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和实数x之间建立了一一对应，x就称为点P的坐标.
下列命题是否正确 (1) 2i i 错, 向量不能比较大小, 只有模才能比较大小. a ( 2) a 0 时, 1. 错, 没有定义向量的除法. a
例 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形 必是平行四边形.
证 AM MC
z
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称之为
两向量平行 两向量所成的夹角为0或 . 记为 a // b . 记为 两向量垂直 两向量所成的夹角为 2 ab
特别的，零向量和任意向量平行,也和任意向量垂直. 两向量共线 两向量平行又称两向量共线.
向量共面
K个向量的起点平移到一起，如果其终 点和公共起点在一个平面上，称为向 量共面.
的分解式.
解 所求向量有两个, 一个与 a 同向, 一个与 a 反向.
| a | 62 7 2 ( 6)2 11 a 6 7 6 0 a i j k | a | 11 11 11 a 6 7 6 0 或a i j k | a | 11 11 11
|b | 取 | | ，且a , b 同向, 取正值, 反向取负值. |a | 即有b a . (为什么？) 再设b a , 且b a . 则（ ）a 0， 即 | || a | 0， . 唯一性得证.
规定，两向量所成的不超过 的角度称为 b 向量 a 与向量 b 的夹角. 记为
a 0, b 0
(a , b ) (b , a )
(0 )
a
特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定 它们的夹角可在 0与 之间任意取值.
第八章 空间解析几何与向量代数
在平面解析几何中,曾通过坐标法把二维 几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代 数方法研究了几何问题. 本章把这种方法运用到三维几何空间, 讨论如下几个问题: 1. 向量、向量的一些运算; 2. 空间中的平面与直线; 3. 空间中的一些曲面和曲线; 4. 二次曲面.
第一节
五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模
因为 r OM OP OQ OR xi yj zk | r | |OP| 2 |OQ|2 |OR|2 P 所以 x x2 y2 z2
z
Rห้องสมุดไป่ตู้
M r
O
N
Q
y
向量模的坐标表达式.
2.空间两点间点的距离 M 设M1 ( x1 , y1 , z1 )、 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点. 因为 M 1 M 2 OM 2 OM 1
设a (a x , a y , a z ), 即a a x i a y j az k . a ( a x i a y j a z k ) (a x )i (a y ) j (az )k ( a x , a y , a z )
称为向量的单位化. 由向量 a 与 a 平行, 常用数乘运算说明 两向量平行关系(两向量共线的充要条件)
a 就是与a 同方向的单位向量.记为ea. |a |
定理1 设向量 a 0, 则b∥ a 存在唯一的实数 , 使 b a . 证 由于两向量有数乘关系，所以两者平行.
单位向量 模长为1的向量. a 0 或 M M 0 1 2 零向量 模长为0的向量. 0 零向量的方向任意.
a 或 M1 M 2
自由向量 不考虑起点位置的向量.
相等向量 大小相等且方向相同的向量.
a b a
记作 a b
负向量 大小相等但方向相反的向量. a
向量的夹角
所以定理1也可以表述为：
向量平行的充要条件为其坐标对应成比例.
例 已知两点 为有向线段AB( x2 , y2 , z2 ) 以及实数 MA( x1 , y1 , z1 )和B的定比分点 1,在直线AB上求点M, 使 z A
AM MB 解 设 M ( x , y , z )为直线上的点, AM ( x x1 , y y1 , z z1 ) MB ( x2 x , y2 y, z2 z )
a
2a
1 a 2
向量的数乘其实就 是向量的“伸缩”
注 向量 a 与数 的乘积 a 为向量.
(2) 数与向量的乘积符合下列运算规律 结合律 ( a ) ( a ) ( )a ; 第一分配律 ) 分配律 ( a a a; (a b ) a b . 第二分配律 注
M
B
o
x
y
( x x1 , y y1 , z z1 ) ( x2 x , y2 y, z2 z ) x1 x2 x x1 ( x2 x ) x , 1 y1 y2 z1 z2 , z . 同理,得 y 1 1
四、利用坐标作向量的线性运算
利用向量的坐标，可以对向量进行加减和数乘运算. 设a (a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) 即a a x i a y j az k , b bx i by j bz k a b (a x i a y j az k ) (bx i by j bz k ) (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k (a x bx , a y by , a z bz ) 同理 a b (a x bx , a y by , az bz ) 即：向量的加减就是其坐标对应的加减.
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
M1 M2
O
y
所以
x
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
空间两点间距离公式
练习1 求证以 M 1 (4,3,1), M 2 (7,1,2), M 3 (5,2,3) 为顶点
D
C
M
BM MD
A
B
AD AM MD MC BM BC
AD ∥ BC 且 AD BC 结论得证.
三、空间直角坐标系
1.空间点的直角坐标
z
竖轴
空间直角坐标系,称Oxyz 坐标系 或 [O; i , j , k ] 坐标系. 定点 O i 点O叫做坐标原点 (或原点) 横轴 x
二、向量的线性运算
1. 向量的加减法
b
b
ab
(1)加法定义 a 加法 a b c（平行四边形法则）
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
(2) 向量的加法符合下列运算规律 交换律 a b b a;
结合律 a b c (a b ) c a (b c );
向量及其线性运算
向量概念 向量的线性运算 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 向量的模 方向角 投影
一、向量概念
M2
向量 既有 大小又有 方向 的量. M 1 向量表示 以 M1为起点, M 2为终点的 有向线段. 记为
a
向量的模 向量的大小. | a | 或 | M1 M 2 |
即：数与向量相乘就是数与其坐标分别相乘.
∥ 存在唯一的实数 定理1设向量 a 0, 则b a 使 b a . b a按坐标表达式即为: (bx , by , bz ) ( ax , ay , az )
即 bx b y bz a x a y az
c b a b c
可以看出， 以两向量为邻边的平行四边形的
两个不等式：| a b || a | | b |
2. 向量与数的乘法 (简称数乘运算) 设是一个数, 向量 a与 的乘积 a 规定为向量，且 同向, | a | | a |; 0, a与 a 0, a 0; 0, a与a 反向, | a || | | a | .
向量的坐标表达式
向量的坐标和点的坐标表示方式不同.
z
M r
O
y
向量的坐标为(x,y,z),则表示为 r ( x, y, z ).
x
点M的坐标为(x,y,z),则表示为 M ( x, y, z ) .
向径
r OM 称为点M关于坐标原点O的向径.
a o a |a | 例 求平行于向量 a 6i 7 j 6k 的单位向量
O
xOy面
Ⅷ
x
Ⅵ Ⅴ
y
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点 有序数组 ( x , y , z )
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R,
1 1
坐标面上的点 A, B , C , O (0,0,0)
z
R(0,0, z )
B (0, y , z )
M ( x, y, z )
k
j
y 纵轴
三、空间直角坐标系
1.空间点的直角坐标 三个坐标轴的 正方向符合右手系 即以右手握住 z 轴, 定点 O
i
z
竖轴
k
j
y 纵轴
横轴 x 当右手的四个手指 从正向x轴以 角度 转向正向y 轴时, 大拇指的指向 就是z轴的正向.
2
z
yOz面
