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波函数

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波函数的几种不同的形式

波函数的几种不同的形式


C、若 t 一定， E k 、 E p 随 x 周期分布。
D、能量以速度 u 传播。
二、波的能流（描述波的能量传播的物理量）：
1)能流 — 单位时间内垂直通过某一截面的能量。
设波速为u ，在 时t 间内通过垂直于波速截面
E u t S
的Su能量:
S
ε为截面所在位置的能量密度。
能流为：
ut
P E u S uS 2 A2 sin2[(t x )]
cos(t
20
2
r2 )
在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。
y1( p, ty2 ( p, t )
A2
cos(t
20
2
r2 )
由叠加原理P 点合振动：
y y1 y2 Acos(t )
A A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20
干涉减弱
r2 r1
(2n 1)
2
n 0,1,2,3,...
[例1]在同一媒质中相距为20m 的两平面简谐波源S1 和S2 作同方
向,同频率(ν=100Hz )的谐振动,振幅均为A=0.05m,点S1 为波峰时,点S2恰为波谷,波速u = 200m / s 。
求：两波源连线上因干涉而静止的各点位置.
y2
Acos[2 (t
20
x)]
因干涉而静止的点的条件为:
[2 (t x 20 ) ] 2 (t x ) (2n 1)
n 0,1,2,
化简上式,得:
x n 10
2
将 u 代2入m,可得:
x n 10(m)
所以在两波源的连线上因干涉而静止的点的位置分别为:
x 1,2,3,,17,18,19m
大学物理波函数

大学物理波函数



18
例1:已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在t时刻、 在x到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。
( t,x ,y ,z ) d x d y d z 解: 体积元内的概率为
Ψ
2
7
4.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 先看经典波： 声波的干涉
振幅矢量相加
i t A ( x ) e 通过上缝的声波用 描述 1 it )e 描述 2(x 通过下缝的声波用 A
A A ) e 双缝 齐开时的声波为 ( 1 2
i t
8
A A ) e 双缝 齐开时的声波为 ( 1 2
薛定谔方程
§15-1 §15-2 §15-3 §15-4 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 力学量的算符表示和平均值 一维势阱和势垒问题
1
波函数的统计解释 一、波函数和概率波
二、物理对波函数的要求
三、自由粒子的波函数
2
一、波函数和概率波
1. 波函数
物质波波函数写成 ( r ,t )
2.玻恩（M.Born）假设 物质波不代表实在物理量的波动 而是刻划粒子在空间概率分布的概率波
10
•双缝齐开时 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 下缝各有一定的概率 总概率幅
Ψ Ψ Ψ 12 1 2
2 12 2 2
21
| Ψ | | Ψ Ψ | 总概率密度 P 12 1
2 1 2 2

12
出现了干涉
干涉项
11
结论 1)干涉是概率波的干涉 是由于概率幅的线性叠加产生的 2)即使只有一个电子 当双缝齐开时
归一化条件
( r , t ) ( r , t ) d 1
波函数

波函数


写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px
( x) py ( y) pz
(z)
A e A e A e i [
px
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px )
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
2. 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连
续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的 大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波 振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间， 这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增 加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚 集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子 （只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一 些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀 了粒子的波动性的一面，具有片面性。
(ax) 1 ( x)
作代换：px x，px x0，则
|a|
f ( x) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
(
px
波函数

波函数

波函数波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。

为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用ψ表示。

一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。

将爱因斯坦的“鬼场”和光子存在的概率之间的关系加以推广，玻恩假定就是粒子的概率密度，即在时刻t，在点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率。

波函数ψ因此就称为概率幅。

电子在屏上各个位置出现的概率密度并不是常数：有些地方出现的概率大，即出现干涉图样中的“亮条纹”；而有些地方出现的概率却可以为零，没有电子到达，显示“暗条纹”。

由此可见，在电子双缝干涉实验中观察到的，是大量事件所显示出来的一种概率分布，这正是玻恩对波函数物理意义的解释，即波函数模的平方对应于微观粒子在某处出现的概率密度(probability density)：即是说，微观粒子在各处出现的概率密度才具有明显的物理意义。

据此可以认为波函数所代表的是一种概率的波动。

这虽然只是人们目前对物质波所能做出的一种理解，然而波函数概念的形成正是量子力学完全摆脱经典观念、走向成熟的标志；波函数和概率密度，是构成量子力学理论的最基本的概念。

概率幅满足于迭加原理,即：ψ12=ψ1+ψ2（1.26）相应的概率分布为（1.27）波函数的数学表达[1]量子力学假设一：对于一个微观体系，他的任何一个状态都可以用一个坐标和时间的连续、单值、平方可积的函数Ψ来描述。

Ψ是体系的状态函数，它是所有粒子的坐标函数，也是时间函数。

（Ψ）Ψdτ为时刻t及在体积元dτ内出现的概率。

Ψ是归一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是对坐标的全部变化区域积分。

（注：（Ψ）指Ψ的共厄复数）[2]量子力学假设二：体系的任何一个可观测力学量A都可与一个线性算符对应，算符按以下规律构成：（1）坐标q和时间t对应的算符为用q和t来相乘。

（2）与q相关联的动量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分，以后不特别说明都指偏微分)（3）对任一力学量先用经典方法写成q,p,t的函数A=A(q,p,t)则对应的算符为：=A(q,-i(h/(2π))(d/dq),t)则：能量算符为：=-h^2/(8π^2m)△+V(其中△为拉普拉斯算符)△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2(直角坐标)△=(1/r^2)d(r^2d/dr)/dr+(1/(r^2sinθ))d(sinθd/dθ)/dθ+(1/(r^2sin^2θ))d^2/dφ^2(球坐标)角动量算符：{L[x]}=-i(h/(2π))(yd/dz-zd/dy){L[y]}=-i(h/(2π))(zd/dx-xd/dz){L[z]}=-i(h/(2π))(xd/dy-yd/dx)^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2[3]量子力学假设三：若某一力学量A的算符作用于某一状态函数ψ后，等于一常数a乘以ψ，即ψ=aψ则称力学量A对ψ描述的状态有确定的数值a。

波函数

波函数

的 能量应等于两个定态的能量差h： En Ek
反子，则吸收光子到高能级去。
31
（2）定态只能是这样的状态，电子饶核公转的动 量矩L等于 h 的整数倍。
2
L n h n n 1,2,3
2
玻尔从经典电磁理论和牛顿运动定律算出氢原子 的定态能量，从而得出氢原子所发的光的频率。
中的电子形成驻波.
28
§3 氢原子
一、原子光谱的实验定律
原子都会发光。原子发的光经过光谱仪后就形成 线状光谱。不同的原子，具有不同的线状光谱。 实验得知：每一种原子都有特定的一系列的光谱项，
个T1光,T谱2 ,项T3的,差。，它所发出的光的波数 ，就是两
Tn Tk n k
n为奇数时
nx A eiknx eiknx
n

2 A cos
kn x

A1
cos
x 2a21
n为偶数时
nx A eiknx eiknx
n
2iA sin kn x A2 sin 2a x
归一化（-a,a)的波函数
nx
1 cos n x
波函数。
d2x dt 2


2
x

0
x Acost
2y 1 2y x2 u2 t 2
y Acos 2 t x
8
当粒子的运动速度远小于光速时，能量E（对自由 粒子，就是动能）和动量P之间的关系：
E p2 2m
i 2 Et px
波函数
1
波函数
对于微观粒子，牛顿方程已不适用，粒子的位 置这一概念是毫无意义的。必需建立能描述微 观粒子运动的基本方程。
波函数及其物理意义

波函数及其物理意义

12
i 1
i
P1
S
1 D 2
A B
W C 1 C 2 C1C2 ( 2 1 ) * * 相干项 W1 W2 C1C2 (1 2 21 )
2 1 * 1 2 2 * 2 * 1 * 2
当双缝同时打 P2 开时，一个电 子同时处在1 C11 C2 2 态和2态。双 2 2 处于两态的几率分别为：| C11 | , | C2 2 | 缝同时诱导的 双缝同时打开时，电子的几率分布为： 状态是它们的 2 线性组合态。 W | |
2 L 1 1 n 2 nx 4 ( x) dx sin dx sin L 0 L 4 2n 2
2
L 2 2 n n ( ) sin 4 L 4
n 1 其最大值对应于 sin 4
一维自由粒子的波函数可以写为：
( x, t ) Ae (r , t ) Ae
16
i ( Et px )
Ae
i i px Et
e
三维自由粒子的波函数可以写为：
i ( Et pr )
Ae
i i pr Et
e
Байду номын сангаас
可见，自由粒子的波函数所描述的是定态。
微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的决定性规律。 牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨迹是已知的， 决定性的。 量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只 给出到达各点的统计分布；即只知道||2大的地方粒子出现 的可能性大，||2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现 在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）。
在一维空间量，波函数写成 ( x, t ) 间里写成 (r , t ) 。
波函数及其物理意义

波函数及其物理意义


4、波函数需要满足的条件
1). 波函数的单值、有限性、连续
根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到 粒子的几率必须为单值、有限、连续的
因为，粒子的几率在任何地方 ➢ 只能有一个值； ➢ 不可能无限大； ➢ 不可能在某处发生突变。
以上要求称为波函数的标准化条件
2). 波函数的归一性
rv,t
２ 波函数意义的统计解释：
空间某点波函数的强度（模的平方）和 在这点找到粒子的几率成比例．
| (x, y, z,t) |2 w(x, y, z,t) ３ 态函数定义：
物质波 又叫几率波
物质波的强度决定了粒子出现在空间各点的概率．即
已知
(r ,
t
)
,能定出粒子可能出现的空间坐标及其几率
可能坐标 (r1, r2 ,...rn ,...)
此观点 为实验 所否定
.
. ..
. . ..
.
一个个电子通过单缝，长时间积累也出现衍射效应
2 ) 粒子由波组成，是不同频率的波叠加而成的“波包”
此观点 为实验 所否定
单个电子不能形成衍射花样
介质中频率不同的波 u 不同，波包应发 散，但未见电子“发胖”
不同介质界面波应反射，折射，但 未见电子“碎片”
波函数的强度
e (r, t) A i/( prEt)
例：求一维自由粒子波函数的强度：
| (x,t) |2 *
三维自由粒子
e e
i(

0
i h
(
E
t
p
x
x
)
0
02
二 波函数的解释
关于粒子性和波动性如何统一的有关看法 （一）历史上两种错误看法 1) 波由粒子组成，波动性是粒子相互作用的次级效应
波函数及其统计解释

波函数及其统计解释

上述的解释是对处于同一状态的大量电子而言。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
波函数

波函数


2
Ψ = EΨ
(2) )
方程( ) h 代入 方程(2)得:
8
2m 令 ω = 2mE
解为: 解为:
ψ
dψ + 2 = ωψ 0 2 dx (x) = A cos ( ωx + )
由边值条件: 由边值条件: ψ (0) =ψ (a) = 0
= ±π cos =0,
波函数为: 波函数为: 2
ψ (x) = A sin ωx
Ψ
2
dV = Ψ (x,y,z,t) dz dy dz
2
Ψ (x,y,z,t) . Ψ *(x,y,z,t) dzdydz =
粒子在 t 时刻,在 时刻, (x,y,z) 处单位体积出现 的几率, 几率密度为 的几率,即几率密度为:
Ψ
2
Ψ .Ψ * =
这就是玻恩对波函数的统计解释 . 这就是玻恩对波函数的统计解释
Ψ ( x ,t ) = o e Ψ
h ( Et
i
px )
其中波函数模的平方为: 其中波函数模的平方为: 2 .Ψ * Ψ =Ψ = Ψo e
i (Et-px) h
. Ψo e
+ i (Et-px)
h
Ψ o2 =
统计解释:电子的衍射实验为例 统计解释:电子的衍射实验为例:
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验: 一个一个电子依次入射双缝的衍射实验:
h Ψ = i Ψ h 2 2m
2 2
2. 粒子是在有势力场中 在有势力场中粒子的总能量为: 在有势力场中粒子的总能量为: p2 E = 2m + U (x,t ) 2 p2 Ψ Ψ = i EΨ = h 2Ψ x 2 h t 2 2 h Ψ +U(x,t ) = i h Ψ ∴ Ψ 2 2m x t 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 三维运动粒子的薛定谔方程: 三维运动粒子的薛定谔方程: 2 2 2 2 h Ψ Ψ Ψ U Ψ + + Ψ =i h t + 2 2 2 2m x y z
波函数解释知识点

波函数解释知识点

波函数解释知识点波函数解释是量子力学中重要的一个概念，它用来描述微观粒子的运动状态及其性质。

本文将介绍波函数解释的相关知识点，包括波函数的定义、波函数的物理意义、波函数的性质以及波函数的应用等。

一、波函数的定义在量子力学中，波函数用符号ψ表示，它是描述微观粒子的一种数学函数。

波函数的定义依赖于粒子所处的具体情况，比如自由粒子、束缚粒子或多粒子系统等。

波函数通常是空间坐标和时间的函数，即ψ(r,r)，其中r表示位置矢量，r表示时间。

二、波函数的物理意义波函数的物理意义可以通过波函数的模的平方来描述。

波函数的模的平方|ψ(r,r)|²表示在某一时刻粒子出现在空间体积元rr内的概率。

即r(r,r)rr=|ψ(r,r)|²rr表示在空间体积元rr内发现粒子的概率。

波函数的物理意义可以通过测量得到，例如电子的位置、动量等。

三、波函数的性质1. 波函数的归一化：波函数必须满足归一化条件，即对整个空间积分结果为1。

即∫|ψ(r,r)|²rr=1，这表示粒子必定存在于空间中。

2. 波函数的连续性：波函数及其一阶导数在空间中连续，避免出现不连续点。

3. 波函数的可微性：波函数应该是可微的，以满足薛定谔方程的求解条件。

4. 波函数的奇偶性：对于具有中心对称性的体系，波函数可能是奇函数或偶函数。

四、波函数的应用1. 粒子的定态波函数：波函数的解可以得到粒子的能级、能量及角动量等相关信息，对于束缚系统，波函数的节点和能级的关系也十分重要。

2. 粒子的散射：通过波函数的解，可以计算散射截面、反射系数等散射性质，从而揭示粒子之间相互作用的性质。

3. 粒子的叠加态：多个波函数的线性叠加可以得到粒子的叠加态，这可以用来描述多粒子系统中的统计性质。

4. 量子力学中的难题：波函数的解决了一些传统力学难以解释的问题，如双缝干涉实验等。

总结：波函数解释是量子力学的核心概念之一，它描述了微观粒子的运动状态和性质。

波函数的几种不同的形式

波函数的几种不同的形式


1 2
u 2 A12 S1T
1 2
u 2 A22 S2T
S1 4r12 ; S2 4r22
r2
r1
A1r1 A2r2
所以球面波的振幅与离波源的距离成反比。
如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为 A r
由于振动的相位沿波速方向随距离的增加而落后的关系， 与平面波类似，球面简谐波的波函数：
x) u
0
]d t
1 A22
2
A2,2
特点:
A2 2
s in2 [ ( t
x u
)
0
]
x, t
A、Ek Ep 相位,大小均相同；机械能不守恒。
( 注意与振动能量相区别 )
y
•c
y
•c
O
•B
x
• A 波形图
O•
•B
t
• A 振动图形
平衡位置（y = 0） E k 、 E p 最大。 振幅处（y = A） E k 、 E p 为 0。 B、若x 一定, E k 、 E p、E 均随 t 周期性变化。
t
u
显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值。
2)平均能流:在一个周期内能流的平均值称为平均能流。
P u S
3)能流密度:通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为能流密度或波的强度。
I P u 1 A2 2u
S
2
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的
平均能量。
I
1
A2 2u
1、平面波 在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波 在传播方向上振幅不变。
证明：因为
在一个周期
T内通过
S1和

波函数


练习： 3.在何处找到粒子的概率最大？
解： 1. 由归一化条件
A
1 ix
2
dx
A2 1 x2
dx
A2arctgx
A2
1
得： A 1
x
1
1 ix
2. 概率密度为：
p x2
dx
2
1
1 ix
1
1
x2
3. 令： 得：
d x2 0
dx
x0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
求解问题的步骤：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
设粒子在一维无限深势阱运动
U
势函数
0 (0 < x < a)
U(x) =
x 0, x a
o
ax
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
d2
d x2
2m 2
(
E
U )
0
得本问题中的薛定谔方程: 0<x<a
用 |Ψ |2 对屏上电子数分布 作概率性描述
一般：t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数
dN N |Ψ |2 dV
|Ψ (x, y, z,t) |2 Ψ Ψ* dN N dV
|Ψ ( x, y, z, t) |2 的物理意义：
➢ t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t
)
0e
i(
Et
px
x)
（取实部）
推广 ：三维自由粒子波函数
(r,
t)
0e
i (Et

量子力学第二章波函数和方程.


考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。
Ψ1
S1
电子源
Ψ2
S2
PΨ
感 光 屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2

= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
ii1i2i大处到达光子数多i小处到达光子数少无光子到达各光子起点终点路径均不确定用i对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点终点路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射expet?如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动他的动量和能量不再是常量或不同时为常量粒子的状态就不能用平面波描写而必须用较复杂的波描写一般记为
电子在晶体表面反射后，电子可
例：
能以各种不同的动量 p 运动。具
Ψp
有确定动量的运动状态用de
Ψ
Broglie 平面波表示

d

p

A exp

i
(
p •
r
Et )
根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示 成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加，即


(r , t ) c( p)p(r , t )
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小， |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处，体积元Δx Δy Δz中找到 粒子的几率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这 点找到粒子的几率成比例，

第二章 波函数


自由粒子的能量
E p 2 / 2m
2 2 i t 2m
i E t
自由粒子波函数所满足的微分方程
自由粒子的薛定谔方程
若粒子在势场中运动，其势能为U(r),在这种情况 下，粒子的能量是 p2
E 2m U (r )
类比自由粒子的情况，得到波函数 所满足的微分方程
2 1 2 1 2 px A exp[ i(p r Et ) / ] 2 px 2 x
即
2 2 p x x 2
2
同理
2 2 2 2 p y y
2 2 2 p z2 z
可得
2 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( p x p z2 p z2 ) x y z
k 2
A cos(k r t )
t )]

2
2 德布罗意自由粒子的平面波
利用de Broglie物质波的概念，我们可以得到量子力学中自由 粒子平面波的表达式
2i ( x, t ) A exp[ ( p x x Et )] h
2p x k h 2
A 薛定谔方程适用条件
• 只适用于低能粒子的体系，粒子具有较慢的运动 速度(υ＜＜c)
• 要求没有粒子的产生和湮灭，即粒子的数目始终保 持不变，--粒子数守恒
B.波动方程的建立
自由粒子的波函数
i A exp[ (p r Et )]
i i 将上式对t 求微商 EA exp[ i(p r Et ) / ] E t 即 i E t i i p x A exp[ i(p r Et ) / ] p x 对x求微商 x

波函数的几种不同的形式


其他相对论性波函数
其他粒子波函数
除了电子，其他粒子如质子、中子等也有其相对论性波函数。这些波函数考虑了相应粒子的质量和自 旋等特性。
扩展到其他场论
相对论性波函数的概念不仅限于粒子物理，还可以扩展到其他场论，如电磁场、引力场等。在这些领 域中，波函数的概念也有重要的应用。
05
散射态波函数
散射态的基本概念
未来研究方向
随着量子计算技术的发展，波函数的应用将更加广泛和深入。未来，我们需要进一步研究如何利用波函数更好地描述和预测 物质的性质和行为，以及如何将波函数应用于更广泛的领域中。
同时，我们也需要研究如何更好地理解和利用量子力学中的其他概念，如量子纠缠和量子相干性等，这些概念在量子计算和 量子通信等领域中有重要的应用。
三维势阱
三维势阱波函数
在三维空间中，粒子可能 受到不同形式的势阱作用， 如球形势阱、盒式势阱等。
球形势阱波函数
在球形势阱中，粒子只能 在球内运动，其波函数形 式为球谐函数。
盒式势阱波函数
在盒式势阱中，粒子只能 在一定区域内运动，其波 函数形式为箱函型波函数。
其他束缚态波函数
其他束缚态波函数
除了上述的一维势阱和三维势阱 外，还有各种其他形式的束缚态 波函数，如谐振子势、分子振动
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球面波
描述粒子在有限空间区域内传播的情况，其波函数形式为 4πr/λ * J(πr/λ) * e^(iπr/λ)。其中，r是球面波的半径，λ是 波长。
球面波的能量和动量分布呈球形，且随着传播距离的增加 而扩散。
柱面波
描述粒子在柱状空间区域内传播的情 况，其波函数形式为e^(i(kx+ky)) * f(z)。其中，k是波数，x和y是柱面波 在平面内的坐标，z是柱状空间的高度。

量子力学知识：量子力学中的波函数解析

量子力学知识：量子力学中的波函数解析量子力学是现代物理学的一部分，它描述了微观世界中的粒子运动规律。

在这个领域，波函数是一个非常重要的概念，因为它可以提供一个数学描述粒子运动的方式。

本文将介绍量子力学中的波函数解析，讨论其含义、性质和应用。

波函数的含义波函数是一个复数函数，通常表示为Ψ，它描述了粒子位置、运动速度、能量和角动量等物理量的概率分布。

价态波函数Ψ(r)描述了一个粒子在空间中的位置分布，而动量波函数Ψ(k)描述了粒子的动量分布。

波函数解析是一种求解波函数的方法，它利用数学算法来描述粒子的运动和行为。

波函数解析能够给出精确的结果，并且在量子力学研究中非常常用。

波函数的性质波函数具有一些重要的性质，它们在量子力学研究中非常有用。

首先，波函数必须满足归一化条件，也就是说，波函数的平方值在整个空间中的积分等于1。

这意味着粒子在空间中所有可能的位置都有一定概率存在。

其次，波函数必须满足薛定谔方程，这是一个描述量子力学中粒子运动的方程。

通过薛定谔方程，可以求解波函数对时间的演化，从而得到粒子位置、速度等物理量的变化规律。

波函数的应用波函数广泛应用于量子力学的研究和实验中。

它非常重要的应用就是描述粒子的量子态。

例如，在量子计算机中，计算结果就通过电子的量子态来表示。

此外，波函数解析也被广泛应用于化学研究中。

化学反应中的电子运动可以通过波函数解析进行研究，从而更好地理解化学反应的本质。

总结量子力学中的波函数解析是一个非常重要的概念，它能够提供精确的数学描述粒子的运动。

波函数具有归一化条件和薛定谔方程等性质，这些性质在量子力学研究中非常重要。

波函数的应用广泛，涉及化学、物理、工程等多个领域。

因此，对波函数解析的研究将会对未来科学技术的发展产生深远影响。

波函数


z
]
1
2
3
考虑一维积分
px * ( x, t )px ( x, t )dx
(
px
px
)
1
2
e dx i (
p
x
px
)
x
e i [
Ex
E
x
]t
px *( x) px ( x)dx
i [ px2 px2 ]t
e 2 2
px * ( x) px ( x)dx
px * ( x) px ( x)dx
e dx i (
p
x
px
)
x
II 平面波 归一化
p(r , t)
i [ p•r Et ]
Ae
p(r )e
i
Et
t=0 时的平面波
写成分量形式
p(r )
i [ p•r]
Ae
px ( x) py ( y) pz (z)
A e A e A e i [
p
x
x
]
i[
p
y
y
]
i[
pz
考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态，Ψ 是这两种状 态的叠加。
S1
电子源
S2
Ψ1 Ψ2
P
Ψ
感 光 屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是：
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
电子穿过狭缝
电子穿过狭缝 相干项
１出现=在|CＰ1 点Ψ1|2+ |C2Ψ２2|2出+现[C在1*CＰ2Ψ点1*Ψ2 +正C是1C由2*Ψ于1Ψ相2干*] 项的
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结论: 结论:3)波函数所代表的波是几率波. 波函数所代表的波是几率波. 微观粒子出现在|Ψ 大的地方, Ψ 微观粒子出现在 Ψ|2大的地方,|Ψ|2小的 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 地方粒子出现少;粒子受波数所引导, 波函数按波的形式去分配粒子的出现的 几率. 几率. 例)求一个能量为E,动量为 的自由粒子的几率 求一个能量为 ,动量为P的自由粒子的几率 i 密度. 密度. ( EtPr ) 解: 波函数为 Ψ = Ψ e 0
∞→∞
因为粒子在全空间出现是必然事件
例1: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函 : 设粒子在一维空间运动, 数描述为: 数描述为:
ψ ( x, t ) = 0
( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2)
其中A为任意常数, 和 均为确定的常数. 均为确定的常数 其中 为任意常数,E和b均为确定的常数. 为任意常数 归一化的波函数;几率密度W? 求:归一化的波函数;几率密度W? 解:由归一化条件,有: 由归一化条件,
nπ 其最大值对应于 sin = ±1 4
L 2 2 nπ ω n = Ψ ( ) = sin 4 L 4
,于是有: 于是有:
∴ n = 2(2k + 1)
π nπ = ( 2k + 1) (k = 0,1,2, ) 4 2
(k = 0,1,2, )
�
cos (
2
πx
b
)dx = 1
b ∴ A =1 2
2
∴ A =
2 b
由此可求出归一化的波函数和几率密度 几率密度为: 几率密度为:
W ( x, t ) = ψ 2 ( x, t ) = 0 ( x ≤ b / 2), x ≤ b / 2) 2 2 π x 2 W ( x, t ) = ψ ( x, t ) = cos ( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b b
常写成复数: 常写成复数:
Ψ=Ψe 0
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
当粒子沿着
1 ( EtPx)
Ψ=Ψe 0
其中: 其中:
方向传播时: r 方向传播时: 1
( EtPr )
=Ψe 0
1 [ Et( P x+P y+ pz z )] x y
r = xi + y + zk j
P = Pi + P + P k j x y Z
dW = Ψ dV = ΨΨdV
2
(Ψ 为Ψ共轭复数)
即粒子在空间出现的 Ψ dV
结论: 结论:2)波函数所描述的是处于相同条件 下,大量粒子的一次性行为和一个粒子多次 性重复性行为. 性重复性行为. 微观粒子遵循的是统计规律, 微观粒子遵循的是统计规律,而不是经典的决 定性规律. 定性规律.
如图所示, 如图所示,在区间 (b/2,b/2)以外找 以外找 不到粒子. 不到粒子.在x=0 处找到粒子的几率 最大. 最大.
ψ 2 ( x, t )
ψ ( x, t )
-b/2
o
b/2
x
例2: 已知一维无限深势阱中粒子的归一化定态 : 波函数为: 波函数为:
Ψn ( x) =
2 nπx sin (0 ≤ x ≤ L ) L l
(Ψ的 轭 数 共 复 ) = Ψ = const 无关. 且与位置 无关.在全空间粒子出现的几率一样
2 0
ρ = ΨΨ = Ψ0e
i ( EtPr )
Ψ e 0
i ( EtPr )
三)波函数的标准化条件
( ) 2)波函数是连续的 )
1)波函数具有有限性 W = )
∫∫∫ ΨΨ dV ≤1
V
从波动观点看来: 从波动观点看来:这种波只能是单色平面波
∵P = const ∵E = const E h 恒定! 恒定! ∴ = ν 恒定! 恒定! ∴λ = p h
X
从不确定关系来研究: 从不确定关系来研究:
∵P = const P = 0 x →∞
沿整个X轴传播 沿整个 轴传播
∵E = const E = 0 t →∞
式中: 为势阱宽度 为势阱宽度, 为量子数 为量子数( 式中:L为势阱宽度,n为量子数(n=1,2,…). , , L n :(1) 区间出现的几率; 求:( )粒子在0 ≤ x ≤ 区间出现的几率;并对 = 1 4 的情况算出概率值. 和 n = ∞ 的情况算出概率值. L 的量子态上, (2)在 n = ? 的量子态上,粒子在 x = ) 区 4 间出现的概率密度最大. 间出现的概率密度最大. L 解: 1)粒子在 0 ≤ x ≤ 区间出现的几率: ( ) 区间出现的几率: 4
U 粒子的观点 极大值
波动的观点
2 0 2
较多电子到达 波强度大, 或Ψ 大 波强度大, Ψ 2 2 波强度小, 极小值 较少电子到达 波强度小, 0 或Ψ 小 Ψ 2 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ0 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
2)一个粒子多次重复性行为 )
∴Ψ r, t 在空间是有限函数
即在r处的几率密度 (r )与r + dr处 ρ
几率密度 (r + dr )只差一微量 ρ 3)波函数是单值的 ) 粒子在空间出现的几率只可能是一个值 4)满足归一化条件 (Narmulisation) ) )
(归一化条件) W = ∫∫∫ Ψ ΨdV =1 归一化条件)
U 较长时间以后 波动的观点 粒子的观点 2 2 波强度大, Ψ 较多电子到达 波强度大, 0 或Ψ 大
2 0 2 0 2
极大值 极小值
波强度小, 较少电子到达 波强度小, 或Ψ 小 Ψ 2 统一地看: 统一地看:粒子出现的几率正比于 Ψ 或Ψ 中间值 介于二者之间 波强介于二者之间
结论: 结论:1)某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 某时刻空间某体元dv中出现粒子的几率 dv 正比于该地点波函数模的平方和体积元 体积: 体积: dW ∝ Ψ 2 , ∝ dV 通常比例系数取1: 通常比例系数取
iE πx ψ ( x, t ) = A exp( t ) cos( ) ( b / 2 ≤ x ≤ b / 2) b
A∫
2
b / 2
∝
|ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx+ ∫ |ψ(x, t) | dx =1
2 2 2 b / 2 b/ 2
b/ 2
∝
即:
A
2
∫
b/2
b / 2
波列长为∞长. 波列长为∞ 结论:自由粒子的 结论:自由粒子的De Brglie波是单色平面波 波是单色平面波 其波函数为: 其波函数为:Ψ = Ψ Cos2 ( t ) πν 0 λ x E 依德布罗 Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 意关系式 h h/ p
x
E x Ψ = Ψ Cos2 ( t π ) 0 h h/ p 2 π = Ψ Cos (Et px) 0 h 1 = Ψ Cos (Et px) 0 1 = Ψ Cos[ (Et px)] 0
Wn = ∫
L 4 0
nπ 2 1 1 2 nπx Ψ ( x) dx = ∫ sin dx = sin L L 4 2πn 2
L 4 0
2
L (2)粒子在 x = ) 4
2
1 1 当 n = 1时 W1 = ≈ 9% 4 2π 1 当 n = ∞ 时 W∞ = = 25% 4
区间出现的概率密度为: 区间出现的概率密度为:
牛顿说:只要给出了初始条件,下一时刻粒 牛顿说:只要给出了初始条件, 子的轨迹是已知的,决定性的. 子的轨迹是已知的,决定性的. 量子力学说:波函数不给出粒子在什么时刻 量子力学说: 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 一定到达某点,只给出到达各点的统计分布; 即只知道|Ψ 大的地方粒子出现的可能性大, 即只知道 Ψ|2大的地方粒子出现的可能性大, |Ψ|2小的地方几率小.一个粒子下一时刻出 Ψ 小的地方几率小. 现在什么地方, 现在什么地方,走什么路径是不知道的 非决定性的) (非决定性的)
注意:波函数一般要用复数表示! 注意:波函数一般要用复数表示!
二)波函数的统计铨释(波恩Born) 波函数的统计铨释(波恩Born) Born 代表什么? ψ代表什么?只有实践才是捡验真 理的标准,看电子的单缝衍射: 理的标准,看电子的单缝衍射: 1)大量电子的一次性行为: )大量电子的一次性行为:
波函数 (Wave Function) )
引言:德布罗意波到底是什么波? 引言:德布罗意波到底是什么波?开始认为是某 种场量,什么" 暂且不知,权用" 种场量,什么"场"暂且不知,权用"Ψ"表 称之为"波函数" 示,称之为"波函数" 一)自由粒子的波函数 设一自由粒子,不受外力作用, 设一自由粒子,不受外力作用,则粒子作匀速直 线运动(设沿X轴),其动量 能量保持恒定. 其动量, 线运动(设沿 轴),其动量,能量保持恒定.