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第八章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=. 二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---=};1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin =};0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→（0） 2、x y x xy3)2,(),()1(lim +∞→ (6e )四、证明极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在.证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sinlim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式.解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=xyxe xy + ,验证z x y +=∂∂+∂∂yz y x z x证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂yz x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π)3、设yxy xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设yz x u =, 求xu ∂∂，yu ∂∂，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂x x y z u y zln 1=∂∂5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由)0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在，000lim)0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A) 必要条件而非充分条件（B ）充分条件而非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（B ）偏导数连续，则全微分必存在（C ）全微分存在，则偏导数必连续（D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）xy ez =)1(2dy x dx x y edz xy +-=2）)sin(2xy z =解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u =解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=，求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f +=求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +-- 5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin)(lim 2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
高数答案(下)习题册答案-第六版--下册-同济大学数学系-编第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。
证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yxe xy + ,验证 z x y +=∂∂+∂∂yzyx z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂解：1-=∂∂y z x y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : uz u y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件 （B ）充分条件而非必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B ）偏导数连续，则全微分必存在 （C ）全微分存在，则偏导数必连续 （D ）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1）xye z = )1(2dy x dx xy e dz x y +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z y ln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx zz y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解：)0,0(01sin)(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A B=(-, 3)(5, +),A B=[-10, -5),A\B=(-, -10)(5, +),A\(A\B)=[-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.证明因为x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,所以(A B)C=A C B C.3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明(1)f(A B)=f(A)f(B);(2)f(A B)f(A)f(B).证明因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )y f (A )f (B ), 所以 f (AB )=f (A )f (B ). (2)因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的yY , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X Y , A X . 证明:(1)f -1(f (A ))A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .另一方面, 对于任意的xf -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ; 解 由3x +20得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x xy --=; 解 由x0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x 0得函数的定义D =[0, +¥).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +10得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.解 由x0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).证明 (1)对于任意的x 1, x 2(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2p .(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin px ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =p .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆=.任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D DD =，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
（完整版）⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼋章解答习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平⾯上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。
2.设已知两点1(4,2,1)M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M u u u u u u r的模、⽅向余弦和⽅向⾓。
3. 设向量r r的模是4，它与u 轴的夹⾓是3π，求r r在u 轴上的投影。
4. 设358m i j k =++r r r r ，247n i j k =--r r r r 和54p i j k =+-r r r r ，求向量43a m n p =+-r r r r在 x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。
5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-rr r r⽅向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。
解设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-u u u r，且AB a λ=u u u r ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-， ()()()()()()222222342178912AB x y z λλλ==-+++-=++-u u u r从⽽2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积向量积1. 设32a i j k =--r r r r，2b i j k =+-r r r r ，求（1）a b r r g 及a b ?r r ；（2）(2)3a b -r r g 及2a b ?r r ；（3）a r 、b r的夹⾓的余弦。
2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M u u u u u u r 、23M M u u u u u u r 同时垂直的单位向量。
3.求向量(4,3,4)a =-r在向量(2,2,1)b =r 上的投影。
4. 已知3OA i k =+u u u r r r 、3OB j k =+u u u r rr ，求OAB ?的⾯积。
第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1lim y x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y x y z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz += 解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4)222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x y x y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
