纠错码入门 - Lecture-4
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《现代密码学》练习题(含答案)页数:21
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海明纠错码
5.3.6 海明纠错码海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以它也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网中，因为如果信道特性不好的情况下，出现的错误通常不是一位。
海明码的检错、纠错基本思想是将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位进行奇偶性测试，然后产生多位检测信息，并从中得出具体的出错位置，最后通过对错误位取反（也是原来是1就变成0，原来是0就变成1）来将其纠正。
要采用海明码纠错，需要按以下步骤来进行：计算校验位数→确定校验码位置→确定校验码→实现校验和纠错。
下面来具体介绍这几个步骤。
本文先介绍除最后一个步骤的其它几个步骤。
1. 计算校验位数要使用海明码纠错，首先就要确定发送的数据所需要要的校验码（也就是“海明码”）位数（也称“校验码长度”）。
它是这样的规定的：假设用N表示添加了校验码位后整个信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位，它们之间的关系应满足：N=K ＋r≤2r－1。
如K=5，则要求2r-r≥5+1=6，根据计算可以得知r的最小值为4，也就是要校验5位信息码，则要插入4位校验码。
如果信息码是8位，则要求2r-r≥8+1=9，根据计算可以得知r的最小值也为4。
根据经验总结，得出信息码和校验码位数之间的关系如表5-1所示。
表5-1 信息码位数与校验码位数之间的关系现假设原来的8位信息码为10011101，因现在还没有求出各位校验码值，现在这些校验码位都用“？”表示，最终的码字为：？？1？001？1101。
3. 确定校验码经过前面的两步，我们已经确定了所需的校验码位数和这些校验码的插入位置，但这还不够，还得确定各个校验码值。
这些校验码的值不是随意的，每个校验位的值代表了代码字中部分数据位的奇偶性（最终要根据是采用奇校验，还是偶校验来确定），其所在位置决定了要校验的比特位序列。
总的原则是：第i位校验码从当前位开始，每次连续校验i（这里是数值i，不是第i位，下同）位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。
《纠错码概述》课件
03
常见的纠错码技术
奇偶校验码
总结词
简单但可靠性较低
详细描述
奇偶校验码是一种简单的错误检测和纠正方法，通过在数据中添加校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的 个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。这种方法简单易行，但只能检测到一位错误，且无法纠正错误。
海明码
总结词
具有中等可靠性和实现复杂度
详细描述
词
度。
优化解码算法，降低其
详 细
计算复杂度和实现难度
描
，提高解码速度。
述
在解码过程中，采用多 径传播抑制技术，减少 多径干扰对解码的影响
。
1. 降低 复杂
度
解码算法的优化主要包 括以下几个方面
2. 改进 迭代 算法
通过改进迭代算法的收 敛速度和稳定性，提高
解码准确率。
3. 多径 传播 抑制
硬件实现优化
常见的纠错码编码方式有奇偶校验、 海明码、循环冗余校验（CRC）等。
纠错码的解码原理
纠错码解码是在接收端收到编码数据后，根据预先设定的解码算法，对接收到的 数据进行解码，以检测和纠正传输过程中产生的错误。
解码算法通常基于一定的数学原理，如代数、概率统计等，通过特定的计算方法 实现错误检测和纠正。
纠错码的性能指标
软件实现方式
通用软件实现
使用通用的编程语言（如C、C、Python等 ）来实现纠错码的编码和解码过程。这种方 式具有较低的成本和较好的跨平台性，适用 于对成本和灵活性要求较高的场景。
专用软件实现
针对特定的纠错码算法，使用专用的软件库 或工具来实现编码和解码过程。这种方式具 有较高的性能和效率，适用于对性能要求较
纠错能力
编码效率
纠错码学习大纲
《纠错码学习大纲》陆以勤第三章 线性分组码一、线性分组码● 线性分组码[n ,k ,d ]是方程 HC T = 0T 的k 维解空间, H 是由F q (q = p m , p 为素数)中元素组成的秩为n-k 的n-k ⨯ n 矩阵。
张成该码空间的一组基组成的k ⨯ n 矩阵G 称为[n , k , d ]的生成矩阵. d 可由两种方法求出(1) 定理4: d = )(min d]k,.[n c W c ∈; (2) 定理7: 若H 的任意r 列线性无关,并存在r +1列线性相关,则d = r +1; 反之,若d = r +1,则H 的任意r 列线性无关,而必存在有相关的r +1列.由此可知, 只要找到一个秩为n-k 的n-k ⨯ n 矩阵H 或 k 个线性无关的n 维向量 ( 由它们可构成G ) 就可以生成一个线性分组码[n ,k ]。
关键是为使[n ,k ]有纠t 个错误的能力, 必须要d ≥ 2t+1. 因此, H 必须满足任意2t 列线性无关,并存在2t +1列线性相关. 对于二元码, 只要H 任意两列不等并且不含全0的列, 这个码至少可纠一个错.例如, H 的列向量按1 ~ 2m -1的二进制排列, 任意两列线性无关, 而存在线性相关的3列, 因此可得[2m -1, 2m -1-m, 3]的码(汉明码).● 由H 的标准形式H = [Q I n - k ]或相应的G 的标准形式G = [I k -Q T ]确定的线性分组码称为系统码,系统码保留了信息位并在后面加监督位.● 若把H 作为生成矩阵则生成[n ,k ,d ]的对偶码[n , n – k , d’], G 是它的监督矩阵.● 由已知码[n ,k ]可对信息段和监督段进行简单的增删构造成新的码, 从而使信息段和监督段的长度适合不同的需要. 这种构造过程的关键问题是新码最小距离的变化. 这可从监督矩阵变换后列向量的相关性的变化来研究.例如, 由 H '=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+---11100||||ΛM H 可把一个偶检验位加到原码字的最后, 使[n , k ]扩展为[n +1, k ]. 对于汉明码[2m -1, 2m -1-m , 3], 由于d = 3, H 任两列线性无关同时存在线性相关的3列, 而在H 中, 任三列线性无关(最后一位3个1相加不为0), 但存在线性相关的4列(原在H 中线性相关的3列加上H '的最后一列),所以H '确定了扩展汉明码[2m , 2m -1-m , 4].二、线性分组码的译码● 伴随式译码由于线性分组码[n ,k ,d ]是方程 HC T = 0T 的解空间, 任一码字C 满足C T H =0. 若C 经过信道到达终端变为R = C +E . 如没有发生错误(E = 0), 则R T H =0; 如果发生错误即E ≠ 0, 这时有两种情况: 1) E ∈ [n ,k ,d ], 这时R ∈ [n ,k ,d ], 也就是R 变成了另外一个码字, R T H 仍等于0; 2) E ∉ [n ,k ,d ], 这时R T H = C T H + E T H = E T H ≠ 0, 只与E 有关. 由此可见, 如果码字间的距离足够大以至发生了错误也不会变成另一个码字, 则可从S = R T H 判断码字在传输中是否有错,错误的图样是什么. S 称为伴随式.通过伴随式与错误的图样的一一对应关系来译码叫伴随式译码。
第九章_纠错编码
差错控制
●差错控制系统
■前向纠错方式( FEC)：发送端发送具有纠错功能的码 , 接 收端收到这些码后，通过译码器不仅能发现错误 , 而且能 自行纠正错误。
FEC 发送
可以纠正错误的码
接收
■重传反馈方式( ARQ)：发送端发送具有检错功能的码 , 接 收端收到这些码后，译码器对发送的码进行判决 ,接收端将 判决的结果通过反馈信道告诉发送端 , 发送端将接收端认 为有错的消息再次发送 , 直到接收端认为正确为止 .
近世代数学初步
● 群的概念 ■定义1：G是一个非空集合，*是G中的一个代数运算，若 ◆1、封闭性：a , b∈G , 有 a * b ∈G ； ◆2、结合律：a , b , c∈G , 有(a * b) * c = a * ( b * c )； ◆3、存在单位元素 e∈G , a∈ G , 有 e * a = a * e = a ； ◆4、a∈G , 存在逆元素 a-1∈G , 有a-1 * a = a-1 * a = e； ◆5、交换律：a , b∈G , 有 a * b = b * a。 ■如果这种运算 * 满足： ◆条件1, 2, 3, 4则 G 称对代数运算为一个群，或称G为一 个非交换群； ◆条件 1, 2, 3, 4 , 5则称G为一个交换群或Abel群。
基本概念
● 例：试构造 (5 , 2) 线性分组码 , 且dmin = 3 信息组 m： 00 01 10 11 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111 1组 2组 3组 4组 5组 6组 7组 8组 9组 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 01011 01011 01011 01101 01101 01101 01110 01110 01110 10101 10110 10111 10011 10110 10111 10011 10101 10111 11110 11101 11100 11110 11011 11010 11101 11001 11001
第二节 纠错编码原理
第二节 纠错编码原理一、纠错编码的原理一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。
例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。
在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。
如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。
长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。
00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。
当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。
如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。
224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。
长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。
这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。
例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。
第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。
用于单向信道的简单纠错码.ppt
元
编
例如 将信息序列 10110100 逐位重复 3 次，
码
即得编码序列：111 000 111 111 000 111 000 000 .
注 (1) 逐位重复码可以抗独立错误。 (2) 重复次数一般取奇数。
2
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 一、简单重复码
四 章
最简单的纠正错误方法，就是将信息多次重复传输。
干
信息元
码字
扰
二
5
元 生成方法 (2) 奇一致监督 x5 j xi 1, j 1, 2, 3, 4, 5.
编
i 1 i j
码
例如 10100 10100 01011 ; (反重复)
10110 10110 10 110 . (正重复)
注 下面提到的正反码均采用偶一致监督。
6
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
注 分段重复码可以抗突发错误。
简单重复码的纠错能力强，但编码效率低。 3
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 二、正反码
四 章
正反码最初由马可尼电报公司提出，并应用于前向纠错
设备中，称为自动单路纠错系统。
抗
(马可尼)
干 1. 构成原理与生成方法
扰
二 构成原理 正反码是将每 5 位信息元按一定的监督关系扩充为
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 四
§4.3
用于单向信道的简单纠错码
章
一、简单重复码
抗 干
二、正反码
扰
二
元
编
码
1
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 一、简单重复码
四 章
纠错码课件-循 环 码 (IV)
w(Si (x)) ≤ t
其中w(Si (x))是伴随式 i (x)的重量 是伴随式S 其中 是伴随式 的重量 (R(x), S0(x), R(x)’) (Ri(x)=xiR(x), Si(x)=xiS0(x)) 满足w(Si (x)) ≤t 满足w ≤t Ri (x)’= Ri(x)- Si(x)=xi R(x)’) )’= xn-i Ri (x)’= xn R(x)’= R(x)’(mod xn-1) )’= )’= R( )’(mod
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
循 环 码 （IV） ）
内容
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码 仿真流程及Gaussian噪声的产生 噪声的产生 仿真流程及
一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
1、根据接收序列R计算伴随式 、根据接收序列 计算伴随式 计算伴随式S=RHT (n-k维向量 维向量) 维向量 2、根据伴随式S寻找错误图样 、根据伴随式 寻找错误图样 寻找错误图样E 3、根据错误图样E估计码向量 、根据错误图样 估计码向量 估计码向量C’=R-E，进而估计信息 ， 序列（系统码、非系统码） 序列（系统码、非系统码）
基本原理
若错误集中在校验元的n-k位上，即EI(x)=0, 位上， 若错误集中在校验元的 位上 E(x)=EP(x)
S (x ) ≡ E (x ) = E P (x ) mod(g (x ))
此时，伴随式就是错误图样， 此时，伴随式就是错误图样，C’(x)=R(x)-S(x) 可用捕错译码循环码必须满足
c6 s3 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 c5 = s2 = HC T = 0 M s 1 0 0 0 1 0 1 1 c 0 s0
信息论-第9章信道的纠错编码
9.1 基本概念 —— 信道分类
随机信道
特征：错误是随机、独立的（前后码元的错误无关） 主要干扰源：高斯白噪声 例：同轴电缆、光纤
突发信道
特征：错误是成串的（前后码元的错误相关） 主要干扰源：强脉冲干扰 例：短波信道、移动通信信道
1
9.1 基本概念 —— 错误图样
定义
对于二元信道，接收序列与发送序列的模2加
6
9.2 线性分组码 —— 纠错码的开端
典型的打孔卡 打孔卡读卡机
7
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
检出1-3位错误，纠正1位错误
信息组: x (m2m1m0 )
监督元: b (b3b2b1b0 )
监督元生成方程:
模2运算
b3 m2
m0
b2 m2 m1 m0
b1 m2 m1
1 0 1 1 0 0 0
H
(QT
I
4
)
1 1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 1 1 0 0 0 1
(QT I4 )CT OT
HCT OT
CHT O
其中 O 0 0 0
11
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
接收码字：
R CE
伴随式:
S RHT
S (C E)HT CHT EH T O EH T EH T
x(I3 Q) xG
生成矩阵:
1 0 0 1 1 1 0
G (I3 Q) 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1
9
9.2 线性分组码 — m0
b1 m2 m1
b0
m1 m0
b3 m2
随机信道
特征：错误是随机、独立的（前后码元的错误无关） 主要干扰源：高斯白噪声 例：同轴电缆、光纤
突发信道
特征：错误是成串的（前后码元的错误相关） 主要干扰源：强脉冲干扰 例：短波信道、移动通信信道
1
9.1 基本概念 —— 错误图样
定义
对于二元信道，接收序列与发送序列的模2加
6
9.2 线性分组码 —— 纠错码的开端
典型的打孔卡 打孔卡读卡机
7
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
检出1-3位错误，纠正1位错误
信息组: x (m2m1m0 )
监督元: b (b3b2b1b0 )
监督元生成方程:
模2运算
b3 m2
m0
b2 m2 m1 m0
b1 m2 m1
1 0 1 1 0 0 0
H
(QT
I
4
)
1 1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 1 1 0 0 0 1
(QT I4 )CT OT
HCT OT
CHT O
其中 O 0 0 0
11
9.2 线性分组码 —— (7, 3)分组码
接收码字：
R CE
伴随式:
S RHT
S (C E)HT CHT EH T O EH T EH T
x(I3 Q) xG
生成矩阵:
1 0 0 1 1 1 0
G (I3 Q) 0 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 1
9
9.2 线性分组码 — m0
b1 m2 m1
b0
m1 m0
b3 m2
纠错码PPT
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
纠错码
[ d 1 ] 2 位错误。
证明 设发出码字x C ，信息发生错误 Fqn ,从而收到的向量为 y x 。
如果发生小于等于d-1位错误，即 1 w( ) d 1 。则1 d ( x, y) w( y x) w( ) d 1 ，
由于不同码字之间的汉明距离都大于等于d，而 x C ，可知 y C 。 从而收方可发现出了错。
6.1 什么是纠错码
例1 （重复码）把每个信息
( a0 a1a2 a3 ) F24 重复三次而传送成
12 (a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) F2
F212 中只有 所以
2
4
个向量才表示有意义的信息，它们形成F212 的一个子集合
C {(a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) : ai F2}
n 定义6.1.3 设C是码长为n的q元纠错码（即C为 Fq 的一个子集合）。
定义C的最小距离
即
d d (C ) 为C中不同码字之间汉明距离的最小值，
d (C ) min{d (c, c C, c c}
定理6.1.4 设纠错码C的最小距离为d，则此码可检查 d 1 位错误，也可纠正
的一组基，从而生成阵可取为
1 I G n 1 1
码的参数为[n,n-1,2]（易知C的最小距离为2）。当q=2时，此码即是 F2 中 汉明重量为偶数的全部向量组成的线性码
n
q元线性码C=[n,k]是 Fq 的一个k维向量子空间。由线性代数知C必是某个 线性齐次方程组
证明 零向量0是线性码C中的码字，并且任何两个码字之差仍是码字。 可知C中不同码字之差所形成的集合就是C中非零码字形成的集合。 由此及
证明 设发出码字x C ，信息发生错误 Fqn ,从而收到的向量为 y x 。
如果发生小于等于d-1位错误，即 1 w( ) d 1 。则1 d ( x, y) w( y x) w( ) d 1 ，
由于不同码字之间的汉明距离都大于等于d，而 x C ，可知 y C 。 从而收方可发现出了错。
6.1 什么是纠错码
例1 （重复码）把每个信息
( a0 a1a2 a3 ) F24 重复三次而传送成
12 (a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) F2
F212 中只有 所以
2
4
个向量才表示有意义的信息，它们形成F212 的一个子集合
C {(a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) : ai F2}
n 定义6.1.3 设C是码长为n的q元纠错码（即C为 Fq 的一个子集合）。
定义C的最小距离
即
d d (C ) 为C中不同码字之间汉明距离的最小值，
d (C ) min{d (c, c C, c c}
定理6.1.4 设纠错码C的最小距离为d，则此码可检查 d 1 位错误，也可纠正
的一组基，从而生成阵可取为
1 I G n 1 1
码的参数为[n,n-1,2]（易知C的最小距离为2）。当q=2时，此码即是 F2 中 汉明重量为偶数的全部向量组成的线性码
n
q元线性码C=[n,k]是 Fq 的一个k维向量子空间。由线性代数知C必是某个 线性齐次方程组
证明 零向量0是线性码C中的码字，并且任何两个码字之差仍是码字。 可知C中不同码字之差所形成的集合就是C中非零码字形成的集合。 由此及
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Introduction to Error Correction Codes
Properties of Cyclic codes
Continued.
基于LDPC码的HARQ技术研究 Introduction to Error Correction Codes
Introduction to Error Correction Codes
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Introduction to Error Correction Codes
Systematic encoding
Given g(X), we have the following encoding algorithm:
Properties of Cyclic codes
Aha, the encoding of cyclic codes can be achieved by multiplying two polynomials.
Then, how to find g(X) ? The (n,k) cyclic code is determined by g(X). g(X) is called the generator polynomial of the cyclic code. Degree of g(x) is equal to the number of parity-check bits.
Generator matrix
The (n, k) cyclic code C defined by g(X). g(X), Xg(X),…,Xk-1g(X) are codewords. These k codewords span the code C.
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Then the code polynomial of v(i) is,
To explore the relationship between V(X) and V(i)(X).
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Cyclic codes
For vector v, define the following degree-(n-1) polynomial,
Then the code polynomial of v(i) is,
To explore the relationship between V(X) and V(i)(X).
Example
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Example
Take g(X) = 1+X as an example. How many cyclic codes with length 7 ?
Generator matrix
For example, if
If extend G to an 7*7 matrix. How to obtain the systematic matrix ? Can you generalize this idea ?
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Properties of Cyclic codes
A natural question: is cyclic code exists for any (n,k) ?
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Lecture 4
Shancheng Zhao zhaoday@
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Properties of Cyclic codes
Coefficient of the highest degree term is 1. Coefficient of the constant term is 1.
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Generator matrix
Hence, we can define
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Introduction to Error Correction Codes
Outline
Basics of cyclic codes Generator and parity-check matrices Encoding of cyclic codes Error detection with cyclic codes Decoding of cyclic codes Error-trapping decoding Quasi-cyclic codes
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Cyclic codes
Hence,
Take i = 1 as an example.
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Properties of Cyclic codes
Theorem: The nonzero code polynomial of minimum degree in a cyclic code is unique.
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Cyclic codes
Let be a length-n vector. Shift v one place to the right, we have, Shift v i place to the right, we have,
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Systematic encoding
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Parity‐check matrix
Obtained from the systematic form of G. However, we have where WHY? with
H can also be obtained from h(X).
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Properties of Cyclic codes
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(7,4) Hamming code
Codewords:
Find the g(X). Find the u(x) of the all‐1 codeword.
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Properties of Cyclic codes
The number of polynomials with degree n-1 or less that are multiples of g(X) is 2n-r. These polynomials form the code polynomial of (n, k) cyclic code Hence, we have k = n-r. That is r = n-k.
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