法的正确性证明
• 考虑图论中最短路径的Floyd算法的正确性。
Hoare Logic不能处理指针/数组
• 反例1：
– {true} m[m[2]] := 3 {m[m[2]] == 3} – 当原来m[2]=2时， – 赋值之后，m[2]等于3，m[m[2]]的值是原来的
公理：赋值语句
{Q[e/v]} v:=e {Q} • 如果语句v:=e执行之前的状态满足
Q[e/v]，那么v:=e执行之后的状态满足Q。
– Q[e/v]表示将公式Q中的v替换成为e 后得到的公式。
• 例如：{x+1==10}x:=x+1{x==10}
公理：skip语句
• skip语句不改变状态。
例子（2）
• 可以按照如下方式证明：
{x1>=0 ∧ x2>0} y1=0; {x1>=0 ∧ x2>0 ∧ y1=0} y2=x1; {x1=y1*x2+y2 ∧ y2>=0} while y2>=x2 do
{x1=y1*x2+y2 ∧ y2>=x2} y1:=y1+1; {x1=y1*x2+y2-x2 ∧ y2>=x2} y2:=y2-x2 {x1=y1*x2+y2 ∧ y2>=0} end {x1=y1*x2+y2 ∧ y2>=0 ∧ y2<x2}
m[3]，不一定等于3！
• 反例2：
– {*p == *q} *p:=*p+1 {*p == *+1} – 当p和q指向同一个位置时，结果应该是*p==*q
仍然成立。
程序的公理化证明
赵建华南京大学计算机系
简介
• C.A.R. Hoare提出的公理系统 • 断言中包含了逻辑公式和代码 • 组合式证明
– 先证明程序的各个部分，然后把这些证明组合起来，得到更大代码的证明。
• 本证明系统基于某个一阶推理系统.
断言的形式
• Hoare三元式 {P} S {Q}
– S ：代码 – P(pre-condition，前置条件) – Q (post-condition，后置条件) – P和Q是一阶逻辑公式
• 三元式指出了一个部分正确性
– 如果S从一个满足P的状态开始执行，且S 能够正常执行完毕，那么最后的状态满足Q。
程序的抽象语法
• 基本语句
– 赋值语句：v:=e – skip语句
• 复合语句
– 顺序：S;S – 选择：if p then S else S fi – 循环：while p do S
– 因此，当while语句退出循环时，状态必然满足 P∧┒p。
• 这个性质不保证while语句会退出循环
while规则(完全正确性)
• 如果能够找到一个函数f
– f的取值和变量取值有关，且 – P∧p f>0 – 且对任意的常数f0，
{f=f0} S {f<f0}, • 那么循环必然终止 • for(int i = 0; i<100; i++) …