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第2课时原子晶体[学习目标定位] 1.知道原子晶体的概念，能够从原子晶体的结构特点理解其物理特性。
2.学会晶体熔、沸点比较的方法。
一、原子晶体的概念、结构及其性质1.概念及组成(1)概念：相邻原子间以共价键相结合形成的具有空间立体网状结构的晶体，称为原子晶体。
(2)构成微粒：原子晶体中的微粒是原子，原子与原子之间的作用力是共价键。
2.两种典型原子晶体的结构(1)金刚石的晶体结构模型如图所示。
回答下列问题：①在晶体中每个碳原子以4个共价单键对称地与相邻的4个碳原子相结合，形成正四面体结构，这些正四面体向空间发展，构成彼此联结的立体网状结构。
②晶体中相邻碳碳键的夹角为109°28′，碳原子采取了sp3杂化。
③最小环上有6个碳原子，晶体中C原子与C—C键个数之比为1∶2。
④晶体中C—C键键长很短，键能很大，故金刚石的硬度很大，熔点很高。
(2)二氧化硅晶体结构模型如图所示。
回答下列问题：①每个硅原子都采取sp3杂化，以4个共价单键与4个氧原子结合，每个氧原子与2个硅原子结合，向空间扩展，构成空间网状结构。
②晶体中最小的环为6个硅原子、6个氧原子组成的12元环，硅、氧原子个数比为1∶2。
3.特性由于原子晶体中原子间以较强的共价键相结合，故原子晶体：①熔、沸点很高，②硬度大，③一般不导电，④难溶于溶剂。
4.常见的原子晶体：常见的非金属单质，如金刚石(C)、硼(B)、晶体硅(Si)等；某些非金属化合物，如碳化硅(SiC)、氮化硼(BN)、二氧化硅(SiO2)等。
原子晶体的结构特点(1)构成原子晶体的微粒是原子，其相互作用力是共价键。
(2)原子晶体中不存在单个分子，化学式仅仅表示的是物质中的原子个数比关系，不是分子式。
例1下列物质的晶体直接由原子构成的一组是()①CO2②SiO2③晶体Si④白磷⑤氨基乙酸⑥固态HeA.①②③④⑤⑥B.②③④⑥C.②③⑥D.①②⑤⑥【考点】原子晶体【题点】原子晶体的一般性质及判断答案C解析CO2、白磷、氨基乙酸、固态He是分子晶体，其晶体由分子构成，稀有气体He由单原子分子构成；SiO2、晶体Si属于原子晶体，其晶体直接由原子构成。
第三章基因工程第2节第2课时将目的基因导入受体细胞、目的基因的检测与鉴定（课前+课中+课后，三案一体）课前案【预习新知】一、将目的基因导入受体细胞1.转化目的基因进入受体细胞内，并且在受体细胞内维持稳定和表达的过程。
2.转化方法（1）导入植物细胞常用方法：花粉管通道法、农杆菌转化法（适用于双子叶植物或裸子植物）。
（2）导入动物细胞①常用方法：显微注射技术。
②常用受体细胞：受精卵。
（3）导入微生物细胞①方法：用Ca+处理细胞，使细胞处于一种能吸收周围环境中DNA分子的生理状态。
②受体细胞：原核生物（使用最广泛的是大肠杆菌）。
③原核生物的特点：繁殖快、多为单细胞、遗传物质相对较少等。
二、目的基因的检测与鉴定三、DNA片段的扩增及电泳鉴定1.实验原理（1）PCR利用了DNA的热变性原理，通过调节温度来控制DNA双链的解聚与结合。
（2）在凝胶中DNA分子的迁移速率与凝胶的浓度、DNA分子的大小和构象有关。
（3）电泳：在一定的pH下，DNA分子中具有的可解离基团可以带上正电荷或负电荷。
在电场的作用下，这些带电分子向着与它所带电荷相反的电极移动的过程。
（4）PCR产物的鉴定方法：琼脂糖凝胶电泳。
2.目的要求（1）了解PCR的电泳鉴定的基本原理。
（2）尝试进行PCR的基本操作并用电泳鉴定PCR的产物。
3.方法步骤（1）用微量移液器按照PCR反应体系的配方或PCR试剂盒说明书，在微量离心管中依次加入各组分。
（2）待所有的组分都加入后，盖严离心管的盖子。
将微量离心管放入离心机里，离心约10s，使反应液集中在管的底部。
（3）设置好PCR仪的循环程序，将装有反应液的微量离心管放入PCR仪中进行反应。
（4）根据待分离DNA片段的大小，用电泳缓冲液配制琼脂糖溶液，在沸水浴或微波炉内加热至琼脂糖融化。
稍冷却后，加入适量的核酸染料混匀。
（5）将温热的琼脂糖溶液迅速导入模具，并插入合适大小的梳子，以形成加样孔。
（6）待凝胶电泳溶液完全凝固，小心拔出梳子，取出凝胶放入电泳槽内。
第2课时 pH 的计算 酸碱中和滴定[明确学习目标] 1.掌握pH 的简单计算，了解pH 在日常生活、生产中的应用。
2.了解混合溶液pH 的计算方法，了解溶液稀释时pH 的变化规律。
3.掌握酸碱中和滴定的原理、操作方法和滴定误差分析。
4.能正确选择指示剂。
一、pH 的计算 1．计算公式pH ＝□01－lg c (H ＋)，K w ＝c (H ＋)·c (OH －)。
2．计算思路二、酸碱中和滴定及误差分析 1．概念用□01已知物质的量浓度的酸(或碱)测定□02未知物质的量浓度的碱(或酸)的方法。
2．实验用品(1)仪器：□03酸式滴定管(如图A)、□04碱式滴定管(如图B)、滴定管夹、铁架台、□05锥形瓶、烧杯等。
(2)试剂：□06标准液、□07待测液、□08指示剂、蒸馏水。
(3)滴定管的使用①酸性、□09氧化性的试剂一般用□10酸式滴定管，因为酸和氧化性物质能□11腐蚀橡胶。
②碱性的试剂一般用□12碱式滴定管。
3．操作步骤(1)查漏：检查滴定管□13是否漏液。
(2)润洗：加入酸碱反应液之前，滴定管要用□14所要盛装的溶液润洗2～3遍。
(3)装液：将反应液加入到相应的滴定管中，使液面位于“□150”刻度或□16“0”刻度以上某一刻度处。
(4)调液：调节活塞，使滴定管尖嘴部分充满反应液，并使液面处于□17“0”刻度或□18“0”刻度以下某一刻度，并记录读取数值。
(5)滴定：在□19锥形瓶中加入一定体积的待测液，滴入□201～2滴指示剂，开始滴定，达到□21终点时，记录刻度。
4．数据处理重复2～3次实验，取□22平均值代入计算式计算。
5．中和滴定误差分析方法分析误差要根据计算式c 待＝□23c 标·V 标V 待分析：当用标准液滴定待测溶液时，c 标、V 待均为□24定值，c 待的大小取决于□25V 标的大小，V 标偏大，则结果□26偏高；V 标□27偏小，则结果偏低。
人教版八年级地理上册第三章第二节《土地资源第2课时地区分布不均》教学设计一. 教材分析人教版八年级地理上册第三章第二节《土地资源地区分布不均》是本册教材中的重要内容。
本节内容主要讲解我国土地资源的地区分布特点、原因及其对我国经济发展的影响。
通过本节的学习，使学生了解我国土地资源的国情，认识土地资源地区分布的不均衡性，培养学生保护土地资源的意识。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已了解了我国地理位置、地形地貌等基本地理知识，对我国各地区的自然环境有一定了解。
但学生对土地资源地区分布不均的原因及其影响因素认识不足，需要通过本节内容的学习来提高认识。
三. 教学目标1.知识与技能：了解我国土地资源的地区分布特点，掌握土地资源地区分布不均的原因及其对我国经济发展的影响。
2.过程与方法：通过读图、析图、讨论等方法，培养学生分析地理问题的能力。
3.情感态度与价值观：增强学生保护土地资源的意识，培养学生热爱家乡、关注国情的情感。
四. 教学重难点1.重点：我国土地资源的地区分布特点及其原因。
2.难点：土地资源地区分布不均对我国经济发展的影响。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究土地资源地区分布不均的原因及其影响。
2.运用案例分析法，让学生了解土地资源地区分布不均对我国经济发展的实际影响。
3.利用读图、析图、讨论等方法，培养学生的地理思维能力。
六. 教学准备1.准备相关地图、图片、案例等教学资源。
2.设计好针对性的问题，引导学生进行思考。
3.准备好PPT课件，以便于教学展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示我国土地资源分布图，引导学生观察并发现土地资源分布的特点。
提问：“请大家观察这张地图，我国土地资源分布有什么特点？”2.呈现（10分钟）展示相关案例，让学生了解土地资源地区分布不均对我国经济发展的影响。
如：东部地区耕地多，西部地区耕地少；东部地区人口多，西部地区人口少等。
提问：“请大家思考，这种土地资源分布不均的现象对我国经济发展有哪些影响？”3.操练（10分钟）分组讨论：让学生根据所学知识，分析土地资源地区分布不均的原因。
第2课时 溶液pH 的计算[核心素养发展目标] 1.变化观念与平衡思想：知道弱酸、弱碱和水的电离是可逆的，能运用化学平衡移动原理解释溶液稀释时pH 的变化规律。
2.证据推理与模型认知：通过分析、推理等方法掌握溶液pH 的简单计算，并能计算各类混合溶液的pH 。
一、酸碱溶液混合后pH 的计算方法 1．强酸、强碱单一溶液pH 的计算(1)计算c mol·L －1 H n A 强酸溶液的pH (25 ℃) ①c (H ＋)＝nc mol·L －1； ②pH ＝－lg c (H ＋)＝－lg nc(2)计算c mol·L －1 B(OH)n 强碱溶液的pH (25 ℃) ①c (OH －)＝nc mol·L －1；②c (H ＋)＝K w c (OH －)＝10－14nc mol·L －1； ③pH ＝－lg c (H ＋)＝14＋lg nc 。
2．酸碱溶液混合后pH 的计算(1)强酸与强酸混合(稀溶液体积变化忽略) c (H ＋)混＝c 1(H ＋)·V 1＋c 2(H ＋)·V 2V 1＋V 2，然后再求pH 。
(2)强碱与强碱混合先计算c (OH －)混＝c 1(OH －)·V 1＋c 2(OH －)·V 2V 1＋V 2，再求c (H ＋)混＝K w c (OH －)混，最后求pH 。
(3)强酸与强碱混合(稀溶液体积变化忽略) ①恰好完全反应，溶液呈中性，pH ＝7 (25 ℃)。
②酸过量：先求c (H ＋)余＝c (H ＋)·V (酸)－c (OH －)·V (碱)V (酸)＋V (碱)，再求pH 。
③碱过量：先求c (OH －)余＝c (OH －)·V (碱)－c (H ＋)·V (酸)V (酸)＋V (碱)，再求c (H ＋)＝K w c (OH －)余，最后求pH 。
第2课时利用导数研究函数的极值、最值考点一利用导数解决函数的极值问题多维探究角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值.答案 D规律方法由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x 轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y ＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例1－2】(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).(1)当a＝12时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.解(1)当a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝2－x2x，令f′(x)＝0，得x＝2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x (0，2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 －f (x )ln 2－1故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 已知函数f (x )＝ln x .(1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)，所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x 2＋ax －1）·e x e ′＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1， 则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·本溪模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ； 令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求. 故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·营口模拟)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e x sin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增， ∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【训练3】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______.解析 由题意，连接OD ，交BC 与点G ，由题意，OD ⊥BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高 h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ， S △ABC ＝12·(23x )2·sin 60°＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5， 令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤3×80＝415.∴体积最大值为415 cm3.答案415[思维升华]1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值. [易错防范]1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()A.(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间B.(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间C.函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D.函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析 由函数y ＝f (x )导函数的图象可知，f (x )的单调递减区间是(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，所以f (x )在x ＝－1，5取得极小值，在x ＝3取得极大值，故选项C 错误. 答案 C2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析 由题意得f ′(x )＝3x 2－12， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增； 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2. 答案 D3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A.11或18 B.11 C.18D.17或18解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎨⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去.∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18. 答案 C4.函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A.0B.1C.2D.无数解析 函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1的Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立， 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点. 答案 A5.(2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( ) A.2e －1B.－1eC.1D.2ln 2解析 由题意知，f ′(x )＝2e f ′（e ）x－1e ，∴f ′(e)＝2f ′(e)－1e ，则f ′(e)＝1e .因此f ′(x )＝2x －1e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2e.∴f (x ) 在(0，2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减. ∴f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 答案 D 二、填空题6.函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0，4]的最大值是________. 解析 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′=e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ， ∴f (1)＝1e 为最大值. 答案 1e7.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值是________.解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案 －48.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是________.解析 函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2.由f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有解，又x ＋1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，所以2≤a <103. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 三、解答题9.设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值. 解 (1)由f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，得f ′(x )＝a x －2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1，令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增；在(1，e]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.10.(2018·天津卷选编)设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值.解(1)由已知，得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，又因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t22－9)x－t32＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t22－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－3，或x＝t2＋ 3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极大值为f(t2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝63；函数f(x)的极小值为f(t2＋3)＝(3)3－9×3＝－6 3.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N+)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数.已知函数f(x)＝(x＋1)e x－x(x＋2)2，则f(x)为() A.2折函数 B.3折函数C.4折函数D.5折函数解析f′(x)＝(x＋2)e x－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(e x－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或e x＝3x＋2.易知x＝－2是f(x)的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数.答案 C12.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 13.传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm.解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3，则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8，所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π. 因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 414.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0).(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞).所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减. ∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
