高三文科数学专题复习--三角函数、解三角形-(教师版)

数学讲义之三角函数、解三角形主干内容1.弧长公式：r l ⋅=||α.扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4.同角三角函数的基本关系式：ααtan cos =1cos sin 22=+αα5.诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：“奇变偶不变,符号看象限”;重要公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-6.三角函数图象的作法：描点法及其特例——五点作图法正、余弦曲线,三点二线作图法正切曲线.注意本专题主要思想方法1.等价变换;熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题；2.数形结合;充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3.分类讨论; 题型分类题型一：三角运算,要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等; 〖例1〗10全国卷Ⅰ文cos300︒=A ．1212解析()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 〖例2〗10全国卷Ⅱ文已知2sin 3α=,则cos(2)x α-=19-19B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵SINA=2/3, ∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-〖例3〗10福建文计算12sin 22.5-的结果等于12232答案B解析原式=2cos 45=2,故选B. 〖例4〗10浙江文函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是;解析：对解析式进行降幂扩角,转化为()2124cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx x f ,可知其最小正周期为2π,本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用,属容易题;题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质; 〖例1〗10重庆文下列函数中,周期为π,且在[,]42ππ上为减函数的是sin(2)2y x π=+.cos(2)2y x π=+sin()2y x π=+.cos()2y x π=+ 答案A〖例2〗09浙江文已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是D〖例3〗为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称,在根据平移的法则解决．解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故要将函数sin 2y x=的图象向左平移5π12个长度单位,选择答案A ．〖例4〗10江西文四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =,sin(),6y x π=+sin()3y x π=-的图像如下,结果发现恰有一位同学作出的图像有错误,那么有错误的图像是答案C命题意图考查三角函数的图像与性质.解析作出三个函数图像对比分析即可选择C;〖例5〗09重庆文设函数22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为23π． Ⅰ求ω的最小正周期．Ⅱ若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移2π个单位长度得到,求()y g x =的单调增区间．解：Ⅰ依题意得2223ππω=,故ω的最小正周期为32. Ⅱ依题意得:由5232()242k x k k Z πππππ--+∈≤≤解得227()34312k x k k Z ππππ++∈≤≤\故()y g x =的单调增区间为:227[,]()34312k k k Z ππππ++∈〖例6〗11浙江文已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+,x R ∈,0A >,02πϕ<<.()y f x =的部分图像,如图所示,P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点,点P 的坐标为(1,)A .Ⅰ求()f x 的最小正周期及ϕ的值；Ⅱ若点R 的坐标为(1,0),23PRQ π∠=,求A 的值. 题型三：三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一,其主要方法是利用正余弦函数的有界性,通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题;〖例1〗若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是 A ．1-B ．2C ．122-+D ．122+解析：由03x π<≤,令sin cos 2sin(),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得12t <≤.又212sin cos t x x =+,得21sin cos 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2(2)11102222y -+<≤+=+．∴D．点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时,通常用换元解决． 〖例2〗09上海文函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是;解析:)42sin(212sin 2cos 12sin cos 22π++=++=+x x x x x ,∴21min -=y〖例3〗10江西文函数2sin sin 1y x x =+-的值域为A ．[]1,1-B ．5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．51,,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〖例4〗已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+,且(0)8,()126f f π==．1求实数a ,b 的值；2求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ,b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题．解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． 1由(0)8f = ,()126f π=可得(0)28f b ==,33()12622f a b π=+= ,所以4b =,43a =．2()43sin 24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++,故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时,函数()f x 取得最大值12．点评：()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++题型四：正余弦定理的应用〖例1〗11浙江文在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =,则2sin cos cos A A B +=A ．12B ．12C ．-1D ．1 〖例2〗10上海文若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =则△ABC A ．一定是锐角三角形.B ．一定是直角三角形.C ．一定是钝角三角形.D ．可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ,所以角C 为钝角 〖例3〗2009浙江文在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足25cos25A =,3AB AC ⋅=． I 求ABC ∆的面积；II 若1c =,求a 的值． 解析：Ⅰ531)552(212cos 2cos 22=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ,54cos 1sin 2=-=A A ,而353cos ...===bc A AC AB AC AB ,所以5=bc ,所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc Ⅱ由Ⅰ知5=bc ,而1=c ,所以5=b所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a〖例4〗2011届稽阳联考如右图,在△ABC 中,D 为BC 边上一点,βα=∠=∠CAD BAD ,,10103cos ,552cos ==βα． 1求BAC ∠的大小； 2当中点为BC D 时,求ADAC的值． 解：1由已知,55cos 1sin 2=-=αα…………………1分 1010cos 1sin 2=-=ββ…………………2分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(cos -=+=∠BAC …………3分 2210105510103552=⋅-⋅=…………………5分 ∵),0(π∈∠BAC ∴4π=∠BAC ．…………………………7分2BAD ABD sin sin BD =∆α中，1…………………9分 BACABC sin )sin(BC =+∆βα中，2………………11分51022552)sin(sin 2sin )sin()1()2(21=⨯=+=⨯+==∴=βαααβαBD BC AD AC BC BD 14分〖例5〗2010山东文在ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a 2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为.解析由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=,即sin 2B 1=,因为0<B<π,所以B=45,又因为a =2b =,所以在ABC ∆中,由正弦定理得：2=sin A sin 45,解得1sin A 2=,又<b a ,所以A<B=45,好题速递1.2010年高考宁夏卷文科16在ABC 中,D 为BC 边上一点,3BC BD =,AD =135ADB ο∠=.若AC =,则BD=_____ 答案2+2.2010年高考全国Ⅰ卷文科14已知α为第二象限的角,3sin 5a =,则tan 2α=. 247-命题意图本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.解析因为α为第二象限的角,又3sin 5α=,所以4cos 5α=-,sin 3tan cos 4ααα==-,所22tan 24tan(2)1tan 7ααα==-- 3.2010年高考全国卷Ⅱ文科13已知α是第二象限的角,tan α=1/2,则cos α=__________解析：本题考查了同角三角函数的基础知识∵1tan 2α=-,∴cos α=。

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

专题8 解三角形★★★高考在考什么【考题回放】1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（ A ）（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件2．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断：① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（ B ）（A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan 32tan 2tan C A C A ++的值为__________3.4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2-3px+1-p ＝0 (p ≠0，且p ∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［32，1)6．在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD=5，求sinA.【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==AB DE ，设BE=x 在ΔBDE 中可得2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去）故BC=2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即3212=AC 又630sin =B，故2sin A =，1470sin =A ★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理． 【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘★★★突破重难点【范例1】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为31。

第24课 二倍角的三角函数[最新考纲]内容要求AB C 二倍角的正弦、余弦及正切√1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．二倍角公式的变形及逆用 (1)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(2)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对∀α∈R ，sin 2α＝2sin α均不成立．( ) (2)sin2π8－cos 2π8＝cos π4＝22.( ) (3)sin α＋cos α＝1＋sin 2α.( ) (4)等式1＋cos α＝2sin 2α2对∀α∈R 均成立．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．下列各式中值为32的是________．(填序号) ①2sin 15°cos 15°；②cos 215°－sin 215°；③2sin 215°－1；④sin 215°＋cos 215°. ② [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32，2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， sin 215°＋cos 215°＝1.]3．若sin α＝255，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan 2α＝________.－43 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝255，∴cos α＝1－sin 2α＝55， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.] 4．(2017·某某模拟)若tan α＝3，则sin 2α1＋cos 2α＝________.3 [sin 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α2cos 2α＝tan α＝ 3.] 5．(教材改编)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]应用倍角公式求值(2017·某某模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． [解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，π2， ∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3·sin π3＝12.(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π. 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.[规律方法] 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．如本题中⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，从而先利用诱导公式变换函数名，进而逆用二倍角公式求值．[变式训练1] (2017·某某、某某二模)已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 【导学号：62172133】 [解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sinπ6＝43＋310.应用倍角公式化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α[原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法]1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练2] 化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝________.12 [法一：原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12.]三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值. 【导学号：62172134】[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练3] 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．[解](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32.因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．[思想与方法]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的X 围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[易错与防X]1．利用辅助角公式a sin x ＋b cos x 转化时，一定要严格对照和差公式，防止弄错辅助角．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(二十四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于________．16 [因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.]2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.【导学号：62172135】3 [∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.]3．(2016·全国卷Ⅲ改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝________.45 [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－75[cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α.∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.]5．(2017·某某模拟)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为________. 【导学号：62172136】725 [∵sin(α－45°)＝－210， ∴sin α－cos α＝－15，∴2sin αcos α＝2425，∴sin α＋cos α＝1＋sin 2α＝75，∴sin α＝35，cos α＝45.∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725.]6．(2016·某某高考改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________．π [法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.]7．(2017·某某模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________. 【导学号：62172137】－78 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－2α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝－78.]8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________. －2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8 ＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.] 9．(2017·某某模拟)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为________．－1718 [∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∴3×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α≠0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，即sin α＋cos α＝26， ∴sin 2α＝－3436＝－1718.]10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝______________.2－156[∵cos 4α－sin 4α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos 2αcos π3－sin 2αsin π3 ＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53 ＝2－156.] 二、解答题11．(2017·某某期中)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)若f (x )＝－1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2x 的值．[解](1)因为f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2＝32sin 2x －cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )＝－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＝－1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12. 12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值； (2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24. [解](1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以cos α＝－45， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620. B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．函数f (x )＝3sin x 2cos x 2＋4cos 2x 2(x ∈R )的最大值等于________． 92 [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92.] 2．如图24­1，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．图24­1 513 [由题意得|OB |＝|OC |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， ∴3cos 2α2－sin α2·cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.] 3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． [解]∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171＋12×17＝13＞0， ∴0＜α＜π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴0＜2α＜π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4. 4．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.。

学习资料第七节正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第68页[基础梳理]1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．正弦定理的常用变形（1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C。

(2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!。

（3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，cos A＝错误!；b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝错误!；c2＝a2＋b2－2ab cos C，cos C＝错误!．3．勾股定理在△ABC中，∠C＝90°⇔a2＋b2＝c2．4．三角形的面积公式S△ABC＝错误!ah a＝错误!bh b＝错误!ch c＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B．1．射影定理：b cos C＋c cos B＝a，b cos A＋a cos B＝c,a cos C＋c cos A＝b。

2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角"关系sin(A＋B）＝sin C，cos(A＋B）＝－cos C，sin 错误!＝cos 错误!，cos 错误!＝sin 错误!。

3．特殊的面积公式(1）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为三角形内切圆半径)，(2)S＝错误!，P＝错误!（a＋b＋c)，（3)S＝错误!＝2R2sin A·sin B·sin C（R为△ABC外接圆半径)．［四基自测]1．(基础点：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°,B＝45°，BC＝3错误!，则AC＝（）A．4错误!B．2错误!C.错误!D．错误!答案:B2．(基础点:正、余弦定理)在△ABC中,若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案：C3．（基础点：正弦定理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。

热点05 三角函数与解三角形【命题趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或"一大一小",或"三小",或"二小"("小"指选择题或填空题,"大"指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内。

鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点。

考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用。

本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升。

【知识点分析以及满分技巧】三角函数图形的性质以及应用：解析式应首先看出函数最值确定A ，然后算出周期。

对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题，ABCD 选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高。

总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答。

对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形。

解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件。

【考查题型】选择题，填空，解答题21题（两小一大或者是三小）【限时检测】（建议用时：40分钟）1．（2020·贵溪市实验中学高三月考）三个数，，的大小关系（ cos 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭cos 5π3cos 5π）A ．B ．3cos cos cos855πππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭3coscos cos 558πππ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C ．D ．3coscos cos 585πππ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭3cos cos cos855πππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭【答案】B【分析】因为，，，cos cos 088ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭32cos cos 055ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭cos 05π>又余弦函数在上单调递减，cos y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭所以，c 8oscos5ππ<因此，即.2coscos cos558πππ-<<3cos cos cos 558πππ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭故选：B.2．（2020·全国高三月考（文））中，，，面积，ABC A 1AB=AC =1ABC S =△，，若，则实数（ ）m AB CA =+ n AB CA λ=- m n ⊥λ=A ．0B ．3C ．D ．23-【答案】B【分析】因为，，1AB =AC =1ABC S =△所以，所以，所以，11sin 12A ⨯=sin A =cos A =所以.()cos π1AB CA AB CA A ⋅=⋅⋅-=±因为，所以，即.m n ⊥0m n ⋅= ()2210AB AB CA CA λλ+-⋅-=若，则，所以；1AB CA ⋅=150λλ+--=3λ=若，则，无解.1AB CA ⋅=-150λλ-+-=综上，，3λ=故选：B.3．（2020·全国高三其他模拟（文））将函数的图象上各点横坐标变为原来的()sin f x x=，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，则函数123π()g x 的解析式为（）()g x A ．B ．()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()12sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将图象上各点横坐标变为原来的，得，()sin f x x=12sin 2y x =再向左平移个单位后得：．3π()2sin 2sin 233g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D ．4．（2020·江西高三期中（文））在中，角，，的对边分别是，，，ABC A A B C a b c 且，，成等差数列，，则的取值范围是（）A B C 2a c +=bA ．B ．C ．D ．[)1,2(]0,2⎡⎣[)1,+∞【答案】A【分析】在中，由，，成等差，可得，ABC A A B C 2B A C =+由，得，．A B C π++=3B π=3B π=由余弦定理，可得，2222cos b a c ac B =+-()2222343122b ac ac a c ac a c =+-⨯=-=-+又，当且仅当时等号成立，即2333()4ac a c +=≤1a c ==01ac <≤，即，解得4341ac ≤-∴<214b ≤<12b ≤<所以的取值范围是．b [)1,2故选：A5．（2020·武汉市第一中学高三月考（文））已知中，角，，所对的边分ABC A A B C 别为，，，且，，若的外接圆半径为a b c 22222a b c =-2sin sin sin Ab c B C -=+ABC A ，则（ ）sin A =ABCD【答案】A【分析】由，即，则；与2sin sin sin Ab c B C -=+()()2b c b c a -+=222b c a -=联立，可得；因为，故，则.22222a b c=-24a a =0a >4a =sin 2a A r ===故选:A ．6．（2020·河南郑州市·高三月考（文））已知的三个内角，，对应的边分ABC A A B C别为，，，且，，成等差数列，则a b c sin 2a C π⎛⎫- ⎪⎝⎭()cos 4b B π-()cos 3c A π-的形状是（ ）ABC A A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形【答案】C【分析】，，sin cos 2a C a Cπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()cos 4cos b B b B π-=，()cos 3cos c A c Aπ-=-依题意得，2cos cos cos b B a C c A =--根据正弦定理可得，()2sin cos sin cos cos sin B B A C A C =-+即，()2sin cos sin sin B B A C B=-+=-又，则，sin 0B ≠1cos 2B =-又，所以，()0,B π∈23B π=故的形状是钝角三角形．ABC A 故选：C ．7．（2020·山西高三期中（文））在三角形中，已知，，ABC 6AC =10BC =，则（ ）()3cos 5A B -=()cos A B +=A ．B ．C ．D ．4545-3535-【答案】D【分析】因为，可得，BC AC >A B >在上取点，使得，则，可得，BC D AD BD x ==DAB B ∠=∠DAC A B ∠=-所以cos cos()DAC A B ∠=-在中，由余弦定理，可得，解得，ADC A 22236(10)526x x x +--=⨯⨯5x =所以，5AD BD DC ===所以.2222225653cos()cos 22565CD AC AD A B C CD AC +-+-+=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯故选：D.8．（2020·全国高考真题（文））已知，则（）πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．BC ．D1223【答案】B【分析】由题意可得：，1sin sin12θθθ++=则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：，sin coscos sin66ππθθ+=即sin 6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选：B.9．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（文））已知函数，其中，且，若对一切恒()sin cos f x a x b x =+,a b ∈R 0ab ≠()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭x ∈R 成立，则（）A ．B ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．是偶函数D ．是奇函数π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【分析】由，知且0ab ≠0a ≠0b ≠利用辅助角公式可得，其中()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+tan baϕ=又，恒成立，知为的最值，x R ∀∈()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫⎪⎝⎭()f x ，整理得：4fπ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭a b=()sin cos sin 44f x a x a x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，，，又，则sin π9π520f ⎛⎛⎫=⎫⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪sin π5π612f ⎛⎛⎫=⎫ ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪5π9ππ12202<<，所以当时，；当时，5π9πsin sin 1220⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0a >ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0a <ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B，3sin sin 5πsin 4245π24f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==- -⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=--- ⎪⎭⎭⎝，故B正确；()sin 4x f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭+对于C ，为奇函数，故C错误；sin sin ππ444x xf x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭对于D ，为偶函数，故si πππ442n sin cos 4f x x x xπ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝D 错误；故选：B10．（2020·河南郑州市·高三月考（文））关于函数有下述四个结()cos sin f x x x=+论：①是偶函数；②的最大值为2；()f x ()f x ③在区间上有3个零点；④在区间上单调递增．()f x [],ππ-()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】对于①，函数的定义域为，关于原点对称，()f x R 且，()()()cos sin cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=该函数为偶函数，①正确；对于②，当（）时，，222k x k πππ-≤≤k ∈Z ()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭此时（），当（）时，22444k x k πππππ-≤+≤+k ∈Z 24x k ππ+=k ∈Z 函数；()f x 当（）时，，222k x k πππ<≤+k ∈Z ()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭此时（），322444k x k πππππ+<+≤+k ∈Z 当（）时，函数．242πππ+=+x k k ∈Z()f x 根据函数的对称性可知，函数，②错误；()f x ()f x 对于③，当时，，令，则，0x π-≤≤()()cos sin xf x x --=()0f x =tan 1x =此时；当时，，34x π=-0x π<≤()cos sin f x x x =+令，则，此时．()0f x =tan 1x =-34x π=所以函数在区间上有且只有两个零点，故③错误；()f x [],ππ-对于④，当时，，且，04x π<<()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭442x πππ<+<所以函数在区间上单调递增，④正确．()f x 0,4π⎛⎫⎪⎝⎭因此，正确结论的个数为2．故选：C ．二、解答题11．（2020·全国高三其他模拟（文））在中，，，的对边分别为，ABC A A ∠B ÐC ∠a ，b c cos cos cos =+C a B b A（1）求的大小；C ∠（2）已知，求的面积的最大值．4a b +=ABC A 【答案】（1）；（2.4C π=【分析】（1，化简可知，cos cos cos =+C a B b A ，()cos sin =sin C C AB C=+得，cos C =由，故．()0,C π∈4C π=（2）由，得，4a b +=()244+≤=a b ab 故，1sin 2=≤ABC S ab C △当且仅当时取等号，2ab ==所以．ABC A 12．（2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考（文））在中，内角，，ABC A A B所对的边分别为，，，且满足.C a b c 2cos cos cos b A a C c A -=（1）求角的大小；A （2）若，求的最大值.2a =b c +【答案】（1）；（2）4.π3A =【分析】（1）由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos B A A C C A -=则，()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B=+=+=，则，于是，又，故；0B π<<sin 0B >1cos 2A =0πA <<3A π=（2）根据余弦定理，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-则，()()2224332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+- ⎪⎝⎭即，当且仅当时等号成立.()216b c +≤b c =所以的最大值为4.b c +13．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高三月考（文））的内角，，的对边分ABC A A B C 别为，，，且满足：.a b c 2cos cos cos b B C A ac c a =+（1）求；B（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.ABC A S =ABC A【答案】（1）；（2）.3π6+【分析】（1），2cos cos cos 2cos cos cos b B C A b B a C c A ac c a =+⇒=+得，2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈ ∴.3B π=（2）的面积，ABCA 1sin 82S acB ac ==⇒=由正弦定理可知，4sin b b B =⇒=由，222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=则，6a c +=∴的周长为.ABCA 6+14．（2020·江苏高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．3,45a c B ===︒（1）求的值；sin C（2）在边BC 上取一点D ，使得，求的值．4cos 5ADC ∠=-tan DAC ∠【答案】（1）；（2）.sin C =2tan 11DAC ∠=【分析】（1）由余弦定理得，所以2222cos 92235b a c ac B =+-=+-⨯=b =由正弦定理得.sin sin sin sin c b c B C C Bb =⇒==（2）由于，，所以.4cos 5ADC ∠=-,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭3sin 5ADC ∠==由于，所以，所以.,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos C ==所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sinADC C =∠+∠.sin cos cos sin ADCC ADC C =∠⋅+∠⋅3455⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭由于，所以.0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭cos DAC ∠==所以.sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠15．（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中ABC A 11a b +=选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）和的面积．sin C ABC A 条件①：；17,cos 7c A ==-条件②：．19cos ,cos 816A B ==注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,sin C =S=选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .sin C =S =【分析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==- ，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos,cos,(0,) 816A B A Bπ==∈，sin A B∴====由正弦定理得：6sin sina baA B===（Ⅱ）91 sin sin()sin cos sin cos168C A B A B B A=+=+==11sin(116)622S ba C==-⨯=。