反比例函数与实际问题.ppt

把y＝
6
000 x
代入，得(x－120)·6
000 x
＝3
000，解得x＝240；
经检验x＝240是原方程的根．
答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元．
例2 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足 函数关系t＝ k ，其图象为如图所示的一段曲线且端点坐标分别为A(40，
d
2.
古埃及文明在（公元前3100年）左右初步实现统一。在法老（图特摩斯三世）统治时期，古埃及帝国成为强大的军事帝
解: 1 0 国10。. 但是古埃(及影1帝响)根国：的一据版战图给圆（各柱只国涵人体盖民亚带的非来体，了没巨积有大欧的公洲灾式领难地，,）造我。成了们巨有大的S物×质损d失=和人员4 伤亡；使帝国主义的力量对比发生了变化，削
句意2分）
一：探寻新航路的热潮
【归纳总结】
活动3 例题与练习
例1 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运 动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售 价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
售价x(元/双) 销售量y(双)
第1天 150 40
第2天 200 30
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸完，则平均每天卸载48吨.
若货物在不超过5天内卸完,则平均每天至少要卸货48吨.
提出问题：
第18课(东1)晋货南朝物时总期江量南地(工区的作开发总量)是多少？
7.
三角贸易
②④如奥果 斯(b曼2保土)持工耳静其作止阻状碍总态了或量东向西、左方运商工动道，作；那效么小率旗肯(工定向作右飘速动度；如)果与b向工右作运动时，但间速有度小怎于风样速的，那关么小系旗？向右飘动。

2、利用反比例函数解决实际问题的关键: 建立反比例函数模型.
实际问题与反比例函数
1、物理问题转化为与反比例函数有关的数学问题； 2、根据自变量的范围求相应的函数值的范围； 3、注意数形结合.
实际问题与反比例函数
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例 函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数 的图象和性质解决一些物理学中的问数
古希腊科学家阿基米德曾 说过：“给我一个支点， 我可以把地球撬动。” 你认为这可能吗？为什么？
阻力
动力
阻力臂
动力臂
阻力×阻力臂=动力×动力臂
实际问题与反比例函数
实际 问题
建立数学模型 运用数学知识解决
反比例 函数
实际问题与反比例函数
小结 1、通过本节课的学习,你有哪些收获?
列实际问题的反比例函数解析式
（1）列实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变 量之间应满足的分式，即实际问题中的变量之间的关系 立反比例函数模型解决实际问题; （2）在实际问题中的函数关系式时，一定要在关系式 后面注明自变量的取值范围。

经济中的应用
供需关系
在经济学中，反比例函数被用来描述供需关系，即当价格上涨时，需求量会相应 减少。
投资回报
在投资中，投资回报与投资风险之间存在反比例关系，即投资风险越高，投资回 报越低。
04
CATALOGUE
反比例函数与其他函数的关联
与线性函数的关联
总结词
反比例函数与线性函数具有密切关联，它们在某些条件下可以互相转化。
在物理学、工程学、经济学等各个领域，反 比例函数都有广泛的应用，如电阻、电容、 电感的关系，液体混合物的浓度，投资回报 与风险等问题的解决都离不开反比例函数。
对未来研究和应用的展望
随着科学技术的不断发展，反比例函 数的应用前景将更加广泛，如在物理 学中的量子力学、天体运动等领域， 反比例函数可能会发挥更加重要的作 用。
反比例函数应用 ppt课件
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的应用场景 • 反比例函数与其他函数的关联 • 反比例函数的应用案例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
反比例函数概述
反比例函数的定义
定义
形如 y=k/x(k为常数，k≠0) 的函 数称为反比例函数。
详细描述
反比例函数y=f(x)=1/x的形式与指数函数y=a^x的形式在结构上具有相似性，两者都涉及到自变量和 因变量的变换。此外，当a为1时，指数函数退化为一个常数函数，与反比例函数在x=0处相交。
与对数函数的关联
总结词
反比例函数与对数函数之间存在一定的 关联，它们在形式上具有相似性。
VS
详细描述
反比例函数y=f(x)=1/x的形式与对数函数 y=log_a(x)的形式在结构上具有相似性， 两者都涉及到自变量和因变量的变换。此 外，当a为1时，对数函数退化为一个常 数函数，与反比例函数在x=0处相交。

如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间
清
单
解 t（h）与行驶速度 v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这
读 段公路行驶速度不得超过80 km/h，则该汽车通过这段公路
最少需要 _____ h.
6.2 反比例函数的图象与性质
［解题思路］
考
点


清
设双曲线的解析式为t= ，∴k=1×4=40，即 t=
C． y1＜y2＜y3
D． y1＜y3＜y2
6.2 反比例函数的图象与性质
［解析］
易
错
∵k=-6＜0，∴ 图象位于第二、四象限，在每一象限内
易
混 ，y 随 x 的增大而增大，∵x ＞x ＞0，∴y ＜y ＜0，∵x
1
3
3
1
2
分
析 ＜0，∴y2＞0，∴y3＜y1＜y2.
［答案］ A
［易错］ B
［错因］ 忽略了点（x1，y1），（x3，y3）与（x2，y2
成的一元二次方程
即 k1 和 k2 的符号
的根的判别式 Δ
6.2 反比例函数的图象与性质
考
点
清
单
解
读
k1k2＞0 ⟹ 两图象有两
交点 个交点
情况
k1k2＜0 ⟹ 两图象没有
交点
启示
Δ＞0⟹ 两图象有两个交点
Δ=0⟹ 两图象有一个交点
Δ＜0⟹ 两图象没有交点
两 图 象 有 交 点 时 ， 两 将 =k2x+b 转化为一元二
6.2 反比例函数的图象与性质
重
解题通法
难
解决此类问题需要读懂题目，准确分析出各个量之间的
题
型
突 关系，将需要求的量根据等量关系表示出来.

结果能够看出，假如全部货物恰好用5天卸完，则 平均天天卸载48吨.若货物在不超出5天内卸完,则 平均天天最少要卸货48吨.
第8页
如图，某玻璃器皿制造企业要 制造一个容积为1升(1升＝1立 方分米)圆锥形漏斗． (1)漏斗口面积S与漏斗深d有怎 样函数关系? (2)假如漏斗口面积为100厘米2 ，则漏斗深为多少?
(2)企业决定把储存室底面积S定为 500 探究1:
市煤气企业要在地下修建一个容积为104 m3圆柱形煤气储存室. (2)企业决定把储存室底面积S定为500 m2,施工队施工时应该向下掘进多深? (3)当施工队按(2)中计划掘进到地下15m 时,碰上了坚硬岩石.为了节约建设资金, 储存室底面积应改为多少才能满足需要 (保留两位小数)?
第6页
例题 码头工人以天天30吨速度往一艘轮船上装 载货物,把轮船装载完成恰好用了8天时间. (1)轮船抵达目标地后开始卸货,卸货速度v(单位: 吨/天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样函数关 系? (2)因为碰到紧急情况,船上货物必须在不超出5 日内卸载完成,那么平均天天最少要卸多少吨货 物?
第9页
考考你
(1)已知某矩形面积为20cm2，写 出其长y与宽x之间函数表示式。 (2)当矩形长为12cm时，求宽为多 少?当矩形宽为4cm，求其长为多 少? (3)假如要求矩形长大于8cm，其 宽至多要多少?
第10页
第1页
探究1:
市煤气企业要在地下修建一个容积 为104 m3圆柱形煤气储存室. (1)储存室底面积S(单位:m2)与其 深度d(单位:m)有怎样函数关系?
(1)∵s×d= 104 ∴ S 104 d 即储存室底面积S是其深度d反百分比函数.
第2页
探究1:
市煤气企业要在地下修建一个容积 为104 m3圆柱形煤气储存室.

。
与三角函数的结合
三角函数和反比例函数在周期性上的联系
三角函数具有周期性，而反比例函数不具备周期性，但两者在某些情况下可以相互转化。
三角函数和反比例函数的图像变换
通过适当的变量替换和变换，可以将反比例函数的图像转换为三角函数的图像，反之亦然 。
三角函数和反比例函数的应用场景
三角函数常用于描述周期性变化的现象，如振动、波动等；而反比例函数则常用于描述变 量之间成反比的情况。
PART 05
反比例函数在实际问题中 的应用案例
REPORTING
经济问题中的应用
总结词
反比例函数在经济领域的应用广泛，涉及供需关系、运输成本、价格 与销售量等。
供需关系
在市场经济中，反比例函数可用于描述商品供应和需求之间的关系， 当供应量增加时，需求量减少，反之亦然。
运输成本
在物流和运输领域，反比例函数可用于分析运输成本与运输距离的关 系，随着运输距离的增加，运输成本通常呈反比例降低。
REPORTING
解决实际问题的方法
确定问题类型
建立数学模型
首先需要明确问题是关于反比例函数 的实际应用，还是需要利用反比例函 数解决其他数学问题。
根据问题描述，将实际问题转化为数 学问题，建立反比例函数的数学模型 。
分析问题背景
了解问题的实际背景，如物理、化学 、工程等领域的实际问题，有助于更 好地理解问题并建立数学模型。
定义域
所有非零实数。
值域
所有非零实数。
反比例函数的图像
01
当 k > 0 时，图像位于第一象限 和第三象限；
02
当 k < 0 时，图像位于第二象限 和第四象限。
反比例函数的性质

知识点 2：反比例函数在物理学科中的应用
4．某密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容积 V 时，气体
的密度 ρ 是容积 V 的反比例函数，当容积为 5 m3 时，密度是 1.4 kg/m3，
则 ρ 与 V 之间的函ห้องสมุดไป่ตู้关系式为
(
C
)
A．ρ＝V7
B．ρ＝7V
C．ρ＝V7
D．ρ＝71V
5．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体
7<x≤730，
y 与 x 的函数关系式每730 min 重复出现一次．
初中数学人教版《实际问题与反比例 函数》P PT1
所以 y＝10x＋30.当 x＞7 时，设 y＝ax，
把(7，100)代入，得 100＝a7，得 a＝700，
初中数学人教版《实际问题与反比例 函数》P PT1
初中数学人教版《实际问题与反比例 函数》P PT1
所以 y＝7x00.
当 y＝30 时，x＝730，
10x＋30 (0≤x≤7)，
∴y 与 x 的函数关系式为 y＝700 x
(1)入库所需要的时间 d(单位：天)与入库平均速度 v(单位：t/天)的函
数解析式为
d＝1
200 v
；
(2)已知粮库有职工 60 名，每天最多可入库 300t 玉米，预计玉米入库
4
最快可在
天内完成；
(3)粮库职工连续工作两天后，天气预报说未来几天会下雨，粮库决
60
定次日把剩下的玉米全部入库，至少需要增加
②不能．理由：将 t＝72代入 v＝48t 0，得 v＝9670＞120. 答：方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地．
初中数学人教版《实际问题与反比例 函数》P PT1

5 2．A是双曲线y= 上一点，过点A向x x
轴作垂线，垂足为B，向y轴作垂线，垂足为C，
则四边形OBAC的面积= 5
y
．
A
B
C
O
x
课堂小结
用函数观点解实际问题的关键：
一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问 题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样 的关系式；
二是要分清自变量和函数，以便写出正确的 函数关系式，并注意自变量的取值范围；
杠 杆 定 律
阻 力 阻力臂
动 力 动力臂
几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力 臂不变，分别是1200牛顿和0.5米，设动力为F， 动力臂为L．回答下列问题： （1）动力F与动力臂L有怎样的函数关系？ 解：（1）由已知得Ｆ×L＝1200×0.5 变形得： F
600 L
（2）小松、小冰、小宁、小力分别选取了 动力臂为1米、1.5米、2米、4米的撬棍，你能得 出他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？
解：（1）蓄水池的容积为：8×6=48（m3）． （2）此时所需时间t（h）将减少．
48 （3）t与Q之间的函数关系式为： t Q
（4）当t=5h时，Q=48/5=9.6m3．所以每时 的排水量至少为9.6m3． （5）当Q=12（m3）时，t=48/12=4（h）， 所以最少需5h可将满池水全部排空．
小练习
1．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积 为1升（1升=1立方分米）的圆锥形漏斗． （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函 数关系？ （2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的 深为多少？
3 （） 1 S d
（2）30cm.
小练习
2．（03年浙江）为了预防“非典”，某学 校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃 烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与 时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成 反比例，现测得药物8min燃毕，此时室内空气中 每立方米的含药量为6mg．请根据题中所提供的 信息，解答下列问题：

说一说
我的收获我来说反比例函数解决实际问题，确定K的值非常重要, 若k未知时应首先由已知条件求出k值.
2. “最多” 、“至少”等问题的解决方法：可以用方程、 不等式、图像等方法予以解决.
做一做
（评测练习）
相信自己 ！
1.填空：A、B两城市相距720km，一列火车从A城去B城. (1)火车的速度v(km/h)和行驶的时间t(h)之间的函数关 720 v ＝ 系式是 . t (2)若到达目的地后，按原路返回，并要求在3h内回到 A城，则返回的速度应不低于 240 (km/h) . 2.选择：已知甲、乙两地相距s（单位：km）,汽车从甲地 匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t(单位：h)关于行驶速 度v（单位：km/h）的函数图像是（ C ）
26.2 实际问题与反比例函数 第二课时
学习目标：
学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反 比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数解决实际 问题的方法.
重难点:
重点 ：用反比例函数解决实际问题. 难点 ：构建反比例函数的数学模型.
学一学
例1.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载
货物,把轮船装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨 /天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日 内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物?
试一试
（2014年云南省，第17题6分）将油箱注满k升油后，轿车科行 驶的总路程S（ 单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之 间是反比例函数关系S= （k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注 满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700 千米．

人教版 数学 九年级 下册
26.2 实际问题与反比例函数 第2课时
导入新知
给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德
1．你认为可能吗？ 2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？ 3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，
是真的吗？
学习目标
3. 体会数学建模思想，培养学生数学应用意识.
程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进 行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时 间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数， 在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ C ）
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/m3 B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分 钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的， 所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后， 学生才能进入室内
如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且
OB=20cm．
（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；
（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少牛
顿的力？
A
B
O
F
G
课堂检测
解：（1）F•h=8×20=160
所以 F 160
A
h
F
（2）当h=80cm时，
F 160 （2 牛顿） 80
至少要加长多少? 分析：对于函数 F 600 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求

图如下图.
U 分析：根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂
对称性可知S△AOM=S△BOM=1 ——阿基米德 12分钟，大于10分钟的有效消毒时间. 关系式为 ,
(1)输出功率P与电阻R有怎样的 函数关系?
S1，S2，S3，那么S1+S2+S3 =
.
(2)用电器输出功率的范围多大? 2 实际问题与反比例函数
到输出功率最大值: P 2202 440
110
把电阻的最大值R=220代入①式,那么
220 得到输出功率的最小值：
P
2
220
220
因此,用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间.
8.蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电 R(Ω)之间的函数关系如下图：
(1)蓄电池的电压是多少？你能写 出这一函数的表达式吗？
人教版九年级数学下册
复习回忆 反比例函数中比例系数
k的几何意义
反值比k 例的函几数何意y 义kx：(k 0)中比例系数k的绝对 如图，过双曲线上任意一点P分别作x轴，
y轴的垂线，M、N分别为垂足，那么k x y
〔x，y〕Pຫໍສະໝຸດ y Nk x y x y P N P M S 矩 形 P M O N
——阿基米德
你认为这可能吗？为什么？
情景引入
阻
动
力
力
阻力臂
动力臂
阻力×阻力臂=动力×动力臂
例3、小伟欲用雪撬棍撬动一块大石头，阻力和 阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米.
(1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系?
分析：根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂
解:(1)由得Ｆ×L＝1200×0.5
变形得： F 600 L

的增大而减小
解：当 V =60 时，p =100，则 pV=6
000，

A.气压 p 与体积 V 表达式为 p= ，则 k＞0，故不符

合题意；
6 000
B.当 p=70时，V=
＞80，故不符合题意；
70
C.当体积 V 变为原来的一半时，对应的气压 p 变为原
来的2倍，故不符合题意；
D.当60≤V≤100时，气压 p 随着体积 V 的增大而减小，
600
∴ F 关于l 的函数解析式为F= .

600
当 l=1.5 m 时，F= =400 (N).
1.5
600
对于函数 F=
，当 l =1.5 m时，F

=400 N，此时杠
杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400 N的力.
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力
臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
对地面的压强减小，就不会陷入泥中了.
如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么，
(1)木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函
数关系？
600
解：(1) p 是 S 的反比例函数， =
，S＞0．

(2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：(2)当 S=0.2
m2
时， =


(W 是常数).
(2)当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例，
即=


(F 是常数).
新知探究 跟踪训练
1.有一个可以改变体积的密闭容器内装有
一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积
时，气体的密度也会随之改变，密度 ρ (单

顿和0.5米。
(1) 动力F与动力臂l 有怎样的函数关系？
当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
解：根据“杠杆定律”，有Fl =1200×0.5 ，
∴ F与l 的函数解析式为：F=
，
当l=1.5时，F= 400 ，
∴ 撬动石头至少需要 400 牛顿的力。
例题讲解
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动臂至少要加长多少？
A. x＞2 B. x＞2 或－1＜x＜0 C. －1＜x＜2 D. x＞2 或x＜－1
复习回顾
2. 如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象 与反比例函数的图象的两个交点。
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
一次函数的解析式: y=-x-2
反比例函数解析式:
y


8 x
复习回顾
A.正比例函数
B.一次函数
C.反比例函数
D.函数关系不确定
2.已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示 为 （A）
巩固练习
3.面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用 图象表示大致是（ C ）
例题讲解
知识点二
用反比例函数解决物理问题
例题讲解
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛
例题讲解
(3)在直角坐标系中作出相应的函数图象。
t… v…
5 10 15 20 25 … 48 24 16 12 9.6 …
大家知道反比例函数的图象 是两条曲线，上题中图象的曲线 是在哪个象限， 请大家讨论一下？
v(吨/天)
60
50 48 40

巩固练习
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90（吨）， ∵x•y=90，∴ y 90 ． x
（2）函数的图象为：
（3）∵每天节约0.1吨煤，
∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨）， ∴ y 90 90 180 （天），
x 0.5 ∴这批煤能维持180天．
探究新知
考点 3 利用反比例函数解答行程问题
v 7200 240 30
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
课堂检测
(3) 如果刘东骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分 钟到达单位?
解：把 v =300 代入函数解析式得：
7200 300 ， t
解得：t =24． 答：他至少需要 24 分钟到达单位．
课堂检测
拓广探索题
链接中考
解：（1）由题意可得：100=vt， 则 v 100 ；
t
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴t≤5， 则 v 100 20 ，
5
答：平均每小时至少要卸货20吨．
课堂检测 基础巩固题
1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速 度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的 速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ A ）
在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠
的工程，所需天数 y（天）与每天完成的工程量 x（ m/天）
的函数关系图象如图所示
y(天)
（1）请根据题意，求 y 与 x 之间的函数 50
表达式；
解：y 1200 .
x
O 24
x(m/天)
课堂检测
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖 水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？