高中数学选修2-1北师大版 抛物线的简单性质教案

抛物线的简单几何性质导学案教学设计辛集一中张慧一.教学理念“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。

〞因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个〞数学活动〞环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。

数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活回归生活,通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。

二.教材分析1、本节教材的地位本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。

例1的设计，在于让学生通过作图感知的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。

例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题。

本节是第二课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质比照进行,着重指出它们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

2、教学目标(1)知识目标：ⅰ抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。

ⅱ抛物线的通径及画法。

(2)能力目标：ⅰ使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。

ⅱ掌握抛物线的画法。

(3)情感目标：ⅰ培养学生数形结合及方程的思想。

ⅱ训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。

3、学生情况我授课的学生是省级重点中学的学生,大局部学生数学根底较好,但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。

4、教学重点、难点教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

难点是抛物线各个知识点的灵活应用。

三、教学方法及手段采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

教学过程设计：1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

定点F→焦点，定直线L→准线。

2抛物线的标准方程。

图形标准方程焦点坐标准线方程抛物线的定义及标准方程由学生口述，老师展示结论。

提出这一问题的研究方法：对比、数形结合二、引入课题唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到了“夜光杯”。

问题1：如果测得酒杯口宽4cm，杯深8cm，试求抛物线方程。

问题2：探究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。

--------引出本节课课题《抛物线的简单性质》提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法，并思考抛物线的几何性质。

通过诗句中的“夜光杯”模型引发学生探究问题本质的热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过渡。

三、问题探究)0(22>=ppxy)0,2(p2px-=)0(22>-=ppxy)0,2(p-2px=)0(22>=ppyx)2,0(p2py-=)0(22>-=ppyx)2,0(p-2py=)0(22>=ppxy我们根据开口向右的抛物线的标准方程 来探究它的几何性质。

1范围：0≥x 2对称性：关于轴对称抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点：（0，0）抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。

4离心率：e=1抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。

标准 方程 图形范围0≥x 0≤x0≥y0≤y对称轴关于轴对称关于轴 对称关于轴 对称关于轴对称顶点 （0，0） 离心率 ｅ＝１补充说明：1抛物线只位于半个平面坐标内，图像可以无限延伸。

2抛物线只有一条对称轴，没有对称中心。

3抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线。

4抛物线的离心率是确定的且为1。

通过类比椭圆的几何性质，从范围、对称性、顶点、离心率这四个方面研究抛物线的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。

§2.2抛物线的几何性质设计人：赵军伟审定：数学备课组【学习目标】1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力【学习重点】理解并掌握抛物线的几何性质【学习难点】能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质【知识衔接】1.平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线l 上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.2. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦点坐标相反；反之可以逆推。

3.已知抛物线的标准方程是y2=8x，求它的焦点坐标和准线方程4.已知抛物线的焦点是F(-2，0)，求它的标准方程【学习过程】一、抛物线的几何性质：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．二、举例应用：例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．证明：【巩固练习】【学习反思】【作业布置】见教材习题二。

3.2.2 抛物线的几何性质（一）一、教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化二、教学重点：抛物线的几何性质及其运用。

教学难点：抛物线几何性质的运用 。

三、授课类型：新授课四、教学过程（一）、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号（二）、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围：因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性：以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点． 对于其它几种形式的方程，列表如下：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 （三）、探析例题：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ． 解：由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p 。

2.1 抛物线及其标准方程 - 北师大版选修2-1教案一、教学目标1.理解抛物线及其基本形式2.掌握抛物线的标准方程及其参数的含义3.会根据题目要求，求出抛物线的标准方程4.能够应用抛物线求解实际问题二、教学重点1.抛物线的标准方程及其参数的含义2.根据题目要求，求出抛物线的标准方程三、教学内容1.抛物线及其基本概念2.抛物线的标准方程及其参数的含义3.根据问题求解抛物线的标准方程4.应用抛物线求解实际问题四、教学方法1.课堂讲授：通过PPT讲解抛物线的基本概念和标准方程，以及参数的含义2.探究性学习：引导学生自主探讨抛物线的特性，提高学生的探究能力3.练习和讨论：通过练习和讨论，检查和巩固学生对于抛物线的理解和掌握五、教学过程5.1 导入通过投影仪播放图片，引导学生从日常生活中的实例，如喷泉，炮弹抛体，跳水，自由落体等，认识什么是抛物线。

5.2 讲解展示PPT，讲解抛物线的基本概念，如什么是抛物线，抛物线的常见形式，以及抛物线的基本性质等。

5.2.1 抛物线的基本形式在直角坐标系中，抛物线的基本形式是y=ax2+bx+c，其中a，b，c是常数，a不等于 0。

5.2.2 标准方程及其参数的含义把抛物线的基本形式转化，可以得到抛物线的标准方程y=ax2或者x=ay2。

通过图像的展示，讲解抛物线的参数含义：•当a大于 0 时，抛物线开口向上，对称轴是x轴，顶点在原点上方；当a小于 0 时，抛物线开口向下，对称轴是x轴，顶点在原点下方。

•a绝对值越大，抛物线的开口越窄，曲线越陡峭；反之抛物线的开口越宽，曲线越平缓。

•抛物线的对称轴是x=0，y轴是抛物线的准线。

•抛物线的顶点是(0,0)，是抛物线的最低点或者最高点。

讲解中通过清晰的表格和图示，将抛物线的基本概念、标准方程及其参数的含义更加直观地呈现出来。

5.2.3 根据问题求解抛物线的标准方程通过多组具体题目的分析，讲解如何在实际问题中求解抛物线的标准方程。

抛物线及其标准方程【学习目标】：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形【学习过程】：一、课前准备复习1：点M与定点30F（，）的距离和它到定直线的距离253x=的比是35，则点M的轨迹是什么图形？复习2：点M与定点0F（5，）的距离和它到定直线的距离95x=的比是53，则点M的轨迹是什么图形？二、新课导学学习探究：若一个动点M到一个定点F和一条定直线的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？如何才能作出满足条件的M点的轨迹呢？F新知1：抛物线平面内与一个定点F和一条定直线的距离的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的；直线叫做抛物线的。

抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线的距离的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的；直线叫做抛物线的。

设定点F到定直线的距离为p（0p ）新知2：抛物线的标准方程类比椭圆与双曲线，请建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程。

解：建立____________________坐标系。

F得到抛物线的标准方程：_______________________________焦点为______________ 准线为_________________在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程。

那么，抛物线的标准方程有那些不同的形式？图形标准方程焦点坐标准线方程三、知识巩固【自主展示】：（1）已知抛物线的标准方程是26y x =求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是(0,2)F -,求它的标准方程；（3）已知抛物线的准线方程是3y =,求它的标准方程；【自主练习，小组互批】求下列抛物线的焦点坐标与准线方程（1）228y x=（2）24x y=（3）220y x+=【自我提高】求抛物线的标准方程（1）焦点的坐标是(3,0);（2）准线的方程是14x=；（3）抛物线经过(4,2)--;（4）焦点到准线的距离是3. 这节课我学到了那些新知识？。

§2.4.2抛物线的简单几何性质（1）【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。

【学习目标】1．根据抛物线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图【重点】根据抛物线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；【难点】根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图一、自主学习看课本第68页－69页，解决下列问题：1．抛物线位于直线_______________________的一侧。

2．抛物线的对称性：（1）对称轴（2）对称中心3．参数p的名称分别是_____________，其几何意义是。

4．抛物线离心率e是___________。

5.填表二、典型例题例1已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(-M ，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．例2斜率为1的直线l 经过抛物线28=y x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24=y x 于A ，B 两点，求AB ．三、拓展探究1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点(5M ，4)-； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ；⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =．2．教材74页8题四、变式训练课本第72页2题五、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：六、课后巩固1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．A ．212=x y B ．2=x y C ．22=x y D ．24=x y 2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x = D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．教材73页4题6．教材73页5题。

2.2抛物线的简单性质●三维目标1．知识与技能(1)能用抛物线的标准方程分析抛物线的几何性质．(2)能用坐标法解决一些与抛物线有关的简单几何问题和实际问题．2．过程与方法在利用抛物线的标准方程研究抛物线几何性质的过程中，进一步领会和掌握解析几何的基本思想．3．情感、态度与价值观通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育．通过对抛物线对称美的感知，激发学生对美好事物的追求．二、教学重点与难点重点：利用抛物线方程研究抛物线的几何性质．难点：抛物线性质在研究实际问题中的应用．引导学生类比椭圆性质的研究方法探索抛物线的几何性质．在探索中去发现，去感知，去归纳．为了便于记忆和运用性质解决问题，引导学生设计出表格，将性质梳理出来．从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．有了椭圆性质的探索体验，可运用类比的方法，研究抛物线的性质，类比过程可由学生独立完成，充分发挥学生的主体作用．2．由抛物线标准方程研究抛物线性质是由数到形的过程．在这个过程中，教师要强化学生对数形结合思想的认识，领会用数研究形是解析几何的基本方法．3．通过抛物线性质的应用，培养学生应用数学解决实际问题的意识．●教学流程设置情境引入课题类比椭圆性质的探究方法探究抛物线的性质――→列表归纳抛物线的性质通过例题体验抛物线性质的应用反馈矫正总结提升已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，1．如何判断抛物线C的对称性？【提示】由于(－y)2＝2px与y2＝2px是同解方程，所以抛物线C是轴对称图形，x轴是其对称轴．2．在抛物线C的方程中，x，y的范围分别是什么？【提示】y∈R，x＝y22p≥0.3．在抛物线C的方程中，p的几何意义是什么？2p的几何意义是什么？【提示】p是焦点到准线的距离，2p是通径的长．抛物线的性质。

3.2.2 抛物线的简单性质学习目标：（1)能用对比的方法分析抛物线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；；(2）能根据抛物线的几何性质，确定抛物线的方程并解决简单问题.重点:抛物线的范围、对称性、顶点和准线。

难点：抛物线的范围、对称性、顶点和准线性质综合应用，抛物线的几何性质在解题中的灵活运用。

1 、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点,若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（B ) A ．9 B ．6C ．4D ．32、已知抛物线22(0)ypx p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，,333()P x y ，在抛物线上,且2132xx x =+， 则有（ C ） Ａ．123FP FP FP += Ｂ．222123FP FP FP += Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 3。

对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q,点P （a ，0）都满足｜PQ|≥｜a ｜，则a 的取值范围是（ B ）A 、(,0)-∞B 、(,2]-∞C 、[]0,2D 、(0,2)4、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为( B )A 、18B 、18- C 、8 D 、—8 5、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ B ）A 、1716B 、1516C 、78D 、0 6、在抛物线y 2=2px 上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则P 的值为（C )A、1B、1C、2D、427。

过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2)两点，若x1+x2=6，求｜AB|的值．||8AB=8．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．分类讨论(4,0)F或(0,-3)22或==-1612y x x y。