河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精练试题

河北省2018年初中毕业生升学文化课考试数学答案解析第Ⅰ卷 一、选择题1．【答案】A【解析】本题考查三角形的稳定性．根据已知四个图形，具有稳定性的是三角形，故选A ．【考点】三角形的稳定性2．【答案】B【解析】本题考查科学记数法表示较大的数．108.15551081555000000⨯=，原数中有6个“0”，故选B ．【考点】科学记数法3．【答案】C【解析】本题考查轴对称图形的对称轴．在轴对称图形中，对称轴两旁的图形要完全重合，根据“○”和“□”的排列规律可判断，该图形的对称轴是3l ，故选C ．根据对称轴两旁的图形确定对称轴是解答本题的关键．【考点】轴对称图形的对称轴4．【答案】C【解析】本题考查完全平方公式的变形．22229.5(100.5)102100.50.5=-=-⨯⨯+，故选C ．【考点】完全平方公式的变形5．【答案】C【解析】本题考查几何体的三视图．根据四个已知的几何体，它们的三视图如图所示．故选C ．分别确定已知几何体的三视图是解答本题的有效方法．【考点】几何体的三视图6．【答案】D【解析】本题考查尺规作图．根据已知作图，图①是作角平分线，对应Ⅳ；图②是过直线外一点作直线的垂线，对应Ⅰ；图③是作线段的垂直平分线，对应Ⅱ；图④是过直线上一点作直线的垂线，对应Ⅲ，故选D ． 根据基本作图的步骤判定所作直线是解答本题的关键．【考点】尺规作图7．【答案】A【解析】本题考查等式的性质．在A 组中2个=3个；在B 组中，两边同时减去2个，则1个=2个；在C 组中，两边同时减去1个，则1个=2个；在D 组中，2个=4个，即1个=2，则由题意可以看出，只有A 组的等式不成立，即A 组中左右两边质量不相等，故选A ． 根据等式的性质判断左右两边质量是否相等是解答本题的关键．【考点】等式的性质8．【答案】B【解析】本题考查辅助线的作法．作图时只能作出“垂直”或“平分”其中一个条件，故选B ．【考点】辅助线的作法9．【答案】D【解析】本题考查平均数、方差．根据已知条件可知，丁种麦苗的平均数大，方差小，∴丁种麦苗又高又整齐，故选D ．【考点】平均数、方差10．【答案】B【解析】本题考查判断命题的对错．根据题意，1-的倒数是1-，命题错误，该同学判断正确；|3|3-=，命题正确，该同学判断错误；1，2，3，3的众数是3，命题错误，该同学判断错误；021=，命题正确，该同学判断正确；22()2m m m ÷-=-，命题正确，该同学判断正确．综上所述，该同学做对3道题，故选B ．【考点】判断命题的对错11．【答案】A【解析】本题考查方位角．如图，根据题意可知，150∠=︒，2150∠=∠=︒，3805030∠=︒-︒=︒∴， ∴快艇航行的方向为北偏东30︒，故选A ．根据已知条件求出方位角的度数是解答本题的关键．【考点】方位角12．【答案】B【解析】本题考查正方形的性质．如图，每个正方形的顶点处增加2 cm ，则共需增加8 cm ，故选B ．找出两全正方形的边长的差值是解答本题的关键．【考点】正方形的性质13．【答案】A【解析】本题考查实数的运算．22222n n n n +++=，即422n =，122n =∴，1n =-∴，故选A ． 掌握负指数幂的计算是解答本题的关键．【考点】实数的运算14．【答案】D【解析】本题考查分式的化简，根据题意，222222222121(2)12()()11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x--------÷==-=-=------， ∴乙同学和丁同学的做法错误，故选D ．【考点】分式的化简15．【答案】B【解析】本题考查平移的性质、三角形内心的概念、等腰三角形的性质．如图，设平移后三角形的两边与AB 边分别相交于点M ，N ，连接AI ，BI ，由平移性质可知AC IM ∥，CAI AIM ∠=∠∴，又∵I 是ABC △的内心，∴AI 平分GAM ∠，即CAI IAM ∠=∠，AIM IAM ∠=∠∴，AM IM =∴，同理，BN IN =，∴IMN △的周长为4AB =，故选B ．作辅助线证明线段相等是解答本题的最佳途径．【考点】平移的性质、三角形内心的概念、等腰三角形的性质16．【答案】D【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质．由题意可知，抛物线(3)(03)y x x c x =--+≤≤是将抛物线(3)y x x =--向上平移c 个单长度而得，∴抛物线(3)(03)y x x c x =--+≤≤与直线2y x =+有唯一交点即抛物线(3)y x x =--与直线2y x c =+-有唯一交点，联立方程组，解得1c =，经检验符合题意；又∴03x ≤≤，且c 为整数∴2c -的值可以是1-，2-，3-，∴c 的值为3，4，5，∴c 的值为1，3，4，5，故选D ．将抛物线平移转换为直线平移是解答本题最简洁的方法．【考点】一次函数和二次函数的图象与性质第Ⅱ卷二．填空题17．【答案】22==． 掌握开方运算是解答本题的关键．【考点】二次根式的运算18．【答案】0【解析】本题考查相反数的性质．∵a ，b 互为相反数，∴27a b =，∴220a b -=．【考点】相反数的性质19．【答案】1421【解析】本题考查正多边形的性质、设计图案．由图可知，当90BPC ∠=︒时，图案上方是正方形，两边是正八边形，∴它的外轮廓周长为8243214⨯+-⨯=；当60BPC ∠=︒时，图案上方是等边三角形，两边是正十二边形，∴它的外轮廓周长是12233221⨯+-⨯=，当60BPC ∠︒＜时，上方图案不是正多边形，∴图案的外轮廓周长最大为21．掌握正多边形内角之间的关系是构成图案的重要因素，也是解答本题的关键．【考点】正多边形的性质、设计图案三、解答题20．【答案】解：（1）原式=22368652x x x x ++---=22 6.x -+（2）设“”为a ，则原式=2268652ax x x x ++---=2(5) 6.a x -+∵结果是常数，∴5a =．【解析】（1）先去括号，再合并同类项；（2）可设系数为a ，合并后2x 的系数为0，可解出a 的值，即为所猜的数值．【考点】整式的化简21．【答案】解：（1）62524÷=％（人），245649---=（人）．即被遮盖的数是9；册数的中位数是5．（2）由条形图知，读书超过5册的学生共有6410+=（人），∴P （读书超过5册的学生）=1024=512． （3）3．【解析】（1）先根据读6册的学生人数和所占的百分比求出抽查的学生人数，再减去读4册、6册、7册的人数，可求出读5册的学生人数，从而确定中位数；（2）根据概率公式，先求出读书超过5册的学生人数，再根据所抽查学生的总人数即可求出概率；（3）根据“最少的读了6册”和“中位数不变”可确定增加的人数．【考点】统计知识的应用、求概率22．【答案】解：尝试 （1）52193--++=．（2）由题意，得5219219x --++=-+++，解得5x =-．应用 与（2）同理，得第6个到第8个台阶上的数依次是：2-，1，9，可见台阶上的数从下到上按5-，2-，1，9四个数依次循环排列．∵31743=⨯+，∴前31个台阶上数的和为73(521)15⨯+--+=．发现41k -．【解析】尝试：（1）根据题意列出算式，计算出前4个台阶上的数字和；（2）根据（1）求出的和可列出方程，求出x 的值；应用：由题意可知台阶上的数的规律，可根据规律求出31个台阶上的数的和；发现：用代数式表示“1”所在的台阶数．【考点】探索规律、有理数的运算、列方程23．【答案】解：（1）证明：如图，∵P 为AB 中点，∴PA PB =．又∵A B ∠=∠，MPA NPB ∠=∠，∴.APM BPN △≌△（2）由（1）得PM PN =，∴2MN PN =．∵2MN BN =，∴PN BN =，∴50a B =∠=︒．（3）4090a ︒<<︒．【解析】（1）根据中点定义得AP BP =，结合已知条件，利用“ASA ”判定APM BPN △≌△；（2）根据全等三角形的对应边相等和已知条件，可证明PN =BN ，从而求出a 的度数；（3）根据条件说明三角形是锐角三角形，即可写出a 的取值范围．【考点】全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外心24．【答案】解：（1）(,4)C m 在直线152y x =-+上，∴1452m =-+，解得2m =． 设2l 的解析式为y kx =，∵(2,4)C 在2l 上，∴42k =，即2k =．∴2l 的解析式为2y x =．（2）把0y =代入152y x =-+，得10x =，∴=10OA ．把0x =代入152y x =-+，得5y =，∴5OB =． ∴1104202AOC S =⨯⨯=△， 15252BOC S =⨯⨯=△．∴20515AOC BOC S S -=-=△△．（3）12-，2，32． 【解析】（1）将点C 的坐标代人直线解析式，求出m 的值，再将点C 的坐标代入函数关系式，求出正比例函数的解析式；（2）先求出直线与坐标轴的交点，得线段的长，根据三角形的面积公式求解；（3）根据不能组成三角形的条件，分情况写出k 的值．【考点】一次函数的图象及其性质、三角形的面积25．【答案】解：（1）设AOP n ∠=︒，则π2613π180n ⨯=，得90n =︒，即90AOP ∠=︒； ∵l OB ∥， ∴426tan tan 3OP PQO AOB OQ x ∠=∠===．∴19.5x =．（2）要使x 变小，则l 向左平移．当l 平移到与AB 所在圆相切位置1l 时，如图，O 与l 的距离达到最大值126OP =，此时1Q 所对应的（负）数最小．在11Rt PQ O △中，114tan tan 3PQ O AOB ∠=∠=．设113PQ k =，则1426OP k ==，于是15OQ k =， ∴26532.5.4x =-⨯=-最小 此时直线l 与AB 所在圆相切．（3）31.5±，16.5-．过点P 作PH OA ⊥于H ．在Rt PNQ △中，由4tan 3HOP ∠=，设4PH k =，3HQ k =，则512.5P Q k ==，∴10PH =，7.5HQ =．在Rt POH △中，24OH ==．①当点P 在O 右上方时，如图1，31.5x OQ OH HQ ==+=；②当点P 在O 左上方时，如图2，16.5x OQ OH HQ -==-=，∴16.5x =-；③当点P 在O 左下方时，如图3，31.5x OQ OH HQ -==+=，∴=31.5x -． 另外，∵54tan tan 123POH AOB ∠==∠＜， ∴POH AOB ∠∠＜．∴优弧AB 上不存在点P 在O 右下方的情况．【解析】（1）根据弧长公式求出圆心角度数，再根据锐角三角函数求出线段的长，即为x 的值；（2）根据切线性质和锐角三角函数求出线段的长，利用勾股定理求解；（3）根据已知线段的长，利用锐角三角函数和勾股定理求出线段的长，根据线段的长确定点在数轴上的值，即为x 的值．【考点】弧长公式、锐角三角函数、切线的性质、勾股定理26．【答案】解：（1）由题意，点A 为(1,18)，代入k y x =，得181k =，∴18k =； 设2h at =，将1t =，5h =代入，得5a =，∴25h t =．（2）∵5v =，1AB =，∴51x t =+；∵25h t =，18OB =，∴2518y t =-+；由51x t =+，得1(1)5t x =-． ∴2211289(1)18()5555y x y x x =--+=-++或； 当13y =时，2113(1)185x =--+，得6x =或4-． ∵1x ≥，∴只取6x =．把6x =代入18y x=，得3y =． ∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13310-=（米）（3） 1.8t =；7.5v 乙＞．把18y =．代入2518y t =-+，得2 3.24t =（即1825），∴ 1.8t =±（舍去负值）．从而10x =． ∴甲为(10,18)．恰好落在滑道18y x=上． 此时乙为(1 1.8,1.8)v +乙． 由题意，得1 1.8(15 1.8) 4.5v +-+⨯>乙，∴7.5v 乙＞．【解析】（1）将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求出k 的值，再根据题意列出h 和t 的函数关系式，将对应值代入即可求出待定系数，从而用t 表示h ；（2）根据题意列出函数关系式，用待定系数表示点的坐标，代入整理后得二次函数关系式，根据函数值列出方程，求解后，取符合题意的值代入反比例函数解析式，从而求出距离；（3）根据题意列出方程，求出t 的值，再确定v 乙的范围．【考点】反比例函效的图象及其性质、二次函数的应用。

2018年河北中考数学答案1. 下列图形具有稳定性的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】解：三角形具有稳定性．故选：A.根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．2. 一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 10【答案】B【解析】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，∴原数中“0”的个数为6，故选：B.把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n>0时，n是几，小数点就向后移几位．3. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )A. l1B. l2C. l3D. l4【答案】C【解析】解：该图形的对称轴是直线l3，故选：C.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．4. 将9.52变形正确的是( )A. 9.52=92+0.52B. 9.52=(10+0.5)(10−0.5)C. 9.52=102−2×10×0.5+0.52D. 9.52=92+9×0.5+0.52【答案】C【解析】解：9.52=(10−0.5)2=102−2×10×0.5+0.52，故选：C.根据完全平方公式进行计算，判断即可．本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．5. 图中三视图对应的几何体是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：观察图形可知选项C符合三视图的要求，故选：C.首先画出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者用排除法．考查三视图问题，关键是由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的具体形状．6. 尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是( )A. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−ⅣB. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−ⅣC. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−ⅣD. ①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−Ⅳ【答案】D【解析】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是：①−Ⅳ，②−Ⅳ，③−Ⅳ，④−Ⅳ.故选：D.分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．7. 有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x=1.5y，此时B，C，D选项中都是x=2y，故A选项错误，符合题意．故选：A.直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．8. 已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A. 作∠APB的平分线PC交AB于点CB. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC. 取AB中点C，连接PCD. 过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】B【解析】【分析】利用作图方法即判断三角形全等的方法判断即可得出结论．此题主要考查了基本作图，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90∘，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90∘，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D 、利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，符合题意，B 、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B.9. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x 甲−=x 丙−=13，x 乙−=x 丁−=15：s 甲2=s 丁2=3.6，s 乙2=s 丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】解：∵x 乙−=x 丁−>x 甲−=x 丙−，∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，∵s 甲2=s 丁2<s 乙2=s 丙2， ∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，综上，麦苗又高又整齐的是丁，故选：D.方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．10. 图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】解：①−1的倒数是−1，原题错误，该同学判断正确；②|−3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；④20=1，原题正确，该同学判断正确；⑤2m2÷(−m)=−2m，原题正确，该同学判断正确；故选：B.根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．本题主要考查倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则．11. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50∘航行到B处，再向右转80∘继续航行，此时的航行方向为( )A. 北偏东30∘B. 北偏东80∘C. 北偏西30∘D. 北偏西50∘【答案】A【解析】解：如图，，∵AP//BC，∴∠2=∠1=50∘，∴∠3=∠4−∠2=80∘−50∘=30∘，此时的航行方向为北偏东30∘，故选：A.根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12. 用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1(单位：cm)得到新的正方形，则这根铁丝需增加( )A. 4cmB. 8cmC. (a+4)cmD. (a+8)cm【答案】B【解析】解：∵原正方形的周长为acm，cm，∴原正方形的边长为a4∵将它按图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为(a+2)cm，4+2)=a+8(cm)，则新正方形的周长为4(a4因此需要增加的长度为a+8−A=8cm.故选：B.根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范．13. 若2n+2n+2n+2n=2，则n=( )A. −1B. −2C. 0D. 14【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m⋅a n=a m+n(m,n是正整数).利用乘法的意义得到4⋅2n=2，则2⋅2n=1，根据同底数幂的乘法得到21+n=1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n的方程即可．【解答】解：∵2n+2n+2n+2n=2，∴4⋅2n=2，∴2⋅2n=1，∴21+n=1，∴1+n=0，∴n=−1.故选A.14. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A. 只有乙B. 甲和丁C. 乙和丙D. 乙和丁【答案】D【解析】解：∵x 2−2xx−1÷x21−x=x2−2xx−1⋅1−xx2=x2−2xx−1⋅−(x−1)x2=x(x−2)x−1⋅−(x−1)x2=−(x−2)x=2−xx，∴出现错误是在乙和丁，故选：D.根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．15. 如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )A. 4.5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI =∠BAI ，由平移得：AC//DI ，∴∠CAI =∠AID ，∴∠BAI =∠AID ，∴AD =DI ，同理可得：BE =EI ，∴△DIE 的周长=DE +DI +EI =DE +AD +BE =AB =4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B.连接AI 、BI ，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI 是∠CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD =DI ，同理BE =EI ，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长． 本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．16. 对于题目“一段抛物线L ：y =−x(x −3)+c(0≤x ≤3)与直线l ：y =x +2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c =1，乙的结果是c =3或4，则( )A. 甲的结果正确B. 乙的结果正确C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D 【解析】解：∵抛物线L ：y =−x(x −3)+c(0≤x ≤3)与直线l ：y =x +2有唯一公共点 ∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式{y =−x(x −3)+c y =x +2得x 2−2x +2−c =0△=(−2)2−4(2−c)=0解得：c =1，当c =1时，相切时只有一个交点，和题目相符所以不用舍去；②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x ≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5)在抛物线上∴c的最小值=2，但取不到，c的最大值=5，能取到∴2<c≤5又∵c为整数∴c=3，4，5综上，c=1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，故选：D.分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△=0求得c=1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c=3，4，5，故c=3，4，5 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．17. 计算：√−12=______.−3【答案】2=√4=2，【解析】解：√−12−3故答案为：2.先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．18. 若a，b互为相反数，则a2−b2=______.【答案】【解析】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∴a2−b2=(a+b)(a−b)=0.故答案为：0.直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．19. 如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC =90∘，而90∘2=45∘是360∘(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是______；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是______. 【答案】 14，21.【解析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC =2x ∘，先表示中间正多边形的边数：外角为180∘−2x ∘，根据外角和可得边数=360180−2x ，同理可得两边正多边形的外角为x ∘，可得边数为360x，计算其周长可得结论． 解：图2中的图案外轮廓周长是：8−2+2+8−2=14； 设∠BPC =2x ∘，∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为：360180−2x =18090−x ， 以∠APB 为内角的正多边形的边数为：360x ，∴图案外轮廓周长是=18090−x −2+360x −2+360x −2=18090−x +720x −6， 根据题意可知：2x ∘的值只能为60∘，90∘，120∘，144∘， 当x 越小时，周长越大，∴当x =30时，周长最大，此时图案定为会标， 则会标的外轮廓周长是=18090−30+72030−6=21， 故答案为：14，21.本题考查了正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360∘是关键．20. 嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)−(6x+5x2+2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？【答案】解：(1)(3x2+6x+8)−(6x+5x2+2)=3x2+6x+8−6x−5x2−2=−2x2+6；(2)设“”是a，则原式=(ax2+6x+8)−(6x+5x2+2)=ax2+6x+8−6x−5x2−2=(a−5)x2+6，因为标准答案的结果是常数，所以a−5=0，解得：a=5.【解析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．(1)原式去括号、合并同类项即可得；(2)设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．21. 老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2)，其中条形图被墨迹掩盖了一部分.(1)求条形图中被掩盖的数，并写出册数的中位数；(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；(3)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了___________人.【答案】解：(1)抽查的学生总数为6÷25%=24(人)，读书为5册的学生数为24−5−6−4=9(人)，所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；(2)选中读书超过5册的学生的概率=1024=512；(3)3.【解析】【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图和中位数．(1)用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；(2)用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率；(3)根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【解答】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．故答案为3.22. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着−5，−2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试(1)求前4个台阶上数的和是多少？(2)求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数．【答案】解：尝试：(1)由题意得前4个台阶上数的和是−5−2+1+9=3；(2)由题意得−2+1+9+x=3，解得：x=−5，则第5个台阶上的数x是−5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1−2−5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k−1.【解析】尝试：(1)将前4个数字相加可得；(2)根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k−1.本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．23. 如图，∠A=∠B=50∘，P为AB中点，点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α.(1)求证：△APM≌△BPN；(2)当MN=2BN时，求α的度数；(3)若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．【答案】(1)证明：∵P是AB的中点，∴PA=PB，在△APM和△BPN中，∵{∠A=∠BPA=PB∠APM=∠BPN，∴△APM≌△BPN(ASA)；(2)解：由(1)得：△APM≌△BPN，∴PM=PN，∴MN=2PN，∵MN=2BN，∴BN=PN，∴α=∠B=50∘；(3)解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形，∵∠B=50∘，∴40∘<∠BPN<90∘，即40∘<α<90∘.【解析】(1)根据AAS证明：△APM≌△BPN；(2)由(1)中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；(3)三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．24. 如图，直角坐标系xOy中，一次函数y=−12x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4).(1)求m的值及l2的解析式；(2)求S△AOC−S△BOC的值；(3)一次函数y=kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．【答案】解：(1)把C(m,4)代入一次函数y=−12x+5，可得4=−12m+5，解得m=2，∴C(2,4)，设l2的解析式为y=ax，则4=2a，解得a=2，∴l2的解析式为y=2x；(2)如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=4，CE=2，y=−12x+5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10，∴A(10,0)，B(0,5)，∴AO=10，BO=5，∴S△AOC−S△BOC=12×10×4−12×5×2=20−5=15；(3)一次函数y =kx +1的图象为l 3，且11，l 2，l 3不能围成三角形， ∴当l 3经过点C(2,4)时，k =32； 当l 2，l 3平行时，k =2； 当11，l 3平行时，k =−12； 故k 的值为32或2或−12.【解析】(1)先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；(2)过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD =4，CE =2，再根据A(10,0)，B(0,5)，可得AO =10，BO =5，进而得出S △AOC −S △BOC 的值；(3)分三种情况：当l 3经过点C(2,4)时，k =32；当l 2，l 3平行时，k =2；当11，l 3平行时，k =−12；故k 的值为32或2或−12.本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．25. 如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心，OA 为半径作优弧AB⏜，使点B 在O 右下方，且tan∠AOB =43，在优弧AB⏜上任取一点P ，且能过P 作直线l//OB 交数轴于点Q ，设Q 在数轴上对应的数为x ，连接OP.(1)若优弧AB⏜上一段AP ⏜的长为13π，求∠AOP 的度数及x 的值； (2)求x 的最小值，并指出此时直线l 与AB ⏜所在圆的位置关系； (3)若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值.【答案】解：(1)如图1中，由n⋅π⋅26180=13π，解得n=90∘，∴∠POQ=90∘，∵PQ//OB，∴∠PQO=∠BOQ，∴tan∠PQO=tan∠QOB=43=OPOQ，∴OQ=392，∴x=39 2.(2)如图当直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．在Rt△OPQ中，OQ=OP÷45=32.5，此时x的值为−32.5.(3)分三种情况：①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k.在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=(4k)2+(3k−12.5)2，整理得：k2−3k−20.79=0，解得k=6.3或−3.3(舍弃)，∴OQ=5k=31.5.此时x的值为31.5.②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H.设OH=4k，QH=3k.在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=(4k)2+(12.5+3k)2，整理得：k2+3k−20.79=0，解得k=−6.3(舍弃)或3.3，∴OQ=5k=16.5，此时x的值为−16.5.③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH=4k，QH=3k.在Rt△OPH中，∵OP2=OH2+PH2，∴262=(4k)2+(3k−12.5)2，整理得：k2−3k−20.79=0，解得k=6.3或−3.3(舍弃)，∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃．此时x的值为−31.5.综上所述，满足条件的x的值为−16.5或31.5或−31.5.【解析】(1)利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；(2)如图当直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．(3)由于P是优弧AB⏜上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．本题考查圆综合题、平行线的性质、弧长公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26. 如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴(水平)18米，与y轴交于点B，与滑道y=kx(x≥1)交于点A，且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离ℎ(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比，且t=1时ℎ=5，M，A的水平距离是vt米.(1)求k，并用t表示h；(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式(不写x的取值范围)，及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围.【答案】解：(1)由题意，点A(1,18)代入y=kx得：18=k1∴k=18设ℎ=at2，把t=1，ℎ=5代入∴a=5∴ℎ=5t2(2)∵v=5，AB=1∴x=5t+1∵ℎ=5t2，OB=18∴y=−5t2+18由x=5t+1则t=15(x−1)∴y=−15(x−1)2+18=−15x2+25x+895(x−1)2+18当y=13时，13=−15解得x=6或−4∵x≥1∴x=6把x=6代入y=18xy=3∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13−3=10(米)(3)把y=1.8代入y=−5t2+18得t2=8125解得t=1.8或−1.8(负值舍去)∴x=10∴甲坐标为(10,1.8)，,1.8)此时，乙的坐标为(1+1.8v乙−(1+5×1.8)>4.5由题意：1+1.8v乙>7.5∴v乙【解析】(1)用待定系数法解题即可；(2)根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；.(3)求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题．。

河北中考复习之几何证明1、如图1，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是【】A．22B．21 C．23 D．322、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是A．10 B．212C．152D．123、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图3所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹4、如图4，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于．5、一个正方形和两个等边三角形的位置如图5所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°6、把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图6-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图6-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．7、如图7-1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图7-2，则阴影部分的周长为．8、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图8-1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图8-2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为．9、如图10，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．10、平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图10，则∠3+∠1-∠2= ．BCDEF GHA图3AB CD图4图2AB CDABDCERPQ图1图5 图6-1 图7-1 图8-2图6-2 图7-2 图8-1图14 图10 图11 图12 图1312、如图12，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则空白阴影s s A ． 3 B．4 C ．5 D ． 613、如图13，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图13．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上 B ．点M 在BC 的中点处 C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远14、如图14，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则扇形s =15、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9—1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图9—2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm16、如图15，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．17、如图16，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE=2，则BC=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 18、如图17，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．519、如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A ，B 围成的正方体上的距离是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ． 320、如图14，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．20、嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC=AD ，AB= 求证：四边形ABCD 是 四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ． 21、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．左 右左 右 第二次折叠 第一次折叠 图9－1 图9－2 图15 图16 图17 图14（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．22、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，又知∠EFD=∠BCD，请问你能推出什么结论？（直接写出一个结论，要求结论中含有字母E）23、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．22．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．23、在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB= a km（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中 管道长度为d 1，且d 1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥ l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2 ，且d 2=PA +PB （km ）（其中点A '与点A 关于l 对称，A 'B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d 1= km （用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2=km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当a = 4时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a = 6时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？24、在正方形ABCD 中，点E 是AD 上一动点，MN ⊥AB 分别交AB ，CD 于M ，N ，连接BE 交MN 于点O ，过O 作OP ⊥BE 分别交AB ，CD 于P ，Q ．探究：（1）如图①，当点E 在边AD 上时，请你动手测量三条线段AE ，MP ，NQ 的长度，猜测AE 与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图②，若点E 在DA 的延长线上时，AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又是怎样请直接写出结论； 再探究：（3）如图③，连接并延长BN 交AD 的延长线DG 于H ，若点E 分别在线段DH 和射线HG 上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．25、在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；∵22()()m n m n m n -=+-，m +n ＞0， ∴（22m n -）与（m n -）的符号相同． 当22m n -＞0时，m n -＞0，即m ＞n ； 当22m n -= 0时， m n -= 0，即m =n 当22m n -＜0时，m n -＜0，即m ＜n ． 方法指导 当不易直接比较两个正数m 与n 的 大小时，可以对它们的平方进行比较：A l 图13 -1 A B l A ' 图13 -2 A B P C 图13 -3 K l A ' BPC（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）26、操作示例 对于边长均为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—1所示的方式摆放，再沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11—1中的四边形BNED ．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED 是正方形； ②S 正方形ABCD +S 正方形EFGH =S 正方形BNED ．实践与探究（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—2所示的方式摆放，连结DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ．①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表 示正方形MNED 的面积；②在图11—2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ．请简略说明你的拼接方法（类比图11—1，用数字表示对应的图形）．（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．27、如图14—1，14—2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时： ①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③请证明你的上述两个猜想．（2）如图14—2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE =BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系．28、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；A B C D E F GM图11—2（H ） A CDF图14—1 N A B C D E M F 图14—2 43 2 1 A B C D E F （H ） 图11—1 （G ） 5 6图14（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．29、在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例 当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14-1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．图E 图图（2b ＝a ） （a ＜2b ＜2a ） （b图14-1 （2b ＜a ）图（b ＞a ） 图13－2 G图13－3图13－1 A ( E )D。

专题七三角形及四边形的计算与证明考情分析三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．类型三角形例1如图1，在△ABD中，∠A＝90°，过点B作BC∥AD，过点C作CE⊥BD于E，AB＝E C.图1(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若AD＝3，AB＝4，求CD的长．训练 1.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD ＝∠B.图2(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．2．如图3，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE 交AC于F，AD交CE于H.图3(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：FH∥B D.类型四边形例2如图4，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E.图4(1)求证：四边形A O DE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥ED于点E，求∠A O D的度数．训练 3.如图5，在菱形ABCD中，延长BD到E使得BD＝DE，连接AE，延长CD交AE于点F.图5(1)求证：AD＝2DF；(2)如果FD＝2，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．4.如图6，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB，DC交于点E和点F.图6(1)求证：△ADF≌△AB′E；(2)若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积．5．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G.(1)如图7，连接AG，若DF＝EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论；(2)如图8，若DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．图7 图8参考答案例1 (1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠EBC . ∵∠A ＝∠CEB ＝90°，AB ＝EC ， ∴△ABD ≌△ECB .(2)解：由△ABD ≌△ECB 可知，EC ＝AB ＝4，BE ＝AD ＝3， ∴BD ＝BC ＝42＋32＝5. ∴DE ＝2.∴CD ＝22＋42＝2 5.训练 1.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ， ∴∠BAP ＝∠DPC .∴△ABP ∽△PCD .∴BP CD ＝AB CP .∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP . (2)解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP . ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C . ∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA .∴BA BC ＝BP BA .∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP10.∴BP ＝253.2．证明：(1)∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA ＝∠ECD ＝60°.∴∠BCA ＋∠ACE ＝∠ECD ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD . ∵BC ＝AC ，CE ＝CD ，∴△BCE ≌△ACD .(2)由(1)知△BCE ≌△ACD ，则∠CBF ＝∠CAH ，BC ＝AC .又△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在同一条直线上， ∴∠ACH ＝180°－∠ACB －∠HCD ＝60°＝∠BCF . ∴△BCF ≌△ACH .∴CF ＝CH .又∠ACH ＝60°，∴△CHF 为等边三角形． ∴∠FHC ＝∠HCD ＝60°.∴FH ∥BD . 例2 (1)证明：∵AE ∥BD ，ED ∥AC ， ∴四边形AODE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OD ，∴四边形AODE 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，四边形AODE 是菱形， ∴OB ＝OD ，DE ＝OD ，即BD ＝2DE . 又BE ⊥ED ，即∠BED ＝90°， ∴∠DBE ＝30°.∴∠BDE ＝60°. 又ED ∥AC ，∴∠AOD ＝180°－∠BDE ＝180°－60°＝120°. 训练 3.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ，CD ∥AB .∵BD ＝DE ，∴EF ＝F A .∴DF 是△EAB 的中位线． ∴AB ＝2FD .∴AD ＝2DF .(2)解：如图1，过点D 作DM ⊥AB ，图1∵FD ＝2，∴AB ＝4.∴AD ＝4. ∵∠C ＝60°，∴∠DAB ＝60°. ∴DM ＝DA ·sin 60°＝2 3.∴S 菱形ABCD ＝AB ·DM ＝4×2 3＝8 3. 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠C ＝∠B ′＝90°，AD ＝CB ＝AB ′. ∵∠DAF ＋∠EAF ＝90°，∠B ′AE ＋∠EAF ＝90°， ∴∠DAF ＝∠B ′AE .在△ADF 和△AB ′E 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠B ′，AD ＝AB ′，∠DAF ＝∠B ′AE ，∴△ADF ≌△AB ′E (ASA)． (2)解：由折叠性质得F A ＝FC ，设F A ＝FC ＝x ，则DF ＝DC －FC ＝18－x ， 在Rt △ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，∴122＋(18－x )2＝x 2，解得x ＝13. ∵△ADF ≌△AB ′E ，∴AE ＝AF ＝13. ∴S △AEF ＝12·AE ·AD ＝12×12×13＝78.5．解：(1)△AFG 是等腰直角三角形； 证明：如图2，连接CF ，图2在Rt △CDE 中，CE ＝CD ，DF ＝EF ， ∴CF ＝DF ＝EF ，∠ECF ＝∠CDE ＝45°. ∴∠ADF ＝∠ADC ＋∠CDF ＝135°， ∠FCG ＝∠GCE ＋∠ECF ＝135°. ∴∠ADF ＝∠GCF .∵AF ⊥FG ，CF ⊥DE ，∴∠AFG ＝∠DFC ＝90°. ∴∠AFD ＝∠GFC .在△ADF 和△GCF 中，⎩⎨⎧∠ADF ＝∠GCF ，DF ＝FC ，∠AFD ＝∠GFC ，∴△ADF ≌△GCF (ASA)． ∴AF ＝FG .∵∠AFG ＝90°，∴△AFG 是等腰直角三角形． (2)DG ＝AD ＋2DF .证明：如图3，过点F 作FH ⊥DE ，图3由(1)知，∠CDE ＝45°，∴DH ＝2DF ，DF ＝HF ，∠DHF ＝45°. 同(1)的方法得出∠ADF ＝∠GHF .在△ADF 和△GHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠HGF ，∠ADF ＝∠GHF ，DF ＝HF ，∴△ADF ≌△GHF (AAS)．∴AD ＝GH .∴DG ＝DH ＋GH ＝2DF ＋AD .。

2018年河北省中考数学试卷（教师版）一、选择题（本大题共16小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）1．（3分）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【考点】K4：三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【解答】解：三角形具有稳定性．故选：A．【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．2．（3分）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（）A．4 B．6 C．7 D．10【考点】1I：科学记数法—表示较大的数；1K：科学记数法—原数．【分析】把8.1555×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．【解答】解：∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，∴原数中“0”的个数为6，故选：B．【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．3．（3分）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1B．l2C．l3D．l4【考点】P3：轴对称图形．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：该图形的对称轴是直线l3，故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．4．（3分）将9.52变形正确的是（）A．9.52＝92+0.52B．9.52＝（10+0.5）（10﹣0.5）C．9.52＝102﹣2×10×0.5+0.52D．9.52＝92+9×0.5+0.52【考点】4C：完全平方公式．【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．【解答】解：9.52＝（10﹣0.5）2＝102﹣2×10×0.5+0.52，故选：C．【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．5．（3分）图中三视图对应的几何体是（）A．B．C．D．【考点】U3：由三视图判断几何体．【分析】首先画出各个图形的三视图，对照给出的三视图，找出正确的答案；或者用排除法．【解答】解：观察图形可知选项C符合三视图的要求，故选：C．【点评】考查三视图问题，关键是由主视图和左视图、俯视图可判断确定几何体的具体形状．6．（3分）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【考点】N2：作图—基本作图．【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．7．（3分）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（）A．B．C．D．【考点】83：等式的性质．【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．【解答】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a，假设A正确，则，x＝1.5y，此时B，C，D选项中都是x＝2y，故A选项错误，符合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．8．（3分）已知：如图，点P在线段AB外，且P A＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（）A．作∠APB的平分线PC交AB于点CB．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BCC．取AB中点C，连接PCD．过点P作PC⊥AB，垂足为C【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA＝CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．9．（3分）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：13，15：s甲2＝s丁2＝3.6，s乙2＝s丙2＝6.3．则麦苗又高又整齐的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】W1：算术平均数；W7：方差．【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．【解答】解：∵，∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，∵s甲2＝s丁2＜s乙2＝s丙2，∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，综上，麦苗又高又整齐的是丁，故选：D．【点评】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．10．（3分）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】15：绝对值；17：倒数；4H：整式的除法；6E：零指数幂；W5：众数．【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．【解答】解：①﹣1的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；②|﹣3|＝3，原题计算正确，该同学判断错误；③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；④20＝1，原题正确，该同学判断正确；⑤2m2÷（﹣m）＝﹣2m，原题正确，该同学判断正确；故选：B．【点评】本题主要考查倒数、绝对值、众数、零指数幂及整式的运算，解题的关键是掌握倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则．11．（2分）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°【考点】IH：方向角．【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如图，AP∥BC，∴∠2＝∠1＝50°．∠3＝∠4﹣∠2＝80°﹣50°＝30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选：A．【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．12．（2分）用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（）A．4cm B．8cm C．（a+4）cm D．（a+8）cm【考点】32：列代数式．【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．【解答】解：∵原正方形的周长为acm，∴原正方形的边长为cm，∵将它按图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为（2）cm，则新正方形的周长为4（2）＝a+8（cm），因此需要增加的长度为a+8﹣a＝8cm．故选：B．【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范．13．（2分）若2n+2n+2n+2n＝2，则n＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．【考点】46：同底数幂的乘法．【分析】利用乘法的意义得到4•2n＝2，则2•2n＝1，根据同底数幂的乘法得到21+n＝1，然后根据零指数幂的意义得到1+n＝0，从而解关于n的方程即可．【解答】解：∵2n+2n+2n+2n＝2，∴4•2n＝2，∴2•2n＝1，∴21+n＝1，∴n＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n ＝a m+n（m，n是正整数）．14．（2分）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁【考点】66：约分；6A：分式的乘除法．【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【解答】解：∵•••，∴出现错误是在乙和丁，【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算法则．15．（2分）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【考点】MI：三角形的内切圆与内心；Q2：平移的性质．【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD＝DI，同理BE＝EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．【解答】解：连接AI、BI，∵点I为△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，∴∠CAI＝∠BAI，由平移得：AC∥DI，∴∠CAI＝∠AID，∴∠BAI＝∠AID，∴AD＝DI，同理可得：BE＝EI，∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝4，即图中阴影部分的周长为4，故选：B．【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．16．（2分）对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，△＝0求得c＝1，②当抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c＝3，4，5，故c＝1，3，4，5【解答】解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点∴①如图1，抛物线与直线相切，联立解析式得x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得：c＝2，当c＝2时，有两个交点，和题目不相符所以舍去2；②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键．二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分：19小题有2个空，每空3分，把答案写在题中横线上）17．（3分）计算：2．【考点】22：算术平方根．【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．【解答】解：2，故答案为：2．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．18．（3分）若a，b互为相反数，则a2﹣b2＝0．【考点】14：相反数；54：因式分解﹣运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．19．（6分）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC＝2x，先表示中间正多边形的边数：外角为180°﹣2x，根据外角和可得边数，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论．【解答】解：图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2＝14；设∠BPC＝2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，以∠APB为内角的正多边形的边数为：，∴图案外轮廓周长是2226，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是6＝21，故答案为：14，21．【点评】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共计66分）20．（8分）嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？【考点】44：整式的加减．【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；（2）设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．【解答】解：（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）＝3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2＝﹣2x2+6；（2）设“”是a，则原式＝（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）＝ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2＝（a﹣5）x2+6，∵标准答案的结果是常数，∴a﹣5＝0，解得：a＝5．【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．21．（9分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了3人．【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W4：中位数；X4：概率公式．【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率；（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【解答】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%＝24（人），读书为5册的学生数为24﹣5﹣6﹣4＝9（人），所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）选中读书超过5册的学生的概率；（3）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了3人．故答案为3．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图和中位数．22．（9分）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5，﹣2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数x是多少？应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．【考点】38：规律型：图形的变化类．【分析】尝试：（1）将前4个数字相加可得；（2）根据“相邻四个台阶上数的和都相等”列出方程求解可得；应用：根据“台阶上的数字是每4个一循环”求解可得；发现：由循环规律即可知“1”所在的台阶数为4k﹣1．【解答】解：尝试：（1）由题意得前4个台阶上数的和是﹣5﹣2+1+9＝3；（2）由题意得﹣2+1+9+x＝3，解得：x＝﹣5，则第5个台阶上的数x是﹣5；应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4＝7…3，∴7×3+1﹣2﹣5＝15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k﹣1．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．23．（9分）如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α．（1）求证：△APM≌△BPN；（2）当MN＝2BN时，求α的度数；（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）根据AAS证明：△APM≌△BPN；（2）由（1）中的全等得：MN＝2PN，所以PN＝BN，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．【解答】（1）证明：∵P是AB的中点，∴P A＝PB，在△APM和△BPN中，∵，∴△APM≌△BPN（ASA）；（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，∴PM＝PN，∴MN＝2PN，∵MN＝2BN，∴BN＝PN，∴α＝∠B＝50°；（3）解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形，∵∠B＝50°，∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．【点评】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．24．（10分）如图，直角坐标系xOy中，一次函数y x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，4）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求S△AOC﹣S△BOC的值；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值．【考点】FF：两条直线相交或平行问题．【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，再根据A（10，0），B （0，5），可得AO＝10，BO＝5，进而得出S△AOC﹣S△BOC的值；（3）分三种情况：当l3经过点C（2，4）时，k；当l2，l3平行时，k＝2；当11，l3平行时，k；故k的值为或2或．【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y x+5，可得4m+5，解得m＝2，∴C（2，4），设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2，∴l2的解析式为y＝2x；（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，y x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∴S△AOC﹣S△BOC10×45×2＝20﹣5＝15；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，且11，l2，l3不能围成三角形，∴当l3经过点C（2，4）时，k；当l2，l3平行时，k＝2；当11，l3平行时，k；故k的值为或2或．【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰直角三形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及分类讨论思想等．25．（10分）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB 交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．（3）由于P是优弧上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由13π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB，∴OQ，∴x．（2）如图当直线PQ与⊙O相切时时，x的值最小．在Rt△OPQ中，OQ＝OP32.5，此时x的值为﹣32.5．（3）分三种情况：①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH＝4k，QH＝3k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴262＝（4k）2+（3k﹣12.5）2，整理得：k2﹣3k﹣20.79＝0，解得k＝6.3或﹣3.3（舍弃），∴OQ＝5k＝31.5．此时x的值为31.5．②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝4k，QH＝3k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴262＝（4k）2+（12.5+3k）2，整理得：k2+3k﹣20.79＝0，解得k＝﹣6.3（舍弃）或3.3，∴OQ＝5k＝16.5，此时x的值为﹣16.5．③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH＝4k，QH＝3k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴262＝（4k）2+（3k﹣12.5）2，整理得：k2﹣3k﹣20.79＝0，解得k＝6.3或﹣3.3（舍弃），∴OQ＝5k＝31.5不合题意舍弃．此时x的值为﹣31.5．综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．【点评】本题考查圆综合题、平行线的性质、弧长公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26．（11分）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．【考点】GA：反比例函数的应用；HE：二次函数的应用．【分析】（1）用待定系数法解题即可；（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．【解答】解：（1）由题意，点A（1，18）带入y得：18∴k＝18设h＝at2，把t＝1，h＝5代入∴a＝5∴h＝5t2（2）∵v＝5，AB＝1∴x＝5t+1∵h＝5t2，OB＝18∴y＝﹣5t2+18由x＝5t+1则t∴y当y＝13时，13解得x＝6或﹣4∵x≥1∴x＝6把x＝6代入yy＝3∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3＝10（米）（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18得t2解得t＝1.8或﹣1.8（负值舍去）∴x＝10∴甲坐标为（10，1.8）恰好落在滑道y上此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5∴v乙＞7.5【点评】本题以考查二次函数和反比例函数的待定系数法以及函数图象上的临界点问题．。