2019人教版九年级数学上册课外辅导专题：圆的有关计算(无答案)精品教育.doc

n°Rhl RhCDB A EO与圆有关的计算（1）一、做1． 如图，在⊙O 中，直径AC 与弦BD 垂直于点F ，BD =8，OF =3，则⊙O 的半径为 ． 2．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长是 ．3． 如图，⊙O 的半径为2，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，ON ⊥CD 于点N ，则ON = ． 4．已知圆锥的母线长为3，底面的半径是2， 则该圆锥的侧面积是 ．5．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，C 是⊙O 上一点，∠P =40°，则∠C 的度数为 ．二、忆考点1 弧长公式： ； 扇形面积公式： ； 圆柱侧面积公式： ； 圆锥侧面积公式： ．考点2 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．∵ AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD∴ ．考点3 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（第1题图）（第3题图）（第5题图）OPAC BADBCOF COB APO∵ ，∴ ．考点4 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．∵ P A 、PB 是⊙O 的两条切线，∴ ．三、议【问题1】在⊙O 中，弦AB =43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ，∠A =30°，求图中阴影部分的面积．变式 在⊙O 中，弦AB =43，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于点F ，∠A =30°，求图中阴影部分的面积．小结：求阴影部分的面积有哪些主要方法？【问题2】 在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连结AD ，过A BDOF AO DFBC点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F ． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）如果⊙O 的半径为5，sin ∠ADE =45，求BF 的长． 四、测1．扇形的半径为30，圆心角为60°，则此扇形的面积是 ．OAEFCD·B2．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．3．已知，如图AB是⊙O的直径，CD⊥AD于点D，∠1=∠2，AB=10，AC=8，则AD= ．4．（选做）在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，∠C=90°，点D在AB边上，以BD为直径的半圆⊙O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sin A=12，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．五、悟本节课你有哪些收获？知识方面：思想方法：A BFCDEOA O BCD12。

圆的相关计算（弧长，扇形面积，圆锥，切线）【上次课错题回顾】1、如图，在 Rt △ABC 中,∠ACB ＝900D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．2．如图24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过C 、D 分别作CN ⊥CD 、DM ⊥CD ，分别交AB 于N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．【相似题巩固】【新课知识讲解及巩固】三、圆的相关位置关系 （1）点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在（2）直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 交点；A3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 交点；切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是 ； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线直线和圆位置关系的判定：①依据定义 ②依据圆心到直线距离d 与圆的半径r 的数量关系圆的切线的判定： ① 定义②依据d=r③用判定定理——圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

有关圆的计算教案知识点：（十二）和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2EM·MD=BM·MGCN·NH=DN·NE（十三）圆和圆的位置关系如图6－9若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：1、两圆外离⇔d ＞R＋r；2、两圆外切⇔d = R＋r；3、两圆相交⇔R－r＜d＜R＋r（R＞r）4、两圆内切⇔d = R－r；（R＞r）5、两圆内含⇔d＜R－r。

（R＞r）定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6－10，O1，O2为圆心，则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分（十四）两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。

d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，又如图 6－13， OO1C为直角三角形。

d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。

（十五）相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14（十六）正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。

初三数学与圆有关的计算考点回顾：1、如果弧长为l，圆心角的度数为n，弧所在的圆的半径为r，那么弧长的计算公式为；2、设扇形的圆心角为n°，扇形的半径为r，扇形的面积为s，则扇形的面积的计算公式为（其中l表示扇形的弧长）；3、圆柱的侧面展开图为矩形，圆锥的侧面展开图是扇形；4、设圆柱的底面半径为R，圆柱的高为h，则圆柱的侧面积为S＝2πRh，圆柱的全面积为S＝2πR2＋2πRh；5、设圆锥的底面半径为r，母线长为a，则圆锥的侧面积为S＝πar，圆锥的全面积为S＝πr2＋πar．考点精讲精练：例1、如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F．（1）若弧CF长为，求圆心角∠CBF的度数；（2）求圆中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）．变式练习1、如图，半径OA＝6cm，C为OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分面积．例2、如图，AB切⊙O于点B，，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧的长为（）变式练习2、如图，AB为⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则劣弧的长是__________．例3、如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径为（）A、1变式练习3、如果圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长为________．例4、如图，已知AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE＝OF．（1）证明：△AFO≌△CEB；（2）若EB＝5cm，，设OE＝x，求x的值及阴影部分的面积．变式练习4、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．例5、如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是多少？1、若一个圆锥的底面圆的周长为4πcm，母线长为6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为（）A．40°B．80°C．120°D．150°2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6cm，CD⊥AB于D，以C为圆心，CD为半径画弧，交BC于E，则图中阴影部分的面积为（）cm2．3、已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图，则sinθ的值为（）4、将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）cm．A．10B．30 C．45D．3005、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，若把△ABC绕边AB所在的直线旋转一周，所得的几何体的表面积为（）A．4πC．8π二、填空题6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12．分别以AB、AC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为__________．7、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A、C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个图形，则剩余（阴影）部分的面积为__________cm2．8、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，且AE＝6，EF＝8，FC ＝10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为__________．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为__________．10、用一个半径为8，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为__________．11、如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中阴影部分的面积．12、如图，已知点A，B，C，D均在已知图上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD＝120°，四边形ABCD的周长为15．（1）求此圆的半径；（2）求图中阴影部分的面积．13、如图，AB为⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB交于点P，连EF，EO，若，∠DPA＝45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．14、如图，在△ABC中，∠A＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC边相切于D，E两点，连OD，已知BD＝2，AD＝3，求：（1）tanC的值；（2）图中两部分阴影的面积之和．。

圆中计算及综合训练（讲义）课前预习1.半径为r 的圆的周长为，面积为．2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为，面积为．3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为．4.默写圆周角定理的相关推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：；．推论 3：圆内接四边形对角互补．5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4 的⊙O 上剪下一个圆心角度数为n 的扇形，用其围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n 的值为．6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长．Rh主视图左视图r俯视图1.圆中的计算公式弧长公式：．扇形面积公式：①；②．圆锥的侧面积公式：．圆锥的全面积公式：= + ．扇形及其所围圆锥间的等量关系：①；②．2.圆中处理问题，通常的思考方向有：①找圆心、连半径；②遇弦，作垂线，配合建等式；③遇直径找直角，由直角找；（此处直角为圆周角）④遇切线，；⑤由弧找角，由角看弧．1.如图，⊙O 的半径是 1，A ，B ，C 是圆周上的三点，∠BAC =36°， 则劣弧 BC 的长是 ．BAB第 1 题图第 2 题图2. 如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 到了点 B ′，则图中阴影部分的面积是 ．3.如图，一把打开的雨伞可近似地看成一个圆锥，若伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径 AC 的长为 12 分米，伞骨 AB 的长为 9 分米，则制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料 平方分米．BAAC4.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都是腰长为 4、底边为 2 的等腰三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为 ．42 主视图左视图俯视图D第 4 题图第 5 题图5.如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为 4， 则图中阴影部分的面积为 ．423…6.如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50 cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是．7.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm 的圆形，使之恰好围成图 2．图1 图28.如图，Rt△ABC 的边BC位于直线l 上，AC= ，∠ACB=90°，∠A=30°．若 Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3 次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为．（结果保留π）AC B l9.如图，在三角板ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应B′点A′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则点B 转过的路径长为． C（结果保留π）A A′ B10.如图，AC 是汽车挡风玻璃前的雨刷器，已知 AO =45 cm ，CO = 5 cm ，当 AC 绕点 O 顺时针旋转 90°时，则雨刷器 AC 扫过的面积为 cm 2（结果保留 π）．AAOPBC第 10 题图第 11 题图1. 如图，在 Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段 CP 的最小值为 ． 12.如图，CD 是⊙O 的直径，且 CD =2 cm ，点 P 为 CD 的延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PA ，PB ，切点分别为点 A ，B ．（1）连接 AC ，若∠APO =30°，试证明△ACP 是等腰三角形． （2）填空：①当 DP = cm 时，四边形 AOBD 是菱形； ②当 DP = cm 时，四边形是菱形．13.如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A ，B 重合的一个动点，延长 BP到点 C ，使 PC =PB ，D 是 AC 的中点， 连接 PD ，PO ． （1）求证：△CDP ≌△POB ． （2）填空：①若 AB =4，则四边形 AOPD 的最大面积为 ； ②连接 OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形 BPDO 是菱形．CAO B14.如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点 M 是 AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交 AC ，BM 于点 D ，E ． （1）求证：MD =ME ． （2）填空：连接 OD ，OE ，当∠A 的度数为 时，四边形 ODME 是菱形．DP︵︵15.已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，点D 在边BC 上，AE∥BC，AE=BD．（1）求证：AD=CE；（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【参考答案】 课前预习1.2πr；πr22.nr180n r 2 ；3603. 6 cm4.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径5. 906. 图形略知识点睛1.ln R．180n R2 lR①S ；②S ．360 2S=πlr．全面积；侧面积；底面积．①圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长；②圆锥的侧面积等于扇形面积．2.②垂径定理；勾股定理；③直径；④连半径精讲精练1. 2 52. 63. 54π4. 4π5. 16 36. 18°7. 15 cm8. (49. 3 310. 500π3)2 11. 212. （1）证明略；（2）①1；② 1 13. （1）证明略．（2）①4；②60°． 14. （1）证明略．（2）60°． 15. （1）证明略；（2）证明略．。

专题十 圆相关概念及必考题型过关一、单选题1．在正方形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，下列说法错误的是（ ）．A ．点D 在圆上B ．点C 在圆外C ．点B 在圆上D ．点A 在圆上2．如图，若⊙O 的半径为4，圆心O 到某条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 43．已知一个圆心角为240°，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A ，B 两点触地放置），向右滚动工件至点B 再次触地时停止，则圆心O 所经过的路线长是（ ）A ．6B ．3πC ．6πD ．12π4．在平面中，已知⊙O 的半径OP 等于5，点P 在直线l 上，则圆心O 到直线l 的距离（ ）A ．等于5B ．最小值为5C ．最大值为5D ．不等于55．如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦CD ⊥AB 于点P ，若OP ＝3，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．86．Rt △△ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（ ）A ．12B ．35C ．67D ．237．已知⊙O 的半径是6.5cm ，点P 是直线l 上一点，且OP =6cm ．那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（）A．0B．1C．2D．无法确定8．平面内，⊙O的半径为5，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离可能是（）A．6B．5C．4D．39．如图，AB与⊙O相切于点C，OA=OB，且⊙O的直径为8cm，AB=8cm，则阴影部分的面积为（）A．4π−8B．8π−20C．16−4πD．8−π10．如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE=（）时，直线DE与⊙O相切．A．∠B B．∠BAC C．∠C D．∠DAC11．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，圆心O在AB上，⊙O与BC相切，C为切点．则∠B的（）．A．20°B．25°C．30°D．35°12．⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离是2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离或相交13．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，⊙O的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值是（）A．3.1B．3C．1+3D．2214．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（ ）A．64°B．58°C．68°D．55°15．已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定16．圆的直径是14，若圆心与直线上某一点的距离是7，则该直线和圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切17．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−1,3)、B(−2,−2)、C(4,−2)，则△ABC外接圆半径的长为（）.A．32B．23C．10D．1318．如图，已知⊙O的半径为5，直线AB经过⊙O上一点P，下列条件不能判定直线AB与⊙O相切的是（）A．OP=5B．∠APO=∠BPO C．点O到直线AB的距离是5D．OP⊥AB19．如图，AD是⊙O的直径，AB=CD，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°202122232425A．32°B．52°C．64°D．72°26．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为23m ，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A ．5π3mB ．8π3mC ．10π3m D +2m27．已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为4，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定28．已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定29．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）A ．120°B ．180°C ．240°D ．300°30．已知⊙O 的半径为3，点O 到直线m 的距离为d ，若直线m 与⊙O 公共点的个数为2个，则d 可取（ ）A ．0B ．3C ．3.5D ．431．在平面直角坐标系中，以M(2,2)为圆心，半径为2作⊙M ，判断原点O 与⊙M 的位置关系为（ ）A ．点O 在⊙M 外B ．点O 在⊙M 上C ．点O 在⊙M 内D ．以上都有可能二、填空题32．如图，从一块圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若围成圆锥的底面半径为1，则该圆形铁皮⊙O 的直径是．33．如图，用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm ．34．四边形ABCD是⊙O的外切四边形，若∠AOB=78°，则∠COD的度数是．35363738．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD．若∠C=18°，∠BPC=70°，则∠ADC的度数为．39．在半径为2的⊙O中，弦AB=2，弦CD=22，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离为．40．如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为m．41．如图，PM,PN分别与⊙O相切于A,B两点，C是⊙O上异于A,B的点，连接AC,BC．若∠P=50°，则∠ACB的大小是．42．⊙O的半径为1，弦AB=2,点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB= ．43．如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=40°，则∠AOB的大小是．44．一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为．45．如图，直线EF与⊙O相切于点C，直线EO与⊙O相交于点D，连接CD．若∠DEF=3∠D，则∠DCF=．46．如图，在扇形OAB中，OA=6，∠AOB=110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的长为．47．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠ABC=25°，则∠OAC的度数是．48496 cm50∠BPC=．51．如图，PM，PN分别与⊙O相切于A，B两点，C为⊙O上异于A，B的一点，连接AC，BC．若∠P＝58°，则∠ACB的大小是．52．如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六边形内的概率是．53．如图,点A、B、C是圆O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF= ．参考答案则AB=a=AD，AC=∵AB<AC，∴点C在⊙A外，点D在圆上，点故选：D．2．B【详解】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到某条直线的距离为3，∴3<4，即圆心到直线的距离小于半径，∴该直线与圆相交，由图知，l2与⊙O相交；故选：B．3．C【分析】本题考查了动点经过的路径；确定点O的路径是关键；点O的路径是两个半径为3且圆心角为60°的弧，而平移的距离是一条线段，其长度是扇形工件的弧长，利用弧长公式可求得圆心O所经过的路线长．【详解】解：∵∠AOB=360°−240°=120°，∴∠ABO=12(180°−120°)=30°，当BO旋转到与地面垂直时，旋转角度为90°−30°=60°，此时点O的路径是半径为3且圆心角为60°的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至OA垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为60°的弧；∴圆心O所经过的路线长为：2×60π×3180+240π×3180=6π；故选：C．4．C【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可判断直线l与⊙O相切，熟记直线与圆的位置关系是解题的关键．【详解】解：∵⊙O的半径OP等于5，点P在直线l上，∴直线l与⊙O相切或相交，∴圆心O到直线l的距离最大值为5，故选：C．5．D【分析】连接OC，则OC=12AB=5，OP=3，利用勾股定理即可求得PC，最后由CD=2PC完成解答.【详解】解：连接OC，则OC=12AB=5，OP=3，由勾股定理得：PC=OC2−OP2=52−32=4所以CD=2PC=8故答案为D.【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线、构造出直角三角形、运用勾股定理求得PC是解答本题的关键.6．C【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为R，先根据勾股定理计算出BC=4，则DC=2，由以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，根据切线的性质得EG=EF=R，则HC=R，AH=3−R，再证明△AEH∽△ADC，利用相似比可得到EH和R的关系式，∵∴而∴∵∴∴∵∴∵∴∴R=6．7故选：C．7．C【分析】本题考查直线与圆的位置关系．根据题意先判断直线与圆的位置关系为相交，即可得到本题答案．【详解】解：∵⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP=6cm，∵6<6.5，∴直线l 与⊙O 位置关系为相交，∴直线l 与⊙O 的公共点的个数是2个，故选：C ．8．A【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线l 与⊙O 相离，得到圆心O 到直线l 的距离大于⊙O 半径是解决问题关键．【详解】解：∵ ⊙O 的半径为5，若直线l 与⊙O 相离，∴由相离定义可知圆心O 到直线l 的距离大于半径5，∴根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求，故选：A ．9．C【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及切线性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形面积和扇形面积公式等知识，根据题意，阴影部分面积可间接表示为△AOB 面积与扇形面积的差，求出线段长代入面积公式求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积求法及切线性质是解决问题关键．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵ AB 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥AB ，∵ ⊙O 的直径为8cm ，AB =8cm ，∴OC =CA =CB =4cm ，∴△AOC 、△BOC 均为等腰直角三角形，∴∠AOB =∠AOC +∠BOC =45°+45°=90°，∴S △AOC =12AB ⋅OC =12×8×82=16，S 扇形=90360×π×OC 2=4π，∴阴影部分的面积为(16−4π)cm 2，故选：C ．10．C【分析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切．【详解】解：当∠BAE=∠C时，直线DE与⊙O相切．理由如下：作AF交圆O于F点，连接BF．∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，∴∠C＝∠F，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠F，∵AF为直径，∴∠ABF＝90°，∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，∵∠F＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAF＝90°，∴FA⊥DE，∴直线DE与⊙O相切．故选：C．【点睛】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF＝90°．11．C【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．如图：连接OC，由圆周角定理可得∠BOC=60°，再根据切线的性质可得∠OCB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】解：如图：连接OC，则OA=OC，∴∠BAC=∠ACO=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∵⊙O与BC相切，C为切点，∴∠OCB=90°,∴∠B=90°−∠BOC=30°．故选C．12．B【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，判断直线l与⊙O的位置关系，求出圆心与直线的距离是关键．根据圆心与直线的距离直接判断位置即可．【详解】解：∵⊙O的直径为4，∴半径r=2，∵圆心O到直线l的距离为2，即d=2，∴d=r∴直线l与⊙O的位置关系是相切．故选：B．13．B【分析】过A作AM⊥OB于M，求得∠AOB的度数，根据直角三角形的性质得到AM，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】如图，AB是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，过A作AM⊥OB于M，在正十二边形中，∠AOB=360°÷12=30°，∴AM=12OA=12∴S△AOB=12OB⋅AM=12×1×12=14∴正十二边形的面积为12×14=3,∴3=12×π，∴π=3,∴π的近似值为3，故选：B．14．B【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵∠D=32°，∴∠B=∠D=32°，∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，∴∠OAC=∠BAC−∠BAO=90°−32°=58°．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．15．A【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【详解】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d>r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．16．D【分析】比较圆心到直线距离与圆半径的大小关系，进行判断即可．【详解】解：圆的直径是14，故半径为7．圆心与直线上某一点的距离是7，那么圆心到直线的距离可能等于7也可能小于7，因此直线与圆相切或相交．故选D．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握：圆心与直线上某一点的距离是a时，圆心到直线的距离可能等于a也可能小于a．17．D【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设△ABC的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线x=1上，由图可知线段AC的垂直平分线经过点(1,0)，由此可得M(1,0)，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，由勾股定理求出MB的长即可．【详解】解：设△ABC的外心为M，∵B(−2,−2)、C(4,−2)，=1上，∴M必在直线x=−2+42由图可知，线段AC的垂直平分线经过点(1,0)，∴M(1,0)，如图，过点M作MD⊥BC于点D，连接MB，Rt△MBD中，MD=2，BD=3，由勾股定理得：MB=MD2+BD2=22+32=13，即△ABC外接圆半径的长为13．故选D．【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出△ABC外心的位置是解题的关键．18．A【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可．【详解】解：A、OP=5，不能判定直线AB与⊙O相切，符合题意；B、由∠APO=∠BPO，得到OP⊥AB，且点P在⊙O上，能判定直线AB与⊙O相切，不符合题意；C、点O到直线AB的距离是5，等于半径，能判定直线AB与⊙O相切，不符合题意；D、OP⊥AB且点P在⊙O上，能判定直线AB与⊙O相切，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键．19∴∵∴∴20点21．A【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r>d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r<d时，点P在⊙O外．根据以上内容判断即可．【详解】解：∵⊙O的半径为4，PO=3，∵3<4，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内部，故选：A．22．C【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、坐标与图形性质．直线与圆相离，直线到圆心的距离大于半径；直线与圆相交，直线到圆心的距离小于半径；直线与圆相切，直线到圆心的距离等于半径．将该点的横纵坐标绝对值分别与半径对比，若横坐标绝对值大于半径时，则y轴与该圆相离；若横坐标绝对值小于半径时，则y轴与该圆相交；若横坐标绝对值等于半径时，则y与该圆相切；若纵坐标绝对值大于半径时，则x轴与该圆相离；若纵坐标绝对值小于半径时，则x轴与该圆相交；若纵坐标绝对值等于半径时，则x与该圆相切．【详解】解：∵点(4,3)为圆心，4为半径的圆，则有4=4，3<4，∴这个圆与y轴相切，与x轴相交．故选：C．23．C【分析】根据直角三角形的性质可求出CE=1，再根据垂径定理可求出CD．【详解】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD∴CE=DE=12∵∠A=30°，AC=2，∴CE=1∴CD=2．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，能求出CE=DE是解此题的关键．24．C【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB于G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．【详解】解：如图，在∴25∴∴∵则26【详解】如图，连接AD，BC，交于O点，∵∠BDC=90°，∴BC是直径，∴BC=CD2+BD2=22+(23)2=4，∵四边形ABDC是矩形，∴OC=OD=12BC=2，∵CD=2，∴OC=OD=CD，∴ΔCOD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°−60°=300°，∴改建后门洞的圆弧长是300°π×12 BC180°=300°π×12×4180°=103π(m)，故选：C【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．27．C【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l与⊙O相交，然后根据相离的定义对各选项进行判断．【详解】∵⊙O的的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，∴圆心O到直线l的距离小于半径，∴直线l与⊙O相交，∴直线l与⊙O有2个公共点．故选：C．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l 与⊙O相交⇔d<r；当直线l与⊙O相切⇔d=r；当直线l与⊙O相离⇔d>r；熟练掌握直线与圆的位置关系是解本题的关键．28．A【分析】圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,当d＞r时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d=r 时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d＜r时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，∴d＞r，∴直线l与⊙O相离，∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，故选A．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．29．B【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，∴∵∴∴∴30当∴∴031∴MO=22+22=22．∵⊙M的半径为2，且22>2，∴点O在⊙M外．故选：A．32．42【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．连接BC，根据扇形圆心角为90°，得到B,O,C三点共线，BC为⊙O的直径，首先求得扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，然后利用勾股定理求出BC即可．【详解】解：如图，连接BC，∵∠BAC=90°，∴B,O,C三点共线，BC为⊙O的直径，∵围成圆锥的底面半径为1，∴BC=1×2π=2π，=2π，∵90×2π⋅AB360∴AB=4，∵AC=AB=4，∴BC=AB2+AC2=42，∴该圆形铁皮⊙O的直径是42，故答案为：42．33．42【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高．=4πcm【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为120×6π180∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2，故圆锥的高为62−22=42cm故答案为：42【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式．34．102°/102度【分析】本题主要考查了切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理及其推论．令四边形ABCD 与⊙O分别相切于点E、F、G、H，连接OE,OF,OG,OH，通过证明∠1=∠2，∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8即可求解．【详解】解：令四边形ABCD与⊙O分别相切于点E、F、G、H，连接OE,OF,OG,OH，∵ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE=AF，∵OE=OF,OA=OA，∴△OAE≌△OAF，∴∵∴∴∴352π∴n=144，∴圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为144°，故答案为：144°．36．30°/30度【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论．【详解】解：∵AD所对的圆周角是∠C,∠B，∴∠B =∠C =30°故答案为：30°．37．24【分析】根据圆周角定理得BC 为⊙O 的直径，即BC =2，所以AB =2 ，设该圆锥的底面圆的半径为rm ，根据弧长公式得到2πr ＝90×π×2180，然后解方程即可．【详解】解：∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC =2m ，∵AB =AC ，∴AB =2 ，设该圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝90×π×2180，解得r =24 ，即该圆锥的底面圆的半径为24m ．故答案为24．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解题的关键是弄清扇形弧长和底面圆的周长的关系．38．38°/38度【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识．先根据圆周角定理得出∠B =∠C =18°，再由三角形外角和定理可知∠BDP =∠BPC−∠B =70°−18°=52°，再根据直径所对的圆周角是直角，即∠ADB =90°，然后利用∠ADB =∠ADC +∠BDP 进而可求出∠ADC ．【详解】解：∵∠C =18°，AD =AD ，∴∠B =∠C =18°，∵∠BPC =70°，∴∠BDP =∠BPC−∠B =70°−18°=52°，又∵AB 为直径，即∠ADB =90°，∴∠ADC =∠ADB−∠BDP =90°−52°=38°，故答案为：38°．39．3±2【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．由于弦AB 与CD 的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB 与CD 在圆心同侧；②弦AB 与CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB 与CD 在圆心同侧时，如图，∵∴∵∴∵∴∴②EF 40．28/182【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径．连接BC ，如图，根据圆周角定理得BC 为⊙O 的直径，即BC =2，所以AB =2，设该圆锥的底面圆的半径为r ，根据弧长公式得到方程即可求得．【详解】解：连接BC ，如图，∵∠BAC =90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC =1m ，∴AB =AC =22BC =22m ，设该圆锥的底面圆的半径为r m ，∴2πr =90π×22180，解得r =28，即该圆锥的底面圆的半径为28m ．故答案为：28．41．65°或115°【分析】本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质．如图，连接OA ，OB ，利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解∠AOB =130°，再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案．【详解】解：如图，连接OA ，OB ，C 1，C 2（即C ）分别在优弧与劣弧上，∵ PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，∴∠PAO =∠PBO =90°，∵∠P =50°，∴∠AOB =360°−90°−90°−50°=130°，∴∠AC 1B =12∠AOB =65°，∠AC 2B =180°−65°=115°．故答案为：65°或115°．42．45°或135°【分析】根据题意画出图形,先判断出∠AOB=90o ,再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关系确定和圆的内接四边形的性质即可.【详解】∵OA=OB=1，AB=2，∴OA2+OB2=AB2，△AOB是直角三角形，∴∠AOB=90°，当点C在优弧AB上时，∠AOB=45°，∠ACB=12∠∴∴43∴∴∴故答案为：110°．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，正确证明∠BAO+∠ABO=1（∠BAC+∠ABC）是关键．244．6π【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．×2π×2×3＝6π．【详解】解：该圆锥的侧面积＝12故答案为6π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．45．72°【分析】连接OC，如图，先利用切线的性质得到∠OCE=90°，则根据三角形内角和得到∠E+∠EOC=90°，再根据圆周角定理得到∠EOC=2∠D，加上∠E=3∠D，所以3∠D+2∠D=90°，从而可求出∠D的度数，然后利用三角形外角性质可计算出∠DCF的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．【详解】解：连接OC，如图，∵直线EF与⊙O相切于点C，∴OC⊥EF，∴∠OCE=90°，∴∠E+∠EOC=90°，∵∠EOC=2∠D，∠E=3∠D，∴3∠D+2∠D=90°，解得∠D=18°，∴∠E=54°，∴∠DCF=∠D+∠E=18°+54°=72°．故答案为：72°．π46．53【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换(折叠问题)，由折叠的性质推知△ODB是等边三角形是解答此题的关键.如图，连接OD.根据折叠的性质、圆的性质推知△ODB是等边三角形，则易求∠AOD=110°−∠DOB=50°，然后由弧长公式弧长的公式l=nπr来求弧AD的长.180【详解】解：如图, 连接OD.根据折叠的性质知，OB=DB.又∵OD=OB,∴OD=OB=DB, 即△ODB是等边三角形，∴∵∴∴47∴∵∴48∠BOD＝69°，∴∠A＝12∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°．故答案为：69°．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．49．253/813【分析】设圆的半径为r cm ，连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，利用勾股定理，在Rt △AOD 中，得到r 2＝（r −6）2＋82，求出r 即可．【详解】解：连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图所示：∵CB 与⊙O 相切于点B ，∴OB ⊥CB ，∴∠CBD =∠BDA =∠ACB =90°，∴四边形ACBD 为矩形，∴AD =CB =8，BD =AC =6，设圆的半径为r cm ，在Rt △AOD 中，根据勾股定理可得：OA 2=OD 2+AD 2，即r 2＝（r −6）2＋82，解得：r =253，即⊙O 的半径为253cm ．故答案为：253．【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r 的方程，是解题的关键．50．80°/80度【分析】首先连接OB ，OC ，由PB ，PC 是⊙O 的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO =∠PCO =90∘，又由圆周角定理可得：∠BOC =2∠BAC ，继而求得∠BPC 的度数．【详解】解：连接OB ，OC ，∵PB ，PC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥PB ，OC ⊥PC ，∴∠PBO =∠PCO =90°，∵∠BOC =2∠BAC =2×50°=100°，∴∠BPC=360°−∠PBO−∠BOC−∠PCO=360°−90°−100°−90°=80°故答案为：80°．51∵∴∵∴∴和定理的应用，求解∠AOB=122°是解本题的关键.52．332π【分析】设圆的半径为r，先分别求出圆的面积和正六边形的面积，再利用概率公式即可得．【详解】解：如图，设圆的圆心为点O，半径为r，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA,OB，则圆的面积为πr 2，OA =OB =r ，∵图中的六边形是正六边形，∴∠AOB =360°6=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴AB =OA =r,AC =12AB =12r,OC =OA 2−AC 2=32r ，∴正六边形的面积为6S △AOB =6×12AB ⋅OC =6×12r ⋅32r =332r 2，则飞镖落在正六边形内的概率是332r 2πr 2=332π，故答案为：332π．【点睛】本题考查了求概率、圆与正六边形等知识点，熟练掌握概率的求法是解题关键．53．15°【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF ＝∠AOF ＝30°，根据圆周角定理计算即可．【详解】解答：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC =AB ，又OA =OB =OC ，∴OA =OB =AB ，∴△AOB 为等边三角形.∵OF ⊥OC ,OC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，∴∠BOF =∠AOF =30°.由圆周角定理得∠BAF =12∠BOF =15∘ ，故答案为15°.。

第27课时 与圆有关的位置关系 学案【考点梳理】：1．弧长公式：l 弧＝n360×2πr2．扇形的面积公式：（1）S 扇形＝n 360×πr 2；（2）S 扇形＝12lr ．3．正多边形与圆(1)正多边形：各边相等 ，各角 相等 的多边形叫做正多边形． (2)正n 边形酌内角和＝(n －2)×180° ；正n 边形的每个内角度数＝180(2)n n︒- ； (3)正n 边形外角和＝360°；正n 边形的每个外角度数＝360n︒． 【典例分析】【例1】 (1)扇形的半径为30cm ，圆心角为120°，此扇形的弧长是 ( ) A .20πcm B .10 πcm C .10 cm D .20 cm(2)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是 ( ) A .31π B .61π C .91π D .12π （3）4若一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为________（4）如图，半圆O 的直径AB ＝2，弦CD ∥AB ，∠COD ＝ 90°，则图中阴影部分的面积为________（5）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝23，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ） A32π B32π C6π- D6π-【例2】（1）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝2，将△ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A'B'C ，则点B 转过的路径长为（ ）A ．3πB．3 C ．23π D ．π（2）如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中⌒CD ，⌒DE ， ⌒EF .……的圆心按点A ，B ，C 循环.如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________（结果保留π）（3）如图，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________cm 2.FED ABC【例3】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F .（1）求证：DF ⊥AC ；（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝22.5°，求阴影部分的面积【随堂演练】1．如图，要拧开一个边长为a ＝6mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为（ ）A.62 mmB.12 mmC.63 mm D.43 mm2.如图，以AD 为直径的的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E ．B ，E 是半圆弧的三等分点,弧BE 的长为2π/3，则圆中阴影部分的面积为 ( )A ．9πB C 32π D ． 23π 3.如图，等腰直角△ABC 中，AB ＝AC ＝8，以AB 为直径的半圆O 交斜边BC 于D ，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）A.24－4πB.32一4πC.32－82πD.164．如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝4，半圆绕点B 顺时针转45°，点A 旋转到A'的位置，则图中阴影部分的面积为 （ ）A ．πB ．2πC ．π2D ．4π5．如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1．将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，则图中阴影部分的面积是A ．π6B ．π3C ．π2 －12D ．126．如图，矩形ABCD 的边AB ＝1，BE 平分∠ABC ，交AD 于点E ，AD ＝2AB ，以点B 为圆心，BE 为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是________；DOCA B7．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积__________；8．如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是____．9.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为___________（结果用含根号和π的式子表示）。