下载文档原格式
第八章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=. 二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---=};1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin =};0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→（0） 2、x y x xy3)2,(),()1(lim +∞→ (6e )四、证明极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在.证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sinlim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式.解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂yz x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设yz x u =, 求xu ∂∂，yu ∂∂，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由)0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在，000lim)0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A) 必要条件而非充分条件（B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（B ）偏导数连续，则全微分必存在（C ）全微分存在，则偏导数必连续（D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）xy ez =)1(2dy x dx x y edz xy +-=2）)sin(2xy z =解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u =解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=，求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f +=求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +-- 5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin)(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
高数答案(下)习题册答案-第六版--下册-同济大学数学系-编第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yzyx z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : uz u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）xye z = )1(2dy x dx xy e dz x y +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin)(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A B=(-, 3)(5, +),A B=[-10, -5),A\B=(-, -10)(5, +),A\(A\B)=[-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.证明因为x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,所以(A B)C=A C B C.3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明(1)f(A B)=f(A)f(B);(2)f(A B)f(A)f(B).证明因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )y f (A )f (B ), 所以 f (AB )=f (A )f (B ). (2)因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的yY , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X Y , A X . 证明:(1)f -1(f (A ))A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .另一方面, 对于任意的xf -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ; 解 由3x +20得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x xy --=; 解 由x0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x 0得函数的定义D =[0, +¥).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +10得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.解 由x0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).证明 (1)对于任意的x 1, x 2(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2p .(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin px ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =p .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
（完整版）⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼋章解答习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平⾯上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。
2.设已知两点1(4,2,1)M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M u u u u u u r的模、⽅向余弦和⽅向⾓。
3. 设向量r r的模是4，它与u 轴的夹⾓是3π，求r r在u 轴上的投影。
4. 设358m i j k =++r r r r ，247n i j k =--r r r r 和54p i j k =+-r r r r ，求向量43a m n p =+-r r r r在 x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。
5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-rr r r⽅向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。
解设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-u u u r，且AB a λ=u u u r ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-， ()()()()()()222222342178912AB x y z λλλ==-+++-=++-u u u r从⽽2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积向量积1. 设32a i j k =--r r r r，2b i j k =+-r r r r ，求（1）a b r r g 及a b ?r r ；（2）(2)3a b -r r g 及2a b ?r r ；（3）a r 、b r的夹⾓的余弦。
2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M u u u u u u r 、23M M u u u u u u r 同时垂直的单位向量。
3.求向量(4,3,4)a =-r在向量(2,2,1)b =r 上的投影。
4. 已知3OA i k =+u u u r r r 、3OB j k =+u u u r rr ，求OAB ?的⾯积。
第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1lim y x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y x y z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz += 解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4)222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x y x y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy : (1) y 2-2x y +9=0; (2) x 3+y 3-3axy =0; (3) xy =e x +y ; (4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得 2y y '-2y -2x y ' =0 , 于是 (y -x )y '=y ,xy y y -='.(2)方程两边求导数得 3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0, 于是 (y 2-ax )y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22.(3)方程两边求导数得 y +xy '=e x +y (1+y '), 于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x y e y ++--='.(4)方程两边求导数得y '=-e y -xe y y ', 于是 (1+xe y )y '=-e y ,yy xe e y +-='1.2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.解 方程两边求导数得032323131='+--y y x ,于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1.所求切线方程为 )42(42a x a y --=-,即a y x 22=+.所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.3. 求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22dxyd :(1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2; (3) y =tan(x +y ); (4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得 2x -2yy '=0, y '=yx ,3322221)(yy x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''.(2)方程两边求导数得 2b 2x +2a 2yy '=0,yx a b y ⋅-='22,22222222)(y y x a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-=''32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=.(3)方程两边求导数得 y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(cos 1)(sec 1)(sec 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(sin )(cos )(sin y y x y x y x --=+-+++=,52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''.(4)方程两边求导数得 y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ;(3)54)1()3(2+-+=x x x y ;(4)x e x x y -=1sin . 解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |， 两边求导得x x x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1, 于是]111[ln )1(xx x x x y x ++++='.(2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y ,两边求导得22251515112+⋅--⋅='x xx y y ,于是]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y .(3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y ,两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y(4)两边取对数得)1ln(41sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=,两边求导得 )1(4cot 21211x xe e x x y y--+=',于是 ])1(4cot 2121[1sin x xx e e x x e x x y --+-=']1cot 22[1sin 41-++-=x xx e e x x e x x .5. 求下列参数方程所确定的函数的导数dx dy : (1) ⎩⎨⎧==22bty at x ;(2)⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x . 解 (1)t a bat bt x y dx dy t t 23232==''=. (2)θθθθθθθθcos sin 1sin cos ---=''=x y dx dy . 6. 已知⎩⎨⎧==.cos ,sin t e y t e x t t 求当3π=t 时dx dy的值.解 tt tt t e t e t e t e x y dx dy t tt t t t cos sin sin cos cos sin sin cos +-=+-=''=,当3π=t 时,23313123212321-=+-=+-=dx dy .7. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程: (1) ⎩⎨⎧==t y t x 2cos sin , 在4π=t 处; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2221313t at y t at x , 在t =2处.解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=.当4π=t 时,222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x ,00=y ,所求切线方程为 )22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x .(2)222222)1(6)1(23)1(6t at t t at t at y t +=+⋅-+=', 222222)1(33)1(23)1(3t at a t t at t a x t +-=+⋅-+=', 2212336tt at a at x y dx dy t t -=-=''=.当t =2时, 3421222-=-⋅=dx dy, a x 560=, a y 5120=,所求切线方程为)56(34512a x a y --=-, 即4x +3y -12a =0;所求法线方程为)56(43512a x a y -=-, 即3x -4y +6a =0.8. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd :(1) ⎪⎩⎪⎨⎧-==.122t y tx ;(2) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ;(3) ⎩⎨⎧==-tte y e x 23; (4)⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x tt , 设f ''(t )存在且不为零.解 (1) t x y dx dy t t 1-=''=, 322211)(t t t x y dx y d t t x =='''=.(2) t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=,t a b t a ta b x y dx y d t t x 32222sin sin csc )(-=-='''=.(3) t t tt t e e e x y dx dy 23232-=-=''=-,t t t t t x e e e x y dx y d 3222943232)(=-⋅-='''=-.(4) t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(,)(1)(22t f x y dxy d t t x ''='''=.9. 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxyd :(1)⎩⎨⎧-=-=321t t y t x ; (2)⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2.解(1)tt t t t dx dy 231)1()(223--='-'-=,)31(412)231(3222t t t t t dx y d +-=-'--=, )1(832)31(4125333t tt t t dx yd +-=-'+-=.(2)t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=,t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(tt tt t t dx y d -=+'+=.10. 落在平静水面上的石头, 产生同心波纹, 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s , 问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为r , 对应圆面积为S , 则S =πr 2, 两边同时对t 求导得 S t '=2πrr '.当t =2时, r =6⋅2=12, r 't =6, 故S t '|t =2=2⋅12⋅6π=144π (米2/秒).11. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m)，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).12. 溶液自深18cm 直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液, 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下降的速率为1cm/min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在t 时刻漏斗在的水深为y , 圆柱形筒中水深为h . 于是有 h y r 22253118631=-⋅⋅ππ.由186y r =, 得3y r =, 代入上式得hy y 2225)3(3118631=-⋅⋅ππ,即h y 233253118631=-⋅⋅π. 两边对t 求导得h y y t '='-222531.当y =12时, y 't =-1代入上式得 64.025165)1(1231222≈=-⋅⋅-='t h (cm/min)..2-71. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当∆x 分别等于1, 0.1, 0.01时的∆y 及dy .解 ∆y |x =2, ∆x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ∆x =1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =1=11;∆y |x =2, ∆x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161,dy |x =2, ∆x =0.1=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.1=1.1;∆y |x =2, ∆x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ∆x =0.01=(3x 2-1)∆x |x =2, ∆x =0.01=0.11.2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、∆y 及∆y -d y 并说明其正负. 解 (a )∆y >0, dy >0, ∆y -dy >0. (b )∆y >0, dy >0, ∆y -dy <0. (c )∆y <0, dy <0, ∆y -dy <0. (d )∆y <0, dy <0, ∆y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x xy 21+=;(2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ;(4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y =e -x cos(3-x ); (7)21arcsinx y -=;(8) y =tan 2(1+2x 2);(9)2211arctanx xy +-=;(10) s =A sin(ωt +ϕ) (A , ω, ϕ是常数) . 解 (1)因为xxy 112+-=', 所以dxxx dy )11(2+-=.(2)因为y '=sin2x +2x cos2x , 所以dy =(sin2x +2x cos2x )dx .(3)因为1)1(111122222++=++⋅-+='x x x x x x y , 所以dx x x dy 1)1(122++=.(4)dxx x dx x x dx x dx y dy )1ln(12])1(1)1ln(2[])1([ln 2--=--⋅-='-='=. (5)dy =y 'dx =(x 2e 2x )'dx =(2xe 2x +2x 2e 2x )dx =2x (1+x )e 2x . (6) dy =y 'dx =[e -x cos(3-x )]dx =[-e -x cos(3-x )+e -x sin(3-x )]dx =e -x [sin(3-x )-cos(3-x )]dx . (7)dx xx x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin--=--⋅--='-='=. (8) dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4xdx=8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx . (9))11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-=dx x x dx x x x x x x x 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. (10) dy =d [A sin(ω t +ϕ)]=A cos(ω t +ϕ)d (ωt +ϕ)=A ω cos(ωt +ϕ)dx .4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立: (1) d ( )=2dx ; (2) d ( )=3xdx ; (3) d ( )=cos tdt ; (4) d ( )=sin ωxdx ; (5) d ( )dx x 11+=;(6) d ( )=e -2x dx ; (7) d ( )dxx1=;(8) d ( )=sec 23xdx . 解 (1) d ( 2x +C )=2dx . (2) d (C x +223)=3xdx .(3) d ( sin t +C )=cos tdt . (4) d (C x +-ωωcos 1)=sin ωxdx .(5) d ( ln(1+x )+C )dx x 11+=.(6) d (C e x +--221)=e -2x dx . (7) d (C x +2)dxx1=.(8) d (C x +3tan 31)=sec 23xdx . 5.如图所示的电缆B O A的长为s , 跨度为2l , 电缆的最低点O 与杆顶连线AB 的距离为f , 则电缆长可按下面公式计算:)321(222lf l s +=,当f 变化了∆f 时, 电缆长的变化约为多少？解ff l df lf l dS S ∆='+=≈∆38)321(222.6. 设扇形的圆心角α=60︒, 半径R =100cm(如图), 如果R 不变, α 减少30', 问扇形面积大约改变了多少？又如果α 不变, R 增加1cm , 问扇形面积大约改变了多少？解 (1)扇形面积221R S α=,αααα∆='=≈∆2221)21(R d R dS S .将α=60︒3π=, R =100, 36003πα-='-=∆ 代入上式得63.43)360(100212-≈-⋅⋅≈∆πS (cm 2).(2)R R dR R dS S R ∆='=≈∆αα)21(2.将α=60︒3π=, R =100, ∆R =1代入上式得72.10411003≈⋅⋅≈∆πS (cm2).7. 计算下列三角函数值的近似值: (1) cos29︒; (2) tan136︒.解 (1)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=cos x 时, 有cos(x +∆x )≈cos x -sin x ⋅∆x , 所以cos29︒=87467.01802123)180(6sin 6cos )1806cos(≈⋅+=-⋅-≈-ππππππ.(2)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=tan x 时, 有tan(x +∆x )≈tan x +sec 2x ⋅∆x , 所以 tan136︒=96509.01802118043sec 43tan )18043tan(2-≈⋅+-=⋅+≈+ππππππ.8. 计算下列反三角函数值的近似值 (1) arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995.解 (1)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=arcsin x 时, 有 x x x x x ∆⋅-+≈∆+211arcsin )arcsin(,所以0002.05.0115.0arcsin )0002.05.0arcsin(5002.0arcsin 2⋅-+≈+= 0002.0326⋅+=π≈30︒47''.(2)已知f (x +∆x )≈f (x )+f '(x )∆x , 当f (x )=arccos x 时, 有 x x x x x ∆⋅--≈∆+211arccos )arccos(, 所以)0005.0(5.0115.0arccos )0005.05.0arccos(4995.0arccos 2-⋅--≈-= 0005.0323⋅+=π≈60︒2'.9. 当x 较小时, 证明下列近似公式: (1) tan x ≈x (x 是角的弧度值); (2) ln(1+x )≈x ; (3)x x-≈+111, 并计算tan45' 和ln1.002的近似值.(1)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取f (x )=tan x , x 0=0, ∆x =x ,则有tan x =tan(0+x )≈tan 0+sec 20⋅x =sec 20⋅x =x .(2)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取f (x )=ln x , x 0=1, ∆x =x ,则有ln(1+x )≈ln1+(ln x )'|x =1⋅x =x .(3)已知当|∆x |较小时, f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x , 取xx f 1)(=, x 0=1, ∆x =x ,则有x x x x x -=⋅'+≈+=1|)1(1111.tan45'≈45'≈0.01309; ln(1.002)=ln(1+0.002) ≈0.002. 10. 计算下列各根式的的近似值:(1)3996; (2)665.解 (1)设n x x f =)(, 则当|x |较小时, 有x nx f f x f 11)1()1()1(+='+≈+,987.9)10004311(101000411041000996333≈⋅⋅-≈-⋅=-=.(2)设n x x f =)(, 则当|x |较小时, 有x nx f f x f 11)1()1()1(+='+≈+, 于是0052.2)641611(26411216465666≈⋅+≈+⋅=+=.11. 计算球体体积时, 要求精确度在2%以内, 问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少？ 解 球的体积为361D V π=,D D dV ∆⋅=221π,因为计算球体体积时, 要求精度在2%以内, 所以其相对误差不超过2%, 即要求 %23612132≤∆⋅=∆⋅=DD D DD V dV ππ,所以%32≤∆D D ,也就是测量直径的相对误差不能超过%32.12. 某厂生产如图所示的扇形板, 半径R =200mm , 要求中心角α为55︒. 产品检验时, 一般用测量弦长l 的办法来间接测量中心角α, 如果测量弦长l 时的误差δ1=0.1mm , 问此而引起的中心角测量误差δx 是多少？解 由2sin 2αR l =得400arcsin 22arcsin2l R l ==α,当α=55︒时,2sin 2αR l ==400sin27.5︒≈184.7,δ 'α=|α'l |⋅δl l l δ⋅⋅-⋅=4001)400(1122. 当l =184.7, δ l =0.1时,00056.01.04001)4007.184(1122≈⋅⋅-⋅=αδ(弧度).总 习 题 二1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0连续的____________条件. f (x )在点x 0连续是f (x )在点x 0可导的____________条件.(2) f (x )在点x 0的左导数f -'(x 0)及右导数f +'(x 0)都存在且相等是f (x )在点x 0可导的_______条件.(3) f (x )在点x 0可导是f (x )在点x 0可微的____________条件. 解 (1)充分, 必要. (2) 充分必要. (3) 充分必要.2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设f (x )在x =a 的某个邻域内有定义, 则f (x )在x =a 处可导的一个充分条件是( ).(A ))]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在; (B )hh a f h a f h )()2(lim0+-+→存在;(C )hh a f h a f h 2)()(lim 0--+→存在; (D )hh a f a f h )()(lim 0--→存在. 解 正确结论是D . 提示:xa f x a f h a f h a f h h a f a f x h h ∆-∆+=---=--→∆→→)()(lim )()(lim )()(lim000(∆x =-h ). 3. 设有一根细棒, 取棒的一端作为原点, 棒上任一点的做标x 为, 于是分布在区间[0, x ]上细棒的质量m 是x 的函数m =m (x ),应怎样确定细棒在点x 0处的线密度(对于均匀细棒来说, 单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解 ∆m =m (x 0+∆x )-m (x 0).在区间[x 0, x 0+∆x ]上的平均线密度为xx m x x m xm ∆-∆+=∆∆=)()(00ρ.于是, 在点x 0处的线密度为)()()(lim lim 0000x m xx m x x m xm x x '=∆-∆+=∆∆=→∆→∆ρ.4. 根据导数的定义, 求x x f 1)(=的导数. 解20001)(1lim)(lim 11lim x x x x x x x x x x x x x y x x x -=∆+-=∆+∆∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆.5. 求下列函数f (x )的f -'(0)及f +'(0),又f '(0)是否存在?(1)⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0sin )(x x x x x f ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(1x x e x x f x.解 (1)因为10sin lim 0)0()(lim )0(00=-=--='--→→-xx x f x f f x x ,1ln )1ln(lim 0)1ln(lim 0)0()(lim )0(1000==+=-+=--='+++→→→+e x xx x f x f f x x x x ,而且f -'(0) = f +'(0), 所以f '(0)存在, 且f '(0)=1. (2)因为111lim 01lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='---→→→-xx xx x e x e x x f x f f ,011lim 001lim 0)0()(lim )0(10100=+=--+=--='+++→→→+xx xx x e x e x x f x f f ,而f -'(0)≠ f +'(0), 所以f '(0)不存在.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性. 解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续;因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导.7. 求下列函数的导数:(1) y =arcsin(sin x ); (2)xx y -+=11arctan ;(3)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=;(4))1ln(2x x e e y ++=;(5)x x y =(x >0) . 解(1)|cos |cos cos sin 11)(sin sin 1122x x x xx x y =⋅-='⋅-='.(2)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='.(3))(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(4)xxx x x x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. (5)x xy ln 1ln =, x x x x y y 11ln 112⋅+-=', )ln 1()1ln 1(222x x x x x x x y xx -=+-='.8. 求下列函数的二阶导数: (1)y =cos 2x ⋅ln x ; (2)21x xy -=.解 (1)xx x x xx x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=',221cos 1sin cos 212sin ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-='' 22cos2sin 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=.(2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y 52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-.9. 求下列函数的n 阶导数: (1)m x y +=1; (2)xx y +-=11.解 (1)m mx x y 1)1(1+=+=,11)1(1-+='m x m y , 21)1)(11(1-+-=''m x m m y , 31)1)(21)(11(1-+--='''m x mm m y , ⋅ ⋅ ⋅,n m n x n mm m m y-++-⋅⋅⋅--=1)()1)(11( )21)(11(1.(2)1)1(2111-++-=+-=x xx y ,y '=2(-1)(1+x )-2, y ''=2(-1)(-2)(1+x )-3, y '''=2(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, ⋅ ⋅ ⋅, 1)1()()1(!)1(2)1)(( )3)(2)(1(2++-+-=+-⋅⋅⋅---=n n n n x n x n y.10. 设函数y =y (x )由方程e y +xy =e 所确定, 求y ''(0).解 方程两边求导得e y y '+y +xy '=0, —— (1) 于是 ye x y y +-=';2)()1()()(y y y y e x y e y e x y e x y y +'+-+'-='+-=''. ——(2)当x =0时, 由原方程得y (0)=1, 由(1)式得ey 1)0(-=', 由(2)式得21)0(ey =''. 11. 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dxdy及二阶导数22dxyd :(1)⎩⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ;(2)⎩⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2.解(1)θθθθθθθtan )sin (cos 3cos sin 3)cos ()sin (2233-=-=''=a a a a dx dy ,θθθθθθθcsc sec 31sin cos 3sec )cos ()tan (422322⋅=--=''-=aa a dx y d .(2)tt t t t t dx dy 1111]1[ln )(arctan 222=++='+'=,3222222111]1[ln )1(t t t t t t t dx y d +-=+-='+'=.12.求曲线⎩⎨⎧==-ttey e x 2在t =0相的点处的切线方程及法线方程.解t t tt t ee e e e dx dy 2212)2()(-=-=''=--.当t =0时,21-=dx dy, x =2, y =1. 所求切线的方程为)2(211--=-x y , 即x +2y -4=0;所求法线的方程为y -1=2(x -2).13. 甲船以6km/h 的速率向东行驶, 乙船以8km/h 的速率向南行驶, 在中午十二点正, 乙船位于甲船之北16km 处. 问下午一点正两船相离的速率为多少?解 设从中午十二点开始, 经过t 小时, 两船之间的距离为S , 则有 S 2=(16-8t )2+(6t )2, t t dtdS S 72)816(162+--=,St t dt dS 272)816(16+--=. 当t =1时, S =10,8.220721281-=+-==t dtdS (km/h),即下午一点正两船相离的速度为-2.8km/h .14. 利用函数的微分代替函数的增量求302.1的近似值. 解 设3)(x x f =, 则有x x f f x f ∆=∆'≈-∆+31)1()1()1(, 或x x f ∆+≈∆+311)1(于是007.102.031102.0102.133=⋅+=+=.15. 已知单摆的振动周期gl T π2=, 其中g =980 cm/s 2, l 为摆长(单位为cm). 设原摆长为20cm , 为使周期T 增大0.05s , 摆长约需加长多少？ 解 因为L gLdT T ∆⋅=≈∆π,所以23.205.020=≈∆=L gLL π(cm),即摆长约需加长2.23cm .习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ. 3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[π上连续, 在)2,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈,使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即(pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ). 化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ.5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3, 4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根. 6. 证明恒等式:2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .7. 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0,x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0. 9. 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) . 10. 设a >b >0, 证明:bb a b a a b a -<<-ln .证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ.因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a bb a b a a -<-<-,即bb a ba ab a -<<-ln .11. 证明下列不等式: (1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1). 因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x . 12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明 设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f '(x )存在零点, 但f '(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解 设)()()()()(x g a gx f a f x =ϕ, 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使 ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ), 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f .因此)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f '(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).证明 根据柯西中值定理 111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间),2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间),3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得 !)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f x x f n n nξ=.由于ξn 可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以!)()()(n x f x x f n nθ= (0<θ<1).习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x )1ln(lim 0+→; (2)x ee x x x sin lim 0-→-; (3)a x a x a x --→sin sin lim ;(4)xx x 5tan 3sin lim π→; (5)22)2(sin ln limx x x -→ππ;(6)n n mma xax a x --→lim ;(7)xx x 2tan ln 7tan ln lim0+→; (8)xx x 3tan tan lim2π→; (9)xarc x x cot )11ln(lim++∞→;(10)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;(11)x x x 2cot lim 0→; (12)2120lim x x e x →;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x xa )1(lim +∞→; (15)x x x sin 0lim+→; (16)x x xtan 0)1(lim +→. 解 (1)111lim 111lim )1ln(lim000=+=+=+→→→x x xx x x x .(2)2cos lim sin lim00=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . (3)a x ax a x a x a x cos 1cos lim sin sin lim ==--→→.(4)535sec 53cos3lim 5tan 3sin lim 2-==→→x x x x x x ππ. (5)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x x x x x πππππ.(6)n m n m n m a x n n m m a xa n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim .(7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x 177sec 22sec lim 277tan 2tan lim 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x .(8)xx x x x x x x x 2222222cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim πππ→→→=⋅=)sin (cos 23)3sin (3cos 2lim 312x x x x x -⋅-=→πxx x cos 3cos lim 2π→-=3sin 3sin 3lim 2=---=→xx x π.(9)22221lim 11)1(111lim cot arc )11ln(lim xx x xx x x x x x x ++=+--⋅+=++∞→+∞→+∞→122lim 212lim ==+=+∞→+∞→x x x x . (10)x x x x x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xx x x x x x . (注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) (11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x .(12)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 21012022t t t t x x x x e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt . (13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x .(14)因为)1ln(lim )1(limx ax x x x e xa +∞→∞→=+,而221)(11lim 1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x ax x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→ a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim , 所以ax a x x x x e e xa ==++∞→∞→)1ln (l i m )1(l i m ..(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=, 而 xx x x x x x x x x cot csc 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→ 0cos sin lim 20=-=+→xx x x ,所以1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=, 而 xx x x x x x x x 2000csc 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0sin lim 20=-=+→xx x , 所以 1l i m )1(l i m 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .2. 验证极限xx x x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出. 解1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x x x x sin lim +∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx x x x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.3.验证极限xx x x sin 1sin lim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解0011sin sin lim sin 1sin lim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限xx x x sin 1sin lim20→是存在的.但xx x x x x x x x cos 1cos 1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则.4. 讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>+=-0])1([)(2111x e x e x x f x x 在点x =0处的连续性.解 21)0(-=e f ,)0(lim)(lim 2121f e e x f x x ===---→-→,因为 ]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x xx x x x x x e ex x f ,而 200)1ln(lim]1)1ln(1[1lim x xx x x x x x -+=-++→+→ 21)1(21lim 2111lim00-=+-=-+=+→+→x x x x x , 所以]1)1l n (1[101100lim])1([lim )(lim -+-→-→+→=+=x xx x x x x x e ex x f)0(21f e ==-.因此f (x )在点x =0处连续. 习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解 设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f=-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解 因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f'''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+= =1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6. 3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为 24)4(==f ,4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f ,328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1).4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn xn x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1),。
高等数学课后答案习题1-11.设A=(-∞,-5)⋃(5,+∞),B=[-10, 3),写出A⋃B,A⋂B,A\B及A\(A\B)的表达式.解A⋃B=(-∞, 3)⋃(5,+∞),A⋂B=[-10,-5),A\B=(-∞,-10)⋃(5,+∞),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律: (A⋂B)C=A C ⋃B C.证明因为x∈(A⋂B)C⇔x∉A⋂B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈A C或x∈B C⇔ x∈A C ⋃B C,所以(A⋂B)C=A C ⋃B C.3.设映射f:X→Y,A⊂X,B⊂X.证明(1)f(A⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A⋂B)⊂f(A)⋂f(B).证明因为y∈f(A⋃B)⇔∃x∈A⋃B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)⇔ y∈f(A)⋃f(B),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4.设映射f :X →Y , 若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g = ,Y I g f = ,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x .函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211x y -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(-∞,-1)⋃(-1, 1)⋃(1,+∞).(3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1,0)⋃(0,1].(4)241x y -=;解由4-x 2>0得 |x |<2.函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1,+∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0,+∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x ,g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=-x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ-,ϕ(-2),并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ,0)2(=-ϕ.9.试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0,+∞).证明 (1)对于任意的x 1,x 2∈(-∞, 1),有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(-l ,l )内的奇函数, 若f (x )在(0,l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1,x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2,有-x 1,-x 2∈(0,l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1),-f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(-l , 0),有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l ,l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)⋅g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数,而g(x)是奇函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)⋅g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-,所以f (x )是偶函数.(4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----,所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数,周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数,周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.(2)xx y +-=11; 解 由x x y +-=11得y y x +-=11,所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=,所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x x y .解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15.设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即-M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤ K 2.取M =max{|K 1|, |K 2|},则-M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ; 解 y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ; 解 y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2= 2;解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y . (4) y =e u ,u =x 2,x 1 =0,x 2=1;解 2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5) y =u 2 ,u =e x ,x 1=1,x 2=-1.解 y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17.设f (x )的定义域D =[0,1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[-1,1].(2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π, (2n +1)π] (n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a ,所以函数f (x +a )的定义域为[-a ,1-a ].(4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ],当21>a 时函数无意义. 18.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f . ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .19.已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37 解40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h h S BC ⋅-= 40cot 0,所以h h S L40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定,定义域为40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0-100)=90-75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100 01.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3)P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限: (1)nn x 21=;解 当n →∞时,n n x 21=→0,021lim =∞→nn . (2)nx n n 1)1(-=;解 当n →∞时,nx n n 1)1(-=→0,01)1(lim =-∞→nn n . (3)212nx n +=;解 当n →∞时,212nx n +=→2,2)12(lim 2=+∞→nn . (4)11+-=n n x n ;解 当n →∞时,12111+-=+-=n n n x n →0,111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时,x n =n (-1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =? 求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N . 解0lim =∞→n n x .nn n x n 1|2cos ||0|≤=-π.∀ε>0, 要使|x n -0|<ε,只要ε<n1,也就是ε1>n .取]1[ε=N ,则∀n >N ,有|x n -0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ; 分析 要使ε<=-221|01|n n,只须ε12>n ,即ε1>n .证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<-|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim=++∞→n n n ; 分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41,即ε41>n .证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N , 当n >N 时,有ε<-++|231213|n n ,所以231213lim=++∞→n n n . (3)1lim22=+∞→na n n ;分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >.证明因为∀ε>0,∃][2εa N =, 当∀n >N 时,有ε<-+|1|22n a n ,所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅⋅⋅ 9-1|ε<=-1101n ,只须1101-n <ε,即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时,有|0.99 ⋅⋅⋅ 9-1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个n n .4.a u n n =∞→lim, 证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0,∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε.这就证明了||||lima u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim=-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5.设数列{x n }有界,又0lim=∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x . 证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N , 当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有 εε=⋅<≤=-MM y M y x y x n n n n n |||||0|, 所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞), 证明:x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0, ∃K 1,当2k -1>2K 1-1时,有| x 2k -1-a |<ε; ∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k -a |<ε.取N =max{2K 1-1, 2K 2},只要n >N ,就有|x n -a |<ε. 因此x n →a (n →∞).习题1-31.根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ; 分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε,只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x -3|<δ时,有|(3x -1)-8|<ε,所以8)13(lim3=-→x x . (2)12)25(lim 2=+→x x ; 分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|,所以要使|(5x +2)-12|<ε,只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x -2|<δ时,有|(5x +2)-12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x . (3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x ,只须ε<--|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x -(-2)|<δ时,有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim22-=+--→x x x . (4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x ,只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<--<|)21(|0x 时,有ε<-+-212413x x ,所以21241lim 321=+--→x x x . 2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+,所以要使ε<-+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x .证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<-+212133x x ,所以2121lim33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x . 分析 因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x ,只须ε<x1,即21ε>x .证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<-0sin xx , 所以0sin lim =+∞→xx x . 3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解由于当x →2时, |x -2|→0,故可设|x -2|<1,即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002,则当0<|x -2|<δ时,就有|x 2-4|<0. 001.4.当x →∞时,13122→+-=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x ,只要397301.04||=->x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x . 6.求,)(xx x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 00x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在. 因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 00x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在. 7.证明: 若x →+∞及x →-∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0, ∃X 1>0,使当x <-X 1时,有|f (x )-A |<ε; ∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )-A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε,即A x f x =∞→)(lim. 8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时,有 |f (x )-A |<ε.因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有 |f (x )-A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性.设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时,有| f (x )-A <ε; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时,有| f (x )-A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x -x 0|<δ时,有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有 | f (x )-A |<ε,即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明. 解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε=1,∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε=1. 所以|f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时,|f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε, 当0<|x -3|<δ时,有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε, 当0<|x -0|<δ时,有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？ 证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >-2||1,即21||+<M x . 证明 因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x -0|<δ时,有Mx x >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104.4. 求下列极限并说明理由:(1)x x x 12lim+∞→; (2)xx x --→11lim20.解 (1)因为xxx 1212+=+, 而当x →∞时x1是无穷小,所以212lim =+∞→xx x . (2)因为x xx+=--1112(x ≠1),而当x →0时x为无穷小,所以111lim20=--→xx x . 5. 根据函数极限或无穷大定义,填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x →∀ε>0,∃δ>x00,使当0<|x-x0|<δ时,有恒|f(x)-A|<ε. x→x0+x→x0-x→∞∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.x→+∞x→-∞解f(x)→A f(x)→∞f(x)→+∞f(x)→-∞x→x0∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒|f(x)-A|<ε.∀M>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒|f(x)|>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒f(x)>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<|x-x0|<δ时,有恒f(x)<-M.x→x0+∀ε>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒|f(x)-A|<ε.∀M>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒|f(x)|>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒f(x)>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x-x0<δ时,有恒f(x)<-M.x→x0-∀ε>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒|f(x)-A|<ε.∀M>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒|f(x)|>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒f(x)>M.∀M>0,∃δ>0,使当0<x0-x<δ时,有恒f(x)<-M.x→∞∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)-A|<ε.∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒|f(x)|>M.∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)>M.∀ε>0,∃X>0,使当|x|>X时,有恒f(x)<-M.x →+∞∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M . ∀ε>0,∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε. ∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0,∃X >0, 使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞,+∞)内无界.这是因为∀M >0,在(-∞,+∞)内总能找到这样的x ,使得|y (x )|>M .例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,就有| y (2k π)|>M .当x →+∞时,函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7. 证明:函数xxy 1sin 1=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xxy 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xxy 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0, 对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ, 但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51.计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x.(2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x .(3)112lim221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x x x x x x 2324lim2230++-→; 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim242--+∞→x x x x x ; 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或 012111lim 13lim4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x. (10))12)(11(lim 2xxx -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→xxxxx x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比). 或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→; 解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→xx x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x;解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x . 解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限:(1)35lim 22-+→x x x ; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim2230++-→; 解2123124lim 2324lim202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim242--+∞→x x x x x ; 解013lim242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或 012111lim 13lim4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x xx . (10))12)(11(lim 2xxx -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→xxxxx x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解2211)21(1lim )21 41211(lim1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比). 或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31x x x ---→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→xx x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数).(3))12(lim 3+-∞→x x x . 解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71.当x →0时, 2x -x 2与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时,x 2-x 3是高阶无穷小,即x 2-x 3=o (2x -x 2).2.当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3,(2))1(212x -是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小,而且是等价无穷小.3.证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→yyxx y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x x x x x x x , 所以当x →0时,2~1sec 2x x -. 4.利用等价无穷小的性质, 求下列极限:(1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim0→(n ,m 为正整数);(3)xx x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim 32-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x xx x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .5.证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1)α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β,β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα,所以α ~α;(2) 若α ~β, 则1lim =βα,从而1lim =αβ.因此β~α;(3) 若α ~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ.习题1-81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形: (1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ; 解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处,因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处,因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(-∞,-1)和(-1,+∞)内连续,在x =-1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y ,x =1,x =2;解)1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→231limlim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =-2,则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim=→x x x ,0tan lim2=+→xx k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的;令2ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0;解 因为函数xy 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y ,x =1.解 因为0)1(lim )(lim11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点. 3.讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x xx x f nnn .在分段点x =-1处,因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ,1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ,所以x =-1为函数的第一类不可去间断点. 在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim00>=→x f x f xx ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U,使当x ∈)(0x U时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点;解 函数xx x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义,它只在x =0处连续.习题1-9 1.求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →. 解)2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(-∞,+∞)内除点x =2和x =-3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(-∞,-3)、(-3, 2)、(2,+∞). 在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim00x f x f xx =→,)()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限: (1)52lim20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→; (3))2cos 2ln(lim 6x x π→; (4)xx x 11lim0-+→; (5)145lim 1---→x x x x ;(6)ax a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .。
第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yz yx z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : uz u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）x ye z = )1(2dy x dx xy e dz x y +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
