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复变函数复习重点（一）复数的概念1.复数的概念：z = x • iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z =y/x2+y2；2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。
3）arg z与arctan y之间的关系如下：xy当x 0, argz=arctan工；x[ yy - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, xy y :: 0,arg z = arctan 「愿L x4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。
（二）复数的运算仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y22.乘除法:1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy •- 丫2为-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则3.乘幂与方根ei "'2 ；土評匀）Z2Z21）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。
2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿（三）复变函数1•复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2•复初等函数1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。
§1.1 复 数1. 复数域形如: iy x z +=或yi x z +=的数,称为复数,其中x 和y 是任意的实数, i 合于 12-=i ,称为虚单位.实数x 和y 分别称为复数z 实部和虚部,常记为: .Im ,Re z y z x ==复数 111iy x z +=及222iy x z +=相等,是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等,即 2211iy x iy x +=+必须且只须 .21,21y y x x ==虚部为零复数就可看作实数,即x i x =⋅+0 因此,全体实数是全体复数的一部分.特别,000=⋅+i虚部不为零的复数称为复数;实部为零且虚部不为零的复数称为纯虚数. 复数iy x +和iy x -称为互为共轭复数,即iy x +是iy x -共轭复数.复数 z 的共轭复数常记为z .于是 iy x iy x +=-对于这样定义复数,我们必须规定其运算方法.由于实数是复数的特例,规定复数运算的一个基本方法是: 复数运算的法则实行于实数特例时,能够和实数运算的结果相符合,同时也要求复数运算能够 满足实数运算的一般规律.复数的加(减)法可按实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减).即复数222,111iy x z iy x z +=+=相加(减)的法则是:).()(212121y y i x x z z ++±=±结果仍是复数.我们称复数21z z +是复数1z 与2z 的和, 称复数21z z -是复数1z 与2z 的差.复数的加法遵守交换律与结合律,而且减法是加法的逆运算,这些都很容易验证.两个复数 111iy x z +=及222iy x z +=相乘,可按多项式乘法发则进行,只须将结果中的2i 换成1-,即)()(2121212121x y y x i y y x x z z ++-=结果仍是复数, 我们称它为 与 的积.也易验证,复数的乘法遵守交换律与结合律,且遵守乘法对加法的分配律.两个复数1z 及2z 相除(除数0≠)时,可先把它写成分式的形式,然后分子分母同乘以分母的共轭复数,再进行简化,即)0(2222221212222212121≠+-+++=z y x y x x y iy x y y x x z z结果仍是复数. 我们称它为1z 与 2z 的商.这里除法是乘法的逆运算.全体复数并引进上述运算后就称为复数域.在复数域内,我们熟知的一切代数恒等式,如像:),)((22b a b a b a -+=- ))((2233b ab a b a b a ++-=-等等,仍然成立,实数域和负数域都是代数学中所研究的”域”的实例,和实数域不同的是,在复数域中不能规定复数的大小.事实上,有像实数那样的大小关系.由于非零实数的平方大于零,而 则应有 即这是不可能的.2 复平面一个复数iy x z +=本质上有一对有序实数),(y x 唯一确定. 于 是能够建立平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系.换句话说,我们可以借助于横坐标为x 纵坐标为y 的点来表示复数iy x z +=(图1.1)由于x 轴上的点对应的实数,故x 轴称为实轴;y 轴上的非原点的点对应着纯虚数,故y 轴称为虚轴.这样表示复数 z 的平面称为复平面或 z 平面引进了复平面之后,我们在”数”和”点”之间建立了联系.以后再研究复变函数时常可借助几何直观,还可采用几何术语.这也为复变函数应用于实际提供了条件,丰富了复变函数论的内容.为了方便起见我们不在区分”数”和”点”,”数集”和”点集”,说到”点”可以指它所代表的”数”,说到”数”也可指这个数图1.1 1xx图1.2xx可代表”点”.例如 ,我们所说”点,1i + ”,”顶点为 321,,z z z 的三角形”等等在复平面上,从原点到点iy x z +=所引的向量与这个复数 也构成一一对应关系(复数0对应着0向量),这种对应关系使复数的加(减)法与向量加(减)法之间保持一致.例如,设:111iy x z +=, 222iy x z +=,则 ).()(212121y y i x x z z +++=+由图1.2可以看出, 21z z +所对应的向量,就是1z 所对应的向量和 2z 所对应的向的和向量.又如,将21z z -表成)(21z z -+可以看出,21z z - 所对应的向量就是1z 所对应的向量与-2z 所对应的向量的和向量.也就是从 2z 到 1z 的向量例1.1考虑一条江面上的水在某时刻的流动,假定在江面上取好一坐标系xOy 我们把江面上任意一点p 的速度 v 的两个分量记为x v 与y v 则我们可以把速度向量 v 写成复数(图1.4) y x v v v +=人们经过长期的摸索与研究发现,对于很多的平面问题(如流体力学与弹性力学中的平面问题等)来说,用复数及复变函数作工具是十分有效的.这正是由于复数可以表示平面向量的缘故.3.复数的模与辐角 表示复数 的位置,也可以借助点z 的极坐标r 和θ来确定（图1.1）．上面我们用向量z O 来表示复数iy x z +=，其中y x ,顺次等于z O 沿x 轴与y轴2z -2z 图1.3图1.4的分量．向量z O 的长度称为复数z 的模或绝对值，以符号||z 或r 表示，因而有,0||22≥+==y x z r且0||=z 的充要条件是0=z ．这里引进的模的概念与对于实数的绝对值的概念是一致的．由于复数z 的模||z 是非负实数，所以能够比较大小．根据图1.1我们有不等式.,,y x z z y z x +≤≤≤ (1.1)根据图1.2,我们有不等式|,|||||2121z z z z +≤+（三角形两边之和大于第三边） (1.2) 它称为三角不等式．此外，根据图1.3,我们还有不等式||||||||2121z z z z -≤-. （三角形两边之差小于第三边） (1.3)(1.2)及(1.3)中等号成立的几何意义是：复数21,z z 所表示的两个向量共线且同向．由图1.3可见，||21z z -表示1z 点与点2z 的距离，记为:.||),(2121z z z z d -= 二复数差的模的这个几何意义是非常重要的．它还可以借助解析几何中两点间的距离公式用解析方法得出：121122|||()()|z z x iy x iy -=+-+实轴正向到非零复数iy x z +=所对应的向量z O 间的夹角θ合于,xy tg =θ称为复数z 的辐角(Argument)，记为:.Argz =θ我们知道，任一非零复数z 有无穷多个辐角，今以z arg 表其中的一个特定值，并称合条件: ππ≤<-z a r g(1.4)的一个为Arg z 的主值，或称之为z 的主辐角．于是.2arg πθk z Argz +== ),2,1,0( ±±=k (1.5注意 当0=z 时，辐角无意义．当)0(arg ≠z z 表z 的主辐角时，它与反正切Arctg xy 的主值arctgxy 有如下关系（图1.5，图1.6）； (0),(0,0),2arg (0,0),(0)(0,0),(0,0).2y arctg x x x y z yarctg x y z xy arctg x y x x y ππππ⎧>⎪⎪⎪=>⎪⎪=⎪+<≥⎨≠⎪⎪-<<⎪⎪⎪-=<⎪⎩其中.22ππ<<-x y arctg 例1.2 求Arg )22(i -及Arg().43(i +- 解 Arg )22(i -=arg )22(i -+πk 2=arctg πk 222+-.24ππk +-= () 2,1,0±±=k例1.3 以知流体在某点M 的速度,1i --=υ，求其大小和方向． 解 大小：;2||=υ 方向：4311arg ππυ-=---=arctg从直角坐标与极坐标的关系，我们可以用复数的模与辐角来表示非零复数z ，即（由图1.1） ).sin (cos θθi r z += (1.6) 特别，当1=r 时有: ,sin cos θθi z += 这种复数称为单位复数．图1.6我们引出熟知的欧拉公式（参看本书第二章§2）;,s i n c o s θθθi e i += （1.7）并且容易验证⎪⎭⎪⎬⎫==-+,,)()(21212121θθθθθθθθi i i i i i e eeee e （1.8） 利用公式（1.7），就可以把（1.6）改写成.θi re z =（1.9）我们分别称（1.6）及（1.9）式为非零复数z 的三角形式和指数形式．并称iy x z +=为复数z 的代数形式．复数的这三中表示法，可以互相转换，以适应讨论不同问题时的需要，且使用起来各有其便．例1. 4;24sin 4cos 214ie i i πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+;2sin 2cos 12i e i i πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=;)0sin 0(cos 110i e i ⋅=+⋅= ;2)sin (cos 22i e i πππ=+=-.32sin 2cos 332i e i i πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-例1.5 将复数 )0(sin cos 1πϕϕϕ≤<+-i 化为指数形式．解 原式2cos2sin22sin 22ϕϕϕi +=2sinsin cos 222i ϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=)22sin()22cos(2sin2ϕπϕπϕi ie)22(2sin 2ϕπϕ-=当 z=x +i y ≠0时,记arg z =θ利用复数的指数形式作乘除法较简单。
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
复变函数与积分变换一、复变函数的基本概念和性质1.1 复数与复平面在介绍复变函数之前，我们首先需要了解复数的概念。
复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
我们可以将复数表示为一个平面上的点，这就是复平面。
横轴表示实部，纵轴表示虚部。
每个复数就对应复平面上的一个点。
1.2 复变函数的定义复变函数是将复数映射到复数的函数。
形式上，设z=x+yi是定义在某个复数集合上的函数f(z)的自变量，其中x和y为实数。
将z替换为f(z)，我们就得到一个新的复数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别表示w的实部和虚部。
1.3 复变函数的性质复变函数与实变函数有许多不同之处，其中一些重要的性质如下： - 复变函数可以是解析函数，也可以是非解析函数。
- 如果一个复变函数在某个区域内解析，那么它在该区域内具有无穷阶导数，且导函数也是解析函数。
- 复变函数满足柯西-黎曼方程，即函数的实部和虚部满足一系列偏导数关系。
二、积分变换的基本概念和性质2.1 傅里叶变换傅里叶变换是积分变换的一种，用于将一个函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
它在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是积分变换的另一种形式，用于将一个函数表示为指数函数的线性组合。
它在控制理论、电路分析等领域常被用于求解微分方程。
2.3 积分变换的性质积分变换具有以下性质： - 线性性：对于两个函数f(t)和g(t)，以及任意常数a 和b，有积分变换[a f(t) + b g(t)] = a F(s) + b G(s) - 积分性质：对于一个函数f(t)的积分∫[0,t] f(x)dx，其积分变换为1/s*F(s) - 积分初始值定理：对于一个函数f(t)的积分∫[0,∞) f(x)dx，其积分变换为F(s)/s三、复变函数与积分变换的关系3.1 复变函数的积分与导数对于一个解析的复变函数f(z)，我们可以通过计算其沿闭合路径的积分来得到函数的值。
