下载文档原格式
同济版大一高数知识点大一高等数学知识点（同济版）1. 数列与数列极限数列的概念：数列是按照一定顺序排列的数的集合。
数列的通项公式：表示第n项与n的关系的公式。
数列的极限：表示当n趋近于无穷大时，数列的趋势或稳定的值。
2. 函数与函数极限函数的定义：函数是一种将输入值映射到输出值的规则。
函数的极限：表示自变量趋近某个值时，函数的趋势或稳定的值。
3. 一元函数的导数与导数应用导数的定义：表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的计算方法：通过求极限或使用导数的基本运算法则计算。
导函数的应用：求函数在某点的切线方程、解函数的极值问题等。
4. 微分学基本定理与不定积分微分学基本定理：表示函数的微分与定积分之间的关系。
不定积分的概念：表示函数的原函数的集合。
不定积分的计算方法：通过使用积分的基本公式、换元法、分部积分等方法计算。
5. 定积分与定积分应用定积分的概念：表示函数在一定区间上曲线下的面积。
定积分的计算方法：通过使用积分的基本公式、换元法、分部积分等方法计算。
定积分的应用：求曲线与坐标轴所围成的面积、求函数的平均值等。
6. 一元函数的级数级数的概念：由数列的项按一定规律相加而得到的无穷和。
级数的性质：级数的收敛、发散及相关性质。
常见级数的处理方法：通过判断级数的性质，确定级数的和。
7. 二元函数与偏导数二元函数的定义：函数的自变量为两个变量。
偏导数的定义：表示函数变化率在某一方向上的分量。
偏导数的计算方法：通过将其他自变量视为常数，对某一自变量求导。
8. 二重积分与二重积分应用二重积分的概念：表示函数在二维区域上的累积。
二重积分的计算方法：通过使用二重积分的基本公式、极坐标系等方法计算。
二重积分的应用：求二维区域的面积、质心坐标等。
9. 无穷级数与幂级数无穷级数的概念：由数列的项按一定规律相加而得到的无穷和。
幂级数的定义：以自然数幂次递增的项相加而得到的级数。
幂级数的求和范围与收敛域：确定幂级数的求和范围以及其收敛、发散的区域。
1/20第三节函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结思考题2/20[数列极限数列极限]]a x n n →∞→ 时，)(n f x n =— 整标函数[函数的极限函数的极限]],)(x f y =对0)1(x x →+→0)2(x x −→0)3(x x ∞→x )4(+∞→x )5(−∞→x )6(自变量变化过程的六种形式:数列极限数列极限:: 定义收敛数列的性质收敛数列的性质::复习与回顾唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性...sin 时的变化趋势当观察函数∞→x xx一、自变量x →∞时, f (x )的极限1. [引例]单击任意点开始观察观察完毕.0sin )(,无限接近于无限增大时当x xx f x =通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察::即x →∞时, f (x ) ) →→ 0.2. [直观定义] 在x →∞→∞时，函数值时，函数值f (x )无限接近于一个确定 的常数A ,称A 为f (x )当x →∞→∞时的极限时的极限.)()(∞→→x A x f 当或A x f x =∞→)(lim 记作.)( ,)(lim 水平渐近线的图形的是函数则直线如果x f y c y c x f x ===∞→①[水平渐近线]5/20), 0( ,)(1∞+∈=x x f x 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x ) 的渐近线(单方向渐近) .②[两种特殊情况][几何意义][例如]都有水平渐近线 y = 0 (,21)(x x f −−=[又如] ; )(lim A x f x =+∞→ . )(lim A x f x =−∞→)1 , ( ,)(11−∞∈=−x x g x,21)(x x g +=),(+∞−∞∈x ),(+∞−∞∈x )( 无意义无定义−∞→x )( 无意义无定义+∞→x −∞→ x 无极限+∞→ x 都有水平渐近线 y = 1 (单方向渐近)6/20[又如].0sin lim=∞→xxx .)(lim )(lim A x f A x f x x ==−∞→+∞→且[定理]⇔=∞→A x f x )(lim ［课本P38 第10题 充要性 ((证明略)］故有水平渐近线 y = 0 (双方向渐近)[例如].arctan lim x x ∞→考查极限.2πarctan lim =+∞→x x .2πarctan lim −=−∞→x x .arctan lim 不存在故x x ∞→xx y sin =7/20二、自变量x →x 0有限值有限值时时,函数 f (x ) 的极限1. [引例]① 函数1)(+=x x f 在1=x 处的极限为②函数11)(2−−=x xx f 在1=x 处的极限为③函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=−−1,1,)(3112x x x f x x 在1=x 处的极限为 ２２２x →x 0时函数f (x )的极限是否存在,与f (x )在x 0处是否有定义并无关系.8/20).()()(lim 00x x A x f A x f x x →→=→或2. [直观定义]在x → x 0时, 函数值f (x )无限接近于一个确定 的常数A , 称A 为f (x )当x → x 0时的极限. 记作3.[单侧极限][例如].1)(lim :0,10,1)(02=⎩⎨⎧≥+<−=→x f x x x x x f x 证明设两种情况分别讨论和分00<>x x , 0x x 从左侧无限趋近−→−→00 ; 0xx x x 或记作, 0x x 从右侧无限趋近+→+→00 ; 0x x x x 或记作1⎩⎨⎧右极限左极限①[左极限]②[右极限].)()(lim 0)(000A x f A x f x x x x ==−→−→−或记作.)()(lim 0)(000A x f A x f x x x x ==+→+→+或记作}0{}0{}0{ .1000<−<−<−<=<−<x x x x x x x x x δδδ∪[注意]x 0的去心邻域x 0的右邻域x 0的左邻域2. 函数的函数的左、右极限左、右极限左、右极限与函数的与函数的与函数的极限极限极限是三个不同的概念是三个不同的概念, 但三者之间有如下但三者之间有如下重要定理重要定理:.)()()(lim 000A x f x f A x f x x ==⇔=+−→.lim 0不存在验证x xx →xxx x x x −=−−→→00lim lim 左右极限左右极限存在存在存在但但不相等不相等,,.)(lim 0不存在x f x →∴[例1][证]1)1(lim 0−=−=−→x x xx x x x ++→→=00lim lim 11lim 0==+→x ③[极限存在定理]［课本P39 第11题 充要性 ((证明略)］[注] 一般而言, 分段函数在分界点的极限要分左右极限考察.1111/20/20三、函数极限的性质[注]以下仅以以下仅以 形式为代表给出函数极形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。
