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2 x 3 3 y x 2
x2 y2 1 4 9
x2 y2 y2 x2 1或 1 100 64 100 64
4 x 9 9 y x 4
的渐近线方程为（ C ）
B.
D.
y
3.双曲线 mx2 y 2 1 的虚轴长是实轴长的2倍，
则m的值为
1 4
例题讲解
例2:求下列双曲线的标准方程：
双曲线的简单几何性质
复习1
椭圆的图像与性质
x2 y2 2 1 2 a b (a b 0)
标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
y
B2 (0,b)
(-a,0) A1 F1 (-c,0) (a,0) A2
a x a
b y b
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
o
(c,0) F2
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e (1, )时， (0, ), 且e增大 , 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
双曲线标准方程：
2
F1 0，-c）、（ （焦点在y轴上，（ F2 0，c））
其中 c a b
2 2
2
问题1：
类比椭圆几何性质的研究方法，我 们根据双曲线的标准方程 得出双曲线的范围、对称性、顶点等几 何性质？
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
1、范围
x 2 2 1 , x a 2 a x a, x a
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,
a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长
y
为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线。
A1
o
A2
x
B1
问题2：
根据双曲线的标准方程 你能发现双曲线的范围还受到怎样的限 制？
x2 y 2 由双曲线方程 ，可知 a 2 b 2 0 x y x y 0 x y x x 0 即 0 从而 或 a b a b a b a b x y 0 x y 0 a b a b x2 y2 2 1 2 a b
x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3 ) ； 9 16
x2 y2 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 1 有公共焦点，且过点 16 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； ⑴与双曲线 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 1 的渐近线为 y x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 , 3 9 16 4 故点 (3,2 3) 在射线 y x （x≤0）及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0), a b b 4 2 9 2 2 a x y a 3 ∴ 解之得 1 4 ,∴ 双曲线方程为 9 2 2 4 b2 4 ( 3) (2 3) 1 2 2 4 b a
渐近线方程: y
4 x 3
巩固练习
1.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准 方程为（ B ） x2 y2 y2 x2 x2 y2 1 A. B. 25 9 1 或 25 9 1
25 9
C.
x2 y2 1 100 64
D.
2.双曲线 A. C.
y
双曲线性质：
1.范围：
y2 x2 2 1 2 a b
y A2 B1 o A1 B2 x
y≥a或y≤-a
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称 3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a) A1A2为实轴，B1B2为虚轴
a 4.渐近线方程： y x cb e 1 5.离心率： a
例题讲解
小 结
标准方程
范围 对称性 顶点 渐近线 离心率
x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
y B2 A1 o B1 A2 x
x a或 x a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
A1,A2
b y x a44 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程 可得:实半轴长 a 4
虚半轴长 b 3
半焦距 c 42 32 5 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
c 5 e a 4
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面 b b y x 区域内，即以直线 a 和y x 为边界的平面区 a 域内
问题3：
双曲线的范围在以直线 为边界 的平面区域内，那么从 x，y的变化趋势看，双曲 2 2 b x y 线 2 2 1和直线 y x具有怎样的关系？ a a b y
2 b b 2 b a PM x x a2 a a a x x2 a2
b y x a
b 和y a x
P M
b B2
A1
o
A2
a N x
x x2 a2 当x变大时， 变大，PM长趋向于0
y
B1
b x a
b y x a
4、渐近线
x y 可以看出，双曲线 2 2 1 a b b 的各支向外延伸时，与直线 y x a A1
x
A1,A2,B1,B2
0e c 1 a
B1 (0,-b)
复习2 双曲线的标准方程
形式一： x 2 y 2 2 1(a 0, b 0) 2 a b F1 -c，0）、 F（ （焦点在x轴上，（ 2 c，0））
形式二： y 2
x 2 1(a 0, b 0) 2 a b
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 2 1 (a>0,b>0) a b a 2 b 2 20 a 2 12 则 解之得 2 (3 2 )2 2 2 或设 b 8 1 2 2
a b
x2 y2 1 ∴双曲线方程为 12 8
2、对称性
2
y
(-x,y) -a (-x,-y) (x,y)
o a
(x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）令y=0，得x=±a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点; 令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y 轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上。
2 2
y b B2
Q
M(x,y)
逐渐接近，我们把这两条直线 叫做双曲线的渐近线。
y b x a
o
A2
a x
B1
b y x a
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3）e的含义：
法二：巧设方程,运用待定系数法 . 2 2 ⑴设双曲线方程为 x y ( 0) ,
9 16
( 3)2 (2 3)2 9 16
1 4
x2 y2 双曲线的方程为 1 9 4 4
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 16 4
x2 y2 1, 2 2 m 20 m 求得m2 12(30舍去)
法二：设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ 16 k 4 k 1
x2 y2 1 16 k 0且4 k 0 16 k 4 k
x2 y2 1 12 8
, 解之得k=4,
∴ 双曲线方程为
1、“共渐近线”的双曲线的应 2 2用 x y
与
b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
a
2
2
1共渐近线的双曲线系
x2 y 2 x2 y2 2、与 2 2 1共焦点的椭圆系方程是 2 2 2 1, a b m m c x2 y2 双曲线系方程是 2 2 1. 2 m c m
