(四)第三章2

人教版（2019版） 化学化学反应原理第三章 水溶液中的离子反应与平衡第一节 电离平衡第1课时 强、弱电解质及其电离(1)概念依据 ，用 的酸(或碱)来测定 的碱(或酸)的方法。

(2)原理在中和反应中，酸提供的H ＋与碱提供的OH －的 相等，即：已知浓度中和反应未知浓度物质的量【学习任务一】概念和原理(1)仪器：滴定管，铁架台，滴定管夹， ， 。

仪器a是 ，仪器b是_____ 。

精确度： mL。

锥形瓶烧杯酸式滴定管碱式滴定管0.012.主要仪器及使用用0.01 mol·L －1硫酸滴定0.01 mol·L －1 NaOH 溶液，中和后加水至100 mL 。

若滴定时终点判断有误差：①多加了1滴硫酸；②少加了1滴硫酸(设1滴为0.05 mL)。

则①和②中pH 相差________。

4一、指示剂的选择指示剂变色范围(颜色与pH 的关系)石蕊<5.0 色 5.0～8.0紫色>8.0 色酚酞<8.2 色8.2～10.0浅红色>10.0 色甲基橙<3.1 色 3.1～4.4橙色>4.4色酸碱指示剂法(只能测定溶液的pH范围)(1)当滴定终点为碱性时，选择酚酞；(2)当滴定终点为酸性时，选择甲基橙；(3)。

红蓝无红红黄常见酸碱指示剂的变色范围:控制活塞锥形瓶内溶液颜色变化摇动锥形瓶①滴速：先快后慢，当接近终点时，改为滴加半滴标准溶液(利用锥形瓶内壁承接尖嘴处悬挂的半滴溶液)。

②终点的判断：滴入最后半滴标准液，指示剂变色，且在30s内不变色，视为滴定终点。

(1)锥形瓶在水洗后，要用待测液润洗2～3次( )(2)酸碱中和滴定实验一般不用石蕊作指示剂，是因为石蕊变色不明显( )(3)滴定实验中左手控制滴定管的活塞，右手摇动锥形瓶( )(4)当观察到锥形瓶中颜色发生变化，立即停止滴定并记下滴定管液面读数( )(5)量取20.00 mL待测液时可用量筒量取( )×√√×正误判断×三、中和滴定误差分析分析依据见黑板步骤操作V标准c待测洗涤酸式滴定管未用标准溶液润洗__________碱式滴定管未用标准溶液润洗__________锥形瓶用待测溶液润洗__________锥形瓶洗净后还留有蒸馏水____________取液放出碱液的滴定管开始有气泡，放出液体后气泡消失__________常见的误差分析以用标准盐酸滴定待测氢氧化钠溶液为例：变大偏高变小偏低变大偏高不变无影响变小偏低滴定酸式滴定管滴定前有气泡，滴定终点时气泡消失__________振荡锥形瓶时部分液体溅出__________部分酸液滴出锥形瓶外__________溶液颜色较浅时滴入酸液过快，停止滴定后再加一滴NaOH溶液无变化__________读数滴定前读数正确，滴定后俯视读数(或前仰后俯)__________滴定前读数正确，滴定后仰视读数(或前俯后仰)__________变大偏高变小偏低变大偏高变大偏高变小偏低变大偏高(1)称量固体NaOH时，未调节天平的零点( )1.称取一定质量的NaOH来测定未知浓度的盐酸时(NaOH放在锥形瓶内，盐酸放在滴定管中)。

第三章水溶液中的离子平衡第二节水的电离和溶液的酸碱性第2课时酸碱中和滴定1．准确量取25.00 mL的KMnO4溶液，可选用的仪器为() A．500 mL量筒B．10 mL移液管C．50 mL酸式滴定管D．50 mL碱式滴定管解析：准确量取25.00 mL溶液应用滴定管或移液管，因KMnO4能腐蚀碱式滴定管的橡胶管，故应用50 mL酸式滴定管。

答案：C2．下列某种仪器中盛有一定量的高锰酸钾溶液，甲同学平视读数为n mL，乙同学仰视读数为x mL，丙同学俯视读数为y mL。

若x>n>y，则该仪器是()A．酸式滴定管B．量筒C．容量瓶D．碱式滴定管解析：仰视读数时数值偏大，俯视读数时数值偏小，即小刻度在上，大刻度在下，因此该仪器是滴定管。

又因为盛放的高锰酸钾溶液具有氧化性，故应是酸式滴定管。

答案：A3．下列有关滴定操作的顺序正确的是()①检查滴定管是否漏水②用蒸馏水洗涤玻璃仪器③用标准溶液润洗盛标准溶液的滴定管，用待测液润洗盛待测液的滴定管④装标准溶液和待测液并调整液面(记录初读数)⑤取一定体积的待测液于锥形瓶中⑥滴定操作A．①③②④⑤⑥B．①②③④⑤⑥C．②③①④⑤⑥D．④⑤①②③⑥解析：中和滴定按照检漏、洗涤、润洗、装液、取待测液、滴定等顺序操作，则操作顺序为：①②③④⑤⑥。

答案：B4．用标准盐酸溶液滴定待测浓度的碱溶液时，下列操作中会引起碱溶液浓度的测定值偏大的是()A．锥形瓶中的溶液在滴定过程中溅出B．滴定管装液后尖嘴部位有气泡，滴定后气泡消失C．指示剂变色15 s后又恢复为原来的颜色便停止滴定D．锥形瓶用蒸馏水冲洗后未用待测液润洗解析：根据c(B)＝c（A）·V（A）V（B）判断，A项中，V(B)的实际量减少，导致V(A)减少，测定值偏小；B项使液体充满气泡，导致V(A)增大，测定值偏大；C项未到滴定终点，偏小；D项，不影响测定结果。

答案：B5．向盛有10 mL NaOH稀溶液的烧杯中逐滴滴加稀盐酸，并边加边振荡，下列图象中能体现溶液pH变化情况的是()解析：滴加盐酸之前，稀NaOH溶液pH＞7，则A和B不正确。

《发生在肺内的气体交换》基础练习一．选择题（共20小题）1．气体在肺泡和毛细血管之间的气体交换依赖于（）A．呼吸作用 B．呼吸运动C．气体的扩散作用D．气体在血液中的运输2．如图所示人的膈肌收缩和舒张时在胸腔内的位置，下列有关表叙正确的是（）A．膈肌从甲到乙时，呼气，此时肺内气压大于外界大气压B．膈肌从甲到乙时，吸气，此时肺内气压小于外界大气压C．呼气完成的瞬间，膈肌处于乙状态，肺内气压等于外界大气压D．吸气完成的瞬间，膈肌处于甲状态肺内气压等于外界大气压3．如图是平静呼吸时相关结构变化示意图，Ⅰ、Ⅱ表示胸骨和肋骨运动的过程．吸气时肋骨间的肌肉的状态、运动的过程和肺内气压分别是（）A．舒张、过程Ⅰ、高于大气压 B．收缩、过程Ⅱ、等于大气压C．收缩、过程Ⅰ、低于大气压 D．舒张、过程Ⅱ、低于大气压4．如图所示，当膈肌状态由B向A状态转换时，进行的生理过程是（）A．完成吸气动作，此时膈肌收缩B．完成呼气动作，此时膈肌收缩C．完成吸气动作，此时膈肌舒张D．完成呼气动作，此时膈肌舒张5．血浆中的氧进入红细胞，先要经过哪一结构（）A．细胞壁B．细胞膜C．细胞质D．细胞核6．做口对口呼吸抢救突然停止呼吸、但心跳没有停止的病人时，不需采取的步骤是（）A．使病人仰卧，头向后仰B．将病人的衣领解开，腰带放松C．清除病人口鼻中的异物和污物，保持呼吸道畅通D．正确地做人工胸外心脏挤压7．图为肺泡内的气体交换示意图（a，b表示血管，箭头表示血液流动方向）．下列叙述中正确的是（）A．a为肺静脉，其内流动脉血B．b为肺动脉，其内流静脉血C．a内血液来自内脏的左心房D．b内血液将流回心脏的心房8．在游泳时大家往往有这样的体会：若水超过胸部，会感觉呼吸有些吃力．这是因为（）A．胸腔容积增大，肺内气压增大，外界空气不易进入B．胸腔容积增大，肺内气压减小，外界空气不易进入C．胸腔容积减小，肺内气压减小，外界空气不易进入D．胸腔容积减小，肺内气压增大，外界空气不易进入9．如图为某人在两种状态下的呼吸情况，不正确的是（）A．曲线A是平静时的呼吸状态 B．曲线B是运动时的呼吸状态C．曲线A的呼吸频率比曲线B快D．曲线B的呼吸深度比曲线A大10．做人工呼吸进行口对口吹气时，每分钟吹气的次数应是（）A．8～10次B．16～18次C．60～70次D．100次以上11．下列关于肺泡与血液间进行气体交换的过程，正确的是（）A．氧气与二氧化碳从血液进入肺泡B．氧气与二氧化碳从肺泡进入血液C．氧气从肺泡进入血液，二氧化碳从血液进入肺泡D．氧气从血液进入肺泡，二氧化碳从肺泡进入血液12．如图是模拟呼吸运动的模式图，下列描述错误的是（）A．甲模拟呼气动作，乙模拟吸气动作B．气球模拟肺C．甲膈肌收缩，乙膈肌舒张D．橡皮膜模拟膈肌13．呼吸运动是指吸气和呼气两个动作，呼吸运动的完成主要依赖于（）A．呼吸肌的收缩和舒张B．肺泡的弹性C．气体分子的扩散D．氧和二氧化碳的交换14．某人平静时的胸围长度是85cm，尽力吸气时的胸围长度是95cm，尽力呼气时的胸围长度是83cm，这个人的胸差（）A．12cm B．8cm C．10cm D．2cm15．人体内二氧化碳浓度最高的地方是（）A．肺泡 B．组织细胞C．肺泡周围毛细血管 D．组织细胞周围毛细血管16．如图表示人平静呼吸时肺内气压随时间变化的图象，其中那一段呼吸肌处在收缩状态（）A．AC B．CE C．BD D．DF17．人体主要的呼吸肌是（）A．肋间肌和膈肌 B．腹部肌肉 C．胸大肌D．背部肌肉18．人体平静状态下呼气时（）A．膈肌舒张，肋间外肌舒张，肋骨下降B．膈肌舒张，肋间外肌收缩，肋骨上升C．膈肌收缩，肋间外肌收缩，肋骨上升D．膈肌收缩，肋间外肌收缩，肋骨下降19．在人体吸气和呼气的过程中，下列哪一种气体的量不会发生明显变化？（）A．氮气 B．氧气 C．二氧化碳 D．水蒸气20．人体呼出的气体，二氧化碳的含量增加了，这些二氧化碳产生于（）A．肺泡 B．组织细胞 C．血液 D．鼻腔二．解答题（共10小题）21．人体进行吸气时，膈肌的状态是，肺的容积变．22．分析如图所示实验：甲乙两个瓶中都装有澄清的石灰水．在吸入气体时，左手捏紧橡皮管，右手松开．在呼出气体时，右手捏紧橡皮管，左手松开．（1）一段时间后，可看到瓶中的石灰水明显变浑浊，说明人体呼出的气体中含有较多的．（2）本实验设置甲、乙两瓶，形成了一组实验．（3）人体吸入的气体，在肺部和血液之间进行气体交换，肺泡中的进入血液，血液中的二氧化碳进入肺泡．23．（1）图中A表示，B代表．（2）吸气时，肋骨运动，膈肌，胸廓，肺内的气压相对较低，气体便被吸入．24．如图是某人在1个标准大气压下的一次平静呼吸中肺内气压的变化曲线，请分析回答：（1）曲线AB段表示时肺内气压的变化，此时，与呼吸有关的肌肉处于状态．（2）曲线BC的变化中，胸廓的前后、左右、上下径都表示过程（3）本次呼吸中，吸气结束的那一瞬间是坐标系中的点，此时肺内气压与大气压的值．25．根据如图（模拟膈肌的运动示意图）完成下列各题．（1）模型此时模拟的状态是（吸气还是呼气）．（2）图中A表示，图中C表示的是．E表示的是．（3）用手上推E，小气球，表示．（4）此模型不能演示胸廓的径的变化，因此不能完全演示呼吸运动．26．如图模拟的是呼吸时膈肌的运动情况，请根据图回答下列问题：（1）图中气球代表的是，瓶底的橡皮膜代表的是．（2）如图Ⅱ所示，用手下拉橡皮膜时气球会，这表示气的过程．在人体内，此过程进行时，橡皮膜代表的结构会（填“收缩”或“舒张”），其顶部下降，胸廓的上下径，使得胸腔容积，肺便扩张，肺内的气体压力相应，于是气体就被吸入．（3）人体通过吸气和呼气实现了肺与的气体交换．（4）古代有些女子将胸部和腰部束得很紧，以保持苗条的身材，但是会直接影响（填“图甲”或“图乙”）所示生理过程的进行，经常这样会引起体质下降．27．如图为模拟膈肌运动的示意图，请据图回答问题：（1）图表示吸气状态．（2）图B状态中，膈肌处于状态．（填“收缩”和“舒张”）（3）古代有些女子将胸部和腰部束得很紧，以保持苗条身材，但是会直接影响所示生理过程的进行，经常这样会引起体质下降．（填“图A”或“图B”）28．如图是人体内气体交换和运输示意图，请据图回答：（1）图中A、D分别代表什么气体？A，D．（2）A和B的交换过程是通过来完成的；而肺泡与外界的气体交换是通过来完成，需要依赖等呼吸肌来共同完成．（3）组织细胞利用气体D，通过作用释放的同时也产生了气体C．（4）通过血液循环不仅为组织细胞提供了气体D，也为组织细胞提供．29．下表为人体吸入气体和呼出气体成分含量（%）比较；为了探究人体呼出气体中二氧化碳体积分数的变化，某同学做了实验，结果如图甲所示：人体内的气体可通过血液循环运输到组织细胞，血液和组织细胞间的气体交换如图乙．请分析回答成分吸入气体呼出气体氧气20.96 16.40二氧化碳0.04 4.10其它气体79.00 79.50合计100.00 100.00（1）阅读上表可知，吸入气体中含量比呼出气体中的高．（2）观察图甲推断，通入的气体为人体呼出气体的试管是．（3）分析图乙得出，经过组织里的气体交换后，血液中含量明显增多的气体是．30．如图是模拟膈肌运动的实验装置．请回答：（1）图1所示实验装置中，序号模拟人体的肺，序号模拟人体的膈．（2）图2模拟的是人体在时膈肌所处的运动状态，此时由于膈肌的收缩胸廓的径增大．（3）当人体处于图1所示的呼吸运动状态时，肋骨间的肌肉处于状态．2017-2018学年人教版七年级生物下册第四单元第三章第二节《发生在肺内的气体交换》基础练习（有答案）参考答案一．选择题（共20小题）1．C；2．B；3．C；4．D；5．B；6．D；7．D；8．D；9．C；10．B；11．C；12．C；13．A；14．A；15．B；16．C；17．A；18．A；19．A；20．B；二．解答题（共10小题）21．收缩；大；22．乙；二氧化碳；对照；氧气；23．呼气；吸气；向上向外；收缩；增大；24．吸气；收缩；缩小；呼气；B；相等；25．吸气；气管；肺；膈；缩小；呼气；前后、左右；26．肺；膈肌；胀大；吸；收缩；增大；扩大；减小；外界；乙；27．B；收缩；B；28．二氧化碳；氧气；气体扩散；呼吸运动；肋间肌膈肌；呼吸；能量；营养物质；29．氧气；甲；二氧化碳；30．3；4；吸气；上下；舒张；。

初中生物·人教版·七年级下册——第三章人体的呼吸第二节发生在肺内的气体交换测试时间:20分钟一、选择题1.成年人在平静状态下大约每分钟呼吸多少次( )A.5B.10C.16D.25答案C每分钟内呼吸的次数叫呼吸频率,据测定,呼吸频率随着年龄、性别和活动情况的不同而不同。

成年人在平静状态下的呼吸频率大约是16次/分,人体活动加强时,呼吸的频率和深度都会增加,C正确。

2.人体内与呼吸有关的主要肌肉是( )A.胸部的肌肉B.腹部肌C.肋骨间的肌肉和膈肌D.背部肌肉答案C参与呼吸运动的肌肉主要有膈肌、肋骨之间的肌肉。

3.在人的呼吸中,呼出的气体与吸入的气体相比,没有变化的成分是( )A.氮气B.氧气C.二氧化碳D.水答案A呼出的气体与吸入的气体相比,没有变化的成分是氮气(78%),氧气的含量减少,二氧化碳和水的含量增加。

4.人在平静状态下完成吸气过程,膈肌和胸廓的变化是( )A.膈肌收缩,胸廓扩大B.膈肌收缩,胸廓缩小C.膈肌舒张,胸廓缩小D.膈肌舒张,胸廓扩大答案A人在平静状态下完成吸气过程,膈肌收缩,膈顶部下降,胸廓的上下径增大,胸廓扩大。

5.下列哪项与肺泡完成气体交换无直接关系( )A.肺泡虽小,数目很多B.肺泡外缠绕着丰富的毛细血管C.肺泡壁由一层细胞构成D.支气管入肺后反复分支答案D肺是进行气体交换的主要场所,肺泡是进行气体交换的主要部位,肺泡数目很多,肺泡外面包绕着丰富的毛细血管,肺泡壁和毛细血管壁都很薄,只由一层上皮细胞组成,这些特点有利于肺进行气体交换。

6.如图是人的膈肌收缩和舒张时在胸腔内的位置,下列叙述正确的是( )A.吸气完成的瞬间,膈处于A位置B.呼气开始的瞬间,膈处于B位置C.膈肌舒张,膈从B到A,胸腔变小,吸气D.膈肌收缩,膈从A到B,胸腔变大,呼气答案B吸气完成的瞬间,膈处于B位置;膈肌舒张,膈从B到A,胸腔变小,呼气;膈肌收缩,膈从A到B,胸腔变大,吸气。

1第1 页 共 11 页教学辅导教案1．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值．3．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R.设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝85， 求cos(α＋β)的值．[二倍角][问题1] 求下列各式的值：(1)sinπ12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[问题2] (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值； (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，求α.[问题3] 已知向量a ＝(sin A ，cos A )，b ＝(3，－1)，a ·b ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．[半角及恒等变换][问题1] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[问题2] 化简：1＋sin α＋cos α⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．[问题3] 证明： (1)sin θ(1＋cos 2θ)＝sin 2θcos θ； (2)tan α＋tan βtan α－tan β＝sin α＋βsinα－β.[二倍角] 1．化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ； (2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.(1)1＋sin θ－1－sin θ⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．3．求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .[方法技巧]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. [二倍角的配凑问题][典例1] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x的值．[多维探究]1．解决上面典问要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x ； 常见的此类变换，还有：(1)sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (2)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ； (3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋x . 2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[变式]1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝________. 2．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________. 3．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________.4．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.[三角恒等变换的实际应用][典例２]如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ ，CR 正好落在正方形的边BC ，CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．[变式]有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？[二倍角]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215° 2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( )A ．－2cos 50°B ．2cos 50°C ．－2sin 50°D ．2sin 50°3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 4．函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1的最小正周期为________． 5．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值．[半角及恒等变换]1．已知cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，那么sin θ2等于( ) A.105 B ．－105 C.155 D ．－1552．化简2＋cos 2－sin 21的结果是( )A ．－cos 1B ．cos 1 C.3cos 1 D ．－3cos 13．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，那么sin θ4等于________． 4．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2＝________. 5．求1＋cos 20°22sin 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°的值．[二倍角]1．若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.19252．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( ) A ．－34 B.34C ．－43 D.433．设－3π<α<－5π2，化简 1－cos α－π2的结果是( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2。

3．1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式考点学习目标核心素养二倍角的正弦、余弦、正切公式会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式逻辑推理二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P132－P134，并思考下列问题：1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？二倍角的正弦、余弦、正切公式名称公式推导记法正弦sin 2α＝2sin__αcos__αS(α＋β)――→令β＝αS2αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αC(α＋β)――→令β＝αC2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2αC2α正切tan 2α＝2tan α1－tan2αT(α＋β)――→令β＝αT2αT2α正确理解二倍角公式(1)要注意公式应用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)10α是5α的倍角，5α是5α2的倍角．( ) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75 B.125 C.1225 D.2425答案：D计算1－2sin 222.5°的结果等于( ) A.12 B.22 C.33D.32 答案：B已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－247给角求值求下列各式的值． (1)sin π8cos π8；(2)cos 2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan 2150°； (4)cos π5cos 2π5.【解】 (1)sin π8cos π8＝12×2sin π8cos π8＝12×sin π4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin2π6＝cos⎝⎛⎭⎫2×π6＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．cos4π12－sin4π12等于()A．－12B．－32C.12 D.32解析：选D.原式＝⎝⎛⎭⎫cos2π12－sin2π12⎝⎛⎭⎫cos2π12＋sin2π12＝cos π6＝32.2．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan2 30°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin （30°－10°）sin （2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.给值求值已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos(2α＋π4)的值． 【解】 因为π2≤α＜3π2，所以3π4≤α＋π4＜7π4.因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以3π2<α＋π4<7π4. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250.三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ； ②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x .1．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析：选D.由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718D ．－1718解析：选 D.cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，所以sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.化简与证明(1)化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α；(2)证明tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α. 【解】 (1)原式＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π2－π4－α＝cos 2α2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫2×π4－2α ＝cos 2αcos 2α＝1. (2)证明：法一：左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin 2α12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin 2αcos 2α＝2tan 2α＝右边．所以等式成立．法二：左边＝1＋tan α1－tan α－1－tan α1＋tan α＝4tan α1－tan 2α＝2tan 2α＝右边．故原式成立．三角函数式的化简与证明(1)化简的方法①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.(2)证明三角恒等式的方法①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．1．若α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________．解析：因为α为第三象限角，所以cos α＜0，sin α＜0， 所以1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝2cos 2αcos α－2sin 2αsin α＝－2cos αcos α－－2sin αsin α＝0.答案：02．求证：4sin αcos α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α－sin 2α＝tan 2α.证明：左边＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α＝右边．1．已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A ．2 B ．－2 C.34D ．－34解析：选D.因为sin α＝3cos α，所以tan α＝3， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.2．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，所以⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫132＝79. 答案：13 793．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin 2α，cos 2α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35. (2)由(1)知cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.[A 基础达标]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x 的值为( )A.1925 B.1625 C.1425D.725解析：选D.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D.35解析：选D.cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2解析：选C.因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13，则sin(－3π＋2α)＝( )A.79 B ．－79C.35D ．－35解析：选A.易得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝2×⎝⎛⎭⎫－132－1＝－79.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin 2α＝－⎝⎛⎭⎫－79＝79.故选A. 5．化简tan 14°1－tan 214°·cos 28°的结果为( )A.sin 28°2B ．sin 28°C ．2sin 28°D ．sin 14°cos 28°解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12tan 28°·cos 28°＝sin 28°2，故选A.6．已知sin α－2cos α＝0，则tan 2α＝________． 解析：由sin α－2cos α＝0，得tan α＝sin αcos α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 答案：－437．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________．解析：sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.答案：－568.1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos 210°－1－cos 2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α的值．解：由π4<α<π2，得π2<2α<π. 因为sin 2α＝513，所以cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169. 10．已知π2<α<π，sin α＝45. (1)求tan 2α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 解：(1)由题意得cos α＝－35， 所以tan α＝－43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－831－169＝247. (2)因为sin α＝45，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫452＝－725， sin 2α＝2sin α·cos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425. 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α·cos π4＋sin 2α·sin π4＝⎝⎛⎭⎫－725×22＋⎝⎛⎭⎫－2425×22＝－31250. [B 能力提升]11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4等于( ) A.43B ．－43 C.34 D ．－34解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x＝－1－tan 2x 2tan x ＝4－12×2＝34. 12．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________． 解析：1sin θ＋1cos θ＝22⇒sin θ＋cos θsin θcos θ＝22 ⇒sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin 22θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－12，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以cos 2θ＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θ·cos π3＋sin π3cos 2θ＝12. 答案：1213．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值． 解：因为0<x <π4，所以0<π4－x <π4. 又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213. 因为cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2413. 14．(选做题)已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值．解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0， 知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2， 所以tan x ＝2tan x 21－tan 2 x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ） ＝cos 2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x ＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x＝2×1＋tan x tan x ＝24.。

Ⅰ 戴德金定理；Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理．在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． Ⅰ⇒Ⅱ：（戴德金定理⇒单调有界数列必收敛定理）证明：设数列{n x }单调递增且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 的构造可知α不是{n x }的上界，N N +∃∈使N x α>，则N x B ∈，且为数列{n x }的上界，由数列{n x }单调递增可知，,n N ∀>均有n N x x =，从而{n x }极限存在．若B 中有最小数，不妨设为β，现在证明β即为数列{n x }的极限．事实上，β是数列{n x }的上界，且对0,εβε∀>-不属于B ，从而不是{n x }的上界，即,N N N x βε+∃∈>-使，又因为{n x }的单调性，从而：,.N n n N x x βεβ∀>-<≤<也即，数列{n x }收敛于β． Ⅰ⇒Ⅲ：（戴德金定理⇒确界原理）证明：设数集E 非空且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 构造可知α不是数集E 的上界，从而存在,E ξ∈ξα>使．即B ξ∈为E 的上界，因此sup E ξ=，数集E 的上确界存在．若B 中有最小数，不妨设为β，则对0,A εβε∀>-∈不是E 的上界．从而,E ξ∃∈ 使：βεξβ-<≤．也即sup E ξ=，E 的上确界存在．Ⅰ⇒Ⅳ：（戴德金定理⇒闭区间套定理）证明：设{[],n n a b }是递缩的闭区间列，数列{n a }的上界构成集合B ，则我们可知{1,2,n b n =}B ⊂，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空，不漏，有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数．若A 中有最大数，类似前面证明可知，数列{n a }自某一项之后恒为常数，从而数列{n a }的极限存在，设lim n n a c →∞=，则：lim()lim()lim()n n n n n n n b c b a a c →∞→∞→∞-=-+-000.=+= 即lim lim .n n n n a c b →∞→∞== 点c 唯一且属于所有的闭区间．若B 中有最小数，不妨设为c ，则对n N +∀∈，有：n n a c b <≤．且因lim()0.n n n b a →∞-= 可知：0lim()lim()0.n n n n n c a b a →∞→∞≤-≤-=从而lim lim .n n n n a c b →∞→∞== 点c 唯一且属于所有的闭区间．[7]Ⅰ⇒Ⅴ：（戴德金定理⇒致密性定理）证明：对任意有界数列{n x }，x R ∀∈定义()J x 为{}n J x =的子集：(){n J x x J =∈︱}.n x x ≤令{()A x R J x =∈为有限集或空集}；{()B x R J x =∈为无限集}．根据上述定义，显然可以得出/A B 是实数集R 的一个分划，由戴德金定理可知.R β∃∈ 有且仅有下列两种情况：（1）.A β∈即max .A β=，此时存在0N ，当0n N >就有n x β>，但另一方面inf B β=因此0,A εβε∀>-∈，从而有无穷多个n x 满足n x βε<+．今取：1ε=，则10,N N ∃>使11N x β<+；1/2ε=，则21,N N ∃>使21/2N x β<+；1/k ε=，则1,k k N N -∃>使1/kN x k β<+；于是得到{n x }的一个子列{k N x }，其中1/k N x k ββ<<+，这说明lim k N k x β→∞=．（2）.B β∈ 即min .B β= 这说明0,()J εβε∀>-为有限集，()J β为无限集，即(,)βεβ-内有无限多个{n x }中的点，同上可得到数列{n x }的收敛子列{k n x }且lim k n k x β→∞=．Ⅰ⇒Ⅵ：（戴德金定理⇒柯西收敛准则）证明：类似上述讨论，数列{n x }有收敛子列{k n x }，即对0,,.K N k K ε+∀>∃∈∀> 均有：/2.k n x βε-<又因为{n x }为柯西列，对上述0,,,.N N n N m N ε+>∃∈∀>> 有：/2.m n x x ε-<因而取0max{1,1}K N K =++，则011k N n n N N +≥≥+>，从而对上述0,.n N ε>∀> 有：k k n n n n x x x x ββ-≤-+-/2/2.εεε<+= 即lim n n x β→∞=．数列{n x }收敛．Ⅰ⇒ Ⅶ：（戴德金定理⇒有限覆盖定理）证明：假设闭区间[],a b 被开区间集E 所覆盖，若闭区间[],a b 没有被开区间集E 有限覆盖，则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间没有被有限覆盖，记为[]11,a b ，依此类推，得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，根据戴德金定理推出闭区间套定理的结果可知，有唯一的一个点c 属于所有的闭区间，又因为闭区间[],a b 被开区间集E 所覆盖，则对点c 的某一邻域(,)c δ⋃必存在E 中一个区间i ∆，使得(,)i c δ⋃⊂∆，又当n 充分大时有[],(,)n n i a b c δ⊂⋃⊂∆，即[],n n a b 被区间i ∆所覆盖，这与{[],n n a b }的取法矛盾．Ⅱ⇒Ⅰ：（单调有界数列必收敛定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值 事实上，我们可作严格递缩的闭区间列{[],n n a b }，其中：,,1,2,3,n n a A b B n ∈∈=则由分划/A B 的构造可知数列{n a }单调递增且有上界，{n b }单调递减且有下界，根据单调有界数列必收敛定理，数列{n a }，{n b }的极限均存在，可设lim .n n a ξ→∞= lim .n n b η→∞= 则：0lim()0.n n n b a ηξ→∞≤-≤-=即.ηξ= 若ξA ∈，因A 中没有最大值，则0x A ∃∈使0x ξ>，又l i m.n n b ηξ→∞== 则显然对0,,N N n N ε+∀>∃∈∀>，有：n b ξεξε-<<+，即n b ξε>-．因而0n x b ε>-，由ε的任意性，可知0n b x B ≤∈，这与/A B 为实数集R 的分划相矛盾．因而ξB ∈，且对任意的n b B ∈均有n b ξ≤，ξ为B 的最小数． Ⅲ⇒Ⅰ：（确界原理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，A 非空且有上界，从而其上确界存在，不妨设sup A ξ=，A ξ∉，否则A 中有最大数ξ，与假设矛盾．从而ξB ∈且为B 的最小值，因为若存在ηB ∈且ηξ<，则因为ξ为A 上确界，对02ξηε-=>必有ζA ∈，使得22ξηξηζξεξη-+>-=-=>，因而我们有ζB ∈，矛盾．也即B 中有最小值．Ⅳ⇒Ⅰ：（闭区间套定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,,,a b a A b B ∈∈ 则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中元素，又含有B 中元素，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，则由闭区间套定理，有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间，因为A 中无最大值，又因为数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值．否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅴ⇒Ⅰ：（致密性定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,a A b B ∈∈ 则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中点，又含有B 中点，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，则因为数列{n a }有界，从而数列{n a }有收敛子列{k n a }，不妨假设lim k n k a ξ→∞=，即对0,,K N k K ε+∀>∃∈∀>，均有：/2.k n a ξε-<又因为数列{n x }单调递增，对,K n n ∀> 均有12,,k K k K >> 使得：12k k n n n <<，12.k k n n n a a a ≤≤即12.k k n n n a a a εξξξε-<-≤-≤-< 从而数列{n a }收敛于点ξ．即l i m n n a ξ→∞=，又因为：lim lim()lim .n n n n n n n b b a a ξ→∞→∞→∞=-+= 即有唯一的一个点属于所有的闭区间．因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅵ⇒Ⅰ：（柯西收敛准则⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,,,a b a A b B ∈∈则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中元素，又含有B 中元素，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，构造新数列{n x }={1122,,,,a b a b ,,,n n a b }，由lim()0n n n b a →∞-=且数列{n a }单调递增数列{n b }单调递减显然可知数列{n x }为柯西列，从而数列{n x }收敛，不妨设lim n n x ξ→∞=，则其子列{n a }，{n b }均收敛，且可得：lim lim .n n n n b a ξ→∞→∞== 因而有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间，因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅵ⇒Ⅰ：（柯西收敛准则⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,,,a b a A b B ∈∈则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中元素，又含有B 中元素，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，构造新数列{n x }={1122,,,,a b a b ,,,n n a b }，由lim()0n n n b a →∞-=且数列{n a }单调递增数列{n b }单调递减显然可知数列{n x }为柯西列，从而数列{n x }收敛，不妨设lim n n x ξ→∞=，则其子列{n a }，{n b }均收敛，且可得：lim lim .n n n n b a ξ→∞→∞== 因而有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间，因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂- 这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证． Ⅶ⇒Ⅰ：（有限覆盖定理⇒戴德金定理）证明：设/A B 为实数集R 的一个分划，且A 中没有最大值，现在来证B 中必有最小值．事实上，任取两点,,a A b B ∈∈则将闭区间[],a b 二等分为,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，必有一个闭区间即含有A 中点，又含有B 中点，记为[]11,a b ，依此类推，可得到递缩的闭区间列{[],n n a b }，令()111,1E a b =-+，[],n n n I a b =，如果[]1,n n n a b ∞=是空集，则有开区间集,1,2,n E I n -=,n ,覆盖了闭区间[]11,a b ，从而由有限覆盖定理可知有有限个开区间设为12,,n n E I E I --,k n E I -覆盖了闭区间[]11,a b ，从而我们可以得到闭区间[]()()1111,1,,1kkn n a b a a bb ⊂-+，这显然与闭区间列{[],n n a b }的构造相矛盾．又因为lim()0n n n b a →∞-=，从而有且仅有唯一的一个点ξ属于所有的闭区间[],n n a b ．因为A 中无最大值，从而数列{n a }严格递增且以ξ为极限，可知ξB ∈，现在来证ξ为B 的最小值，否则，若存在B η∈且ηξ<，则当n 充分的时，有[][],,2,n n a b ηξη⊂-这与[],n n a b 中必含有A 中点相矛盾，结论得证．。

七年级下第四单元第三章第二节发生在肺内的气体交换1．肺（1）位置。

肺位于胸腔内，左右各一个，左肺有两叶，右肺有三叶，分别与左右支气管相通。

（2）结构。

肺是由细支气管的树枝状分支和肺泡组成的。

①肺泡是由最细小的支气管的末端膨大形成的。

②肺泡的数目很多，约有3亿个。

③肺泡壁很薄，只由一层上皮细胞构成。

④肺泡的外面包绕着丰富的毛细血管和弹性纤维。

毛细血管的壁由一层上皮细胞构成，有利于肺泡与血液之间进行气体交换。

肺是呼吸系统的主要器官，其结构特点适于进行气体交换。

【例1】下列叙述中与肺内气体交换作用无直接关系的是（）。

A．肺泡数目极多B．肺泡外缠绕着毛细血管C．肺泡位于细支气管的末端D．肺泡壁和毛细血管壁均由一层细胞构成2．胸廓变化与肋间肌和膈肌的关系（1）胸廓的组成。

胸廓由脊柱、肋骨、胸骨和肋间外肌组成，底部由膈封闭。

（2）胸廓变化与肋间外肌之间的关系。

当肋间外肌收缩时，胸骨上提，肋骨向上向外移动，胸廓的前后径、左右径增大，胸廓扩大；当肋间外肌舒张时，胸骨下放，肋骨向下向内移动，胸廓的前后径、左右径缩小，胸廓缩小。

（3）胸廓变化与膈肌的关系。

当膈肌收缩时，膈顶下降，胸廓上下径增大，胸廓扩大，肺扩张，肺容积增大；当膈肌舒张时，膈顶上升，胸廓上下径减小，胸廓缩小，肺回缩，肺容积变小。

与呼吸有关的肌肉收缩，胸廓扩大；肌肉舒张，胸廓缩小。

【例2】下列关于肋间外肌和膈肌作用的叙述，正确的是（ ）。

A ．肋间外肌和膈肌交替舒缩B ．肋间外肌和膈肌同时收缩或舒张C ．肋间外肌收缩可缩小胸廓容积D ．膈肌舒张可扩大胸廓容积3．呼吸运动实现了肺通气呼吸运动是指胸廓有节律地扩大和缩小，包括吸气和呼气。

（1）吸气。

人体吸气时，肋间外肌和膈肌同时收缩，胸廓扩大，肺随之扩张，肺内气压小于外界大气压，外界新鲜空气通过呼吸道进入肺。

（2）呼气。

人体呼气时，肋间外肌和膈肌同时舒张，胸廓缩小，肺随之回缩，肺内气压大于外界大气压，肺泡内的部分气体呼出体外。